Adolfo Chapuz Benítez Presenta: MÉTODO DE FRACCIONES...

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Comoaprendomatematicas.com Fracciones Parciales Adolfo Chapuz Benítez. 1 Adolfo Chapuz Benítez Presenta: MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES. Contenido: π Introducción π 3 tipos generales de descomposición π Ejemplos de Descomposición: caso I π Ejemplos de Descomposición: caso II π Ejemplos de Descomposición: caso III

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1

Adolfo Chapuz Benítez Presenta:

MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES.

Contenido:

π Introducción

π 3 tipos generales de descomposición

π Ejemplos de Descomposición: caso I

π Ejemplos de Descomposición: caso II

π Ejemplos de Descomposición: caso III

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2

π Introducción

En esta sección vamos a entender que significa DESCOMPONER EN

FRACCIONES PARCIALES.

IDEA: Consiste en desmenuzar, descomponer, desintegrar, partir una fracción

en partes más simples (fáciles de utilizar).

Por ejemplo:

3

1

2

1

)3)(2(

5

6

5

OBSERVACIÓN: El numerador es MENOR que el denominador (fracción impropia).

Pregunta: ¿Cómo se puede descomponer en fracciones más simples 8

3?

IDEA: Primero debemos descomponer (factorizar) el denominador 8.

...)1)(8(

)2)(4(8

8

42

24)2)(4(

3

8

3 BABA

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3

BA

BA

423

8

42

8

3

Podriamos tomar A=-1/2 y B=1, y concluir que :

2

1

8

1

2

1

4

21

8

3

Muy bien!

La descomposición en fracciones Parciales (FP) sólo se aplica a funciones

RACIONALES )(

)(

xQ

xPen donde P(x) y Q(x) son polinomios en la variable x,

tales que:

)( )( xQdegradoxPdegrado .

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4

Ejemplos de integrales en las que se puede aplicar la descomposición:

dxxx

x

dxxx

x

dxxxx

x

dxxx

x

dxxx

2

2

23

2

2

)4)(2(

23.5

1.4

34

1.3

910

75.2

34

1.1

π 3 Tipos generales de descomposición

IDEA DEL MÉTODO: La idea consiste en DESCOMPONER toda la fracción en

fracciones más simples (parciales) que sean fáciles de integrar.

PROCEDIMIENTO:

1.- Verificar que el grado del Numerador sea MENOR que el denominador. 2.-Factorizar el denominador en factores de tipo lineal y/o cuadrático IRREDUCIBLE (más adelante te explico que es eso). 3.-Realizar la descomposición en fracciones más sencillas, esto va a depender de la factorización hecha anteriormente. Esto implica encontrar ciertas constantes A, B, C,etc. dependiendo de cuantos factores hayan. 4.-Sustituir la descomposición en la integral 5-Calcular cada integral (muy simple) resultante.

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5

π 3 tipos generales de descomposición

Caso I: El denominador se puede descomponer en factores lineales diferentes.

a).El Denominador contiene un término de grado cero, en este caso es la constante 1.

Lo importante aquí es la factorización del denominador:

13)1)(3(

1

x

B

x

A

xx

La descomposición consiste en escribir la fracción original como fracciones más sencillas.

Cada fracción parcial se genera escribiendo una constante (desconocida, por el momento) y

dividendo entre el factor correspondiente.

Ojo: El objetivo consiste en encontrar A y B.

b). Aquí el denominador es un poquito más elaborado, contiene un término lineal. Pero la

descomposición es igual de simple, una fracción para cada factor.

19)1)(9(

75

x

B

x

A

xx

x

c).En este ejemplo tenemos que el denominador tiene 3 factores lineales, por lo que se

agrega un término mas, el que contiene la constante C.

31)3)(1(

1

x

C

x

B

x

A

xxx

x

Notemos igualmente que el numerador –x+1 no contribuye en nada a la descomposición

del lado derecho, sólo se escriben las constances A,B y C.

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6

d).En este ejemplo podemos observar que en el numerador tenemos un término cuadrático

y que esto no modifica la forma en que se hace la descomposición.

Tenemos 3 fracciones parciales (porque son 3 factores) y 3 constantes A,B y C.

266213)26)(62)(13(

54 2

x

C

x

B

x

A

xxx

x

Caso II: El denominador se puede descomponer en factores lineales IGUALES.

Que haya factores repetidos significa que existe una potencia de ese factor.

a).

22233)3)(3(

62

)3(

62

96

62

x

B

x

A

xx

x

x

x

xx

x

Puedes ver que originalmente el numerador es un trinomio cuadrado perfecto que, como

sabes, se factoriza como un binomio al cuadrado, significa que el factor x+3 parece 2

veces.

Debido a esa repetición la descomposición tiene una ligera forma: se empieza con el factor

x+3 y se van aumentado las potencias hasta llegar a la potencia máxima que en este caso es

2.

b).Ahora una potencia cubica:

323444)4(

5

x

C

x

B

x

A

x

x

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7

Caso III: El denominador se puede descomponer en factores cuadráticos irreducibles.

IRREDUCIBLES=”NO SE PUEDEN FACTORIZAR EN TÉRMINOS LINEALES”

= SUS RAICES SON COMPLEJAS CONJUGADAS.

Recuerda que una ecuación cuadrática 02 cbxax se dice que es IRREDUCIBLE

si el discriminante D<0, donde

acbD 42

a).Denominador=Producto de 2 factores cuadráticos irreducibles.

13)1)(3(

12222

x

DCx

x

BAx

xx

Tenemos 2 factores cuadráticos irreducibles1y 3 22 xx

:

En el primero: 12)3)(1(40Dy 3,0,1 2 cba .

En el segundo factor: 4)1)(1(40Dy 1,0,1 2 cba .

¡IMPORTANTE!

La forma del numerador cambia, de tener las constantes solas

A,B,C, etc a escribir numeradores de tipo lineal Ax+B, Cx+D,

Ex+F, …

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8

.b).Aquí tenemos 2 factores irreducibles, pero uno de ellos se repite

2222222884)8)(4(

103

x

FEx

x

DCx

x

BAx

xx

x

La descomposición para el primer factor es 42

x

BAx

Pero para al factor repetido le corresponden 2 términos: 22288

x

FEx

x

DCx.

Caso IV: Combinación de todos los casos anteriores.

4)5()5(513)4()5)(13(

110523223

2

x

FEx

x

D

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

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9

Ejemplo 1.

dxxx 34

1.1

2

Desarrollo:

Primero vemos que el grado del numerador es menor que el del denominador (cero y uno,

respectivamente).

Ahora intentamos factorizar y notamos que obtenemos factores lineales distintos, así la

descomposición queda de la siguiente manera (caso I) :

13)1)(3(

1

34

12

x

B

x

A

xxxx

Procedemos a encontrar las constantes A y B, de la siguiente manera:

)3()1(1

)3)(1(

)3()1(

1334

12

xBxA

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

)3()1(1 xBxA

Para encontrar A, tomamos x=-3:

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10

2

1

21

)0()2(1

)33()13(1

A

A

BA

BA

Para encontrar B, tomamos x=-1:

2

1

21

)2()0(1

)31()11(1

B

B

BA

BA

Tenemos que :

2

1,

2

1 BA

.

Antes de sustituir estos valores notemos que:

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11

cxBxA

x

dxB

x

dxA

dxx

Bdx

x

A

dxx

B

x

Adx

xx

)1ln()3ln(

13

13

1334

12

Resultado provisional.

cxBxAdxxx

)1ln()3ln(

34

12

Sustituyendo A=-1/2 y B=1/2:

Conclusión.

cxxdxxx

)1ln(

2

1)3ln(

2

1

34

12

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12

Ejemplo 2.

dxxx

x

910

752

.

Desarrollo:

19)1)(9(

75

910

752

x

B

x

A

xx

x

xx

x

)9()1(75

)1)(9(

)9()1(

19910

752

xBxAx

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

Identidad Base:

)9()1(75 xBxAx

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13

Para encontrar A, tomamos x=-9:

4

19

8

38

838

)0()8(745

)99()19(7)9(5

A

A

BA

BA

Para encontrar B, tomamos x=-1:

4

1

8

2

82

)8()0(75

)91()11(7)1(5

B

B

BA

BA

Tenemos que :

4

1,

4

19 BA

.

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14

Ahora regresamos a la integral.

Resultado provisional.

cxBxAdxxx

x

)1ln()9ln(

910

752

Sustituyendo A=19/4 y B=1/4:

Conclusión.

cxxdxxx

x

)1ln(

4

1)9ln(

4

19

910

752

cxBxA

x

dxB

x

dxA

dxx

Bdx

x

A

dxx

B

x

Adx

xx

x

)1ln()9ln(

19

19

19910

752

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15

Ejemplo 3.

dx

xxx

x

34

1223

Desarrollo:

31)3)(1(

12

)34(

12

34

12223

x

C

x

B

x

A

xxx

x

xxx

x

xxx

x

)1()3()3)(1(12

)3)(1(

)1()3()3)(1(

3134

1223

xCxxBxxxAx

xxx

xCxxBxxxA

x

C

x

B

x

A

xxx

x

Identidad Base:

)1()3()3)(1(12 xCxxBxxxAx

Para encontrar A, sustituímos x=0:

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16

3

1

31

)3)(1(1

)10)(0()30)(0()30)(10(1)0(2

A

A

A

CBA

Para encontrar B, tomamos x=1:

2

1

2

1

21

)0()2()2)(0(12

)11)(1()31)(1()31)(11(1)1(2

B

B

B

CBA

CBA

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17

Para encontrar C, tomamos x=3:

6

5

65

)2)(3()0)(3()0)(2(16

)13)(3()33)(3()33)(13(1)3(2

C

C

CBA

CBA

Tenemos que :

6

5,

2

1,

3

1 CBA

.

Ahora regresamos a la integral.

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18

cxCxBxA

dxx

Cdxx

Bdxx

A

dxx

Cdx

x

Bdx

x

A

dxx

C

x

B

x

Adx

xxx

x

)3ln()1ln()ln(

3

1

1

11

31

3134

1223

Resultado provisional.

cxCxBxAdxxxx

x

)3ln()1ln()ln(

34

1223

Sustituyendo A=1/3 , B=1/2 y C=-5/6:

Conclusión.

cxxxdxxxx

x

)3ln(

6

5)1ln(

2

1)ln(

3

1

34

1223

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19

Ejemplo 4.

dxxxx

x

)2)(62)(13(

54 2

Desarrollo:

)62)(13()2)(13()2)(62(54

)2)(62)(13(

)62)(13()2)(13()2)(62(

26213)2)(62)(13(

54

2

2

xxCxxBxxAx

xxx

xxCxxBxxA

x

C

x

B

x

A

xxx

x

Tenemos nuestra identidad base:

)62)(13()2)(13()2)(62(54 2 xxCxxBxxAx

Encontrando A, con x=-1/3:

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20

100

41

9

100

9

41

)3

5)(

3

20(

9

41

)3

20)(0()

6

5)(0()

3

5)(

3

18

3

2(5

9

4

)6)3

1(2)(1)

3

1(3()2)

3

1)((1)

3

1(3()2)3/1)((6)3/1(2(5)

3

1(4 2

A

A

A

CBA

CBA

Encontrando B, con x=3:

)62)(13()2)(13()2)(62(54 2 xxCxxBxxAx

50

31

5031

)0)(10(50)5)(0(31

)66)(10()5)(10()5)(66(536

)6)3(2)(1)3(3()2)3)((1)3(3()2)3)((6)3(2(5)3(4 2

B

B

CBA

CBA

CBA

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21

Encontrando C, con x=-2:

)62)(13()2)(13()2)(62(54 2 xxCxxBxxAx

50

11

5011

)10)(5()0()0)(10(11

)64)(5()0)(5()0)(64(516

)6)2(2)(1)2(3()2)2)((1)2(3()2)2)((6)2(2(5)2(4 2

C

C

CBA

CBA

CBA

Tenemos los valores de las constantes:

50

11,

50

31,

100

41 CBA

cxCxBxA

dxx

Cdxx

Bdxx

A

dxx

C

x

B

x

Adx

xxx

x

)2ln()62ln(2

1)13ln(

3

1

2

1

62

1

13

1

26213)2)(62)(13(

54 2

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22

Sustituyendo los valores de las constantes,

50

11,

50

31,

100

41 CBA

Conclusión:

cxxxdxxxx

x

)2ln(

50

11)62ln(

100

31)13ln(

300

41

)2)(62)(13(

54 2

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23

CASO II: RAÍCES REPETIDAS

Ejemplo 5:

dxxxx

x

96

6223

Desarrollo:

2

2

23

2

2223

3

)3(3

96

62

33

3

62

)3)(3(

62

)96(

62

96

62

xx

CxxBxxA

xxx

x

x

C

x

B

x

A

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

x

Identidad Base:

CxxBxxAx )3(3622

Para encontrar A, hacemos x=0:

3

1

9

6

96

)0()30)(0(306)0(22

A

A

CBA

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24

Para encontrar C, hacemos x=-3

CxxBxxAx )3(3622

4

43

12

312

3)0()0(66

)3()33)(3(336)3(22

C

C

C

CBA

CBA

Para encontrar B, hacemos x =1:

CxxBxxAx )3(3622

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25

3

8

12

32

3

324

3

161244

1243

164

)4(34)3

1(164

41662

)1()31)(1(316)1(22

BB

B

B

B

CBA

CBA

Tenemos los siguientes valores de las constantes:

4,3

8,

3

1 CBA

Resolviendo la integral:

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26

cx

CxBxA

cu

CxBxA

cu

CxBxA

uduuCxBxA

x

dxC

x

dxB

x

dxA

dxx

C

x

B

x

Adx

xxx

x

3)3ln()ln(

)3ln()ln(

1)3ln()ln(

)3ln()ln(

33

3396

62

1

2

2

223

Sustituyendo los valores de las constantes:

4,3

8,

3

1 CBA

Conclusión.

cx

xxdxxxx

x

3

4)3ln(

3

8)ln(

3

1

96

6223

dxduxu ,3

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27

CASO II: RAÍCES REPETIDAS

Ejemplo 6:

dxxx

x

23 )3()4(

1

Desarrollo:

332222

23

332222

23223

)4()3()4()3()3)(4()3()4(1

)3()4(

)4()3()4()3()3)(4()3()4(

)3(3)4()4(4)3()4(

1

xExxDxCxxBxxAx

xx

xExxDxCxxBxxA

x

E

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

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28

Identidad Base:

332222 )4()3()4()3()3)(4()3()4(1 xExxDxCxxBxxAx

Ok! Para encontrar los valores de A,B, C,D Y E, vamos a dar 5 valores a la x (porque son 5

incógnitas).Usamos los más fáciles:

4,2,1,1,0 xxxxx Al sustituir obtenemos las siguientes 5 ecuaciones lineales

con 5 incógnitas, las cuales podemos resolver usando un software de matemáticas. X=0:

164192936144 EDCBA

X=1:

0271081648144 EDCBA X=-1:

2125250420100 EDCBA X=2:

18402550100 EDCBA . X=4:

349 C Este sistema lo voy a resolver usando el software MATLAB, y definiendo las siguientes matrices:

004900

8402550100

125250420100

271081648144

64192936144

A

3

1

2

0

1

b

La solución del sistema está dada por:

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29

A= -0.1165 B=-0.1501 C=0.0612 D=-0.1335 E=0.2157 Ahora vamos con la integral:

02

232

23223

)3ln(2

)4ln(

)3ln()4ln(

)3(

1

3

1

)4(

1

)4(

1

4

1

)3(3)4()4(4)3()4(

1

232

Cw

ExD

u

C

u

BxA

dwwExDduuCduuBxA

dxx

Edxx

Ddxx

Cdxx

Bdxx

A

dxx

E

x

D

x

C

x

B

x

Adx

xx

x

Tenemos nuestra integral en términos de u y de las constantes A,B,C,D y E.

0223)3ln(

2)4ln(

)3()4(

1C

w

ExD

u

C

u

BxAdx

xx

x

Sustituyendo la variable u y regresando a la variable x:

0223 3)3ln(

424)4ln(

)3()4(

1C

x

ExD

x

C

x

BxAdx

xx

x

Ahora lo que resta por hacer es sustituir los valores de las constantes.

0223 3

2157.0)3ln(1335.0

4

306.0

4

1501.0)4ln(1165.0

)3()4(

1C

xx

xxxdx

xx

x

Conclusión.

dxduxu ,4

dxdwxw ,3

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30

CASO III: FACTORES CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES.

NOTA IMPORTANTE:

Un término cuadrático irreducible es aquel que no se puede factorizar o

escribir como producto de términos lineales. Simple y sencillamente no se

puede “descomponer”.

Siendo más rigurosos es aquel término que no tiene raíces reales, sino que sus

raíces son números especiales llamados complejos. Son raíces complejas

conjugadas.

Para saber si las raíces de una ecuación cuadrática son complejas conjugadas

simplemente debemos analizar una pequeña expresión que me dice fácil y

rápido como saberlo. Se llama el discriminante de la ecuación cuadrática.

Si acbDcbxax 4 como define se ntediscrimina el,0 22 .

Si D<0, entonces se dice que la cuadrática es IRREDUCIBLE.

Como ejemplos sencillos, vemos que los siguientes términos son cuadráticos irreducibles.

1). 2 xa

Considerando a=1,b=0 y c=1, es calcular fácil que D=-4.

9). 2 xb

En este caso a=1,b=0 y c=9, por lo que D=-36.

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31

Ejemplo 7:

dxxx

x

)9)(1(

122

Desarrollo:

)9)(1(

)1)(()9)((

)9)(1(

1

)9)(1(

)1)(()9)((

91)9)(1(

1

22

22

22

22

22

2222

xx

xDCxxBAx

xx

x

xx

xDCxxBAx

x

DCx

x

BAx

xx

x

Tenemos nuestra identidad de referencia:

)1)(()9)((1 22 xDCxxBAxx

Ok! Para encontrar los valores de A,B, C y D , vamos a dar 4 valores a la x (porque son 4

incógnitas).Usamos los valores más fáciles de sustituir:

2,1,1,0 xxxx Al sustituir obtenemos las siguientes 4 ecuaciones lineales con

4 incógnitas, las cuales podemos resolver usando un software de matemáticas.

X=0:

DBA

DBA

991

)1)(()9)((1

X=1:

DCBA

DCBA

2210100

)2)(()10)((0

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32

X=-1:

DCBA

DCBA

2210102

)2)(()10)((2

X=2:

DCBA

DCBA

51013261

)5)(2()13)(2(1

.

Este sistema lo voy a resolver usando el software MATLAB, y definiendo las siguientes

matrices:

199 DBA

0221010 DCBA

2221010 DCBA

15101326 DCBA .

5101326

221010

221010

1099

A

1

2

0

1

b

La solución del sistema está dada por:

A= -1.0000 B=2.1250 C=5.5000 D=-11.1250

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33

Ahora vamos con la integral:

0

22

0

2

2222

22

2222

)3

arctan(3

)9ln(2

)arctan()1ln(2

)arctan(3

)ln(2

)arctan()ln(2

132)arctan(

2

9911

91

91)9)(1(

1

cxD

xC

xBxA

czD

wC

xBuA

z

dzD

w

dwCxB

u

duA

x

dxDdx

x

xC

x

dxBdx

x

xA

dxx

DCxdx

x

BAx

dxx

DCx

x

BAxdx

xx

x

Es decir, tenemos lo siguiente:

0

22

22)

3arctan(

3)9ln(

2)arctan()1ln(

2)9)(1(

1c

xDx

CxBx

Adx

xx

x

xdxduxu 2,12 xdxdwxw 2,92

3,

3

dxdz

xz

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34

Al sustituir los valores de las constantes A,B,C y D:

A= -1.0000

B=2.1250

C=5.5000

D=-11.1250

Conclusión.

0

22

22)

3arctan(7083.3)9ln(75.2)arctan(125.2)1ln(

2

1

)9)(1(

1c

xxxxdx

xx

x

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35

Ejercicios Para Practicar:

es.irreducibl scuadrático factores )1)(16(

310.

es.irreducibl scuadrático factores )9)(4(

3.9

r.denominado del x factorizar :sugerencia 86

5.8

)4)(12)(3(

6.7

)1)(13(

15.6

.cuadrático trinomioel factorizar 23

14.5

.cuadrático trinomioel factorizar 23

3.4

)6)(1(

43.3

)8)(3(

1.2

)6)(5(

1.1

22

22

23

2

2

2

dxxx

x

dxxx

x

dxxxx

x

dxxxx

x

dxxx

x

dxxx

x

dxxx

x

dxxx

x

dxxx

dxxx

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