TANGNTES A CURVAS PARAMETRIZADAS, LONGITUD DE CURVAS Y ÁEAS DE SUPERFICIES

t

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y RECTANGULARES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS

1.- Considera las ecuaciones x =

e y = 1 – t

a) Complete la tabla

θ

-π/2

-π/4

0

π/2

π/4

x

y

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y esbozar la una gráfica de las ecuaciones paramétricas.

c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el parámetro y restringir su dominio.

2.- Considere las ecuaciones x = 4cos2 θ e y = 2 sen θ

a) Complete la tabla

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y esbozar la una gráfica de las ecuaciones paramétricas.

c) Hallar la ecuación rectangular eliminando el parámetro y restringir su dominio.

3.- Dibujar la curva definida por las ecuaciones y hallar sus ecuaciones rectangulares.

a) x = 3 cos t , y = 3 sen t

b) x = 2 cos t , y = 3 sen t

c) ) x = 1 + 2 cos t , y = -2 + 2 sen t

d) ) y = 3 cos t , x = 2 sen t

e) x = -1 + 2t , y = 3t

f) x = 4 + 3t , y = 2 – 4t

g) x = 1 + t , y = t2 + 2

h) x = 2 – t , y = t2 + 1

i) x = t2 – 1 , y = 2t

j) 1 +

t

1

, y = t – 1

k) x = tan2 θ , y = sec2 θ

TANGNTES A CURVAS PARAMETRIZADAS, LONGITUD DE CURVAS Y ÁEAS DE SUPERFICIES

1.- Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva en el punto definido por el valor de t.

a) x = 2 cos t , y = 2 sen t en t = π/4

b) x = sen 2πt , y = cos 2πt en t = -1/6

c) x = 4 sen t , y = 2 cos t en t = π/4

d) x = cos t , y =

3

cos t = 2π/3

e) x = t , y =

t

en t = ¼

f) x = sec2 t – 1 , y = tan t en t = - π/4

g) x = sen t , y = tan t en t = π/6

h) x = -

1

+

t

, y =

t

3

en t = 3

i) x = 2t2 +3 , y = t2 en t = -1

j) x = t – sen t , y = 1 – cos t en t = π/3

k ) x = 1/t , y = -2 + ln t en t = 1

2.- Encuentre la longitud de curva en cada uno en el intervalo indicado.

a) x = cos t , y = t + sen t en 0≤ t ≤ π

b) x = t3 , y = 3t2/2 en 0≤ t ≤

3

c) x = t2 , y =

(

)

3

1

2

2

3

+

t

, en 0≤ t ≤ 4

d) x =

(

)

3

3

2

2

3

+

t

, y = t + t2/2 en 0≤ t ≤ 3

e) x = 8 cos t + 8t sen t , y = 8 sen t – 8t cos t en 0≤ t ≤ π/2

f) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤ π/3

g) Hipocicloide : x = a cos3 θ , y = a sen3 θ

h ) Arco de cicloide x = a (θ – sen θ ) , y = a ( 1 – cos θ )

i) Involuta de circunferencia : x = cos θ + θ sen θ , y = sen θ – θ cos θ

3.- Encuentre el área de las superficies generadas al girar las curvas respecto a los ejes indicados.

a) x = cos t , y = 2 + sen t en 0≤ t ≤ 2π en eje x

b) x =

2

3

3

2

t

÷

ø

ö

ç

è

æ

, y = 2

t

en 0≤ t ≤

3

en eje y

c) x = t +

2

, y =

2

2

2

+

t

en -

2

≤ t ≤

2

d) x = ln ( sec t + tan t ) – sen t , y = cos t en 0≤ t ≤ π/3

e) x = t , y = 2t en 0≤ t ≤ 4 en eje x y en eje y

f) x = a cos θ , y = b sen θ en 0≤ t ≤ 2π en eje x y en eje y.

COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS.

1.- Grafica los conjuntos de puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones y desigualdades siguientes.

a) r = 2 b) r ≥ 1 c) 0 ≤ r ≤ 2 d) 1 ≤ r ≤ 2

e) o ≤ θ ≤ π/6 , r ≥ 0 f) θ = 2π/3 , r ≤ -2 g) θ = π/3 , -1 ≤ r ≤ 3

2.- Sustituya las ecuaciones polares por sus respectivas ecuaciones cartesianas equivalentes.

a) r cos θ = 2

b) r sen θ = 0

c) r = 4 csc θ

d) r sen θ = -1

e) r cos θ = 0

f) r = -3 sec θ

g) r2 = 1

h) r2 = 4r sen θ

i) r =

q

q

cos

2

5

-

sen

j) r2 sen 2θ = 2

k) r2 + 2r2 cos θ sen θ = 1

l) r = 4 tan θ sec θ

m) r sen θ = ln r + ln cos θ

n) r2 = -6r sen2 θ

2.- Reemplace las ecuaciones cartesianas por ecuaciones polares equivalentes.

a) x = 7

b) x – y = 3

c) x = y

d) x2 + y2 = 4

e)

1

4

9

2

2

=

+

y

x

f) x2 + xy + y2 = 1

g) xy = 2

h) x2 + (y – 2 )2 = 4

LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE SUPERFICIE EN COORDENADAS POLARES.

1.- Determinar la longitud de la gráfica sobre el intervalo indicado.

a) r = 2a cos θ en -π/2 ≤ t ≤ π/2

b) r = 1 + sen θ en 0≤ θ ≤ 2π

c) r = 5( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ 2π

d) r = θ2 en 0≤ θ ≤

5

e) r = a sen2

(

)

2

q

en 0≤ θ ≤ π , a >0

f) r =

(

)

q

cos

1

2

-

en π/2 ≤ θ ≤ π

2.- Hallar el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor de la recta dada.

a) r = 2 cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del eje polar

b) r = 2a cos θ en 0≤ θ ≤ 2π , alrededor del θ = π/2

c) r = a( 1 + cos θ ) en 0≤ θ ≤ π , alrededor del eje polar.

d) r =

2

2

q

l

en 0≤ θ ≤ π/2, alrededor del eje x

DERIVADAS PARCIALES Y RECTAS TANGNTES, REGLA DE LA CADENA, DERIVADAS PARCIALES IMPLICITAS Y DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

1.- Halla

y

f

y

x

f

¶

¶

¶

¶

en cada una de las funciones que se dan a continuación.

a) f(x,y) = 2x – 3y + 5

b) z = x

y

c) z = x2

y

2

l

d) f(x,y) = ln (x2 + y2 )

e) f(x,y) = x2 – 3y2 + 7

f) f(x,y) = x

y

x

l

g) z = tg ( 2x – t )

h) f(x,y) =

2

2

y

x

xy

+

i) z = cos 3y sen 3x

j) z = ln

y

x

y

x

-

+

k) f(x,y) =

x

y

y

x

2

2

4

2

+

l) z =

y

l

sen xy

m) f(x,y) =

(

)

ò

+

y

x

dt

t

1

2

n) f(x,y) =

(

)

(

)

ò

ò

-

+

+

y

x

x

y

dt

t

dt

t

1

2

1

2

ñ) f(x,y) = sen2 (x – 3y)

o) z = tg-1(y/x)

2.- Calcular la pendiente de la superficie en las direcciones de x e y en el punto indicado.

a) g(x,y) = 4 – x2 – y2 , (1,1,2) figura 29

b) f(x,y) = x2 – y2 , (-2,1,3)

c) z =

x

-

l

cos y , (0,0,1)

d) z = ½ sen ( 2x –y ) , (π/4, π/3,1/2)

e) z =

2

2

49

y

x

-

-

, (2,3,6)

3.- Verificar que las derivadas parciales cruzadas fxyy, fyxy y fyyx son iguales.

a) f(x,y,z) = xyz

b) f(x,y,z) = x2 – 3xy + 4yz + z3

c) f(x,y,z) =

x

-

l

sen yz

d) f(x,y,z) =

z

y

x

+

4.- En cada uno de los siguientes ejercicios halla dw/dt.

a) w = x2 + y2 , si x =

t

l

e y =

t

-

l

b) w =

2

2

y

x

+

, si x = sen t e y =

t

l

c) w = x sec y , si x =

t

l

e y = π – t

d) w = ln

x

y

, si x = cos t e y = sen t

e) w = x2 + y2 + z2 , si x =

t

l

cos t , y =

t

l

sen t , z =

t

l

f) w = xy +xz +yz , si x = t – 1, y = t2 – 1, z = t

g) w = xy , si x = 2 sen t , y = cos t

5.- Utilizando la regla de la cadena halla

t

w

y

s

w

¶

¶

¶

¶

y luego evaluarlas en los valores de s y t que se indican.

a) w = x2 + y2 , x = s + t , y = s – t en s = 2 y t = -1

b) w = -3yx2 + y3 , x =

s

l

, y =

t

l

en s = 0 y t = 1