MS211 - Cálculo NuméricoAula 10 – Método de Newton e da Secante.

Marcos Eduardo Valle

Introdução

Nas aula anterior iniciaremos os estudos sobre métodosnuméricos para aproximar a solução do seguinte problema:

Zero de uma Função Real

Dada uma função f : [a,b]→ R, determine, se possível, ξ ∈ [a,b]tal que

f (ξ) = 0.

Nesse caso, ξ é chamado zero (ou raiz) de f . Dizemos tambémque ξ é uma solução da equação f (x) = 0. Denotaremos por ξ aaproximação de ξ fornecida por um método numérico.

Na aula anterior, apresentamos os métodos da bisseção e daposição falsa, ambos baseados no teorema do valorintermediário. Vimos também o método do ponto fixo.

Método do Ponto Fixo

Dizemos que ξ é um ponto fixo de uma função real ϕ se

ξ = ϕ(ξ).

Dada uma aproximação inicial x (0), definimos

x (k+1) = ϕ(x (k)), ∀k = 0,1,2, . . . .

Se ϕ é uma função com derivada ϕ′ contínua em um intervalo I,centrado no ponto fixo ξ, com |ϕ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ∈ I,então para qualquer aproximação inicial x (0) ∈ I, a sequência{x (k)} produzida pelo método do ponto fixo converge para ξ.

A convergência do método do ponto fixo será tanto mais rápidaquanto menor for o valor de M.

Taxas de Convergência

Definição 1 (Convergência Linear e Quadrática)

Seja {x (k)}, com limk→∞ x (k) = ξ, uma sequência deaproximações produzida por um método numérico.• Dizemos que {x (k)} converge linearmente para ξ se

limk→∞

|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|

= c, com 0 < c < 1.

• Dizemos que a ordem de convergência é p > 1 se

limk→∞

|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|p

= c, com 0 < c.

Em particular, se p = 2, tem-se convergência quadrática.

Na demonstração da convergência do método do ponto fixo,concluímos que

|x (k) − ξ| ≤ M|x (k−1) − ξ|.

Portanto, temos também que

limk→∞

|x (k+1) − ξ|x (k) − ξ

= M < 1.

Logo, o método do ponto fixo tem convergência pelo menos linear.

Podemos ter uma taxa de convergência melhor que linear seM = 0!

Motivação Algébrica para o Método de Newton

• Suponha que queremos calcular a raiz ξ de uma função fusando o método do ponto fixo.

• Podemos definir a função

ϕ(x) = x + A(x)f (x),

em A é tal que A(ξ) 6= 0.• Com intuito de obter uma rápida convergência, vamos escolher

A(x) de modo que ϕ′(ξ) = 0.• Pela regra do produto, temos que

ϕ′(x) = 1 + A′(x)f (x) + A(x)f ′(x).

Lembrando que f (ξ) = 0, obtemos A(ξ) = − 1f ′(ξ)

.

• Assim, basta escolher A(x) = − 1f ′(x)

.

Método de Newton

Definição 2 (Método de Newton)

Dada uma função diferenciável f e uma aproximação inicial x (0)

da raiz ξ de f , defina a sequência

x (k+1) = x (k) − f (x (k))

f ′(x (k)), ∀k = 0,1, . . . .

Espera-se que a sequência x (k) convirja para a raiz ξ!

Teorema 3 (Convergência do Método de Newton)

Seja f uma função contínua com derivadas de primeira e segundaordem f ′ e f ′′ contínuas em um intervalo I que contém a raiz ξ def . Se f ′(ξ) 6= 0 então existe um subintervalo I ⊆ I, que contém ξ,tal que a sequência {x (k)} gerada pelo método de Newtonconverge pelo menos quadraticamente para ξ para todo x (0) ∈ I.

Demonstração da convergência pelo menos quadrática:O desenvolvimento de Taylor de f em torno de x (k) fornece

f (x) = f (x (k)) + f ′(x (k))(x − x (k)) +12

f ′′(η(k))(x − x (k))2,

em que η(k) está entre x e x (k). Tomando x = ξ, encontramos

f (ξ) = f (x (k))− f ′(x (k))(x (k) − ξ) +12

f ′′(η(k))(x (k) − ξ)2 = 0.

Dividindo ambos os lados dessa equação por f ′(x (k)), obtemos

x (k) − f (x (k))

f ′(x (k))− ξ =

f ′′(η(k))2f ′(x (k))

(x (k) − ξ)2,

ou seja,x (k+1) − ξ(x (k) − ξ)2 =

f ′′(η(k))2f ′(x (k))

.

Finalmente, sendo f ′ e f ′′ contínuas e, como ambas sequências{x (k)} e {η(k)} convergem para ξ, concluímos que

limk→∞

|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|2

= limk→∞

|f ′′(η(k))|2|f ′(x (k))|

=|f ′′(ξ)|2|f ′(ξ)|

= c.

Logo, quando converge, o método de Newton tem convergênciapelo menos quadrática. �

Motivação Geométrica para o Método de Newton

O método de Newton tem a seguinte interpretação geométrica.

Considere a reta tangente à f no ponto (x (k), f (x (k))) dada por

L(x) = f (x (k)) + f ′(x (k))(x − x (k)).

Define-se x (k+1) como sendo a raiz de L, que pode ser vista comouma aproximação linear de f numa vizinhança de x (k).

Formalmente, L(x (k+1)) = 0 se, e somente se,

x (k+1) = x (k) − f (x (k))

f ′(x (k)).

Método de Newton

Entrada: Função f e sua derivada f ′; aproximação inicial x0.Dados: Número máximo de interações kmax ; tolerâncias δ e ε.Inicialize: k = 0, f0 = f (x0) e Dr = δ + 1.enquanto k ≤ kmax , |f0| > ε e Dr > δ faça

Atualize: k = k + 1.

Defina: x = x0 −f0

f ′(x0).

Calcule: Dr = |x − x0|.Atualize: x0 = x .Avalie: f0 = f (x0).

Saída: Aproximação para a raiz x .

Exemplo 4

Use o método de Newton para encontrar uma estimativa para araiz positiva da função

f (x) = ex − 2x − 1,

com aproximação inicial x (0) = 1 e tolerâncias δ = 0.1 e ε = 0.1.Interprete geometricamente o método de Newton.

Resposta:Primeiramente, observe que

f (x) = ex − 2x − 1 e f ′(x) = ex − 2.

Começando com a aproximação inicial x (0) = 1, construímos atabela em que Dr = |x (k+1) − x (k)|:

k x (k) f (x (k)) f ′(x (k)) Dr

0 1.00000 -0.28172 0.71828 0.392211 1.39221 0.23932 2.02374 0.118252 1.273957 0.027057 — —

Terminamos as iterações porque a condição |f (x (k)| < ε foisatisfeita.A aproximação fornecida pelo método de Newton é ξ = 1.273957.

Interpretação geométrica do método de Newton.

O gráfico abaixo mostra o erro absoluto pelas interações dométodo de Newton se considerarmos a mesma aproximaçãoinicial x (0) = 1 mas as tolerâncias δ = 10−7 e ε = 10−7.

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

0 1 2 3 4 5

Erro Absoluto

k

Método da Secante

Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidadede se obter e avaliar f ′ a cada iteração.

No método da secante, substituímos a derivada f ′(x (k)) peloquociente das diferenças

f ′(x (k)) ≈ f (x (k))− f (x (k−1))

x (k) − x (k−1) ,

em que x (k) e x (k−1) representam duas aproximações para ξ.

Geometricamente, dadas as aproximações x (k−1) e x (k), definax (k+1) como sendo a abcissa do ponto de intersecção do eixohorizontal com a reta secante que passa pelos pontos(x (k−1), f (x (k−1))) e (x (k), f (x (k))).

Definição 5 (Método da Secante)

Dada uma função f e duas aproximações iniciais x (0) e x (1) daraiz ξ de f , defina a sequência para k = 1,2, . . .:

x (k+1) = x (k) − f (x (k))(x (k) − x (k−1))

f (x (k))− f (x (k−1)),

ou, equivalentemente,

x (k+1) =x (k−1)f (x (k))− x (k)f (x (k−1))

f (x (k))− f (x (k−1)).

Espera-se que a sequência x (k) convirja para a raiz ξ!

Teorema 6 (Convergência do Método da Secante)

Suponha que f e sua derivada f ′ são contínuas num intervalo Ique contém a raiz ξ de f . Se f ′(ξ) 6= 0 e x (0) e x (1) sãosuficientemente próximos de ξ, então a sequência {x (k)}produzida pelo método da secante converge para ξ com

limk→∞

|x (k+1) − ξ||x (k) − ξ|p

= c,

em que c > 0 e p = (1 +√

5)/2 ≈ 1.6.

Método da Secante

Entrada: Função f ; aproximações iniciais x0 e x1.Dados: Número máximo de interações kmax ; tolerâncias δ e ε.Inicialize: k = 0, Dr = δ + 1, f0 = f (x0) e f1 = f (x1).enquanto k ≤ kmax , |f1| > ε e Dr > δ faça

Atualize: k = k + 1.

Defina: x =x0f1 − x1f0

f1 − f0.

Calcule: Dr = |x − x1|.Atualize: x0 = x1, f0 = f1, x1 = x .Avalie: f1 = f (x).

Saída: Aproximação para a raiz x .

Define-se f1 = f (x1) e f0 = f (x0) para diminuir o número deavaliações da função f .

Exemplo 7

Use o método da secante para encontrar uma estimativa para araiz positiva da função

f (x) = ex − 2x − 1,

com aproximações iniciais x (0) = 1 e x (1) = 2 e tolerânciasδ = 0.1 e ε = 0.1. Interprete geometricamente o método dasecante.

Resposta:Começando com as aproximações x (0) = 1 e x (1) = 2,construímos a tabela abaixo em que Dr = |x (k+1) − x (k)|:

k x (k) f (x (k)) Dr

0 1.0000 -0.28172 1.00001 2.0000 2.3891 0.894522 1.10548 -0.19028 0.0659913 1.171473 -0.116204 —

Terminamos as iterações porque a condição |f (x (k)| < ε foisatisfeita.A aproximação fornecida pelo método de Newton é ξ = 1.273957.

Interpretação geométrica do método da Secante.

O gráfico abaixo mostra o erro absoluto pelas interações dométodo da secante, com as mesmas aproximações iniciaisx (0) = 1 e x (1) = 2, mas as tolerâncias δ = 10−7 e ε = 10−7.

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Erro Absoluto

k

O gráfico abaixo mostra o erro absoluto pelas interações dosmétodos de Newton e secante.

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Erro Absoluto

k

Newton

Secante

Considerações FinaisNa aula de hoje demonstramos a convergência pelo menos lineardo método do ponto fixo.

Depois apresentamos o método de Newton, que possuiconvergência quadrática. Geometricamente, a próximaaproximação do método de Newton é obtida encontrando a raizde uma aproximação linear da função.

Finalmente, apresentamos o método da secante, que possuiconvergência superlinear. O método da secante pode ser vistocomo uma aproximação do método de Newton sem calcular aderivada da função f .

Muito grato pela atenção!

Demonstração da convergência do método de Newton:

Devemos mostrar que

ϕ(x) = x − f (x)

f ′(x),

satisfaz o teorema de convergência do ponto fixo.

Da regra do quociente, temos

ϕ′(x) =f (x)f ′′(x)(

f (x))2 .

Sendo f ′(ξ) 6= 0 e f ′(x) é contínua em I, existe um intervalo I1 ⊆ Ital que f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I1.

Temos também que f , f ′ e f ′′ são contínuas em I1 com f ′′(x) 6= 0.

Portanto, ϕ e ϕ′ são ambas contínuas em I1.

Além disso, como ϕ′(ξ) = 0, é possível escolher um subintervaloI ⊆ I1, centrado em ξ, tal que |ϕ′(x)| < 1 para todo x ∈ I.

Dessa forma, ϕ satisfaz as hipóteses do teorema de convergênciado método do ponto fixo.

Logo, a sequência {x (k)} produzida pelo método de Newtonconverge para ξ.