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Aula 9 Mais ondas de matéria I Física Geral F-428 1
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Aula 9Mais ondas de matéria I
Física Geral F-428
1
2
Resumo da aula passada:• Dualidade onda-partícula e o princípio da
complementaridade;
• Comprimento de onda de de Broglie: λ= h/p
• Função de onda Ψ (x,y,z,t)
• A função de onda que descreverá a partícula é uma solução de uma equação diferencial: a equação de Schrödinger:
• De função de onda obteremos a densidade de probabilidade de encontrar a partícula
)t,(Ψ)(U)t,(Ψmt
)t,(Ψi rrr
r rrrhr
h +∇−=∂
∂ 22
2
2|),(|),( trtrrr ψρ =
3
Radiação Eletromagnética
Partículas
( ) ( )t.sintz,y,x, ω−= rkEErrrr
0
( ) ( )tkxsintz,y,x, ω−= 0EErr
I eintensidad , Poyting de vetor Sr
kpr
hr
h
hνE
=
== ω
kpr
hr
h
hνE
=
== ω
???????_____________________________________________________
ondas
fótons
4
Introduzimos a função de onda
( )tz,y,x,Ψ
a qual é uma solução de uma equação diferencial,
a equação de Schrödinger.
,
• Uma partícula microscópicaserá descrita pela chamada função de onda , também chamada amplitude de probabilidade ,à qual podemos aplicar:
A função de onda Ψ (x,y,z,t):
),(Ψ trr
)t,(Ψ)t,(Ψ)t,(Ψ rrrrrr
21 +=
2|)t,(Ψ|)t,( rrrr
=ρ
• Princípio da superposição:
• Interpretação probabilística: (Max Born)
1),( 3 =∫V
rdtrrρ
A função de ondacarrega a informação máximaque podemos ter sobre o sistema em questão.
5
Max Born
Densidade de probabilidade:
Condição de normalização:
• Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis, a teoria quântica desenvolvida entre 1900 ~ 1920tinha sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica.
A equação de Schrödinger
Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda, dando início àMecânica Quântica moderna.
• Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na Universidade de Zurique sobre a teoria de de Broglie.
Durante o seminário, um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron,se não havia nenhuma equação de onda!
Erwin Schrödingerprêmio Nobel: 1933
6
• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporaldescrita por equações de onda do tipo:
0),(),(1 2
2
2
2=∇−
∂∂
trFt
trF
crr
rr
onde é a variável dinâmica de interesse; por exemplo, o campo elétrico ou o campo magnético de uma onda eletromagnética.
),( trFrr
• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de probabilidade , devemos estudar como varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas para partículas com massa!
)t,(Ψ rr
A equação de Schrödinger
2|)t,(Ψ|)t,( rrrr
=ρ
7
Em geral, podemos dizer que para uma onda plana temos:
)t(iexpΨ)t,(Ψ ω−⋅= rkrrrr
0
Derivando com relação a t :
)t,(Ψit
)t,(Ψr
r rr
ω−=∂
∂
Tomando o gradiente de , e depois a sua divergência:
)t,(Ψ)t,(Ψ)]t,(Ψ[
)t,(Ψi)t,(Ψ
rkrr
rkrrrrrr
rrrr
22 −=∇=∇⋅∇
⇒=∇
)t,(Ψ rr
( )t,Ψ rr
A equação de Schrödinger
8
)t,(EΨ)t,(Ψt
)t,(Ψi rr
r rrh
r
h ==∂
∂ ωEntão:
A equação de Schrödinger)t,(Ψi
t
)t,(Ψr
r rr
ω−=∂
∂
)t,(EΨ)t,(Ψm
)t,(Ψm
)t,(Ψm
rrp
rk
rrrrhrh ===∇−
222
2222
2
)t,(Ψ)t,(Ψ rkrrr 22 −=∇
)t,(Ψmt
)t,(Ψi r
r rhr
h2
2
2∇−=
∂∂
Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ecin ; U = 0) :
9
Mas, no caso geral, não–relativístico:
)t,(Ψ)(U)t,(Ψm
)t,(EΨ)(Um
E rrrp
rrp rrrrr
+=⇒+=22
22
A equação de Schrödinger
UEEEE cinpotcin +=+=
)t,(Ψ)(U)t,(Ψmt
)t,(Ψi rrr
r rrrhr
h +∇−=∂
∂ 22
2
Equação de Schrödinger :(Postulada!)
10
(Equação de Schrödinger dependente do tempo)
Os casos que vamos tratar aqui ⇒ Onda de variáveis separáveis:
)tiexp()()t,(Ψ ωψ −= rrrr
)t,(Ψ )(U)t,(Ψmt
)t,(Ψi rrr
r rrrhr
h +∇−=∂
∂ 22
2
)()(U)(m
)(E)( rrrrrrrrhrr
h ψψψωψ +∇−== 22
2
Substituindo essa expressão na Equação de Schrödinger:
e cancelando as exponenciais dependentes do tempo, obteremos:
(Equação de Schrödinger independente do tempo)
A equação de Schrödinger
( ) ( )[ ] ( ) 02
22
=−+∇ rrrrrrh ψψ UE
m
11
(casos de E constante)
A partícula livre em 1-D
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 02 2
22=−=− xU;x xUE
dx
xd
mψψh
Para encontrar a solução geral de:
devemos resolver inicialmente:
( )22
222
2 220
hh
mEUEmkcom;)x(k
dx
)x(d =−==+ ψψ
cinEE)x(Ucomo =→=0
( ) ( ) )tiexp(t,Ψ ωψ −= rrrr
×−2
2
h
m
12
)t,()(U)t,(mt
)t,(Ψi rrr
r rrrhr
h ψψ +∇−=∂
∂ 22
2
A partícula livre em 1-D Solução geral: )ikxexp(B)ikxexp(A)x( −+=ψ
B)i(AB';B)(AA'com;kxsinBkxcosA)x( −=+=′+′=ψcomo: θθθ sincos)exp( ii ±=±
( ) ( )[ ]ωtkxi expt,xΨ +−∝ Onda propagante para a esquerda:
Onda propagante para a direita:
( )[ ] ( )[ ]ωtkxi-expBωtkxiexpA)t,(Ψ ++−=rr
)tiexp()()t,(Ψ ωψ −= rrrr ( ) ( ) 02
2
2=+ xk
dx
xd ψψ
13
( ) ( )[ ]ωtkxi expt,xΨ −∝
A partícula livre em 1-D
Façamos: A = ψ0 e B = 0 ( )ikxexp)x( 0ψψ =
e m
k)k(onde)tkx(iexp)tx,(Ψ 0 2
2h==−= ωωωψ
m
k
m
p
22
222h
h ==ωpois:
+∞<<∞===== ∗∗ x-paraconstante!ΨΨ|)tx,(Ψ|)tx,( 20
2 ψψψρA densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:
),( txρ
x0
20ψ• Ou seja: uma partícula livre
pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.
( ) ( )ikx-expB ikxexpAx)( +=ψ
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• É inerente à Mecânica Quântica e se aplica sempre aos pares das chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não podem ser medidas simultaneamente com precisão ilimitada!
• Ex.: a posição e o momento linearde uma partícula quântica:
≥∆∆
≥∆∆
≥∆∆
2
2
2
h
h
h
z
y
x
pz
py
px
Em 3-D:
O princípio da incerteza de Heisenberg
Werner Heisenberg (1901- 1976)
15
O potencial degrau
0U
1 2
E
I) E > U0 :
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
222
222
22
2211
212
12
200
200
h
h
0UEmkonde;xk
dx
xd;xse
mEkonde;xk
dx
xd;xse
−==+>
==+<
ψψ
ψψ
0 x
( ) ( ) ( )2
222 2
0h
UEmkonde;xk
dx
xd2
−==+ ψψ
0cin UEE +=
16
E > U0 :
( )
( ) ( )2
02222
22111
UE2mkonde;)xikexp(Dx)(ikexpCx
2mEkonde;)xikexp(Bx)(ikexpAx
h
h
−=−+=
=−+=
2
1
ψ
ψ
O potencial degrau
1 20
x
Soluções gerais:
x < 0 :
x > 0 :
mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.
I R
T R
17
21
1
21
21
2kk
k
A
C
kk
kk
A
B
+=
+−= ; amplitude de reflexão
; amplitude de transmissão
221
21
2
1
2
inc
trans
2
21
21
2
inc
ref
)(4
kk
kk
A
C
k
k
J
JT
kk
kk
A
B
J
JR
+===
+−==−=
1=+TR
O potencial degrau
:contínuasfunçõessãoeComodx
dψψ
O que leva a:
●
+− ==
+−
=
===00
00
xx
dx
dψ
dx
dψ
)x()x( ψψ
18
E poderemos definir:
0U
1 2
E
( ) ( )
( ) ( )20
2222
22
2211
212
12
E)2m(Uonde;xψκ
dx
xψd;xse
2mEkonde;xψk
dx
xψd;xse
h
h
−==−>
==+<
2200
00
κ
O potencial degrau
0 x
II) E < U0 :
( ) ( ) ( )2
222
2 UE2mkonde;xψk
dx
xψd
h
−==+ 0
19
( )
( )202
22
22111
E)2m(Uκ:onde;)xκexp(Dx)κ(expCx
2mEkonde;)xikexp(Bx)(ikexpAx
h
h
−=+−=
=−+=
22
1
ψ
ψ
E < U0 :
O potencial degrau
0x
x < 0 :
x > 0 :
1 2
0
20
21
21
κκ
ik
ik
A
B
+−= ; amplitude de reflexão
0=T;1*
*2
inc
ref ===−=AA
BB
A
B
J
JR
⇒−= )xexp(C)x( 22 κψ
Comprimento de penetração
E)m(UL
0 −== −
21
2hκ
wavemechanics-step
O potencial degrau
→contínuas funçõessãodx
dψeComo ψ●
21
A barreira de potencial
0U
1 2
E
L
3
221
233
232
32
2222
222
22
2211
212
12
20
200
200
h
h
h
mEkkonde;)x(k
dx
)x(d;Lxse
)Um(Ekonde;)x(k
dx
)x(d;xLse
mEkonde;)x(k
dx
)x(d;xse
0
===+>
−==+>>
==+<
ψψ
ψψ
ψψ
0 xI) E > U0 :
22
( ) ( ) ( )2
222
2 UE2mkonde;xψk
dx
xψd
h
−==+ 0
E > U0 :
221
233
2222
2211
2
2
2
h
h
h
mEkkonde;)xikexp(F)xikexp(E)x(
)Um(Ekonde;)xikexp(D)xikexp(C)x(
mEkonde;)xikexp(B)xikexp(A)x(
33
022
11
==−+=
−=−+=
=−+=
ψ
ψ
ψ
A barreira de potencial
1 2 3
0 23
0U
1 2
E
L
3
221
233
232
32
2222
222
22
2211
212
12
20
200
200
h
h
h
mEkkonde;)x(k
dx
)x(d;Lxse
E)m(Uonde;)x(
dx
)x(d;xLse
mEkonde;)x(k
dx
)x(d;xse
0
===+>
−==−>>
==+<
ψψ
κψκψ
ψψ
0 x
II) E < U0 :
A barreira de potencial
24
( ) ( ) ( )2
222
2 UE2mkonde;xψk
dx
xψd
h
−==+ 0
E < U0 :
221
233
222222
2211
2
2
2
h
h
h
mEkkonde;)xikexp(F)xikexp(E)x(
E)m(Uonde;)xexp(D)xexp(C)x(
mEkonde;)xikexp(B)xikexp(A)x(
33
0
11
==−+=
−=+−=
=−+=
ψ
κκκψ
ψ
A barreira de potencial
1 2 3
0 25
)2exp()]([exp 2 LLT κκ −=−≈ 22
h
)Em(U0 −=κ
)2exp(11 LTR κ−−≈−=
Coeficiente de transmissãoou taxa de tunelamento:
; onde
wavemechanics-barrier
A barreira de potencial
→contínuas funçõessãodx
de Como
ψψ
Coeficiente de reflexão
●
*
*
AA
EET =
26
O microscópio de varredura
wavemechanics-stm
Prêmio Nobel 1986: Heinrich Rohrer, GerdBinnig e Ernst Ruska
E. Ruska
27
Até agora...
Vimos, até agora, três postulados da Mecânica Quântica:
a) Toda partícula possui uma função de onda Ψ (x,y,z,t) associada a ela.
b) A forma e a evolução temporal desta Ψ (x,y,z,t) é determinada pela equação de Schrödinger.
c) Em uma dimensão, dada a função Ψ (x,t), a densidade de probabilidade da partícula ser encontrada em torno de um ponto x (entre x e x+dx), num dado instantet, é dada por:
( ) ( )2tx,Ψtx, =ρ
28
A Equação de Schrödinger e a Quantização de Energia
• Para uma partícula clássica confinadaa uma região limitada do espaço, a teoria de Schrödinger prevê que a energia total da partícula é quantizada.
• Quando a partícula não estiver confinadaem uma região limitada, a teoria prevê que asuaenergia total pode apresentar qualquer valor.
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Elétron confinado
• O confinamento de uma onda leva à quantização,ou seja, à existência de estados ligados discretos,com energias discretas.
Analogia:
Ondas estacionárias em uma corda estados estacionários
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Átomo de hidrogênio
0 L
U(x)
x
U0
Poço quadrado
Exemplos de Potenciais:• Armadilhas em 1, 2 e 3dimensões.
• Átomos.
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Potencial do oscilador
harmônico
En
erg
iacr
esc
en
te
( )[ ] 02
22
=−+∇ )(UE)(m
rrrrrrh ψψ
No caso de partícula confinada:Equação de Schrödinger independente do tempo
0<− )(UE rr
Sempre que teremos estados ligadosque são quantizados: apenas estados com certas energias são possíveis.
32
Partícula em uma “Caixa”(=“poço”)Vamos resolver a equação de Schrödinger para uma partícula confinada a uma caixa de paredes “impenetráveis”.Isto é, uma partícula sujeita a um potencial de forma:
U(x) = 0, para 0 < x < LU(x) =∞, para x < 0 ou x > L
• Como o potencial é infinito, a partícula deve se encontrar rigorosamente no interior da caixa, portanto, devemos ter: ψ(x) = 0 , para x = 0 e x = L (condição de contorno).
0 L
U(x)
x
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No interior da caixa:
ou:
A solução geral desta equação pode ser escrita como:
A condição de contorno: ψ (0) = 0
A condição de contorno: ψ (L) = 0 :
( ) ( )xEdx
xd
mψψ =−
2
22
2
h
( ) ( ) ( )xkxmE
dx
xd ψψψ 222
2 2 −=−=h
2
2;
h
mEk =
( ) )cos()sen( kxBkxAx +=ψ( ) kxAx sen=ψ
0sen)( == kLALψ πnkL=L
nkn
π=
02
22
=−+∇ )()](UE[)(m
rrrrrrh ψψ
0 L
U(x)
x
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Escrita em termos dos comprimentos de onda:
que corresponde à condição de formação de ondas estacionárias.
As funções de onda serão dadas por:
• Para cada n temos uma ψn(x); onden é um número quântico.
• Como temos um sistema unidimensional, ψn(x) é completamentedeterminada porapenas um número quântico.
( ) ( )
==L
xnAxkAx nnnn
πψ sensen
... 2, ,1;2 == nn
Lnλ
Lnk
nn
πλπ == 2
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Veja que L=nλ/2
Funções de onda
( ) ( )
==L
xnAxkAx nnnn
πψ sensen ,....3,2,1; =n
1=n 2=n 3=n 4=n
5=n 6=n 7=nn
Ln
2=λ
0 Lx
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As energias (cinéticas) associadas a estas funções são dadas por:
m
kE
2
)( 2h=
22
222
82n
mL
h
m
kE n
n
== h
E11
4E12
9E13
16E14
25E15
L
nkn
π=
37
• O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia menor, emitindo um fóton de frequência ν :
O estado de energia mais baixa é chamado de estado fundamental.
'nn EEEh −== ∆ν
O sistema pode também sofrer uma transição para um estado de energia maior, absorvendo um fóton. E11
E22
E33
E44
E
E11
E22
E33
E44
E
22
222
82n
mL
h
m
kE n
n
== h
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Resumo da aula:
• Equação de Schrödinger;
• Resolvemos a equação de Schrödinger para situações simples (potencial degrau, barreira de potencial);
• Resolvemos a equação de Schrödinger confinada em um poço de potencial infinito em uma dimensão (1D) ⇒ energias discretas.
