Humberto José Bortolossi - professores.uff.br · A função secante Aula 18 Pré-Cálculo 15. A...
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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 18
10 de dezembro de 2010
Aula 18 Pré-Cálculo 1
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 3
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 4
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 5
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 6
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 7
O gráfico da função tangente
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html)
Aula 18 Pré-Cálculo 8
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 10
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 11
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 12
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 13
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 14
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 17
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 18
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 19
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 20
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 21
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 24
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 25
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 26
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 27
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Aula 18 Pré-Cálculo 28
A função arco seno
f : R → Rx 7→ y = f (x) = sen(x)
não é inversível, pois não é injetiva.
Aula 18 Pré-Cálculo 31
A função arco seno
f : [−π/2,+π/2] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = sen(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Aula 18 Pré-Cálculo 32
A função arco seno
f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)
é sua função inversa.
Aula 18 Pré-Cálculo 33
Exemplo
f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)
é sua função inversa.
Aula 18 Pré-Cálculo 34
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 35
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 36
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 37
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 38
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 39
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 40
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 41
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 42
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 43
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 44
A função arco cosseno
f : R → Rx 7→ y = f (x) = cos(x)
não é inversível, pois não é injetiva.
Aula 18 Pré-Cálculo 46
A função arco cosseno
f : [0, π] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = cos(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Aula 18 Pré-Cálculo 47
A função arco cosseno
f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)
é sua função inversa.
Aula 18 Pré-Cálculo 48
A função arco cosseno
f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)
é sua função inversa.
Aula 18 Pré-Cálculo 49
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 50
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 51
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 52
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 53
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 54
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 55
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 56
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 57
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 58
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Aula 18 Pré-Cálculo 59
A função arco tangente
f : R− {π/2 + k · π | k ∈ Z} → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)
não é inversível.
Aula 18 Pré-Cálculo 61
A função arco tangente
f : (−π/2,+π/2) → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Aula 18 Pré-Cálculo 62
A função arco tangente
f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)
é sua função inversa.
Aula 18 Pré-Cálculo 63
A função arco tangente
f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)
é sua função inversa.
Aula 18 Pré-Cálculo 64
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Aula 18 Pré-Cálculo 65
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Aula 18 Pré-Cálculo 66
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Aula 18 Pré-Cálculo 67
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Aula 18 Pré-Cálculo 68
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Aula 18 Pré-Cálculo 69
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Aula 18 Pré-Cálculo 70
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Aula 18 Pré-Cálculo 71
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 73
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 74
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 75
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 76
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 77
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 78
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 79
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 80
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 81
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 82
As fórmulas de adição
OA = cos(α+ β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Aula 18 Pré-Cálculo 83
As fórmulas de adição
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α+ (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 84
As fórmulas de adição
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α+ (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 85
As fórmulas de adição
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α+ (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 86
As fórmulas de adição
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α+ (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 87
As fórmulas de adição
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α+ (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 88
As fórmulas de adição
cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α+ (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 89
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 90
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 91
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 92
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 93
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 94
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 95
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 96
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 97
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α+ β) = − cos(π
2+ α+ β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Aula 18 Pré-Cálculo 98