2.5 Impulsos e Transformadas no Limite

Propriedades do Impulso Unitário

O impulso unitário ou função delta de Dirac δ(t) não é uma função no sentido matemático estrito.

Ela pertence a uma classe especial conhecida como funções generalizadas ou distribuição, cujasdefinições são estabelecidas por regras de atribuição♠ .

A função generalizada δ(t) é definida com o auxílio de uma função ordinária v(t) que é contínua emt=0:

para quaisquer t1 e t2 envolvendo a origem (inclusive t1= −∞ e t2=+∞, ou, t1= 0− e t2=0+ ).♠[A regra atribui um número, v(0) ou 0, à expressão do lado esquerdo de (1).]

Esta regra também se aplica a impulsos no domínio da frequência, δ(f ).

só existe sobreposição no ponto t=0

v(t) é qualquer área

δ(t) só existe no ponto t=0

Representação gráfica:

A representação de Aδ(t−td) está mostrada na Figura 2.5-1, onde a letra A próximo da seta significa que o impulso localizado em t=td tem área/peso igual a A:

)( dttA −δ

____________________________________________________

No caso particular onde v(t)=1:

sendo ϵ arbitrariamente pequeno.

Isto significa que δ(t) tem área unitária, concentrada no ponto discreto t=0, inferindo-se também que:

Recordação (seção 2.2): Formas de ondas aproximadas

Se se aproxima de z(t) e o erro quadrático é pequeno, e também, see , então, aplicando-se o teorema de Rayleigh à diferença

resulta:

Como a ordem de grandeza do erro no domínio da frequência é o mesmo que no domínio do tempo, pode-se utilizar como boa aproximação para Z(f).

Exemplo: será usado adiante que, se __________________________________________________

)(~ tz

)(~ fZ

)()(~)()()(lim)(~0

fZfZtztttz ≅=≅= ∈∈→δδ

erro no tempoerro em frequência

Impulsos no limite:

Embora o impulso fisicamente não exista, há várias funções convencionais que exibem todas as propriedades de δ(t) no limite, quando algum parâmetro tende a zero.

Se a função δϵ (t) é tal que:

então,

∈

Adendo: No Exemplo 2.2-3 foi estudado o pulso sinc com largura 1/τ=1/2W:

A área sob a curva de z(t) é dada por: Z(f = 0) = Z(0) = A/2W = A × (1/2W),

ou seja, o produto entre o valor de pico e a meia-largura do pulso sinc. # fim do adendo

t

Exemplo: Funções impulsos δϵ (t) no limite:

__________________________________________

No caso δϵ (t) = , recorre-se a série de McLaurin: , e

Área unitária

)(1∈

Π∈

t ...!2

)0('')0(')0()( 2 +++= tvtvvtv

)0(...12!2

)0(''0)0(')0(lim...!2

)0('')0(')0(lim)()(lim3

0

2/

2/

22/

2/

2/

2/00

vvvvdttvtdtvdtvdtttv =

+∈∈

+∈

+=

+∈

+∈

+∈

=∈→

∈+

∈−

∈+

∈−

∈+

∈−∈→

+∞

∞−∈∈→ δ

Área = (1/ε)×(ε) = 1

−ε ε)()(lim0

tt δδ =∈∈→

∞

∞−∈∈→

= )0()()(lim0

vdtttv δ

c.q.d.

Propriedades do impulso:

a) Replicação

Ou seja, a convolução de v(t) com δ(t−td) resulta na própria função, v(t), deslocada de (t−td).

Prova: sabendo-se que δ(−t) = δ(t) (intuitivamente), e, , tem-se

na qual se fez m=(t−λ) e se aplicou a definição de impulso (2.5-1), para um impulso em λ=m [videitem b) a seguir].

b) Amostragem

Ou seja, seleciona/ amostra o valor de v(t) em t=td, o ponto onde δ(t−td) está localizado.

Prova: direto da própria definição (2.5-1).

)()(][)()]([)(])[()()(*)( dddd ttvmvdmvdttvdttvtttv −==−=−−=−−=− +∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

λλδλλλδλλλδλδ

___________________________________

___________________________________

Importante!!

isto será mostrado adiante

inverter sinal

c) Multiplicação

Ou seja, o valor da função em t=td, isto é v(td), passa a ser igual à área do impulso δ(t−td).

d) Mudança de escala

Portanto, em relação à variável independente t, a função δ(αt) atua como δ(t)/|α|, ou seja, tem sua área reduzida (aumentada) em 1/|α| no caso em que α >1 (α <1) .

Corolário: Fazendo-se α = −1, mostra-se a propriedade de simetria do impulso: δ(−t) = δ(t) .

e) Relação com a função degrau unitário

Sabendo-se que:

obtém-se: , degrau unitário (9c)

Corolário (derivada = inversa da integral) : (9d)

)(0,00,1

)( tutt

dt

=

<>

=∞−

λλδ

dttdut )()( =δ

como havia sido previsto intuitivamente

t

Exemplo: Teorema da replicação

a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos, definida por ,para n inteiro.

b) Esboçar o gráfico de , onde , para τ < T.

Solução:a) Gráfico de repT[δ(t)]:

b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se

+∞

−∞=

Δ−=

nT nTtt )()]([rep δδ

)]([rep*)()]([rep ttvtv TT δ= )/()( τtAtv Π=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−=−=nnn

T nTtvnTttvnTttvtvrep )()(*)()(*)()]([ δδ

______________________________________________

repT [ ]*

Impulsos em Frequência

Seja v(t)=A um sinal de energia infinita (que, em princípio, não teria transformada de Fourier).

Ao se tentar calcular a sua transformada de Fourier usando-se a definição, seria obtido:

Em outras palavras, existe a dificuldade de se calcular a integral da exponencial complexa* :

+∞

∞−

∞== dttvtvE 2)()]([

+∞

∞−

−−+∞

∞−

−+∞

∞− −=== ftjftjftj e

fjAdteAdtetvfV πππ

π222

2)()(

??)]2(sen)2[cos(2

)( =−−

=+∞

∞−

tfjtffj

AfV πππ

??2 =−+∞

∞− dte ftj π

(integral em t, expoente negativo)

*Obs: esta integral será calculada adiante!

Contudo, a transformada de Fourier de v(t)=A pode ser obtida no limite, considerando-se que:

Sendo conhecido o seguinte par de TF : ,

pode-se proceder ao cálculo da TF no limite [lembrar que , ϵ = 2W ]:

e daí estabelecer que:

WtA 2sinc

)(lim1lim00

ff∈∈→∈→

=

∈Π

∈δ

Área = A

}2sinc{lim}2sinclim{)}({00

WtAWtAtvWW

ℑ=ℑ=ℑ→→

↔

Interpretação:

Este resultado concorda com a intuição, observando-se que um sinal constante não apresenta nenhuma variação temporal e, portanto, seu conteúdo espectral deve estar confinado em f = 0 (sinal DC).________________________________________________________________________________________________________________________________

Pode-se conferir esta alegação matematicamente, usando-se (2.5-1) e a TF inversa, isto é:

(trocando t por f ), e:

ou seja, de fato, v(t)=A.______________________________________________________________________________________

Além disso, usando a definição de TF para A=1, conclui-se que: 1 ↔ δ(f) , e assim,

→ →

a integral da exponencial complexa é igual ao impulso!

0

Aδ(f)

f

)(1]1[ 2 fdte ftj δπ∞

∞−

− ==ℑ

O espectro da função constante no domínio do tempo é um impulso no domínio da frequência.

)(2 fdte ftj δπ∞

∞−

− =∞

∞−

−==ℑ dtetvfVtv ftj π2)()()]([

(integral em t, expoente negativo)

inversaftjAefv π2)( =

f

Forma alternativa de demonstração:

Usar o pulso retangular:

e o par de transformada de Fourier:

Assim, calcula-se a transformada de Fourier no limite para mostrar ♠ que:

♠Prova:

Fazendo-se ϵ=1/τ obtém-se , e daí:

novamente.

AtAtv =Π=∞→

)/(lim)( ττ

...lim...lim0∈→∞→

=τ

)()(limsinc1limsinclim)}/({lim)}/(lim{)}({00

fAfAfAfAtAtAtv δδτττττττ

==

∈∈==Πℑ=Πℑ=ℑ ∈∈→∈→∞→∞→∞→

f

______________________________________________

↔

v(t) = A ↔ A δ(f)relação usada por Carlson

relação usada por Carlson

Dado que:

a) Generalização de (3.5-11):

Recorrendo ao teorema da modulação complexa (2.3-6), isto é:

generaliza-se (2.5-11) para o caso onde , para mostrar que: w(t) ↔ W(f), onde

informando-se que o espectro de um fasor individual é um impulso em f =fc .

b) Cosseno eterno

Foi visto na Seção 2.2 que a condição essencial da análise espectral usando a definição de transformada de Fourier é que o sinal seja não periódico (sinal de energia).

Este não é o caso da função cosseno eterno ... a menos que se use o impulso em frequência (ou seja, TF no limite).

Recorrendo-se ao teorema da modulação real (2.3-7), ou seja:

e (2.5-11), torna-se possível obter a TF do cosseno eterno:

tjtj cc Aeetvtw ωω == )()(

(continua...)

______________________________________________

w(t) = = W(f)

v(t)=

fasor individual

c) Seno eterno

Obs:

)]()([2

)(sen

)(2

)(2

)(

)90cos()(sen)(

)90()90( 00

cj

cj

c

cj

cj

occ

ffeffeAjtA

ffeAffeAtv

tAtAtv

+−−−↔+

++−↔

−+=+=

−

−−−

δδφω

δδ

φωφω

φφ

φφ fc

fc

-fc

-fc

f

f

|V(f)|

argV(f)

A/2A/2

φ −900

−(φ−900)

Obs:

___________________________________________

ojej 90±=±

d) Transformada de Fourier da Série de Fourier

Como a série de Fourier se refere a sinais periódicos de potência, em princípio, ela também não poderia exibir uma transformada de Fourier no sentido estrito.

Isto também pode ser superado com o uso do impulso (ou seja, TF no limite).________________________

Série de Fourier = espectro discreto e bilateral de linhas (ou raias).

Transformada de Fourier da série de Fourier = espectro contínuo de impulsos em frequência._________________________

Dado:

usando-se (12)

e o princípio de superposição de efeitos (teorema da linearidade), se obtém:

um espectro contínuo.

Por que contínuo? ? Explicar!!

fasor individual

soma de fasores

v(t) ↔

Espectro discreto × contínuo:

Espectro discreto = para se recuperar v(t) deve-se somar os fasores: c(nf0) exp(−jnf0t).

Transformada de Fourier:

Espectro contínuo = para se recuperar v(t) deve-se integrar os impulsos com áreas c(nf0) para obter os fasores.

5 sinc

5)( 0

nAnfcn =

Impulsos

Série de Fourier:

↔

f = nf0 = n4

nf0τ = n4(1/20) = n/5

τ/T0 = 1/5: τ = 1/20, T0 = 1/4, f0= 4

sinc n/5=0 , n/5=±1, ±2,... n =±5, ±10,...n

Linhas

−5 5 10

v(t) = soma de linhas

v(t) = integral (da soma) de impulsos

1−ℑ

espectro

espectro

i)

ii)soma de impulsos

Exemplo: Obter a transformada de Fourier do trem de impulsos com período T0 , cuja série de Fourier é dada por

(Exercício: demonstrar esta relação!)

Solução: Aplicando-se (3.5-14a-b),

com cn=1, e sabendo-se que f0=1/T0, obtém-se

#

=−==n

tnfj

nT e

TnTttreptx 02

00

1)()()( πδδ

−=n

nffffX )()( 00 δ

f0 -f0 f 2f0 -2f0

... ... f0

T0 -T0 t 2T0 -2T0

... ... 1

x(t) X(f)

f0

______________________________________________

função original série de Fourier

série de Fourier

−==n

T nTttreptx )()()( 0δδ ↔

trem de impulsos no tempo trem de impulsos em frequência

transformada da série de Fourier

↔

02

0

1 j nf t

ne

Tπ=

Exemplo 2.5-1: Impulsos e Espectros Contínuos

A forma de onda senoidal na figura abaixo tem frequência constante fc , exceto para o intervalo −1/fc < t < 1/fc , onde a frequência muda para 2fc . Deseja-se determinar seu espectro.

Este é um exemplo de sinal com modulação em frequência (FM)*.

O sinal v(t) pode ser escrito como a soma de três parcelas, considerando-se que τ = 2/fc :

Cosseno eterno na frequência fc , com um ‘janela’em −1/fc < t < 1/fc , na qual será inserido o termo em 2f c

_______________________________________* Poucos espectros de FM têm soluções analíticas

Pulso de RF, no intervalo −1/fc < t < 1/fc ,na frequência 2fc , e que é inserido na ‘janela’.

(continua...)

fc 2fc fc

1/f c= τ /2

(continua...)

↔=A =Aτ

_________________________________________________________Para o cálculo da TF empregam-se as seguintes relações:

(2.2-9ª-b): (9a-b)

(2.3-7):

(2.5-13):

resultando em

o qual é um espectro contínuo, com componentes impulsivas e não não-impulsivas.

_________________________________________________O gráfico de V(f) está desenhado na Figura 2.5-4b (apenas para a porção positiva do espectro)

Superposição de (Aτ/2) sinc(f−f c)τ com (Aτ/2) sinc(f−2f c) τ

cf/2, =τ

#

Sinal com apenas duas frequências? Errado!

Espectro com componentes em todas as frequências

Funções Degrau e Sinal

Definição: função degrau unitário

Definição: função sinal

não exibe simetria

Obs:

exibe simetria ímpar

)1(sgn21)( += ttu

(espectro complexo)

(espectro imaginário e ímpar )

Função sinal (sign ou signum)

A função sign é o caso limite do sinal de energia z(t) mostrado na Fig. 2.5-6, onde ,quando b → 0 (para t > 0).

A função z(t) é escrita como:

a qual pode ser interpretada como:

tal qual discutido no Exercício (2.3-1), que garantia que:

(continua...)

)()( tuetv bt−=

( )( ) ( ) ( )b t btv t e u t e u t− − +− − = − − = − −

, a1 = 1 e a2 = −1

Recordação: na Seção 2.2 foi visto que, dado

se obtém:

Foi visto ainda que:

tal que

Então, do Exercício (2.3-1), se:

ocorre:__________________________________

Portanto, de

extraem-se a1 = 1 e a2 = −1: então (a1 + a2 ) = 0 e (a1 − a2 ) = 2,

e daí:

(continua...)

=0

Portanto, como

vem

e tem-se um novo par de TF:

Observe-se que o espectro é imaginário puro, pois “sgn t” é uma função ímpar no tempo.

)(lim)]([lim)](lim[000

fZtztzbbb →→→

=ℑ=ℑ

__________________________________________________________________

(continua...)

(espectro imaginário e ímpar )

_________________________________________________O espectro de amplitudes (módulo) da função sinal está desenhado na figura abaixo:

Observe-se que |ℑ{sgn t}| tende para +∞ quando f = 0+, e, para −∞, quando f = 0− .

Porém, exatamente em f = 0, deve-se lembrar da propriedade da área, isto é, se w(t) ↔ W(f), tem-se

por definição: , e daí, , ou seja, W(0) é igual a área

sob a curva [ou então, a componente DC ou valor médio de w(t)].

Como w(t) = sgn t é uma função ímpar, sua área líquida é nula, e assim, o espectro ℑ[sgn t] não exibe impulso em f = 0 (ver o caso da função degrau a seguir). não tem componente DC!

∞

∞−

−= dtetwfW ftj π2)()( ∞

∞−

= dttwW )()0(

(continua...)

espectro de magnitudes

área total nula

Função degrau unitário

Esta função é muito empregada na teoria de Fourier, pois auxilia a representar sinais causais: qualquer função temporal multiplicada por u(t) será nula para t < 0.

Esta função pode ser considerada como o limite de v(t) quando b→0, sendo:

___________________________________Porém, não exibe simetria, e não pode se beneficiar do resultado do Exercício (2.3-1), pois não pode ser escrita na forma:___________________________________

Contudo, lembra-se que

e portanto, usando (2.5-11) e (2.5-17):

(valor médio = 1/2)

(continua...)

não possui simetria

(espectro complexo)

Desafio: explicar por que a TF de (2.5.15a), no limte quando b→∞,não conduz à expressão correta para U(f) !!??

= U(f)

_______________________________________________O espectro de amplitudes da TF do degrau está desenhado na figura abaixo:

Neste caso, o degrau u(t) tem valor médio:

Consequentemente, seu espectro deve incluir um impulso, δ(f )/2, da mesma forma que a transformadade um sinal periódico com valor médio c(0) deve incluir um termo DC igual a c(0)δ(f).

21

21lim11lim)(1lim)(

2/

0

2/

2/

====∞→∞→

−∞→

TT

dtT

dttuT

tuT

T

T

T

TT

↔

(área sob a curva = 0)

Generalização do ‘Teorema da Integração’:

Na Seção 2.3 foi visto que, se

então,

A seguir, generaliza-se este teorema para o caso em que a área integrada é não nula.

Convoluindo-se u(t) com um sinal de energia arbitrário v(t), tem-se:

desde que u(−λ + t) = u(t −λ ) = 0, para λ > t, e, u(t −λ ) = 1 para λ < t._____________________________________________________________________________________________

u(−λ)

u(t−λ)λ

λt (continua...)

1

1

0

0

pela definição

Recorrendo-se ao teorema da convolução:

e ao resultado (2.5-18), qual seja:

se obtém:

Usando-se (propriedade da multiplicação por impulso) V(f) δ(f) = V(0) δ(f), conclui-se que:

Esta relação se reduz ao caso da Seção 2.3 quando V(0) = 0. #

_________________________________________________

=)(tw )()( fUfW ==

teorema da integração generalizado

Impulsos no Tempo

A TF de um impulso pode ser deduzida partindo-se de:

quando τ→0, ou seja, quando o pulso temporal tem largura nula e altura infinita (impulso no limite).

Por sua vez, o sinc fτ se alarga e tende a função constante unitária.

Ou seja, no limite ocorre:

gerando-se:

A interpretação de (2.5-21) é que um impulso no tempo contém todas as componentes de frequências,com todas elas tendo a mesma amplitude.

AtAfAtAfAtA =ℑ=ℑ=Πℑ→→→→

)}({}sinc{lim)}(lim{}sinc{lim)}/(lim{0000

δτδτττ τττττ

impulso no limite

impulso no limite

↔(t)

Considerações Gerais

a) Observe-se que é o dual de .

Estas relações refletem casos extremos do fenômeno de espalhamento recíproco:

“Um sinal de impulso com duração nula tem largura espectral infinita, enquanto um sinal constante com duração infinita tem largura espectral nula”

b) Aplicando-se o teorema do delay: à

obtém-se

ou, equivalentemente

Porém, por definição

o que permite concluir que

Esta integral permite provar o teorema integral de Fourier (ver a seguir).(integral em f , expoente positivo)

c) Dado que

sendo v(t) uma função contínua e com TF dada por V(f) = ℑ[v(t)], mostra-se que a TFI realmente é v(t).________________________________________________________________

Prova:

A partir das definições de TF direta e inversa:

Contudo, nota-se que a integral entre colchetes corresponde a (2.5-23), para td = λ, cujo resultado é igual a δ(t−td) = δ(t−λ).

Com isso,

Usando a propriedade da replicação: , conclui-se que ℑ-1 [V(f)] = v(t).c.q.d.

Integra em λ depois em f

Integra em f depois em λ

V(f )

d) Pode-se estabelecer uma relação entre impulso unitário e degrau unitário através da integral

e) Diferenciando ambos os lados de (2.5-25), chega-se a outra relação entre δ(t) e u(t):

a qual apresenta um impulso como uma derivada de uma descontinuidade degrau.

f) O teorema da diferenciação (2.3-8), em conjunto com as relações (2.5-22) e (2.5-26), ou seja:

podem agilizar o cálculo de certas transformadas de Fourier

Procedimento:

• diferenciar repetidamente o sinal v(t) até que uma ou mais descontinuidades degrau apareçam.• devido a (2.5-26), a próxima derivada ( a n-ésima) inclui um impulso: Ak δ(t−tk).• com isso, ocorre que

sendo w(t) uma função não impulsiva.• transformando (2.5-27a) através de (2.3-8), e usando (2.5-22):

• se W(f) for conhecido, resolver para extrair V(f).

Exemplo 2.5-1: Raised Cosine Pulse

A Figura 2.7-7a mostra uma forma de onda chamada de raised cosine pulse:

A primeira derivada de v(t) é:

que não tem nenhuma singularidade degrau

A segunda derivada é:

a qual apresenta singularidades degrauem t = ± τ.

Π

−=

ττπ

τπ

21cos

2)( 2

2

2 tAdt

tvd

(continua...)

aplicar a regra da cadeia

aplicar a regra da cadeia

a terceira derivada será:

Como (multiplicação por impulso), então

que tem a forma de

Note-se que a primeira parcela tem forma semelhante à primeira derivada, e assim:

Π

−=

ττπ

τπ

21cos

2)( 2

2

2 tAdt

tvd

−−+×+

Π×

−

−=

−−+×+

Π×

−=

)]()([cos2

sen2

)]()([cos2

cos2

)(

2

2

3

3

τδτδτ

πττ

πτπ

τπ

τττ

πττ

πτπ

τπ

tttttA

tutudtdttt

dtdA

dttvd

)()()(cos)(cos τδτδτ

τπτδτ

π −−=−±=± tttt

Dado: e

dttdvtw )()(

2

−=

τπ

(continua...)

aplicando a regra da cadeia

___________________________________________

dttdvtw )()(

2

−=

τπ

)(2

)(2

)()( 222

3

3

τδτπτδ

τπ

τπ −

−+

+

−= tAtA

dttdv

dttvd

Aplicando a TF se obtém:

Após alguns cálculos algébricos, isola-se V(f):

(continua...)

Obs:

O espectro de amplitudes de V(f) está desenhado na Fig. 2.5-7c, para f ≥ 0.