Análisis de Fourier Tema 3: El producto de...
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Analisis de Fourier
Tema 3: El producto de convolucion
3, 8, 10 y 17 de octubre
1 Motivacion
2 Fubini
3 Convolucion en RN
4 Convolucion en T
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Motivacion
Del producto de funciones a la convolucion de coeficientes
α,β : Z→ C , f (z) =+∞
∑n=−∞
α(n)zn , g(z) =+∞
∑n=−∞
β(n)zn (sumas formales)
Si los conjuntos n ∈ Z : α(n) 6= 0 y n ∈ Z : β(n) 6= 0 son finitos,
entonces f y g son funciones racionales en C∗
Si ademas α(−n) = β(−n) = 0 ∀n ∈ N , entonces f y g son polinomios
El producto de f y g viene dado por: f (z)g(z) =+∞
∑n=−∞
γ(n)zn
donde γ(n) =+∞
∑k=−∞
α(n− k)β(k) ∀n ∈ Z
Cuando tiene sentido, se dice que γ es la convolucion de α y β : γ = α ∗ β
Algo similar deberıa ocurrir con los coeficientes de Fourier:
f (t)∼ ∑n∈Z
α(n)eint , g(t)∼ ∑n∈Z
β(n)eint ?=⇒ f (t)g(t)∼ ∑n∈Z
γ(n)eint
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientes
f ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Z
f (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Zf (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ Z
La serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ Z
La serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si ocurre lo mismo en sentido opuesto?
De la convolucion de funciones al producto de coeficientesf ,g : R→ C 2π-periodicas, con todas las hipotesis que hagan falta
Coeficientes de Fourier de f : f (n) =1
2π
∫π
−π
e−ins f (s)ds ∀n ∈ Z
Convolucion: ( f ∗ g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
f ∗ g(n) = f (n) g(n) ∀n ∈ Zf (n) = (en ∗ f )(0) ∀n ∈ Z donde en(t) = eint ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
f (k)eikt = (ek ∗ f )(t) ∀ t ∈ R , ∀k ∈ ZLa serie de Fourier de f : para todo n ∈ N∪0 se tiene
Sn( f , t) =n
∑k=−n
f (k)eikt = (Dn ∗ f )(t) ∀ t ∈ R
donde Dn(t) =n
∑k=−n
eikt ∀ t ∈ R
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
¿Y si hacemos lo mismo con funciones que no sean periodicas?
Convolucion en RN
f ,g : RN → C con las hipotesis que hagan falta
Convolucion: ( f ∗ g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy ∀x ∈ RN
f ∗ g = g ∗ f es una integral dependiente de un parametro
La convolucion solo depende del parametro a traves de una de las funciones
Cabe esperar que f ∗ g sea tan regular como g , independientemente de f
Es imposible que f ∗ g = f , pero facil que f ∗ gn→ f en diversos sentidos
La convolucion es muy util para “regularizar” funciones
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (I)
Notacion: secciones de una funcion
F : RN+M = RN ×RM → C . Fijados x ∈ RN e y ∈ RM ,
definimos Fx : RM → C y Fy : RN → C por:
Fx(v) = F(x,v) ∀v ∈ RM y Fy(u) = F(u,y) ∀u ∈ RN
Teorema de Fubini para funciones medibles positivas
Para toda F ∈ L+(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Estas igualdades se interpretan de la siguiente forma:
Fx ∈ L+(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L+(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L+(RN) y ψ ∈ L+(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM
(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (II)
El caso de una funcion caracterıstica
E ⊂ RN ×RM . Secciones verticales y horizontales:
Ex = y ∈ RM : (x,y) ∈ E ∀x ∈ RN
Ey = x ∈ RN : (x,y) ∈ E ∀y ∈ RM(χE
)x = χEx
∀x ∈ RN y(χE
)y = χEy ∀y ∈ RM
Cuando E es medible, el teorema de Fubini nos da:
λN+M(E) =∫
RNλM(Ex)dx =
∫RM
λN(Ey)dy
La integral en RN como medida en RN+1
Si f : RN → [0,∞] es una funcion medible,
entonces el conjunto S f = (x, t) ∈ RN+1 : 0 < t < f (x) es medible
y se verifica que: λN+1(S f ) =∫
RNf (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Teorema de Fubini (III)
Teorema de Fubini para funciones integrables
Para toda F ∈ L1(RN+M) se tiene:∫RN+M
F(z)dz =∫
RN
(∫RM
F(x,y)dy)
dx =∫
RM
(∫RN
F(x,y)dx)
dy
Fx ∈ L1(RM) p.c.t. x ∈ RN y Fy ∈ L1(RN) p.c.t. y ∈ RM
ϕ ∈ L1(RN) y ψ ∈ L1(RM) donde ϕ,ψ vienen dadas por:
ϕ(x) =∫
RMFx p.c.t. x ∈ RN y ψ(y) =
∫RN
Fy p.c.t. y ∈ RM
Se verifica que∫
RN+MF =
∫RN
ϕ =∫
RMψ
Invariancia por isometrıas de la integral de Lebesgue
T : RN → RN isometrıa para la distancia euclıdea.
f ∈ L+(RN) ⇒ f T ∈ L+(RN) ; f ∈ L1(RN) ⇒ f T ∈ L1(RN)
y en ambos casos se tiene:∫
RNf(T (x)
)dx =
∫RN
f (x)dx
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Preparativos para la existencia de la convolucion
Lema 1: cuestiones de medibilidad
Para f ,g ∈ L(RN) se define:
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ RN ×RN
Entonces H ∈ L(R2N) . Ademas, Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ RN
Lema 2: Continuidad de las traslaciones
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) . Para y ∈ RN definimos f[y] ∈ Lp(RN) por:
f[y](x) = f (x− y) p.c.t. x ∈ RN
La aplicacion y 7→ f[y] , de RN en Lp(RN) , es uniformemente continua:
∀ε > 0 ∃ δ > 0 : y,z ∈ RN , ‖y− z‖< δ ⇒∥∥ f[y]− f[z]
∥∥p < ε
Notacion
1p
+1p∗
= 1 si 1 < p < ∞ , p∗ = ∞ si p = 1 y p∗ = 1 si p = ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion en varias variables
Definicion de la convolucion en RN
Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N
Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x
y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)
en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy
entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN
en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:
( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion en varias variables
Definicion de la convolucion en RN
Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N
Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x
y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)
en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy
entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN
en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:
( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion en varias variables
Definicion de la convolucion en RN
Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N
Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x
y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)
en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy
entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN
en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:
( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion en varias variables
Definicion de la convolucion en RN
Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N
Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x
y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)
en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy
entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN
en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:
( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion en varias variables
Definicion de la convolucion en RN
Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N
Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x
y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)
en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy
entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN
en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:
( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion en varias variables
Definicion de la convolucion en RN
Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N
Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x
y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)
en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy
entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN
en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:
( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion en varias variables
Definicion de la convolucion en RN
Sean f ,g ∈ L(RN) y sea H ∈ L(R2N) dada por
H(x,y) = f (x− y)g(y) p.c.t. (x,y) ∈ R2N
Dado x ∈ RN , decimos que la convolucion de f y g esta definida en x
y escribimos ∃ ( f ∗g)(x) , cuando Hx ∈ L1(RN)
en cuyo caso: ( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy
entonces ∃ (g∗ f )(x) y se tiene (g∗ f )(x) = ( f ∗g)(x)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(x) p.c.t. x ∈ RN
en cuyo caso f ∗g ∈ L(RN) viene dada por:
( f ∗g)(x) =∫
RNf (x− y)g(y)dy p.c.t. x ∈ RN
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈ Lp∗(RN) , entonces:
∃( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g : RN → C es uniformemente continua
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(RN) con 1 6 p 6 ∞ y g ∈ L1(RN) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(RN) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
El algebra de Banach L1(RN)
El producto de convolucion
( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)
es una aplicacion bilineal, asociativa
que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)
L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa
No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
El algebra de Banach L1(RN)
El producto de convolucion
( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)
es una aplicacion bilineal, asociativa
que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)
L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa
No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)
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El algebra de Banach L1(RN)
El producto de convolucion
( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)
es una aplicacion bilineal, asociativa
que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)
L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa
No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
El algebra de Banach L1(RN)
El producto de convolucion
( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)
es una aplicacion bilineal, asociativa
que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)
L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa
No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
El algebra de Banach L1(RN)
El producto de convolucion
( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)
es una aplicacion bilineal, asociativa
que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)
L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa
No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
El algebra de Banach L1(RN)
El producto de convolucion
( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)
es una aplicacion bilineal, asociativa
que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)
L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa
No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
El algebra de Banach L1(RN)
El producto de convolucion
( f ,g) 7→ f ∗g, de L1(RN)×L1(RN) en L1(RN)
es una aplicacion bilineal, asociativa
que ademas es continua, ya que ‖ f ∗g‖1 6 ‖ f‖1 ‖g‖1 ∀ f ,g ∈ L1(RN)
L1(RN) con el producto de convolucion es un algebra de Banach conmutativa
No tiene unidad: no existe ϕ ∈ L1(RN) tal que f ∗ϕ = f ∀ f ∈ L1(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Integrales dependientes de un parametro
Continuidad
Sea E un espacio metrico y H : E×RN → C verificando:
Hx ∈ L(RN) ∀x ∈ E y Hy ∈C(E) ∀y ∈ RN
∃ϕ ∈ L1(RN) : |H(x,y)|6 ϕ(y) ∀x ∈ E , ∀y ∈ RN
Entonces h ∈C(E) , donde h(x) =∫
RNH(x,y)dy ∀x ∈ E
Derivacion parcial
Ω = Ω ⊂ RN , k ∈ 1,2, . . . ,N , H : Ω×RN → C verificando:
Hx ∈ L1(RN) ∀x ∈ E y ∃ ∂H∂xk
(x,y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
∃ϕ ∈ L1(RN) :∣∣∣∣ ∂H∂xk
(x,y)∣∣∣∣ 6 ϕ(y) ∀(x,y) ∈Ω×RN
Entonces:∂
∂xk
∫RN
H(x,y)dy =∫
RN
∂H∂xk
(x,y)dy ∀x ∈Ω
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
Corolario
Funciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
Corolario
Funciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion con funciones test
CorolarioFunciones test, o funciones de clase C∞ con soporte compacto:
D(RN) = C00(RN)∩C∞(RN)
Si f ∈ Lp(RN) y g ∈D(RN) , entonces:
∃ ( f ∗g)(x) ∀x ∈ RN
|( f ∗g)(x)| 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗ ∀x ∈ RN
f ∗g ∈ Lp(RN) con ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
f ∗g ∈C∞(RN) con Dα( f ∗g) = f ∗Dαg ∀α ∈(N∪0
)Ndonde,
si α = (k1,k2, . . . kN) , hemos escrito: Dα =∂k1+...+kN
∂xk11 . . .∂xkN
N
f ∗g es lipschitziana
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
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Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:
∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
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Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
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Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ N
Si δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Unidades aproximadas
Unidad aproximada en RN
Una unidad aproximada en RN es una sucesion ϕn en L1(RN) verificando:∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
∃ K ∈ R+ : ‖ϕn‖1 6 K ∀n ∈ NSi δ > 0 y Bδ es la bola euclıdea de centro 0 y radio δ , se tiene:
lımn→∞
∫RN\Bδ
|ϕn(x)|dx = 0
Teorema: las unidades aproximadas se comportan como tales
Si ϕn es una unidad aproximada en RN , entonces:
g ∈C00(RN) =⇒ g∗ϕn→ g uniformemente en RN
1 6 p < ∞ , f ∈ Lp(RN) =⇒ f ∗ϕn→ f en Lp(RN)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especiales
Existe una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especiales
Existe una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ N
sop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N
∫RN
ϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Regularizacion de funciones
Unidades aproximadas con propiedades especialesExiste una sucesion de funciones ϕn verificando:
ϕn ∈D(RN) ∀n ∈ Nsop ϕn ⊂ B(0,δn) ∀n ∈ N donde δn→ 0
ϕn(x) ∈ R+0 ∀x ∈ RN ∀n ∈ N∫
RNϕn(x)dx = 1 ∀n ∈ N
En particular, ϕn es una unidad aproximada en RN
Teorema de aproximacion por funciones de clase C∞
D(RN) es denso en C0(RN) y en Lp(RN) para 1 6 p < ∞
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion de funciones periodicas
Definicion de la convolucion en T
Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por
H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)
)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t
y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)
en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:
( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion de funciones periodicas
Definicion de la convolucion en T
Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por
H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)
)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t
y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)
en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:
( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion de funciones periodicas
Definicion de la convolucion en T
Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por
H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)
)
Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t
y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)
en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:
( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion de funciones periodicas
Definicion de la convolucion en T
Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por
H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)
)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t
y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)
en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:
( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion de funciones periodicas
Definicion de la convolucion en T
Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por
H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)
)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t
y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)
en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:
( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion de funciones periodicas
Definicion de la convolucion en T
Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por
H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)
)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t
y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)
en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:
( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Convolucion de funciones periodicas
Definicion de la convolucion en T
Sean f ,g ∈ L(T)⊂ L(R) (medibles 2π-periodicas) y sea H ∈ L(R2) dada por
H(t,s) = f (t− s)g(s) p.c.t. (t,s) ∈ R2 (H ∈ L(T2)
)Dado t ∈ R , decimos que la convolucion de f y g esta definida en t
y escribimos ∃ ( f ∗g)(t) , cuando Ht ∈ L1(T)
en cuyo caso: ( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds
entonces ∃ (g∗ f )(t) y se tiene (g∗ f )(t) = ( f ∗g)(t)
Decimos que existe la convolucion de f y g
y escribimos ∃ f ∗g , cuando ∃ ( f ∗g)(t) p.c.t. t ∈ Ren cuyo caso f ∗g ∈ L(T) viene dada por:
( f ∗g)(t) =1
2π
∫π
−π
f (t− s)g(s)ds p.c.t. t ∈ R
Entonces ∃ g∗ f y g∗ f = f ∗g
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo punto
Si f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R
( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.
Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucion
L1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucionL1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)
Motivacion Fubini Convolucion en RN Convolucion en T
Existencia de la convolucion
Existencia en todo puntoSi f ∈ Lp(T) y g ∈ Lp∗(T) , entonces
∃( f ∗g)(t) ∀ t ∈ R( f ∗g) ∈C(T)
‖ f ∗g‖∞ 6 ‖ f‖p ‖g‖p∗
Existencia c.p.d.Sea f ∈ Lp(T) y g ∈ L1(T) . Entonces:
∃ f ∗g
f ∗g ∈ Lp(T) y ‖ f ∗g‖p 6 ‖ f‖p ‖g‖1
El producto de convolucionL1(T) es un algebra de Banach conmutativa con el producto de convolucion
Lp(T) con 1 6 p 6 ∞ , y C(T) , son ideales de L1(T)