BAB V1-Transformasi Laplace

28
BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE 6.1 Pengantar Secara umum mentransformasikan sinyal atau sistem dari kawasan waktu ke kawasan-s. L (6.1) Fungsi F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t) yang adalah suatu frekuensi s, s = + jw Contoh : 1) Hitunglah transformasi Laplace dari fungsi undak satuan u(t) Jawab : u(t) = L [u(t)] = = 0 + Jadi L [u(t)] = 2) Hitunglah transformasi Laplace dari f(t) = e -at u(t) a > 0 Jawab : L [f(t)] =

Transcript of BAB V1-Transformasi Laplace

Page 1: BAB V1-Transformasi Laplace

BAB VI

TRANSFORMASI LAPLACE

6.1 Pengantar

Secara umum mentransformasikan sinyal atau sistem dari kawasan waktu ke

kawasan-s.

L (6.1)

Fungsi F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t) yang adalah suatu frekuensi s,

s = + jw

Contoh :

1) Hitunglah transformasi Laplace dari fungsi undak satuan u(t)

Jawab :

u(t) =

L [u(t)] =

= 0 +

Jadi L [u(t)] =

2) Hitunglah transformasi Laplace dari f(t) = e-at u(t) a > 0

Jawab :

L [f(t)] =

=

L [f(t)] =

3) Hitunglah transformasi Laplace dari e-t

L [f(t)] =

=

Page 2: BAB V1-Transformasi Laplace

L [f(t)] =

6.2 Invers Transformasi Laplace

Kebalikan transformasi Laplace diberikan oleh :

f(t) = integral lintasan Bronwich, yang

merupakan sebuah garis tegak s = dari –jw

hingga jw dalam bidang s.

atau

f(t) = L-1[F(s)]

Terdapat sifat keintegralan transformasi Laplace, yaitu tidak mungkin ada

dua fungsi berbeda yang mempunyai transformasi Laplace [F(s)] yang sama. Oleh

karena itu, dengan mengetahui transformasi Laplace suatu fungsi tertentu, kebalikan

transformasinya adalah fungsi itu sendiri.

Dengan menggunakan daftar pasangan transformasi Laplace dapatlah dicari

f(t) asalkan bentuk F(s) terdapat dalam daftar tersebut.

6.3 Teorema Dasar Transformasi Laplace

1. Transformasi kombinasi Linear

Jika f1(t) dan f2(t) adalah dua fungsi waktu, a dan b = konstanta, maka :

L[af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s) (6.2)

Contoh :

Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = 3 e-t – e-2t

Peny :

Transformasi Laplace dari :

L[e-t] = dan L[e-2t] =

Maka menurut teorema 1 :

Page 3: BAB V1-Transformasi Laplace

L[3e-t – e-2t] = 3 L [e-t] – L [e-2t]

=

=

=

L[3e-t – e-2t] =

Hitunglah transformasi Laplace dari cos wt dan sin wt

Peny :

Berdasarkan rumus Euler,

eIjwt = cos wt j sin wt

Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas diperoleh :

cos wt =

Dan dengan mengurangkannya diperoleh :

sin wt =

L[e+jwt] = dan L[e-jwt] =

sehingga :

L[cos wt] = L

=

=

=

L[cos wt] =

Page 4: BAB V1-Transformasi Laplace

L[sin wt] =

=

=

L[sin wt] =

2. Transformasi Turunan

L = s F(s) – f(0+) (6.3)

Persamaan di atas dapat diintegrasikan secara parsial dengan memisalkan :

u = e-st dan dv = df(t)

kemudian disisipkan ke dalam persamaan :

karena

du = -se-st dan v = f(t)

maka transformasi Laplace turunan :

L

= s F(s) – f(0)

dimana f(0) = f(t)

untuk turunan berikutnya :

L

Jadi :

(6.4)

Page 5: BAB V1-Transformasi Laplace

Contoh :

Tentukan transformasi Laplace dari

Peny :

Karena L dan e-t = 1

maka : L = s F(s) – f(0)

= s

=

3. Transformasi Integral

L (6.5)

Contoh :

Tentukan transformasi Laplace dari :

karena L

L

4. Teorema Harga Awal

Harga awal f(0+) dari sebuah fungsi f(t) yang transformasi Laplace F(s) nya

adalah :

f(0+) = t > 0 (6.6)

Page 6: BAB V1-Transformasi Laplace

Contoh :

Tentukan TL dari f(t) = e-3t

L

Harga awal dari e-3t dapat ditentukan oleh Teorema harga awal sebesar

f(0+) = = 1

5. Teorema Harga Akhir

Harga akhir f(~) dari sebuah fungsi f(t) yang transformasi Laplace F(s) nya

adalah :

f(~) = (6.7)

Contoh :

f(~) = = 1

6. Transformasi Laplace dari sebuah fungsi f(t/a) (Penskalaan waktu) adalah :

L [f(t/a)] = aF(as), dimana F(s) = L[f(t)]

L [f(t/a)] =

= L

Jika = x, maka

L[f(t/a)] =

Jadi L[f(t/a)] = a F(as)

L-1 [a F(as)] = f = a L-1 [F(as)]

7. Transformasi Pergeseran Frekwensi

Tinjau transformasi dari fungsi e-at f(t), yaitu :

L [e-at f(t)] =

Page 7: BAB V1-Transformasi Laplace

=

Jadi L [e-at f(t)] = F (s+a)

Dengan F adalah transformasi Laplace dari f. Tampak disini bahwa faktor e-at

menyebabkan terjadi pergeseran frekuensi sebesar a pada kawasan frekuensinya.

Contoh :

Hitunglah transformasi Laplace dari fungsi e-at cos wt dan e-at sin wt

Peny :

L

L

8. Transformasi Pergeseran Waktu (Penundaan Waktu)

Fungsi f(t – T) dimana T > 0 dan f(t – T) = 0 untuk t T, adalah :

L [f(t – T)] = e-sT F(s), dimana F(s) = L [f(t)]

9. Integral Konvolusi

Andaikanlah dua buah fungsi f1(t) dan f2(t) mempunyai transformasi Laplace

F1(s) dan F2(s). Hasil kali F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace suatu fungsi

yang diberikan oleh persamaan :

f(t) = L =

dengan sebagai variabel pengganti t. Kedua integral di atas dikenal sebagai

integral konvolusi.

Konvolusi f1(t) dan f2(t) ditunjukkan dengan notasi khusus.

f(t) = f1(t) * f2(t)

Dalam notasi konvolusi tersebut tampak bahwa :

F(s) = L[f1(t) * f2(t)]

F(s) = F1(s) . F2(s)

Page 8: BAB V1-Transformasi Laplace

Jadi transformasi Laplace Invers suatu perkalian f1(s) dengan f2(s) diperoleh

dengan mengkonvolusikan f1(t) dan f2(t) menurut persamaan diatas.

Untuk menurunkan persamaan-persamaan tersebut, tampak bahwa F(s) = F1(s)

F2(s) dapat ditulis sebagai hasil kali integral transformasi Laplace yang meliputi

variabel-variabel x dan y sebagai

F(s) =

Karena masing-masing integral ini konstan maka persamaan di atas dapat disusun

kembali sehingga menjadi :

F(s) =

Selanjutnya diperkenalkan dua variabel baru, t dan yang mempunyak hubungan

dengan x dan y sebagai

t = x + y

= x

Diferensial dydx dan d dt dihubungkan menurut persamaan

dydx =

Contoh :

Tentukan invers transformasi dari hasil kali kedua fungsi dalam kawasan

frekuensi berikut :

F1(s) = dan F2(s) =

Peny:

Invers transformasi Laplace masing-masing fungsi tersebut tentu saja adalah

f1(t) = u(t) dan f2(t) = e-t u(t)

dengan menggunakan integral konvolusi yang diberikan oleh persamaan,

diperoleh :

f(t) = f1(t) * f2(t) =

Page 9: BAB V1-Transformasi Laplace

=

= -e-t – (-e-0)

= -e-t – 1

= 1 - e-t

6.4 Perluasan Pecahan Parsial

Jika :

F(s) = ni = akar-akar yang sama (6.8)

Perluasan pecahan parsial dari fungsi rasional F(s) adalah :

F(s) = bn + (6.9)

Dimana bn = 0 kecuali m = n

Koefisien-koefisien cik diberikan oleh :

cik =

(6.10)

Jika tak ada satupun akar-akar yang berulang, maka :

F(s) = bn + dan ci1 = (6.11)

Contoh :

Selidiki fungsi rasional F(s) =

Sehingga perluasan pecahan parsial :

F(s) = b2 +

Koefisien pembilang dan penyebut (s2) adalah = 1, m = n

Koefisien-koefisien c11 dan c21 adalah :

Page 10: BAB V1-Transformasi Laplace

c11 = (s + 1)

= = 1

c21 = (s + 2)

= = -2

Sehingga :

F(s) = 1 +

6.5 Penerapan Transformasi Laplace Untuk Penyelesaian Persamaan

Diferensial Koefisien Linear

Dua golongan persamaan umum :

, dimana y = keluaran

x = masukan

ai = koefisien

Sehingga :

Syarat awal untuk persamaan di atas :

dimana yok merupakan tetapan-tetapan.

Transformasi Laplace dari persamaan di atas diberikan oleh :

= x(s)

Page 11: BAB V1-Transformasi Laplace

Transformasi Laplace = Y(s) =

Sehingga jawab waktu y(t) dari persamaan tersebut adalah :

y(t ) =

Contoh:

1.

L = s2 Y(s) – syo – y(0+) = s2 Y(s)

L = s Y(s) – y(0) = s Y(s)

L = s X(s) – x(0) = s X(s) – x(0)

L

s2 Y(s) + s Y(s) + Y(s) = s X(s) – x(0)

Y(s) (s2 + 2 + 1) = s X(s) – x(0)

Y(s) =

Contoh :

Untuk jaringan RC dibawah :

+- i

Teg. Masukan x

C=1

+ -

R=1

+

Y = keluaran

-

Page 12: BAB V1-Transformasi Laplace

a. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y

dan tegangan masukan x

b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt

dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan

teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).

Penyelesaian :

a. Dari HTK :

y = R . i = 1 . i = i

x =

x = VC0 +

x = VC0 +

b. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a

sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+)

x = 2e-t X(s) = (2e-t)=

dan x(0+)

sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari

persamaan tegangan semula :

X(0+) =

X(0+) = VC0 + y(0+)

Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1

Page 13: BAB V1-Transformasi Laplace

Sehingga :

Kemudian transfer fungsi y(t) adalah

s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+)

(s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+)

Y(s) =

=

=

Yib =

C11 = = -2

C12 = = 2

Sehingga :

Y(s) = b +

=

Y(t) = -2

Y(t) = -2te-t + e-t

Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah :

Y(t) = -2te-t + e-t

Page 14: BAB V1-Transformasi Laplace

2. Untuk jaringan RC dalam skema di bawah

a. Carilah watak sistem atau sebuah persamaan diferensial yang

menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x.

b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya Vc0 = 1 volt

dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. Dengan menggunakan

teknik transformasi Laplace.

Peny:

a. Dari HTK :

= x

x = VC0 +

x = VC0 +

x = VC0 +

karena y = R. i = i

Dengan mendiferensialkan kedua sisi :

b. Transformasi Laplace dari P.D yang didapatkan dalam a) adalah

sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+)

dimana X(s) =L dan x(0+) = = 2

Untuk mencari y(0+), batas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan

tegangan semula :

+- i

Teg. Masukan x

C=1

+ -

R=1

t

y

y

Page 15: BAB V1-Transformasi Laplace

X(0+) = = VC0 + y(0+)

Sehingga :

Y(0+) = x(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1

Kemudian transfer fungsi y(t) adalah

s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+)

(s + 1) Y(s) = s X(s) – X(0+) + y(0+)

Y(s) =

=

=

Gunakan pecahan parsial

Y(s) = b +

= = 0

Page 16: BAB V1-Transformasi Laplace

Jawaban :

4.40. Dengan menggunakan integral konvolusi carilah invers transformasi Laplace

dari :

Peny :

= e-2t u(t), maka

=

4.41. Tentukan teorema harga akhir dari fungsi f(t) yang ditransformasi Laplacenya

adalah :

F(s) =

Dari teorema harga akhir

= =

4.4.3. Carilah perluasan pecahan parsial dari fungsi F(s) =

Peny:

Perluasan pecahan parsial F(s) adalah :

F(s) = b4 +

b4 = 0

C11 = (s + 2)3 . F(s)

= (s + 2)3 .

Page 17: BAB V1-Transformasi Laplace

= = 5

C12 =

=

=

C21 =

=

=

=

= = =

=

C14 =

=

=

Jadi F(s) =

f(t) = st2e-2t – e-2t + e-2t – e-4t

Page 18: BAB V1-Transformasi Laplace

4.46. Dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah tanggapan terpaksa

dari persamaan diferensial

, dimana x(t) = e-3t, t > 0

x(t) = e-3t

x(s) =

dan x(0+) = = e-3t = 1

Sehingga :

s2 Y(s) + 4s Y(s) + 4 Y(s) = 3 (sX(s) –1) + 2 X(s)

Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) – 3 + 2 X(s)

Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) + 2 X(s) – 3

Y(s) =

=

=

Yb =

=

Yb =

Penyelesaiannya menggunakan pecahan parsial :

Yb = b3 +

b3 = 0

Page 19: BAB V1-Transformasi Laplace

C11 = (s+2)2

= = -4

C12 =

=

=

= = 7

C31 =

= = -7

Sehingga :

Yb = 0 –

=

karena :

= e-2t

= te-2t

= e-3t

maka :

y(t) = 7

y(t) = 7e-2t – 4te-2t – 7e-3t

Page 20: BAB V1-Transformasi Laplace

Contoh :

Untuk jaringan RC dibawah :

c. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y

dan tegangan masukan x

d. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt

dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan

teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).

Penyelesaian :

c. Dari HTK :

y = R . i = 1 . i = i

x =

x = VC0 +

x = VC0 +

d. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a

sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+)

x = 2e-t X(s) = (2e-t)=

dan x(0+)

+- i

Teg. Masukan x

C=1

+ -

R=1

+

Y = keluaran

-

Page 21: BAB V1-Transformasi Laplace

sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari

persamaan tegangan semula :

X(0+) =

X(0+) = VC0 + y(0+)

Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1

Sehingga :

Kemudian transfer fungsi y(t) adalah

s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+)

(s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+)

Y(s) =

=

=

Yib =

C11 = = -2

C12 = = 2

Sehingga :

Y(s) = b +

=

Y(t) = -2

Y(t) = -2te-t + e-t

Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah :

Page 22: BAB V1-Transformasi Laplace

Y(t) = -2te-t + e-t

Soal :

1. Tentukan y(t) dari persamaan transformasi Laplace di bawah ini :

X(s) =

2.

L = x(t), y(t) =

L = x(t)

L

+-

L=1 R=2

V(t)C=1

it

y

X = 2e-2t