Humberto José Bortolossi - professores.uff.br · A função secante Aula 18 Pré-Cálculo 15. A...

98
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 18 10 de dezembro de 2010 Aula 18 Pré-Cálculo 1

Transcript of Humberto José Bortolossi - professores.uff.br · A função secante Aula 18 Pré-Cálculo 15. A...

Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 18

10 de dezembro de 2010

Aula 18 Pré-Cálculo 1

A função tangente

Aula 18 Pré-Cálculo 2

A função tangente

f (x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Qual é o domínio natural da função tangente?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 3

A função tangente

f (x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Qual é o domínio natural da função tangente?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 4

A função tangente

f (x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Qual é o domínio natural da função tangente?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 5

A função tangente

f (x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Qual é o domínio natural da função tangente?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 6

A função tangente

f (x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Qual é o domínio natural da função tangente?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 7

O gráfico da função tangente

(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html)

Aula 18 Pré-Cálculo 8

A função secante

Aula 18 Pré-Cálculo 9

A função secante

f (x) = sec(x) =1

cos(x)

Qual é o domínio natural da função secante?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 10

A função secante

f (x) = sec(x) =1

cos(x)

Qual é o domínio natural da função secante?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 11

A função secante

f (x) = sec(x) =1

cos(x)

Qual é o domínio natural da função secante?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 12

A função secante

f (x) = sec(x) =1

cos(x)

Qual é o domínio natural da função secante?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 13

A função secante

f (x) = sec(x) =1

cos(x)

Qual é o domínio natural da função secante?

D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 14

A função secante

Aula 18 Pré-Cálculo 15

A função cossecante

Aula 18 Pré-Cálculo 16

A função cossecante

f (x) = cossec(x) =1

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cossecante?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 17

A função cossecante

f (x) = cossec(x) =1

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cossecante?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 18

A função cossecante

f (x) = cossec(x) =1

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cossecante?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 19

A função cossecante

f (x) = cossec(x) =1

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cossecante?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 20

A função cossecante

f (x) = cossec(x) =1

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cossecante?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 21

A função cossecante

Aula 18 Pré-Cálculo 22

A função cotangente

Aula 18 Pré-Cálculo 23

A função cotangente

f (x) = cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cotangente?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 24

A função cotangente

f (x) = cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cotangente?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 25

A função cotangente

f (x) = cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cotangente?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 26

A função cotangente

f (x) = cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cotangente?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 27

A função cotangente

f (x) = cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Qual é o domínio natural da função cotangente?

D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}

Aula 18 Pré-Cálculo 28

A função cotangente

Aula 18 Pré-Cálculo 29

A função arco seno

Aula 18 Pré-Cálculo 30

A função arco seno

f : R → Rx 7→ y = f (x) = sen(x)

não é inversível, pois não é injetiva.

Aula 18 Pré-Cálculo 31

A função arco seno

f : [−π/2,+π/2] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = sen(x)

é inversível, pois é bijetiva.

Aula 18 Pré-Cálculo 32

A função arco seno

f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)

é sua função inversa.

Aula 18 Pré-Cálculo 33

Exemplo

f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)

é sua função inversa.

Aula 18 Pré-Cálculo 34

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 35

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 36

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 37

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 38

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 39

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 40

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 41

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 42

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 43

A função arco seno

Mostre que cos(arcsen(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1

⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2

⇒√

[cos(arcsen(x))]2 =√

1− x2

⇒ | cos(arcsen(x))| =√

1− x2

⇒ cos(arcsen(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 44

A função arco cosseno

Aula 18 Pré-Cálculo 45

A função arco cosseno

f : R → Rx 7→ y = f (x) = cos(x)

não é inversível, pois não é injetiva.

Aula 18 Pré-Cálculo 46

A função arco cosseno

f : [0, π] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = cos(x)

é inversível, pois é bijetiva.

Aula 18 Pré-Cálculo 47

A função arco cosseno

f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)

é sua função inversa.

Aula 18 Pré-Cálculo 48

A função arco cosseno

f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)

é sua função inversa.

Aula 18 Pré-Cálculo 49

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 50

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 51

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 52

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 53

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 54

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 55

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 56

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 57

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 58

A função arco cosseno

Mostre que sen(arccos(x)) =√

1− x2, para x ∈ (−1,+1).

Demonstração.

[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1

⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2

⇒√

[sen(arccos(x))]2 =√

1− x2

⇒ | sen(arccos(x))| =√

1− x2

⇒ sen(arccos(x)) =√

1− x2,

pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.

Aula 18 Pré-Cálculo 59

A função arco tangente

Aula 18 Pré-Cálculo 60

A função arco tangente

f : R− {π/2 + k · π | k ∈ Z} → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)

não é inversível.

Aula 18 Pré-Cálculo 61

A função arco tangente

f : (−π/2,+π/2) → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)

é inversível, pois é bijetiva.

Aula 18 Pré-Cálculo 62

A função arco tangente

f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)

é sua função inversa.

Aula 18 Pré-Cálculo 63

A função arco tangente

f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)

é sua função inversa.

Aula 18 Pré-Cálculo 64

A função arco tangente

Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.

Demonstração.

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2

cos2(arctg(x))=

1cos2(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))

1 + x2 = sec2(arctg(x))

sec2(arctg(x)) = 1 + x2.

Aula 18 Pré-Cálculo 65

A função arco tangente

Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.

Demonstração.

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2

cos2(arctg(x))=

1cos2(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))

1 + x2 = sec2(arctg(x))

sec2(arctg(x)) = 1 + x2.

Aula 18 Pré-Cálculo 66

A função arco tangente

Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.

Demonstração.

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2

cos2(arctg(x))=

1cos2(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))

1 + x2 = sec2(arctg(x))

sec2(arctg(x)) = 1 + x2.

Aula 18 Pré-Cálculo 67

A função arco tangente

Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.

Demonstração.

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2

cos2(arctg(x))=

1cos2(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))

1 + x2 = sec2(arctg(x))

sec2(arctg(x)) = 1 + x2.

Aula 18 Pré-Cálculo 68

A função arco tangente

Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.

Demonstração.

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2

cos2(arctg(x))=

1cos2(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))

1 + x2 = sec2(arctg(x))

sec2(arctg(x)) = 1 + x2.

Aula 18 Pré-Cálculo 69

A função arco tangente

Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.

Demonstração.

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2

cos2(arctg(x))=

1cos2(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))

1 + x2 = sec2(arctg(x))

sec2(arctg(x)) = 1 + x2.

Aula 18 Pré-Cálculo 70

A função arco tangente

Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.

Demonstração.

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓

[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2

cos2(arctg(x))=

1cos2(arctg(x))

1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))

1 + x2 = sec2(arctg(x))

sec2(arctg(x)) = 1 + x2.

Aula 18 Pré-Cálculo 71

As fórmulas de adição

Aula 18 Pré-Cálculo 72

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 73

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 74

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 75

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 76

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 77

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 78

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 79

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 80

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 81

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 82

As fórmulas de adição

OA = cos(α+ β),

OE = cos(β),

EC = sen(β),

AB = DE = sen(α) · sen(β),

OB = cos(α) · cos(β).

cos(α+ β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

Aula 18 Pré-Cálculo 83

As fórmulas de adição

cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

cos(α− β) = cos(α+ (−β))

= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)

= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).

cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 84

As fórmulas de adição

cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

cos(α− β) = cos(α+ (−β))

= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)

= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).

cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 85

As fórmulas de adição

cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

cos(α− β) = cos(α+ (−β))

= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)

= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).

cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 86

As fórmulas de adição

cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

cos(α− β) = cos(α+ (−β))

= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)

= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).

cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 87

As fórmulas de adição

cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

cos(α− β) = cos(α+ (−β))

= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)

= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).

cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 88

As fórmulas de adição

cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).

cos(α− β) = cos(α+ (−β))

= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)

= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).

cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 89

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 90

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 91

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 92

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 93

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 94

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 95

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 96

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 97

As fórmulas de adição

Já vimos que:

sen(π

2+ t)

= cos(t), − cos(π

2+ t)

= sen(t).

Agora:

sen(α+ β) = − cos(π

2+ α+ β

)= − cos

(π2

+ α)· cos(β) + sen

(π2

+ α)· sen(β)

= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).

Logo:

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e

sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).

Aula 18 Pré-Cálculo 98