Deret dan Transformasi Fourier Risanuri Hidayat,

Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM, Negeri Ngayogyakarta Hadiningrat 55281, INDONESIA

risanuri@te.ugm.ac.id (risanuri@gmail.com)

Dalam tulisan ini akan dijelaskan domain frekuensi untuk isyarat periodis dan non-periodis yang mempunyai penyelesaian secara analitik, khususnya Transformasi Fourier.

1.1 Deret Fourier

1.1.1 Deret Fourier untuk isyarat Periodis kontinyu

Sebuahisyaratperiodispastiakanmempunyaipersamaan,

.............................................. (1)

Untuksemua t (waktu).T adalahperiodewaktuketikafungsimulaiterulang.

Setiapfungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan co sωt yang periodic dengan periode T = 1 / f = 2π / ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus per detik (Hz) dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian / det. Gambar 1 menunjukkan fungsi periodis, dengan T0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 = frekuensi fundamental

Gambar 1.Contoh isyarat periodis

Suatu isyarat periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyarat-isyarat cosines dan/atau sinus dengan periode-periode kelipatan dari T0

∑+∞

−∞=

=k

tjkkeatx 0)( ω

............................................................................................... (2)

Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k= 0,±1,±2, ... . Untuk k=0 maka akdisebut komponen dc. Untukk=±1maka ak disebut komponen fundamental. Dan untuk k=±2, ±3,..maka ak disebut komponen harmonik ke –k.

Ketika k=0 dikeluarkan dari sigma, dan k hanya dituliskan dari +1 ∞, maka persamaan menjadi

∑+∞

+=

−−++=

10

00)(k

tjkk

tjkk eaeaatx ωω

.............................................................. (3)

Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka dari persamaan di atas akan didapatkan bahwa a*

-k=ak atau a*k=a-k. Sehingga persamaan

menjadi

∑+∞

=

−++=1

*0

00)(k

tjkk

tjkk eaeaatx ωω

................................................................... (4)

Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan

{ }∑+∞

=

+=1

00Re2)(

k

tjkkeaatx ω

.............................................................................. (5)

Jika ak = Ak e jθk

{ }∑+∞

=

++=1

(0

0Re2)(k

tkjk

keAatx θω

.................................................................... (6)

Diketahui bahwa jika ada bilangan kompleks z=x+iy, maka Re{z} adalah bagian real dari z, yaitu x. Persamaan menjadi

∑+∞

=

++=1

00 )(2)(k

kk tkCosAatx θω......................................................................(7)

Dan jikaakdinyatakandenganak= Bk + j Ck,makadapatdibuktikanbahwa

[ ]∑+∞

=

−+=1

000 )()(2)(k

kk tkSinCtkCosBatx ωω ....................................................(8)

1.1.2 Koefisien Fourier ak

Anggap bahwa sinyal periodis yang diberikan dapat diwakili dengan persamaan (2), maka akan dijelaskan bagaimana menentukan koefisien ak. Kalikan kedua sisi (2) dengan

tjne 0ω− , akan diperoleh

∑+∞

−∞=

−− =k

tjntjkk

tjn eeaetx 000 .).( ωωω

..............................................................(9)

Integralkan kedua sisi dari 0 ke T0 = 2π/ω0 , sehingga

∫ ∑∫∞+

−∞=

−− =0

00

0

0

00

.).(T

k

tjntjkk

Ttjn dteeadtetx ωωω

...............................................(10)

T0 adalah periode fundamentaldari fungsi x(t)), dan integral kemudian dihitung selama satu periode ini. Integrasi dan penjumlahan dari persamaan di atas menghasilkan,

∑ ∫∫∞+

−∞=

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

k

Ttnkj

k

Ttjn dteadtetx

0

0

0

0

0

)(

0

).( ωω

...............................................(11)

Lihat integral di dalam kurung []. Untuk k≠n, kedua integral di sisikananadalah nol. Untuk k= n, nilai e0 di sisikirisamadengan l, sehingganilai integralnya adalah T0. Secararingkaskemudiankitamendapatibahwa

∫ ⎢⎣

⎡≠=

=−0

0

0

0)(

,0,T

tnkj

nknkT

dte ω

.......................................................................(12)

Persamaan di atas hanya akan mempunyai nilai ketika k=n. Integralsepanjang interval T0 menghasilkan ekspresi

00

0

)(

0

.).(

).(

0

0

0

0

0

0

Tadtetx

dteadtetx

n

Ttjn

k

Ttnkj

k

Ttjn

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∫

∑ ∫∫

−

∞+

−∞=

−−

ω

ωω

......................................................(13)

Koefisien Fourier ak dapat dengan mudah didefinisikan sebagai berikut,

∫ −=0

0

00

).(1 Ttjn

n dtetxT

a ω

....................................................................................(14)

Ringkasnya, jika x (t) adalah sebuah fungsi dengan serangkaian representasi Fourier, [yaitudapatdinyatakansebagaikombinasi linear darieksponensialkompleksharmonic], maka koefisien diberikan oleh persamaan di atas ini. Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini,

∫

∑

−

+∞

−∞=

=

=

0

0

0

00

).(1

.)(

Ttjk

k

k

tjkk

dtetxT

a

eatx

ω

ω

...............................................................................(15)

Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral

Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:

∫=0

)(1

00

T

dttxT

a .......................................................................................(16)

Contoh 1:

Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar 2 berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya.

Gambar 2.

Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0 = 2πf0 dan f0 = 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier dari fungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T0/ 2< t <T0). Dengan batas-batasintegrasitersebut danmenerapkan pada () maka untuk k = 0 didapatkan,

0

11

100

21TTdt

Ta

T

T

== ∫+

−

Sepertidisebutkansebelumnya, a0adalah nilai rata-rata x(t). Untuk k≠0 didapatkan,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−==

−

+

−

−+

−

−∫

jee

Tka

eTjk

dteT

a

TjkTjk

k

T

T

tjkT

T

tjkk

22

11

1010

00

00

1

100

1

10

ωω

ωω

ω

ω

πωπω

ωω

=≠

==

00

10

00

10

,0

sinsin2

Tkk

TkTk

Tkak

Gambar 3. Koefisien deret Fourier untuk isyarat kotak periodis dengan (a) T0=4T1, (b)

T0=8T1, (c) T0=16T1

.

1.1.3 Deret Fourier untuk isyarat Periodis diskret

Sebuahisyaratperiodisdiskret niscaya memenuhipersamaan,

...........................................................................................(16)

Periode fundamental adalah nilai N, dan ω0= 2Π/Nadalah fundamental frekuensi.Sebagaimana deret Fourier untuk isyarat kontinyu, deret untuk isyarat diskret ini mempunyai bentuk yang sama sebagai berikut,

∑

∑

=

=

=

=

Nk

jk(2πk(2πk

Nk

njkωk

.eax[n]

.eax[n] 0

...............................................................................(17)

Persamaan ini dinyatakan sebagai deret Fourier untuk isyarat (waktu) diskret dan ak adalah koefisien deret Fourier.

1.1.4 Koefisien Fourier ak untuk isyarat diskret Sebagaimana pada isyarat kontinyu, untuk menentukan koefisien ak,kalikan kedua sisi dengan , akan diperoleh

∑=

−− =Nk

njrnjkk

njr eeaenx 000 .].[ ωωω

.................................................(18)

Integralkan kedua sisi dari 0 ke N , dan ω0 = 2π/N, sehingga

∑ ∑∑

∑ ∑∑

∑ ∑∑

= =

−

=

−

= =

−

=

−

= =

−

=

−

=

=

=

Nk Nn

nNrkjk

Nn

nNjr

Nn Nk

nNrkjk

Nn

nNjr

Nn Nk

nNjrnNjkk

Nn

nNjr

eaenx

eaenx

eeaenx

)/2)(()/2(

)/2)(()/2(

)/2()/2()/2(

].[

].[

.].[

ππ

ππ

πππ

..................(19)

Lihat sigma untuk ∑=

−

Nn

nNrkje )/2)(( π . Untuk k≠r, nilainya adalah nol. Untuk k= n, nilai e0

sama dengan l, sehingga nilai sigma adalah N. Secara ringkas kemudian kita mendapati bahwa

⎢⎣

⎡≠=

=∑=

−

rkrkN

eNn

nNrkj

,0,)/2)(( π

..........................................................................(20)

Sigma sepanjang interval N menghasilkan ekspresi

Naenx

Naenx

rNn

nNjr

Nkrk

Nn

nNjr

=

=

∑

∑∑

=

−

==

=

−

)/2(

)/2(

].[

].[

π

π

........................................................(21)

Sehingga ak dapat dinyatakan sebagai,

∑=

−=Nn

Njknk enx

Na )/2(].[1 π

.....................................................................(22)

Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini,

∑

∑

=

−

=

=

=

Nn

Njknk

Nk

Njknk

enxN

a

eanx

)/2(

)/2(

].[1

.][

π

π

.........................................................................(23)

Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral

Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:

∑=

=Nn

nxN

a ][10

...........................................................................................(24)

Contoh 2. Isyarat kotak diskret periodis terlihat seperti pada Gambar 3 berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya.

Gambar 3. Isyarat kotak diskret periodis

Komponen dc = a0adalah:

∑+

−=

+==1

1

10

12][1 N

Nn NNnx

Na

Koefisien Fourier secara umum adalah,

∑−=

−=1

1

)/2(1 N

Nn

Njknk e

Na π

Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi

[ ]∑

∑∑

=

−+

−

−=

−

=

−

++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

1

1

)/2()/2(0

1

1

)/2(1

1

)/2(0

1

1

N

n

NjknNjknk

N

n

NjknN

n

Njknk

eeN

aa

eeN

aa

ππ

ππ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=−+

2)cos(

αα

αjj ee

∑

∑

=

=

−+

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

1

10

1

1

)/2()/2(

0

)/2cos(2

22

N

nk

N

n

NjknNjkn

k

NknN

aa

eeN

aa

π

ππ

( ) ∑

=

++=1

11 )/2cos(.212

N

nk NknNNa π

Gambar 5. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1+1)=5, dan (a) N=10, (b) N=20,

dan (c) N=40.

1.2 Transformasi Fourier

1.2.1 Transformasi Fourier untuk isyarat kontinyu

Sebagaimana pada uraian tentang Deret Fourier, fungsi periodis yang memenuhi persamaan (1) dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Deret Fourier sebuah fungsi periodis dinyatakan sebagai,

∑+∞

−∞=

=k

tjkk eatx 0.)( ω

...........................................................................................(25)

DenganT0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 : frekuensi sudut fundamental, f0 = 1/T0. Sedangkan koefisien deret Fourier dinyatakan dengan persamaan,

∫+

−

−=2

20

0

0

0).(1 T

T

tjkk dtetx

Ta ω

..................................................................................(26)

atau

∫+

−

−=2

20

0

0

0).(T

T

tjkk dtetxaT ω

....................................................................................(27)

Ketika T0 bertambah besar, yang berarti ω0 mengecil, maka jarak antar koefisien Fourier menjadi semakin kecil juga (merapat). Gambar 5 memperlihatkan bahwa jarak antar koefisien Fourier semakin rapat. Ketika T0 bernilai sangat besar, maka koefisien Fourier sangat rapat dan menjadi fungsi kontinyu ketika T0 ∞. Ketika T0 bernilai sangat besar, T0 ∞, maka koefisien Fourier dinyatakan dengan,

∫+∞

∞−

−= dtetxaT tjkk

0).(0ω

...................................................................................(28)

Dengan X(ω)=T0ak dan ω=k ω0 maka persamaan menjadi,

∫+∞

∞−

−= dtetxX tjωω ).()( ..................................................................................(29)

Gambar 6. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis. (a) fungsi aperiodis, (b) fungsi periodis dengan

periode T0

Sebagaimana terlihat pada Gambar 6, Fungsi Aperiodis dapat dilihat sebagai fungsi periodis dengan T0 ∞. Diketahui bahwa

000 ,/2 ωωωπ kdanT ==

)(1)(1

00

0

ωω XT

kXT

ak ==

Maka persamaan (25) menjadi,

0

0

)(21)(

)(1)(

ωωπ

ω

ω

ω

∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

=

=

k

tj

k

tj

eXtx

eXT

tx

...........................................................................(30)

Ketika T0 ∞, sehingga ω0 dω. Dengan demikian persamaan (30) menjadi berbentuk integral,

ωωπ

ω∫+∞

∞−

= deXtx tj)(21)(

.............................................................................(31)

Persamaan pasangan Transformasi Fourier adalah,

∫

∫∞+

∞−

−

+∞

∞−

=

=

dtetxX

deXtx

tj

tj

ω

ω

ω

ωωπ

).()(

)(21)(

............................................................................(32)

Contoh 3:

Terdapat isyarat kotak dengan persamaan sebagai berikut,

Tentukan Trnasformasi Fourier dari isyarat tersebut.

Jawab:

Transformasi Fourier dapat ditentukan dengan persamaan (32), sehingga ditemukan

Hasilnya dapat dilihat seperti pada Gambar 7.

Gambar 7. Isyarat Kotak dan Transformasi Fourier-nya.

Contoh 4:

Ketika sebuah isyarat x(t) mempunyai Transformasi Fourier sebagai berikut,

Carilah persamaan isyarat tersebut,

Jawab:

dengan persamaan (32) isyarat x(t) dapat ditemukan

Isyarat x(t) dan Kawasan Frekuensinya terlihat seperti pada Gambar 8.

Gambar 8. Pasangan Transformasi Fourier dalam contoh 4.

1.2.2 Transformasi Fourier untuk isyarat diskret

Sebagaimana pada isyarat kontinyu aperiodis, isyarat diskret apriodis juga dapat dipertimbangkan sebagai isyarat diskret periodis dengan periode tak terhingga. Ketika periode isyarat semakin besar dan semakin besar, maka deret Fourier akan semakin mendekati menjadi Transformasi Fourier.

Ketika sebuah runtun isyarat aperiodis x[n] yang mempunyai durasi tertentu. Katakanlah N1, sehingga x[n]=0 jika |n|>N1. Gambar 9(a) adalah sebuah ilustrasi isyarat ini. Dari isyarat aperiodis ini dapat direkayasa sebuah runtun periodis yang diperhitungkan untuk hanya periode pertama, sebagaimana digambarkan pada Gambar 9(b). Ketika periode N membesar, maka x[n] menjadi mendekati tak periodis. Ketika N ∞, maka x[n] menjadi tak periodis.

Persamaan dalam bentuk Deret Fourier untuk isyarat periodis, Gambar 9(b), diketahui dari persamaan (23) sebagai berikut,

∑

∑

=

−

=

=

=

Nn

Njknk

Nk

Njknk

enxN

a

eanx

)/2(

)/2(

].[1

.][

π

π

............................................................................(33)

Gambar 9. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis.

(a) fungsi aperiodis,

(b) fungsi periodis dengan periode T0

Untuk N ∞, maka

∑

∑∞+

−∞=

−

+∞

−∞=

−

=

=

N

Njknk

N

Njknk

enxNa

enxN

a

)/2(

)/2(

].[

].[1

π

π

Jika envelope didefinisikan X(ω)=akN, maka persamaan menjadi,

∑+∞

−∞=

−=N

NjknenxX )/2(].[)( πω ........................................................................(34)

Terlihat pada Gambar 9, fungsi aperiodis diskret dapat dilihat sebagai fungsi periodis dengan N ∞. Diketahui bahwa

00 ,/2 ωωωπ kdanN ==

)(1)(10 ωω X

NkX

Nak ==

Maka persamaan (33) dan (34) menjadi,

∑

∑∞+

−∞=

−

=

=

=

N

jkn

Nk

njk

enxX

ekXN

nx

0

0

].[)(

).(1][ 0

ω

ω

ω

ω

.........................................................................(35)

Diketahui bahwa ω0 =2π/N, sehingga 1/N=ω0/2π, persamaan (35) dapat dituliskan kembali menjadi,

∑

∑∞+

−∞=

−

=

=

=

N

jkn

Nk

njk

enxX

ekXnx

0

0

].[)(

.).(21][ 00

ω

ω

ω

ωωπ

........................................................................(36)

Ketika N ∞, maka ω0 dω, dan 0ωω k= . Persamaan (36) membentuk persamaan pasangan Transformasi Fourier sebagai berikut,

∑

∫∞+

−∞=

−=

=

N

jn

nj

enxX

deXnx

ω

π

ω

ω

ωωπ

].[)(

).(21][

2

................................................................................(37)

Di sini tampak bahwa X(ω)ej ωn adalah periodis dengan periode 2π.

Contoh 5:

Sebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut,

Dengan N1 = 2. Tentukan Transformasi Fourier isyarat tersebut.

Jawab:

Dengan N1 = 2, )(ωX dapat dicari yaitu,

ωωωωωω 222

2

)( jjjj

N

jn eeeeeX −−+

−=

− +++== ∑

1.3 Transformasi Fourier Diskret (DFT)

Analisis Fourier merupakan metode yang sangat efisien untuk untuk analisis dan sintesis sinyal. metode ini sangat erat cocok untuk digunakan pada komputer digital atau untuk implementasi di hardware digital. Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier Transform) digunakan untuk sinyal durasi berhingga.

Misal x[n] adalah sebuah sinyal dengan durasi terbatas; dan integer N sehingga

N n 0 intervaldiluar x[n]untuk 0=x[n] ≤≤ ................................................(38)

Asumsikan bahwa x[n] periodis dengan periode N, dari (23) koefisien Fourier diperoleh dengan

∑=

−=Nn

Njknk enx

Na )/2(].[1 π

Menjadi

∑−

=

−=1

0

)/2(].[1 N

n

Njknk enx

Na π ..........................................................................(39)

Koefisien-koefisien dari persamaan di atas adalah DFT dari x[n]. Dengan demikian, isyarat diskret x[n] tak periodis dengan panjang N dapat diasumsikan sebagai isyarat periodis dengan periode N. Dari (39) Transformasi Fourier Diskret adalah,

∑−

=

−=1

0

)/2(].[1)(N

n

NjknenxN

kX π ..........................................................................(39)

Persamaan (39) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier Transform). Ketika x[n] dianggap periodis dengan periode N, dari (23) isyarat tersebut dibentuk dari koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut,

∑

∑−

=

=

=

=

1

0

)/2(

)/2(

).(][

.][

N

n

Njkn

Nk

Njknk

ekXnx

eanx

π

π

.............................................................................(40)

Persamaan (40) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret Balik (IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform).

Persamaan (39) dan (40) membentuk pasangan Transformasi Fourier Diskret (DFT), yaitu,

∑

∑−

=

−

=

−

=

=

1

0

)/2(

1

0

)/2(

).(][

].[1)(

N

n

Njkn

N

n

Njkn

ekXnx

enxN

kX

π

π

.......................................................................(41)