Humberto José Bortolossi - .A função secante Aula 18 Pré-Cálculo 15. A função cossecante Aula

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  • Pr-Clculo

    Humberto Jos Bortolossi

    Departamento de Matemtica Aplicada

    Universidade Federal Fluminense

    Aula 18

    10 de dezembro de 2010

    Aula 18 Pr-Clculo 1

  • A funo tangente

    Aula 18 Pr-Clculo 2

  • A funo tangente

    f (x) = tg(x) =sen(x)cos(x)

    Qual o domnio natural da funo tangente?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 3

  • A funo tangente

    f (x) = tg(x) =sen(x)cos(x)

    Qual o domnio natural da funo tangente?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 4

  • A funo tangente

    f (x) = tg(x) =sen(x)cos(x)

    Qual o domnio natural da funo tangente?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 5

  • A funo tangente

    f (x) = tg(x) =sen(x)cos(x)

    Qual o domnio natural da funo tangente?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 6

  • A funo tangente

    f (x) = tg(x) =sen(x)cos(x)

    Qual o domnio natural da funo tangente?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 7

  • O grfico da funo tangente

    (http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html)

    Aula 18 Pr-Clculo 8

    http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.htmlhttp://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html

  • A funo secante

    Aula 18 Pr-Clculo 9

  • A funo secante

    f (x) = sec(x) =1

    cos(x)

    Qual o domnio natural da funo secante?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 10

  • A funo secante

    f (x) = sec(x) =1

    cos(x)

    Qual o domnio natural da funo secante?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 11

  • A funo secante

    f (x) = sec(x) =1

    cos(x)

    Qual o domnio natural da funo secante?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 12

  • A funo secante

    f (x) = sec(x) =1

    cos(x)

    Qual o domnio natural da funo secante?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 13

  • A funo secante

    f (x) = sec(x) =1

    cos(x)

    Qual o domnio natural da funo secante?

    D = {x R | cos(x) 6= 0} = {x R | x 6= /2 + k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 14

  • A funo secante

    Aula 18 Pr-Clculo 15

  • A funo cossecante

    Aula 18 Pr-Clculo 16

  • A funo cossecante

    f (x) = cossec(x) =1

    sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cossecante?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 17

  • A funo cossecante

    f (x) = cossec(x) =1

    sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cossecante?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 18

  • A funo cossecante

    f (x) = cossec(x) =1

    sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cossecante?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 19

  • A funo cossecante

    f (x) = cossec(x) =1

    sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cossecante?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 20

  • A funo cossecante

    f (x) = cossec(x) =1

    sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cossecante?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 21

  • A funo cossecante

    Aula 18 Pr-Clculo 22

  • A funo cotangente

    Aula 18 Pr-Clculo 23

  • A funo cotangente

    f (x) = cotg(x) =cos(x)sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cotangente?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 24

  • A funo cotangente

    f (x) = cotg(x) =cos(x)sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cotangente?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 25

  • A funo cotangente

    f (x) = cotg(x) =cos(x)sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cotangente?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 26

  • A funo cotangente

    f (x) = cotg(x) =cos(x)sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cotangente?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 27

  • A funo cotangente

    f (x) = cotg(x) =cos(x)sen(x)

    Qual o domnio natural da funo cotangente?

    D = {x R | sen(x) 6= 0} = {x R | x 6= k , com k Z}

    Aula 18 Pr-Clculo 28

  • A funo cotangente

    Aula 18 Pr-Clculo 29

  • A funo arco seno

    Aula 18 Pr-Clculo 30

  • A funo arco seno

    f : R Rx 7 y = f (x) = sen(x) no inversvel, pois no injetiva.

    Aula 18 Pr-Clculo 31

  • A funo arco seno

    f : [/2,+/2] [1,+1]x 7 y = f (x) = sen(x) inversvel, pois bijetiva.

    Aula 18 Pr-Clculo 32

  • A funo arco seno

    f1 : [1,+1] [/2,+/2]x 7 y = f1(x) = arcsen(x) sua funo inversa.

    Aula 18 Pr-Clculo 33

  • Exemplo

    f1 : [1,+1] [/2,+/2]x 7 y = f1(x) = arcsen(x) sua funo inversa.

    Aula 18 Pr-Clculo 34

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 35

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 36

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 37

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 38

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 39

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 40

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 41

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 42

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (/2,+/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

    Aula 18 Pr-Clculo 43

  • A funo arco seno

    Mostre que cos(arcsen(x)) =

    1 x2, para x (1,+1).

    Demonstrao.

    [cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

    [cos(arcsen(x))]2 = 1 x2

    [cos(arcsen(x))]2 =

    1 x2

    | cos(arcsen(x))| =

    1 x2

    cos(arcsen(x)) =

    1 x2,

    pois se x (1,+1), ento arcsen(x) (