CAPÍTULO 4 - DERIVADAS 4.1- Incrementos e Razão Incremental · incremento ou acréscimo da...

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni

55

CAPÍTULO 4 - DERIVADAS

4.1- Incrementos e Razão IncrementalSeja y = f (x) uma função real de variável real, contínua em um dado intervalo do qual fazem parte os númerosreais x1 e x2 e esses números são muito próximos entre si, isto é, |x2 – x1| < δ ou x2 – x1 tende a zero.Nestas condições são aceitas as seguintes definições:

1) Incremento da variável independente x:

A variável independente x pode variar, aumentar ou diminuir de x1 até x2, variação esta, denominadaincremento ou acréscimo da variável x, indicada por: ∆x = x2 – x1.

2) Incremento da função y = f (x)

A função ou variável dependente y pode variar de f (x1) até f (x2), variação esta denominada aumentoou acréscimo da função y = f (x), o qual é indicado por: ∆y = f (x2) – f (x1).

3) Razão Incremental da y = f (x)

Denomina-se razão incremental da função y = f (x) a razão entre os incrementos ∆y e ∆x →

x

y

∆∆

.

( ) ( )

( ) ( )x

xfxxf

x

y

xxxx

xfxf

x

y

11

12

12

∆∆

∆∆

∆∆∆

∆

−+=

+=

−=

4) Derivada de uma Função y = f (x)Seja y = f (x) definida e contínua em um dado intervalo real, denomina-se função derivada ou derivada

de y = f (x) a função que se obtém através do limite da razão incremental de y = f (x) quando o incremento

da variável independente x tende a zero. Tal função é indicada por: y’; f ’ (x); dx

dy;

dx

df;

( )dx

)x(fd.

( )x

)x(fxxflim

x

ylim)x('f

0x0x ∆∆

∆∆

∆∆

−−⇒=

→→ Se este limite existir e for finito.

Exercícios

1) Seja f (x) = x2 determine f ’(x).( )

0

0

x

)x(fxxflim)x('f

0x=

−+=

→ ∆∆

∆ indeterminação

( ) ( )( )

( )

x2

0x2

xx2limx

xx2.xlim

x

xxxx2xlim

x

xxxlim)x('f

xxxxf

x)x(f

0x

0x

222

0x

22

0x

2

2

=+=

+=

+=

−++=

−+=

+=+

=

→

→

→

→

∆∆

∆∆∆

∆∆∆

∆

∆∆

∆

∆

∆

∆


56

( ) ( ) x2x'fxxf 2 =→=

2) ( ) xaxf =

( ) ( ) ( )

( )

aln.a

alnu

1alim:Lembrar

x

1alim.a

x

aa.alim)x('f

a.aa)xx(f

a)x(f

x

xfxxflimx'f

x

u

0u

x

0x

x

xxx

0x

xxxx

x

0x

=

=−

−=

−=

==+

=

−+=

→

→

→

+

→

∆

∆

∆

∆∆

∆

∆

∆

∆

∆∆

∆

aln.a)x('f x=

3) xlog)x(f a=

( )

( ) ( )( )

( )

( )

elogx

1elog

eu1lim:Lembrar

1

x

x1limlog

x

x1loglim

x

xxlog

x

1lim

x

xlogxxloglim)x('f

xxlogxxf

xlog)x(fx

)x(fxxflim)x('f

ax

1

a

u

1

0u

x

1

0xa

x

1

a0x

a0x

aa

0x

a

a

0x

=

=+

→=

+=

+=

+

=

−+=

+=+=

−+=

→

∞

→

→

→

→

→

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

4.2- Derivada de uma função y = f (x) em um ponto x = x0

Seja y = f (x) contínua em um domínio D e x0 um ponto de acumulação de D. Denomina-se derivada de f (x) no

ponto x0 ao limite: 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0 −−

→.

Notação:

( )0xx

0 dx

dyx'f

=

=

Indeterminação


Exercícios

1) Seja f(x) = x3, determinar a derivada de f no ponto que x0 =1.

( )

31xxlim

1x

1xlim1'f

2

1x

3

1x

=++=−−

=

→

→

( ) 31'f =

2) Seja f (x) = sen x, determinar a derivada de f no pont

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1x

xsenlim

0x

0xsenlim0'f

00sen0f

xx

xfxflimx'f

0x

0x

0

0

0x0

==

−−

=

==−−

=

→

→

→

( ) 10'f =

3) ( ) 3 xxf = para x0 = 0.

( )

+∞==

=

=

=

=

=

−−

=

+

→

−

→

−

→

→

→

→

0

1

x

1lim

xlim

x.xlim

x

xlim

x

xlim

0x

0xlim0'f

3 20x

3

2

0x

13

1

0x

3

1

0x

3

0x

3

0x

( ) ∃=0'f

4.3- Teorema da Existência da Derivada em um Ponto

Existirá a derivada de uma função y = f (x) definida elaterais no ponto de abcissa x0 forem iguais, isto é:

4.3.1- Derivadas Laterais

( )

( )( ) ( ) ( )

0

0

xx0

0

xx

000

0

0

xx0

0

0

xx0

xx

)x(f)x(flim

xx

)x(f)x(flim

.x'fx'fsesomenteeseexistiráx'f

xx

)x(f)x(flimx'f

xx

)x(f)x(flimx'f

00

0

0

=−−

∃⇔−−

∃

=

−−

=∗

−−

=∗

+

+

−

→→

+−

→

+

→

−

-
x3 - 1 x-1
x3 + x2 x2 +x +1x2 - 1

-x2 + xx - 1

-x + 10

57

o que x0 = 0.

contínua em um ponto x0 se e somente se as derivadas

0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0 −−

−→

.


Exercícios1) Verificar se existe a derivada de f (x) = |x| em x0 = 0.

( )

( )

∃==

−−

=

−−

=

<−≥

=∗

→

→

→

x

xlim

0x

0xlim

0x

)x(f)x(flim0'f

0xsex

0xsexxf

0x

0x

0

0x

diferentessão

11limx

xlim

x

xlim

11limx

xlim

x

xlim

0x0x0x

0x0x0x

−=−=−

=∗

===∗

−−−

+++

→→→

→→→

( ) ∃=0'f

4.4- Interpretação Geométrica da Derivada

Seja y = f (x) uma função contínua e derivável em um domínio D.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )α

∆∆

β∆∆

∆∆

∆

∆

tanx

xfxxflim

tanx

xfxxf

x

xfxxflimx'f

00

0x

00

00

0x0

=−+

•

=−+

•

−+=

→

→

4.4.1- Equação da Reta Tangente à curva y

( )( )0

000

x'fm

y,xP

=

( )00 xx.myy −=−Exercícios

1) Determinar a equação da reta tangen

( )4,2P

)y,x(P

0

000

( )( )( )

4m

.22'f

x2x'f

2'fm

===

=

tangente

α

y

x0

f (x0)

)

∆xβ

f (x0+∆x

= f (x) no ponto P0 (x0, y0)

te à curva y = x2 no ponto onde x0 = 2.

42 =

xx0+∆x

( )( )

8x44y

2x44y

xxmyy 00

−=−−=−−=−

04x4y =+− → Equação da reta tangente

58


59

Observação:A derivada de uma função y = f (x) em um ponto é um número que corresponde ao coeficiente angular da reta

tangente à curva y = f (x) no ponto x = x0.

4.4.2-Equação da Reta Normal a uma curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0)

( )00 xx.m

1yy −−=− onde, m = f ’(x0)

Exercícios

1) Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida pela equação y = x3 onde x0 = 1.

( )

3m

31x

1xlim

dx

dym

1,1P

1y1x

3

1x1x

0

00

0

=∴

=−−

⇒=

∴=→=

→=

4.5- Álgebra das Derivadas

Suponha que u = h (x) , y = f (x) e z = g (x) em que:

{ { {zyu

(x) g (x) f (x)h += (Derivada da Soma)

( )( )( )

+=++=++=+

xxgzz

xxfyy

xxhuu

∆∆∆∆∆∆

a) Derivada da Soma

Demonstração:

zyu +=

( )

zyusedx

dz

dx

dy

dx

dux

zlim

x

ylim

x

ulim

x

z

x

y

x

u

xzyu

zyzzyyu

zyu:doSubstituin

uzzyyu

zzyyuu

0x0x0x

+=∗

+=

+=

+=

÷+=−−+++=−−=−∗

−+++=+++=+

→→→ ∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆

'z'y'u +=

Equação da reta normal

( )

1x3y33

1x

3

11y

xxm

1yy 00

+−=−

+−=−

−−=−

04xy3 =−+

A derivada da soma ou da diferença éa soma ou a diferença das derivadas.

Equação da reta tangente

( )( )

3x31y

1x31y

xxmyy 00

−=−−=−−=−

02x3y =+−


60

Exercícios

1) y = x2 + ax

y’ = 2x + ax. ln a

b) Derivada do Produto

( )

( )

zyusedx

dz0

dx

dyz

dx

dzy

dx

du

0y0xquandoxxfyyx

zlimy

x

ylimz

x

zlimy

x

ulim

x

zy

x

yz

x

zy

x

u

xzyyzzyu

yzzyyzzyyzu

yz)zz()yy(u

zyu:doSubstituin

u)zz()yy(u

)zz()yy(uu

zyu

0x0x0x0x

⋅=∗

++=

→→+=+∗

++=

++=

÷++=−+++=

−+⋅+=⋅−=−∗

−+⋅+=+⋅+=+

⋅=

→→→→

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

'yz'zy'u ⋅+⋅=

Exemplo:1) y = x2 . ax

y’ = x2.ax.lna + ax.2x

c) Derivada do Quociente

z

yuse

dx

dzy

dx

dyz

z

1

dx

du

x

zlimy

x

ylimz

z

1

x

ulim

0z0xquando0zz

)zzz(x

zyyz

x

u

)x()zz(z

zyyzu

)zz(z

zyyzyzzyu

)zz(z

)zz(y)yy(zu

z

y

zz

yyu

uzz

yyu

zz

yyuu

z

yu

2

0x0x20x

2

=∗

−=

−=

→→=∗++

=

÷++

=

++−+

=

++−+

=

−++

=

−++

=

++

=+

=

→→→ ∆∆

∆∆

∆∆

∆∆∆∆∆∆∆

∆∆

∆∆∆∆

∆

∆∆∆

∆

∆∆∆

∆

∆∆

∆

∆∆

∆

∆∆

∆

∆∆∆


2z

'zy'yz'u

⋅−⋅=

Exercícios

1) x

2

a

xy =

( )2x

x2x

a

aln.a.xx2.a'y

−=

d) Derivada das Funções Elementares

0x

kk

x

)x(f)xx(flim)x('f

k)x(f

0x=

−=

−+=

=∗

→ ∆∆∆

∆

0)x('f =

( ) ( )

( )

1x

xxxlim)x('f

xxxxf

x)x(fx

xfxxflim)x('f

0)x(f

0x

0x

=−+

=

+=+•=•

−+=

=∗

→

→

∆∆∆∆

∆∆

∆

∆

( ) 1x'f =

( )

( )

( )

1nn

n

n

0x

n

n

0x

n

n

n

n

0x

n

n

n

n

n

n

nn

0x

n

x.nnx

xn

x

1x

xx

1

1x

x1

limx

1x

x

1x

xx

limx

x

xx

xxx

limx'f

x

xxx

x

xxx)xx(

)xx()xx(f

x)x(fx

xxxlim)x('f

x)x(f

−

→

→

→

→

===

−

+

=

−

+

=

−

+

=

+

=

+

=+

+=+•

=•

−+=

=∗

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆∆∆

∆∆

∆∆

∆

∆

∆

∆

( ) 1nx.nx'f −=

Exercícios

1) f (x) = x5

f ’(x)= 5 . x4

2) f (x) = x –3

Lembrar

61

( )

( )a.k

u

1u.k1lim

au

1u1lim

a

0u

a

0u

=−+

•

=−+

•

→

→


f ’(x)= -3 . x -4

3) 55

xx

1)x(f −==

f ’(x) = -5 . x –6

Formulário de Derivadas

1) y = k → y’ = 0 (Derivada do constante k em relação a x)

2) y = x → y’ = 1

3) y = xn → y’ = n.x n-1

4) y = ax → y’ = ax.lna

5) aln.x

1'yalogy x =→=

6) y = ln x → y’ = x

1

7) y = sen x → y’ = cos x

8) y = cos x → y’ = - sen x

9) y = tan x → y’ = sec2 x

10) y = cot x → y’ = - cossec2 x

11) y = sec x → y’ = sec x . tan x

12) y = cossec x → y’ = - cossec x . cot x

Demonstrações

Fórmula 5:( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )alog

1

x

1x'f

elogx

1x'f

elogx'f

x

x1loglimx'f

x

xxlog

x

1limx'f

x

xlogxxloglimx'f

xxlogxxf

xlogxf

e

a

x

1

a

e

x

1

a0x

a0x

aa

0x

a

a

x

1

=

=

=

∆+=

∆+

∆=

∆−∆+

=

∆+=∆+=

∆

→∆

→∆

→∆

44 344 21

( )aln.x

1x'f =

Lembrar

62

( ) ku

1

0ueku1lim =+

→


63

Fórmula 7:

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) xcos0xsenx'f

xcosx

1xcoslimxsenx'f

x

xcos.xsen

x

1xcosxsenlimx'f

x

xsenxcos.xsenxcos.xsenlimx'f

xxsenxxf

xsenxf

0x

xcos

0x

0x

+⋅=

+∆

−∆⋅=

∆∆

+∆

−∆=

∆−∆+∆

=

∆+=∆+=

→∆

=

→∆

→∆

4434421

( ) xcosx'f =

Fórmula 9:

( )

( ) ( )

( )

( )xcos

1x'f

xcos

xsenxcosx'f

xcos

xsen.xsenxcos.xcosx'f

v

'uv'vu'y

v

uySe

xcos

xsenxtanxf

2

2

1

22

2

2

=

+=

−−=

−=→=∗

==

= 44 844 76

( ) xsecx'f 2=

Fórmula 11:( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )xcos.xcos

xsenx'f

xcos

xsenx'f

xcos

xsen0x'f

xcos

xsen10.xcosx'f

xcos

1xf

xsecxf

2

2

2

=

=

+=

−−=

=

=

( ) xsec.xtanx'f =

Propriedades

1) y = k . v → y’ = k . v’2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’

4) y = 2v

'vu'uv'y

v

u ⋅−⋅=→


64

4.6- Regra da Cadeia para Derivação de Função Composta

Seja a função composta y = h (x) = fog = f (g(x)) sendo g derivável em relação a x e f derivável em relação a g (x).Nessas condições demostra-se que a derivada dessa função ( ) ( ) )x('g)x(g'fx'h = .

Sendo u = g (x) e y = f (u),

dx

du

du

dy

dx

dy⋅= → Regra da Cadeia

4.6.1-Generalização da Regra da Cadeia para Derivada das Funções Compostas

( )

( )( )( )( )

====

=

xfv

vfw

wfu

ufy

xfy

4

3

2

1

dx

dv

dv

dw

dw

du

du

dy

dx

dy⋅⋅⋅= → Regra da Cadeia

Exercícios

1) 1x2

ey +=

x2edx

dydx

du

du

dy

dx

dy

x2dx

du1xu

edu

dyey

1x

2

uu

2

⋅=

⋅=

=→+=

=→=

+

2) ( )x5xseny 3 +=

dx

du

du

dy

dx

dy

5x3dx

dux5xu

ucosdu

dyuseny

3

⋅=

+=→+=

=→=

( ) ( )5x3x5xcosdx

dy 3 +⋅+=

3) x3seny =

( ) 3x3cosdx

dy

3.ucosdx

dy

3dx

dux3u

ucosdu

dyuseny

⋅=

=

=→=

=→=

4) ( )7x10xseny 2 −+=

)10x2).(7x10xcos('y 2 +−+=


65

5) ( )4x5x 23

ey ++=( ) ( )x10x3.e'y 24x5x 23

+= ++

4.6.2- Regras da Derivada das Funções Compostas

Sejam u e v funções em x, e k, a e n constantes.1) y = k → y’ = 02) y = x → y’ = 13) y = un → y’ = n.u n-1.u’4) y = au → y’ = au.lna.u’5) y = eu → y’ = eu . u’

6) 'ubln.u

1'yulogy b ⋅=→=

7) y = ln u → y’ = u

'u

8) y = sen u → y’ = cos u . u’9) y = cos u → y’ = - sen u . u’10) y = tan u → y’ = sec2 u . u’11) y = cot u → y’ = - cossec2 u . u’12) y = sec u → y’ = sec u . tan u . u’13) y = cossec u → y’ = - cossec u . cot u . u’

Propriedades1) y = k . v → y’ = k . v’2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’

4) y = 2v

'vu'uv'y

v

u ⋅−⋅=→

4.7- Derivação de Função Dada Implicitamente

Consideremos uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que uma função y = f (x) é dada implicitamente portal equação se, para todo x no domínio de f, o ponto (x,f(x)) for solução da equação. F (x, y) = 0 mas y = f (x)

Exercícios

Determinar y’ = dx

dy

1) 04y2x5yx 32 =−+−+

( )

2y3

5x2'y

5x22y3'y

0'y25'y.y3x2

2

2

2

+

+−=

+−=+

=+−+

2) 0u5vsenvu 332 =+++

( )

vcosv3

u2u15'v

u2u15vcosv3'v

0u15'v.vcos'vv3u2

2

2

22

22

+

−−=

−−=+

=+++


66

3) 05yyx 323 =+−

( )

( )23

22

2223

2223

y3yx2

yx3'y

yx3y3yx2'y

0'y.y3x3.y'y.y2.x

−−

=

−=−

=−+

4) 0y2xyxxy 2222 =−+−

( )

( )

y4xxy2

yx2xy2'y

yx2xy2y4xxy2'y

0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x

0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x

2

2

22

22

22

−−−−

=

−−=−−

=−+−−+

=−++−+

4.8- Interpretação de dx

dy como um quociente diferencial

4.8.1- Diferencial

Até aqui, dx

dy tem sido visto como uma simples notação para a derivada de y=f(x). O que faremos a seguir é

interpretar dx

dy como um quociente entre dois acréscimos. Inicialmente, vamos olhar para dx como um acréscimo em x

e, em seguida, procuraremos uma interpretação para o acréscimo dy.

Sabemos que ( )xf ' é o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto (x,f(x)), e que ( )xfdx

dy '= . Se olharmos, então,

para dy como acréscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao acréscimo dx em x, teremos ( )xfdx

dy '= .

Observe pelo gráfico sobre a interpretação geométrica de derivada que( ) ( )xfdxxfy −+=∆ é o acréscimo que a função sofre quando se passa de x a x+dx. O acréscimo dy pode então ser

olhado como um valor aproximado para y∆ ; evidentemente, o erro dyy −∆ que se comete na aproximação de y∆ por

dy será tanto menor quanto menor for dx.

Definição: Seja )x(f uma função e sejam x e y , variáveis e relacionadas por )x(fy = . Então a diferencial

dx é um número qualquer do domínio de )x(f para o qual )x(f ′ existe , a diferencial de dy é definida por

dx)x(fdy ′=

Exemplo: Se 1x2x3)x(fy 2 +−== , achar dy .

Solução: ( )dx2x6dy2x6)x(f −=⇒−=′

Deve observar-se a diferença entre a diferencial dx da variável independente x e a diferencial dy da variável

dependente y . Pois, dx pode assumir qualquer valor, mas o valor de dy depende de x , dx , )x(f e, por tanto, de

)x(f ′ .

4.8.2- Interpretação geométrica de dy comparando-o a y∆

Aqui, supõe-se que )x(f é diferenciável em 1x e toma-se xdx ∆= , representa-se x∆ como um

incremento no valor 1x até 11 xx ∆+ e y∆ será variação correspondente em 1y , isto é, yyy 12 ∆+= .

Entretanto, desde que )x(f ′ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de )x(f em ( ))x(f,x 11 , isto é,

( )11 y,x ,segue-se que dx)x(fdy ′= será o incremento correspondente no valor de y , seguindo–se a direção da

tangente.


67

Na Figura , tem-se que o incremento da função )x(fy = que é dada por

( ) ( )xfxxfy −+= ∆∆

Note que quando se dá o incremento x∆ , o ponto P desloca para Q , e observe que no ponto P passa uma

reta tangente ( )T , enquanto por P e Q , passa uma reta secante ( )S . Aplicando o conceito de limite, quando

x∆ tende para zero ( 0x →∆ ) , o ponto Q tende para o ponto P , e a reta secante tende para a reta tangente em

P , o acréscimo y∆ tende para a diferencial dy e x∆ tende para a diferencial dx .

Assim,

( ) ( )[ ]xfxxflimylimdy0x0x

−+==→→

∆∆∆∆

dxyxx

ylimylimdy

0x0x′=⋅

==

→→∆

∆∆

∆∆∆

,

ou finalmente : ( )dxxfdxydy ′=′=

A expressão acima é a própria definição de diferencial, e pela Figura observa-se que quanto menor for x∆ ,menor será a diferença entre o acréscimo y∆ e a diferencial dy .

Assim, a diferencial de uma função é obtida pelo produto da derivada da função pela diferencial da variávelde derivação.

Para uma função ( )xf , a diferencial segue a seqüência abaixo

Função derivada Diferencial

( )xfy = ( )xfdx

dyy ′==′ ( )dxxfdy ′=

( )tgy = ( )dt

dgtgy =′=′ ( ) dgdttgdy =′=

43421x∆

dxxfdyy

yyy

xxx

)(12

12

′=≅∆−=∆−=∆

Reta tangente T em P

Reta tangente T ao ponto P= ( )11 y,x da função )x(f e reta secante S que passa por

P= ( )11 y,x e Q= ( )yy,xx 11 ∆∆ ++ da função )x(f .

1x 2x

T

S

reta S secante por P e Q

} y∆} dy

Q

P1y

2y

( )xfY

X

Disciplina de Cálculo DiferenciProf. Salete Souza de Oliveira B

Exercícios

1- Achar a diferencial da função 5x2x3y 2 +−=

Solução: Primeiro acha-se a sua derivada, que é

2x6y −=′em seguida escreve-se a diferencial,

( ) dx2x6dxydy −=′= .

2-Diferenciar a função ( ) 5t2etg −=

Solução: ( ) ( ) 2etg 5t2 ⋅=′ −, portanto a diferencial é

( ) ( ) ( )dte2dttgtdg 5t2 −=′=

Da Figura fica claro que dy pode ser considerado uma boa aproximação de y∆ desde que xdx ∆= e que x∆

seja suficientemente pequeno. A razão ( )xfx

y ′→∆∆

quando 0x →∆ que difere de dx

dy por um número extremamente

pequeno α , donde

xxdx

dyyx

dx

dyy

dx

dy

x

y∆α∆∆∆α∆α

∆∆

+=⇒

+=⇒+=

+=⇒

+=⇒+=

→→xx

dx

dylimylimx

dx

dyy

dx

dy

x

y0x0x

∆α∆∆∆α∆α∆∆

∆∆

( ) dxdx

dyxdx

dx

dydyxx

dx

dyy

xxx=∆+=⇒

∆+∆=∆

=

→∆→∆→∆ 434210

000limlimlim αα

( )

( ) ( )dyy

xfxxfy

dxxfdydxdx

dydy

≈⇒

−+=

′=⇒=

∆∆∆

Assim,

Observação: A diferencial pod

Exercícios

1- Calcular a raiz ( )xfy =

a) Calcular ( 1 xxfy += ∆∆b) Fazer uma estimativa de ∆

c) Determinar o erro y= ∆ε

( ) ( ) ( )dxxfxfxxf ′≈−+ ∆

al e Integral Iuffoni

68

e ser usada para efetuar cálculos aproximados.

4x2x3 2 +−= , para 02,0xdx,1x1 === ∆

) ( )1xf− exatamente

y , usando ( )dxxfdy 1′=dy−


69

a) ( ) ( )11 xfxxfy −+= ∆∆

( ) ( ) ( ) 541213xf 21 =+−=

( ) ( ) ( ) 0812,5402,1202,13xxf 21 =+−=+ ∆

0812,050812,5y =−=∆

b) ( )dxxfdy 1′=

( ) ( )( ) 08,002,02x6dy2x6xf 1 =−=⇒−=′

c) O erro é: 0012,008,00812,0dyy =−=−= ∆ε

2- Usar diferenciais para estimar 35 .

a) Para isso toma-se a raiz conhecida mais próxima como referência, ou seja, 636 = e faz-se

1x13635xdx36y −=⇒−=−==⇒= ∆∆ , então

( )dxxf6y3635 ′+≈+= ∆

( ) ( ) K0833,012

1

6

1

2

11

36

1

2

1dyy

36

1

2

1xf 1 −=−=⋅−=−

=≅⇒

=′ ∆

KK 9166,50833,0612

1635 =−==

3- Calcular a raiz 3 28 .

Para isso toma-se a raiz conhecida mais próxima como referência, ou seja, 3273 = e faz-se 33 27xy == .

Assim, 33 28xxyy =+=+ ∆∆ , logo 12728dxdxx =−=⇒=∆ , então

( )3

63 63 2

3

3.3

131

33

13dx

x3

13dxy3y328 +=+=+=′+≈+= ∆

037,3037,0327

13

3

13

3.3

1328

323 =+=+=+=+=

4- Avaliar por diferenciais o ( )o44cos .

Para isso toma-se o coseno conhecido mais próxima como referência, ou seja, ( )2

245cos o = e faz-se

( ) ( )o45cosxcosy == . Assim, ( ) ( )o44cosxxcosyy =+=+ ∆∆ , logo

K01745,0180

14544dxdxxo

000 −=×−=−=⇒=π

∆ , então

( ) ( ) ( )( )dx45sen2

2dxxf

2

2y

2

244cos oo −+=′+=+= ∆

( ) ( ) KK 7194,001745,02

2

2

244cos o =−

−+=


70

5- O raio de uma esfera de aço mede cm5,1 e sabe-se que o erro cometido na medição é menor ou igual a cm1,0 .

Estimar o erro possível no cálculo do volume da esfera.

O volume de uma esfera é calculado a partir do raio é 3r3

4V π= . Note-se que, nesse caso, o raio da esfera de

aço terá como medida ( ) cmr5,1r ∆±= ,

onde cm1,0r ≤∆ , por tanto,

( ) ( ) ( ) ( )3333 5,13

4V015,1

3

4V5,1

3

4V015,1

3

4V ππ∆ππ =−±=⇒=≠±= ,

Estimando-se V∆ por dr)r(VdV ′= ,

( ) drr4Vr4r3

4

dr

d

dr

dVrV 223 π∆ππ =⇒=

==′

e como cm1,0drdrr =⇒=∆ , tem-se

( ) ( ) ( )( ) ππππ∆ 9,01,025,241,05,14drr4V 22 ±=±=±== ,

3cm827,29,0V827,29,0V ==⇒±=±= π∆π∆

que é o erro possível no cálculo do volume da esfera, ou seja, 3cm827,2=ε .

6- Usar Diferenciais para encontrar o volume aproximado de uma casca cilíndrica circular CV , com altura de cm6 ,

cujo raio interno mede cm2 e possui espessura cm1,0 .

O volume de um cilindro é calculado a partir do raio e da base, isto é, bhV ×= , onde cm6h = e 2rb π= ,

assim o volume é 2r6V π= . Como a espessura da casca é cm1,0drdrr =⇒=∆ , tem-se que volume da casca

cilíndrica circular é V∆ , portanto, estimando-se V∆ por dr)r(VdV ′= ,

( ) ( ) drr12Vr12r6dr

d

dr

dVrV 2 π∆ππ =⇒===′

( )( ) 3cm5

12

10

1241,0212drr12V

ππππ∆ =

===

o volume aproximado da casca cilíndrica circular, ou seja,

3C cm5,7V = .

Como foi visto pode ser importante determinar a diferencial dy , de uma função qualquer y. Porém uma vez que se

possua a derivada dx

dy dessa função sempre é fácil determinar dy , pois dx

dx

dydy = , isto é, ( )dxxfdy ′= , como no

caso da função ( ) ( ) ( ) ⇒+= xvxuxy ( )dxxfdydxdx

dv

dx

dudy

dx

dv

dx

du

dx

dy ′=⇒

+=⇒+=

7- Encontrar a diferencial dy da função 123 x3x21x47y −+−=

( )( ) ( )( ) ( )( )2

2212

x

3x42x141x3x221x347

dx

dy−−=+−= −−


71

dxx

3x42x141dy

22

−−=

8- Encontrar a diferencial dy da função 5x3y −=

( ) 21

55 x3x3y −=−=

( ) ( )5

442

15

x3

x

2

5x5x3

2

1

dx

dy

−−=−=

−

dxx3

x

2

5dy

5

4

−−=

9- Encontrar a diferencial dy da função 2yyx4x 323 =++

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0dx

dyy3xxy24x3

dx

2d

dx

yd

dx

yx4d

dx

xd 222323

=+++⇒=++

( ) ( )xy8x3dx

dyy3x40

dx

dyy3

dx

dyx4xy8x3 222222 +−=+⇒=+++

( ) ( ) dxy3x4

xy8x3dy

y3x4

xy8x3

dx

dyxy8x3

dx

dyy3x4

22

2

22

2222

++

−=⇒++

−=⇒+−=+

10- Encontrar a diferencial dy da função ( ) 0yxxy2xcosy 222 =++

( ) ( ) ( ) 0yxx2xcosy0yxxy2xcosy 22222 =++⇒=++

( )[ ] ( )[ ]⇒=

++ 0

dx

yxx2d

dx

xcosyd 22

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0dx

dyy2xx2yx22xsenyxcos

dx

dy 22 =

++++−+

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

222

xx2y2xcos

yx22xseny

dx

dyyx22xseny

dx

dyxx2y2xcos

++

+−=⇒+−=++

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) dx

xx2y2xcos

yx22xsenydy

xx2y2xcos

yx22xseny

dx

dy2

2

2

2

++

+−=⇒

++

+−=

4.9- Derivadas Sucessivas ou Derivadas de Ordem Superior (ordem n ou enésimas)

Seja y = f (x) definida contínua e derivável em um intervalo real. Nessas condições a derivada de y = f (x),

indicada por y’; dx

dy; f ’(x) é definida por

( ) ( )x

xfxxflim)x('f

0x ∆∆

∆

−+=

→.

Se este limite existir e for finito teremos então a f ’(x), se esta função f ’(x) for derivável a sua derivada de

acordo com a definição poderá ser calculada por ( ) ( )

x

x'fxx'flim

0x ∆∆

∆

−+→

, se este limite existir e for finito teremos


72

uma função indicada por f ’’(x) ou y’’ ou 2

2

dx

yd;sucessivamente teríamos y’’’ ou f ’’’(x) ou

3

3

dx

yd; e y iv ou f iv (x)

ou 4

4

dx

yd; e y v ou f v (x) ou

5

5

dx

yd.

→ y n ou f n (x) ou n

n

dx

yd.

Exercícios:1) Determine a derivada de 5a ordem de f (x) = 5.x5 – 3.x3.

f ’(x) = 25x4 – 9x2

f ’’(x) = 100x3 – 18xf ’’’(x) = 300x2 - 18f iv (x) = 600xf v (x) = 600

2) Dada f (x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, calcular f ’’(-1) e f vi(15):f ’(x) = 4x3 – 6x2 + 8xf ’’(x) = 12x2 – 12x + 8f ’’(-1) = 12(-1)2 – 12(-1) + 8 = 32 → f ’’(-1) = 32f ’’’(x) = 24x - 12f iv (x) = 24f v (x) = 0f vi (x) =0 → f vi (15) = 0

4.10- Derivada das Funções Inversas Trigonométricas

y = arcsen x → x = sen y

Determinar y’:

x = sen y sen2 y + cos2 y = 1

1 = cos y . y’ cos y = ysen1 2−2x1

1'y

−=

y’ = ycos

1* sen2 y = x2

cos y = 2x1−

1)

y = arccos x

x = cos yDerivando implicitamente:

1 = - sen y . y’ → y’ = ysen

1−

sen2 y = 1 – cos2 y

sen y = ycos1 2− * x = cos y

sen y = 2x1− x2 = cos2 y

y’ = 2x1

1

−−

y = arcsen u → y’ = 2u1

u'

−


73

2)

y = arctan xx = tan yDerivando implicitamente:

1 = sec2 y . y’ → y’ = ysec

12

1 + tan2 y = sec2 y

ytan1

1'y

2+= * x = tan y

2x1

1'y

+= x2 = tan2 y

3)

4)

5)

6)

Exercícios:

1) y = arcsen ( 3x-5 )

( )25x31

3'y

−−=

2) y = arctan (x2 – 5)

y ’ = ( )22 5x1

x2

−+

3) xarcseny =

1xx2

1'y

1x.x

x2

1

'y

2

1

2

1

−=

−

⋅=

−

4) arcsen (cos x)

1xcos1

xsen'y

2=

−

−=

y = arccos u → y’ = 2u1

u'

−−

y = arctan u → y’ = 2u1

u'

+

y = arccot u → y’ = 2u1

u'

+−

y = arcsec u → y’ = 1uu

u'

2 −

y = arccosec u → y’ = 1uu

u'

2 −−


74

5) y = arccos (ln x)

xln1

x1

'y2−

−=

4.11- Derivada da Função Inversa

Seja y = f (x) derivável e inversível em um dado intervalo real. Se y = f (x) admite sua inversa que

indicamos por (y) f x -1= , então para determinar a derivada dy

dx toma-se simplesmente a expressão :

dx

dy1

dy

dx=

Exercícios

1) Se y = 2x + 1, determinardy

dx:

2

1

dy

dxdx

dy1

dy

dx

2dx

dy

=

=

=∗

2) Se x2 – y2 = 4xy, determinardy

dx ou x’:

x2 – y2 - 4xy = 0Determinar y’:2x – 2yy’ – 4(xy’ + y) = 02x – 2yy’ – 4xy’ – 4y = 0y’ (-2y – 4x) = 4y – 2x

y’ = x4y2

x2y4

−−−

→ x’ = x2y4

x4y2

−−−

ouDeterminar x’:2xx’-2y-4(x+yx’)=02xx’-2y-4x-4yx’=0x’ (2x – 4y) = 2y + 4x

x’ = y4x2

y2x4

−+

4.12- Derivada da Função na Forma Paramétrica( )( )

==

tfy

tfx

2

1

Exercícios

1)

−=

−=

t4ty

1t2x2


75

( )( )

2

4t2

dx

dydt

dxdt

dy

dx

dy

dt

dx1

dt

dy

dx

dy

então,

dt

dx1

dx

dtmas,

dx

dt

dt

dy

dx

dy

xft

tfy

2

1xt

−=

=∴⋅=

=⋅=

==+

=

2)

−=

−=

t3ty

1ex2

t2

, determinar dx

dy:

2.e

3t2

dx

dydt

dxdt

dy

dx

dy

t2

−=

=

3)

−=

+−=

t5ty

4t2tx2

3

2t3

5t2

dx

dy2 −

−=

4.13- Funções Hiperbólicas

Introdução: As funções hiperbólicas são construídas a partir das funções xe e xe− . Elas têm interesse porque têmmuitas propriedades análogas às das funções trigonométricas e porque aparecem no estudo da queda dos corpos, cabossuspensos, ondas no oceano e outros tópicos em Ciência e Engenharia.

4.13.1- O seno e o co-seno hiperbólicos

O seno e o co-seno hiperbólicos são representados por senh x e cosh x. Eles têm as seguintes definições:Definição 1: Para qualquer número x

2

eexsenh

xx −−= e

2

eexcosh

xx −+=

Observemos que senh x, como sen x, tem o valor 0 em x=0 e que cosh x tem o valor 1 em x=0.

A derivada xx eedx

d= e xx ee

dx

d −− −= nos levam às formulas de derivação

xcoshxsenhdx

d= e xsenhxcosh

dx

d=

Exercício

Calcular a derivada de ( )x5x6senh 7 −

4.13.2- Os gráficos de senh x e cosh x

Os gráficos de senh x e cosh x são mostrados nas figuras abaixo. Seus aspectos chave podem ser facilmente

obtidos da definição e das fórmulas de derivação, lembrando que xe e xe− são positivas para todo x, que xe tende a


76

∞ , quando x tende a ∞ , e tende a 0 quando x tende a −∞ e que xe− tende a 0 quando x tende a ∞ e tende a ∞quando x tende a −∞ .

4.13.3- Outras funções hiperbólicas

As definições de tangente, co-tangente, secante e co-secante hiperbólicas são análogas às definições das funçõestrigonométricas correspondentes.

Definição: A tangente e a secante hiperbólicas são definidas para todo x e a co-tangente e a co-secante hiperbólicas,para todo x≠0 por

xx

xx

ee

ee

xcosh

xsenhxtgh

−

−

+

−==

xx

xx

ee

ee

xsenh

xcosh

xtgh

1xghcot

−

−

−

+===

xx ee

2

xcosh

1xhsec

−+==

xx ee

2

xsenh

1xechcos

−−==

As fórmulas dessas quatro funções são análogas às fórmulas para as funções trigonométricas correspondentes, mas nãosão muito importantes. Os gráficos das funções tgh x, cotgh x, sech x e cosech x são mostradas nas figuras abaixo.


77

4.13.4- Funções Hiperbólicas Inversas

Assim como as funções hiperbólicas foram definidas em termos de funções exponenciais, as funções hiperbólicasinversas inversas arc senh x, arc cosh x etc. podem ser expressas em termos do logaritmo natural.

Exercício

1- Dar uma expressão para arc senh x em função do logaritmo natural.

Solução. Consideramos x=senh y= ( )yy ee2

1 −− e calculamos o valor de xsenharcy = . Multiplicando por ye2 ,

obtemos a equação 1exe2 y2y −= , que reescrevemos sob a forma ( ) ( ) 01ex2e y2y =−− . Então pela fórmula

quadrática.

1xx2

4x4x2e 2

2y +±=

+±=

Devemos usar o sinal mais, pois ye é positivo. Portanto,

++== 1xxlnxharcseny 2

CAPÍTULO 4 - DERIVADAS 4.1- Incrementos e Razão Incremental · incremento ou acréscimo da...

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