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Capítulo 14 Funções trigonométricas

3. (Mackenzie-SP) f1(x) 5 sen x 1 cos x e f2(x) 5 3sen x 8 cos x. Relativamente às funções anteriores, de domínio R, fazem-se as afirmações:

I. O período de f1(x) é 2π.

II. O maior valor que f2(x) pode assumir é 1,5.

III. O conjunto imagem de f1(x) está contido no con-junto imagem de f2(x).

Então:

a) Todas são verdadeiras.

b) Somente II e III são verdadeiras.

c) Somente I e III são verdadeiras.

d) Somente I e II são verdadeiras.

e)Somente III é verdadeira.

4. (UFSM-RS) Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmos-

fera é medida pela função sen( )π

1t

C t 26

3= d n em

que t é a quantidade de horas para fazer essa medição.

O tempo mínimo necessário para fazer uma me-dição que registrou 4 gramas de fósforo é de:

a) 0,5 hora c) 2 horas e) 4 horas

b) 1 hora d) 3 horas

5. (PUC) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metro. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:

0

A (m)

t (horas)

1,5

21,5

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) 5 a 8 sen (b 8 t), em que a é medi-do em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metro, então:

a) π

b315

=

b) a 1 b 5 13,9

c) ,

2π

a b1 5

=

d) a 8 b 5 0,12

e) π

b3

4=

1. (FEI-SP) O gráfico da função y 5 f(x) 5 senH xH no in-tervalo [22π, 2π] é:

a)

0 x

y

2ππ22π2π

1

21

b)

0 x

y

2ππ22π 2π

1

c)

0 x

y

2ππ22π 2π

1

21

d)

0 x

y

2ππ22π 2π

1

21

e)

0

x

y

2ππ22π 2π

1

21

2. (Mackenzie-SP) Considerando o esboço do grá fico da função f(x) 5 cos x, entre 0 e 2π, a reta que passa pelos pontos P e Q define com os eixos coordenados um triângulo de área:

0 x

yP

Q2 4 51

a) π2

b) π4

c) π d) π8

e) π6

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Funções trigonométricascapítulo 14

Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil


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6. Analise os gráficos a seguir e, considerando apenas o trecho que aparece, verifique quais representam funções periódicas, determinando os respectivos períodos.

a)

0 1 3 5 7

y

x21232527

b)

0

y

x

4

6

8

2428

2

4 8

c)

0

y

x

2

22

21

173π36

—— 73π36

——

73π72

——73π72

——

2

2

d)

0

y

x

5

25210

10

15

5 10

7. (Unifesp) Seja a função f: R " R, dada por f(x) 5 sen x. Considere as afirmações seguintes.

1. A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) 5 f(2x), para todo x real.

2. A função f(x) é periódica de período 2π , isto é, f(x 1 2π) 5 f(x), para todo x real.

3. A função f(x) é sobrejetora.

4. ( ) , eπ π

f f f0 03 2

32

1= = =c cm m

São verdadeiras as afirmações:

a) 1 e 3, apenas. c) 2 e 4, apenas. e) 1, 2,3 e 4.

b) 3 e 4, apenas. d) 1, 2 e 3, apenas.

8. Dada a função f(x) 5 2 1 sen x, construa o gráfi-co e determine o domínio, a imagem, o período e a amplitude.

9. Determine os valores reais de a para que exista

x Ñ R, tal que sen .1

xa

35 2

=

10. Identifique o quadrante e calcule o valor do seno de:

a) 2π

623 b) 4.455º

11. (UFF-RJ) Nas comunicações, um sinal é transmi tido por meio de ondas senoidais, denominadas ondas portadoras.

Considere a forma da onda portadora modelada pela função trigonométrica:

sen( ) , Ñ R8 2π

f t t t2 33

= d n

Pode-se afirmar que o gráfico que melhor repre-senta f(t) é:

a)

0

f(t)

t

2

22

22 21 1 2

21

1

b)

0

f(t)

t

2

22

22 21 1 2

21

1

c)

0

f(t)

t

2

22

22 21 1 2

21

1

d)

0

f(t)

t

2

22

22 21 1 2

21

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e)

0

f(t)

t

2

22

22 21 1 2

21

1

12. (Faap-SP) A função real f (x) é periódica se existe T . 0, tal que f (x) 5 f (x 1 T) para todo x pertencen-te ao seu domínio; o menor valor de T é o período. Então, a sentença falsa é:

a) f(x) 5 $sen x$ tem período 2π.

b) gx t( ) = 2π

f x4

c m tem período π.

c) f(x) 5 2sen 3x 2 cos 3x tem período π3

2 .

d) f(x) 5 2sen2 x tem período π.

e) f(x) 5 π 1π

cos2c m tem período 4π.

13. (Vunesp) Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura h, em metro, de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão

senπ

1 8 2,th t11 5 1012

26( ) = _ i; E, onde o tempo t

é dado em segundo e a medida angular em radiano.

a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t 5 0).

b) Determine as alturas mínima e máxima que seu ami go alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).

14. (PUC) Na figura a seguir tem-se o gráfico da função f,

de R em R, definida por f(x) 5 k 8 sen (mx), em que k e m

são reais, e cujo período é π3

8.

x

B

Ay

2

22

O valor de π

f3

29d n é:

a) 2 3 d) 2

b) 2 2 e) 3

c) 21

15. (UEMS) Seja f a função dada pelo gráfico a seguir e

seja a função g(x) 5 x2

.

0 x

y

π2π

22π 2π

1

21

Define-se a função composta f(g(x)) como aquela que associa a cada número real b o valor y 5 f(g(b)). O gráfico que representa f(g(x)) é:

a)

0 x

y

π 2π22π 2π

1

21

b)

0 x

y

π2π

22π2π

1

21

c)

0 x

y

π2π

22π 2π

1

21

d)

0 x

y

π 2π22π 2π

1

21

e)

0 x

y

π2π

22π 2π

2

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16. (Vunesp) Considere a representação gráfica da fun-

ção definida por sen( ) 8 2π

2 1 .f xx

x2

31 1= d _n i

xSP Q R

y

1,0

gráfico da função f, sem escala

Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pon tos de intersecção do gráfico da função f com o eixo das abscissas. Determine as coordenadas dos pontos P, Q, R e S, nessa ordem.

17. (Unifesp)Considere a função

y 5 ( ) sen ππ

1 2f x x1 22

= c m definida para todo

x real.

a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.

b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1] tais que y 5 1.

18. (Mackenzie-SP) O gráfico que melhor representa a função f: [0, 2π] " R, definida por y 5 2 1 sen x 1 1 |sen x|, é:

a)

x

y

2ππ0

2

4

b)

x

y

2ππ0

2

c)

x

y

2ππ0

2

4

d)

x

y

2ππ0

2

e)

x

y

2ππ0

2

4

19. Sendo ( ) cosf x x21

= , construa o gráfico de f e de-

termine o domínio, a imagem, o período e a ampli-tude de f.

20. Determine os valores de a de modo que exista x Ñ R,

tal que 2

cos xa

35 2

= .

21. Identifique o quadrante e calcule o valor do cosse-no de:

a) π4

15 b) 22.010°

22. (Vunesp) A temperatura, em grau Celsius (°C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, da 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função:

( )π

8 2π

8cos cos ,f t t t t12 6

0 24< <= c cm m , com t em

horas.

Determine:

a) A temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às9 horas (use as aproximações ,2 1 4= ,3 1 7e = ).

b) Em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 °C.

23. (Vunesp) Há famílias que sobrevivem trabalhan-do na coleta de material para reciclagem princi-palmente em cidades turísticas. Numa tal cidade, uma família trabalha diariamente na coleta de la-tas de alumínio. A quantidade (em quilogramas) que essa família coleta por dia varia, aumentando em finais de semana e feriados. Um matemático observou a quantidade de alumínio coletada por essa família durante dez dias consecutivos e mo-delou essa situação através da seguinte função:

( ) ( )1 8π

8π

1 2cosf x x x10 13 3

2= d n, onde f indica

a quanti dade de alumínio em quilogramas, coleta-da pela famí lia no dia x, com 1< x < 10, x inteiro positivo. Sabendo que f, nesse período, atinge seu valor máximo em um dos valores de x no qual a

função cos π

8π

2x3 3

2d n atinge seu máximo, deter-

mine o valor de x, para o qual a quantidade coleta-da nesse período foi máxima, e quantos quilos de alumínio foram coletados pela família nesse dia.

24. (Vunesp) Em uma pequena cidade, um matemáti-co modelou a quantidade de lixo doméstico (or-gânico e reciclável) produzido pela população, mês a mês, durante um ano, através da função

( ) ( )1 1 8π

8 2π

cosf x x x200 503 3

4= d n onde f(x)

indica a quantidade de lixo, em toneladas, produzida pela cidade no mês x, com 1 < x < 12, x inteiro posi-tivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor rnáxirno em um dos valores de x no qual a função

cos π

8 2π

x3 3

4d n atinge seu má ximo, determine o

rnês x para o qual a produção de lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela po-pulação nesse mês.


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25. (FGV) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima--se que o número de clientes possa ser calculado pela

função trigonométrica ( ) sen2π

,x

xf 900 80012

= c m

onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da obser-vação (x é um inteiro tal que 0 < x < 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia com-pleto, é igual a:

a) 600 b) 800 c) 900 d) 1.500 e) 1.600

26. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).

01)O gráfico que representa a função trigonométri-

ca t( ) 1π

f t 2 33

sen= c m, t Ñ R, é:

0

f (t)

t

2

22

22 21 1 2

02) Um estudo do impacto ambiental provo cado pelo desmatamento de uma região prevê que a quantidade de pássaros de certa espécie irá

diminuir segundo a lei: n(t) 5 n 48o

t5, em que n0

(n0 . 0) é a quantida de estimada de pássaros antes do início do desmatamento e n(t) é a quantidade exis tente t anos depois. Então o tempo neces-sário para que a população de pássaros dessa espécie se reduza à oitava parte da população no início do desmatamento é de 7,5 anos.

04) Um produto que custa hoje R$ 100,00 terá seu preço reajustado em 3% a cada mês. Fazendo--se uma tabela do preço deste produto, mês a mês, obtém-se uma progressão geométrica de razão 1,03.

08) São dados dois arcos de 60º. Um está sobre uma circunferência de 4 cm de diâmetro e o outro, sobre uma circunferência de 6 cm de diâme-tro. Comparando os comprimentos desses arcos, pode-se afirmar que o primeiro é o maior.

16) Uma das aplicações dos logaritmos é na me dida da intensidade de terremotos. Na escala Richter, a intensidade I de um terremoto é definida por:

I log32

EE

0

= , em que E é a ener gia liberada pelo

terremoto, em kWh, e E 0 5 1023 kWh. Assim, au-mentando em uma unidade a intensidade do terremoto, a ener gia liberada fica multiplicada por 100.

27. (UEL-PR) Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da bom-ba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume ( y) de água na bomba, em função do tempo (t).

a) 1π

y 2 23

sent

= d n

b) 1π

y 2 23

2sen

t= d n

c) 1π

y 33

sent

= d n

d) 1π

y 33

2sen

t= d n

e) 2 1π

y 3 23

sent

= d n

28. Dada a função ( ) 1π

f x x2

tg= c m, construa o gráfi-

co, determine o domínio, a imagem e o período de f.

29. Identifique o quadrante e calcule o valor da tangen-te de:

a) 2π

320

b) 1.230°

30. Sendo π2

o período da função f(x) 5 21 1 cos ax.

determine o valor de a.

31. Construa o gráfico de f(x) 5 21 1 sen x2

e determi-

ne o domínio, a imagem, o período e a amplitude.

32. Dados )( ) e (2 cos :xf xx

gx

22

22

sen= =

a) construa os gráficos em um mesmo plano car-tesiano;

b) analisando os gráficos, determine os valores de x, em que f(x) 5 g(x).

33. Classifique cada item em verdadeiro ou falso e justifique suas respostas.

a) sen (240°) 5 sen 40°

b) sen (240°) 5 2sen 40°

c) cos (240º) 5 cos 40°

d) cos (240º) 5 2cos 40º

34. (UFPE) O PIB (Produto Interno Bruto, que repre-senta a soma das riquezas e dos serviços pro-duzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000 1 x, é dado, em bilhões de dólares, por

( )π

1 1. cosP x xx

500 0 5 206

= c m, onde x é um nú-

mero inteiro não negativo.

a) Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB desse país em 2004.

b) Em períodos de 12 anos, o PIB desse país au-menta do mesmo valor, ou seja, P(x 1 12) 2 P(x) é constante. Determine essa constante (em bi-lhões de dólares).


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35. (FCMSC-SP) O gráfico da função f, de R em R, de-

finida por ( ) tg5 1f xx

12

, é:

a)

0

y

x—π2

—π2

2

b)

0

1

y

x2π π

c)

0

y

x22π 2π

d)

22π 2π0

1

y

x

e)

0

21

y

x


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