Intervalos de confianza Muestras grandes

¿Por qué un intervalo de confianza?

• En la Unidad 3 revisamos los conceptos de población y muestra.

• Los parámetros poblacionales son la media μ y la varianza σ2. Son constantes y generalmente no se conocen.

• Contrariamente, el estadístico ( la media muestral) y el estadístico (la varianza muestral) son variables aleatorias, ya que varían de muestra en muestra.

• Es por eso que cuantificamos la incertidumbre asociada al estimador puntual. Ya vimos que , en el caso de la media, esa incertidumbre se llama error estándar.

• En definitiva, utilizamos una muestra de la población, para conjeturar sobre la población. Pero ¿qué tan buena es nuestra estimación puntual? La respuesta a esta pregunta nos la provee el intervalo de confianza.

X2S

Unidad 4 - Intervalos de Confianza Estadística 2016 - Prof. Tamara Burdisso

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¿Por qué un intervalo de confianza?

• La ventaja del estimador puntual es que es muy fácil de calcular y fácil de interpretar.

• La desventaja es que no tenemos la menor idea de cuan certero y preciso es el estimador.

• Para lidiar con esta incertidumbre, es que se construye un intervalo de confianza, el cual provee un posible rango de valores para el parámetro poblacional.

• Si uno provee un estimador puntual va a ser difícil de acertar con el parámetro poblacional. Por el contrario, si uno provee un intervalo de confianza, i.e. un rango de valores, hay más posibilidades que dicho intervalo contenga al verdadero parámetro poblacional.


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Intervalos de confianza para la media Muestras grandes

• Ahora nos focalizamos en el caso donde el estimador puntual es la media muestral y el parámetro es la media poblacional.

• Pensemos que disponemos de una muestra , la cual nos provee , nuestra mejor estimación de la media poblacional.

• Que nos dice el TCL para la media muestral:

X

)1,0(~ Nn

X

X

X

X

n


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¿Cómo se lee un intervalo de confianza al 95%?

• El 95% de las muestras o más precisamente el 95% de los intervalos construidos en base a las muestras, contendrán la verdadera media poblacional, dentro del intervalo correspondiente a la media muestral +/- 2 errores estándar(SE).

• Por lo tanto el nivel de confianza es la probabilidad de que el intervalo estimado contenga al verdadero parámetro poblacional, en nuestro caso la media poblacional.

nXSEX X

22

Margen de

error Estimador puntual para

la media poblacional


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¿Cómo se construye un intervalo de confianza?

• En general construimos un intervalo de confianza alrededor de la media muestral utilizando la siguiente expresión

• donde

• Lo usual para el nivel de confianza es C%= 90%, 95%, 99%.

* * n

ZXZX XcXc

muestral media la X

C%. confianza una a asociado valor Zel escZ

media. la deestándar error el X

Margen de error


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Condiciones para el intervalo de confianza

• La construcción del intervalo de confianza se basa en el TCL. Por lo tanto se debe cumplir al menos con los mismos requerimientos del TCL

• i.i.d. : las observaciones muestrales deben ser independientes

• Muestreo aleatorio/ asignación aleatoria

• Si la muestra es sin reemplazo, entonces n≤10% de la población.

• Asimetría/tamaño de la muestra: n>30, o aún más grande si la distribución es asimétrica.

Unidad 4 - Intervalos de Confianza

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Intervalo de confianza exacto al 95%

• Un intervalo de confianza aprox. para la media al 95% está dado por

• ¿Cómo se construye el intervalo exacto al 95%?

*2 *2 n

XXX

z

2

ZP

0.05 z z 025.02

05.0

ZPZP

1 z

2

ZP

2 z

2

ZP


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Fundamentos del intervalo de confianza

• Sea una muestra aleatoria de n observaciones extraídas de una población que sigue una distribución normal de media desconocida y varianza conocida .

• Supongamos que queremos un intervalo de confianza de la media poblacional al . Por el TCL sabemos que

1zz- z

222

ZPZP

)1,0(N

n

X

nXXX ,...,, 21

2

)%1(100

1*z*z-zz-

2222

nXnXPn

XP

Unidad 4 - Intervalos de Confianza


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Interpretación del intervalo de confianza

• Supongamos que tomamos muchas muestras y construimos intervalos de confianza al 95% para cada una de las muestras.

• Luego, alrededor del 95% de los intervalos de confianza contendrán al verdadero parámetro poblacional.

nXSE 96.1*96.1 puntual estimación

ME


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Intervalo de confianza: certero vs. preciso

• La precisión se vincula al error estándar mientras que la certeza se relaciona con el nivel de confianza

• Nivel o Región de confianza usuales

Región de confianza

(1-) /2 z/2

90% 0.10 0.05 1,645

95% 0.05 0.025 1.96

99% 0.01 0.005 2,576


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Certeza vs. precisión

• Si uno quisiera tener certeza de que captura al verdadero valor del parámetro, i.e. la media poblacional μ, entonces que querríamos ¿un intervalo más amplio o un intervalo más restringido?


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• Por lo tanto si lo que se persigue es certeza, entonces se debe aumentar el nivel de confianza, pero también aumenta el ancho del intervalo.

• Mayor certeza → incrementar el nivel de confianza pero veremos que hay una pérdida


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• ¿Hay alguna desventaja en aumentar el nivel de confianza para tener mayor certidumbre?

• Entonces como se resuelve esto. ¿Existe alguna manera de aumentar la certeza y aumentar la precisión simultáneamente?

• Al incrementar el tamaño de la muestra disminuye el error estándar del estimador, y por ende se reduce el margen de error sin alterar el nivel de confianza, i.e. sin incrementar el ancho del intervalo.

precision pero certezaanchoconfianza de nivel

muestra. la de tamañoel ndoincrementa


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Ejemplo

• Volviendo al ejemplo de los tiempos en minutos de la maratón de la “2012 Cherry Blossom Run”. Tomamos una muestra de tamaño 100 y la media muestral resulta . La desviación estándar de la población es de 15.93. ¿Calcule el intervalo de confianza al 90%, 95% y 99% para la media poblacional?

• Otra muestra de 100 corredores arroja un valor de . Compruebe que los que varían son los intervalos y no la media poblacional.

• ¡Ojo con la interpretación del intervalo!

• Hay un 95% de probabilidad de que la verdadera media poblacional este dentro del intervalo [……,……] INCORRECTO

• Hay un 95% de probabilidad de que cualquier intervalo de confianza generado a partir de una muestra aleatoria contenga a la verdadera media poblacional. CORRECTO

19.97X

15.95X


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Ejemplo

• Como tenemos un 95% de probabilidad de que cualquier intervalo de confianza contenga a la media poblacional, entonces tenemos un 5% de probabilidad de que no lo contenga, en cuyo caso estaríamos cometiendo un error.

• Este 5% de probabilidad es conocido como nivel de significación , o probabilidad de cometer Error de Tipo I

Nivel de significación

Región de confianza 1-


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Ejercicio

• La General Social Survey de los EE.UU. es una institución que se ocupa de recopilar datos sobre las características demográficas y actitudes de los residentes de USA. Durante el año 2010, la encuestadora entrevistó a 1154 residentes. En base a los resultados de esta encuesta, se construyó un intervalo de confianza del 95% para el número de horas diarias promedio que los residentes americanos dedican al ocio después de un día de trabajo promedio fue de 3.53 a 3.83 horas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?


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Ejercicio - continuación

a. 95% de los americanos dedican entre 3.53 y 3.83 horas diarias al ocio después de un día de trabajo

b. 95% de las muestras de 1154 residentes americanos van a arrojar intervalos de confianza que contengan al verdadero número de horas promedio que los americanos dedican al ocio después de un día de trabajo.

c. 95% de las veces el verdadero número de horas promedio que los residentes americanos dedican al ocio después de un día de trabajo es 3.53 y 3.83

d. Se tiene una confianza del 95% que los residentes americanos de esta muestra dedican en promedio entre 3.53 y 3.83 horas al ocio después de un día de trabajo.


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Tamaño de la muestra vs. certeza

• Dado un margen de error deseado, un nivel de confianza, información sobre la variabilidad de la muestra (o de la población), se puede determinar el tamaño de muestra requerido para alcanzar el margen de error deseado.

ME

*

2

2

Zn

* * 2n

ZZMEXc


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Ejemplo

• Un grupo de investigadores desean evaluar el posible efecto que cierta medicación para epilepsia, recetada a mujeres embarazadas, tiene sobre el desarrollo cognitivo de sus hijos. Como evidencia quieren estimar el coeficiente intelectual de niños de 3 años de edad nacidos de madres que hayan ingerido esta medicación durante el embarazo. Estudios previos sugieren que la SD (desviación estándar) del coef. intelectual de los niños de 3 años es de 18 puntos.

• ¿Qué tamaño debería tener la muestra si se desea un intervalo de confianza del 90% y un margen de error menor o igual a 4 puntos?

• ¿Qué ocurriría con el tamaño de la muestra si se quisiera disminuir el margen de error a 2 puntos?


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Ejemplo

• La General Social Survey de los EE.UU. preguntó: “Cuantos días durante los últimos 30 estuvo su salud mental (stress, depresión, problemas emocionales) en problemas”. En base a las respuestas de 1151 residentes de USA, la encuesta reportó un intervalo del 95% de 3.40 a 4.24 días durante 2010.

• Interpretar este intervalo en el contexto de los datos.

• En el contexto del problema, ¿que significa un intervalo de confianza del 95%?

• Recordemos que un intervalo de confianza al 95% significa que, el 95% de los intervalos construidos en base a muestras aleatorias, del mismo tamaño y de la misma población van a contener al verdadero parámetro poblacional.


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¿Qué ocurre si no conocemos ?

• Recordemos que estamos suponiendo que n es grande (n30)

• Si no se conoce , la desviación estándar poblacional, podemos obtener una estimación a partir de la muestra, i.e. reemplazar a por la desviación estándar muestral, S.

Siempre y cuando n30

n

SZX

nZX c * *

2


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Intervalo de confianza para una proporción en muestras grandes • También se puede estimar la proporción de una población

mediante la construcción de un intervalo de confianza a partir de una muestra.

• Requisitos para aproximar la Binomial a la Normal: observaciones i.i.d. y np≥10 y n(1-p)≥10

• El intervalo de confianza para la proporción es

n

ppZpZp pc

)1(*ˆ *ˆ

2ˆ


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Intervalo de confianza para una proporción en muestras grandes • Nuestro desafío es estimar p, la proporción poblacional, pero

necesitamos un valor de p para calcular el error estándar.

• Solución: estimar el error estándar (SE) utilizando , la proporción basada en la muestra aletoria.

• Entonces, como n es grande por TCL sabemos que

n

ppp

)ˆ1(ˆˆˆ

p̂

)1,0()ˆ1(ˆ

ˆ Nn

pppp


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Intervalo de confianza para una proporción en muestras grandes • Por lo tanto, si la proporción muestral observada es , se

obtiene un intervalo de confianza aproximado de la proporción de la población al de confianza de la siguiente manera

p̂

n

ppZpZp pc

)ˆ1(ˆ*ˆ ˆ*ˆ

2ˆ

)%1(100

1zz- z

222

ZPZP

1)ˆ1(ˆ

*zˆ)ˆ1(ˆ

*z-ˆ

z)ˆ1(ˆ

ˆz-

22

22

n

pppp

n

pppP

npp

ppP

Margen de error


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Ejemplo

• Cierta industria decide capacitar a sus empleados en un nuevo programa de adiestramiento en reparación de máquinas. De acuerdo con la experiencia de la empresa, la empresa sabe que una persona que apruebe el examen tiene una alta probabilidad de desempeñarse bien es su puesto. Después de alguna discusiones la empresa acordó basar la evaluación del nuevo método de adiestramiento considerando la proporción de empleados que aprobaron el examen. De los 64 empleados que asistieron al curso de capacitación, solo aprobaron el examen 40. Determinar el intervalo de confianza para la media poblacional con una confianza del 90%. Interpretar el resultado.

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Tamaño de la muestra para una proporción

• Al igual que para la media muestral, se puede determinar el tamaño de muestra requerido para un margen de error deseado.

• ¿Cual es el tamaño de muestra requerido para estimar la proporción de fumadores en Argentina si se desea una confianza del 99% con un margen de error del 5%?

Unidad 4 - Intervalos de confianza

)1(

* *2

ˆn

ppZZME pc

2

2)1(

ME

Zppn


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Tamaño de la muestra para una proporción

• Por lo tanto el tamaño de muestra requerido para un margen de error dado y un nivel de confianza está dado por

• Por lo tanto, si se encuestan a 664 personas, el 99% de las veces la proporción verdadera de fumadores estará en el intervalo ± 5% respecto a la proporción observada en la muestra.

Unidad 4 - Intervalos de confianza

2

2

2

2 25.0)5.01(5.0

ME

Z

ME

Zn

)%1(100


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Ejemplo

• Supongamos que se realiza una encuesta de opinión tras unas elecciones generales sobre las opiniones de una muestra de ciudadanos en edad de votar acerca de un cambio del sistema electoral. Se dice que la encuesta tiene un «margen de error del 3 por ciento». Eso quiere decir que el intervalo de confianza al 95 por ciento de la proporción poblacional que tiene una determinada opinión es la proporción muestral más o menos un 3 por ciento como máximo. ¿Cuántos ciudadanos en edad de votar debe tener la muestra para obtener este margen de error del 3 por ciento?

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