Calculo - Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

download Calculo - Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

If you can't read please download the document

  • date post

    20-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    100
  • download

    23

Embed Size (px)

Transcript of Calculo - Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

  • Departamento de Fsica Terica II(Mtodos Matemticos de la Fsica)

    Universidad Complutense

    U

    Ecuaciones Diferenciales II

    0

    0

    0

    5

    5xt

    u(t, x)

    1

    1

    Manuel Maas Baena y Luis Martnez Alonso

  • ndice General

    1 Introduccin a las ecuaciones en derivadas parciales 11.1 Definicin de EDP. EDP lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 EDP relevantes en la Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Cambio de variables independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2 Condiciones de contorno o frontera. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . 81.2.1 Dominios. Fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.3 Existencia local de soluciones de EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Funciones analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 El teorema de Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.4 Problemas de Cauchy. Hipersuperficies caractersticas . . . . . . . . . . . . 241.4.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2 Curvas caractersticas para EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Curvas caractersticas para EDP de segundo orden . . . . . . . . . . 29

    1.5 Operadores diferenciales. Problemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2 Operadores de frontera y de condiciones iniciales . . . . . . . . . . . 351.5.3 Problemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.4 Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    1.6 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.1 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2 Teora espectral de operadores diferenciales. Anlisis de Fourier 392.1 Producto escalar en espacios funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.1.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2 Cambios de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.2 Conjuntos ortogonales de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1 Desarrollos en serie de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . 442.2.2 Conjuntos ortogonales completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3 Operadores diferenciales simtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    i

  • ii NDICE GENERAL

    2.4 Autovalores y autofunciones. Operadores simtricos . . . . . . . . . . . . . 472.4.1 Problemas de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.2 Autovalores y autofunciones de operadores simtricos . . . . . . . . 50

    2.5 Operadores de SturmLiouville en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.1 Caso regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    Carcter simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.5.2 Caso singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5.3 Operadores de Schrdinger, Legendre y Bessel . . . . . . . . . . . . . 54

    2.6 Operadores de SturmLiouville en varias dimensiones . . . . . . . . . . . . 592.7 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    2.7.1 Bases trigonomtricas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7.2 Desarrollos de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.7.3 Convergencia de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    2.8 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.8.1 Definicin de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 772.8.2 Propiedades de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 822.8.3 Transformadas seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    Transformada de Fourier en R3 para funciones radiales . . . . . . . 902.9 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    2.9.1 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.9.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    3 Mtodos de separacin de variables y desarrollo en autofunciones 953.1 El mtodo de separacin de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3.1.1 Operadores diferenciales separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.1.2 Soluciones de EDP homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.1.3 Soluciones de problemas de contorno homogneos . . . . . . . . . . 993.1.4 El MSV y las ecuaciones de la fsica matemtica . . . . . . . . . . . . 103

    3.2 La ecuacin de Helmholtz en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . 1053.2.1 Partcula cuntica en una caja impenetrable . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2.2 Partcula cuntica en una caja con condiciones peridicas . . . . . . 1073.2.3 Fluido en una tubera paralepipdica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    3.3 La ecuacin de Helmholtz en coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . 1103.3.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.2 Partcula cuntica en una cua cilndrica impenetrable . . . . . . . . 1123.3.3 Fluido en una tubera cilndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    3.4 La ecuacin de Helmholtz en coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . 1183.4.1 Resolucin de la ecuacin angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.4.2 Resolucin de la ecuacin radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4.3 Partcula cuntica en una caja esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.4.4 Fluido en el interior de una caja esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    3.5 El mtodo de desarrollo en autofunciones (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.5.1 El MDA en problemas inhomogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.5.2 Ejemplos en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.5.3 El mtodo de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    3.6 Problemas de contorno en electrosttica y mecnica de fluidos . . . . . . . 1513.6.1 Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

  • NDICE GENERAL iii

    3.6.2 El MDA en problemas de electrosttica y mecnica de fluidos consimetra esfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    3.6.3 Esfera conductora cargada en equilibrio electrosttico en un campoelctrico constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    3.6.4 Fluido en movimiento uniforme deformado por una bola esfrica . 1593.7 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    3.7.1 Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.7.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

  • CAPTULO 1Introduccin a las ecuacionesen derivadas parciales

    E n este primer captulo se presentan las definiciones generales sobre ecuacionesen derivadas parciales (EDP) y se enuncia uno de los teoremas de existencia yunicidad bsicos, debido a Cauchy y a Kovalevskaya. Tambin se introducen losproblemas de Cauchy y la nocin de hipersuperficie caracterstica y se dedica una sec-cin a definiciones bsicas sobre operadores diferenciales y problemas de EDP linealesasociados.

    1. Definicin de EDP. EDP lineales

    2. Condiciones de contorno. Condiciones iniciales

    3. Existencia local de soluciones de EDP

    4. Problemas de Cauchy. Hipersuperficies caractersticas

    5. Operadores diferenciales. Problemas lineales.

    1.1 Definicin de EDP. EDP lineales

    En esta seccin, tras una introduccin de carcter general sobre nmeros complejosy derivadas parciales, presentamos algunas de las EDP ms relevantes en Fsica. Porltimo, analizamos como se transforman las EDP ante cambios de coordenadas.

    1.1.1 Aspectos generales

    Salvo mencin de lo contrario siempre consideraremos funciones dependientes de uncierto nmero de variables reales y que toman valores complejos. Utilizaremos dostipos de notacin dependiendo de la situacin.

    Notacin extendida Escribiremos u = u(x,y, . . . ) = u1(x,y, . . . ) + iu2(x,y, . . . )para denotar una funcin que depende de las variables reales (x,y, . . . ), que tomavalores complejos cuya parte real e imaginaria vienen dadas por nmeros

    complejos1

  • 2 Introduccin a las ecuaciones en derivadas parciales [Captulo 1

    Reu = u1, Imu = u2.Como nmeros complejos, los valores de la funcin u pueden conjugarse y poseenmdulo y argumento:

    u = u1 iu2, |u| = +u21 +u22, argu = arctan

    u2u1

    .

    Es til recordar que:

    |u|2 = uu, u = |u| ei argu.Recordemos que en el lgebra de nmeros complejos, dados a,b R, se tienen lasfrmulas de Euler:nmeros

    complejos,frmulas deEuler

    eib = cosb + i senb, ea+ib = eaeib = ea(cosb + i senb).Frecuentemente, en las aplicaciones en la Fsica, u