Aplicaciones de Las Derivadas Parciales

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Aplicaciones de las Derivadas Parciales Universidad Tecnológica de El Salvador MARCO TEÓRICO: Definición formal de Derivada Parcial: Las derivadas parciales están definidas como el límite donde Ues un subconjunto abierto de Rn y f : U→R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a=( a 1 , ... ,an ) ∈U con respecto a la i-ésima variable x i como: Cuando todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función además de ser continua es diferenciable cuando tiende a a. En este caso, fes una función C 1 . Concepto de Derivada Parcial: Cuando f sea una función de dos variables “x” y “y”, y si hacemos variar únicamente a x, cuando y permanezca fija, en ejemplo y=k, donde k es una constas. Entonces vemos una función de una sola variable, que en este caso sería x, resumiendo: g ( x)=f ¿). Cuando g tenga derivada en a, la derivada de a en esta situación es denominada derivada parcial de f con respecto a x en ( a,k ) y se denota por fx( a,k) . Veamos: 1

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MARCO TEÓRICO:

Definición formal de Derivada Parcial:

Las derivadas parciales están definidas como el límite donde Ues un subconjunto abierto de Rn y f :U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a=(a1 ,... , an)∈U con respecto a la i-ésima variable x i como:

Cuando todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función además de ser continua es diferenciable cuando tiende a a. En este caso, f es una función C1 .

Concepto de Derivada Parcial:

Cuando f sea una función de dos variables “x” y “y”, y si hacemos variar únicamente a x, cuando y permanezca fija, en ejemplo y=k, donde k es una constas. Entonces vemos una función de una sola variable, que en este caso sería x, resumiendo: g(x )=f ¿). Cuando g tenga derivada en a, la derivada de a en esta situación es denominada derivada parcial de f con respecto a x en (a ,k ) y se denota por f x (a , k) .

Veamos:

E1: f x (a ,k )=g ’ (a)donde g( x)=f (x , k )

Por la definición de una derivada, tendríamos:

g ’( x) = limh→0

(g (a+h )−g (a))h

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Y, por lo tanto, la E1 (ecuación 1) se convierte en:

E2: f x (a ,k ) limh→0

f ( a+h , k )−f (a , k )h

Cuando la derivada parcial de f es con respecto a y en (a ,k ) , denotada por f y (a , k ), se obtiene dejando x fija (x=a)y calculando la derivada ordinaria en k

de la función g( y )=f (a , y )

E3: f y (a , k ) limh→0

f (a , k+h )−f (a , k )h

Al variar el punto (a ,k ) , en E2 y E3, fx y fy se transforman en funciones de dos variables.

E4:

Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy definidas por:

f x (x , y) limh→0

f ( x+h , y )−f (x , y )h

f y (x , y ) limh→0

f ( x , y+h )−f ( x , y )h

Aparte de estas notaciones que hemos visto, hay otras más para derivadas parciales. Por ejemplo, cambiando f x por f 1 o D 1 f (para indicar derivación con respecto a la primera variable) o también podemos ver ∂ f /∂x para referirse a las derivadas parciales. Veamos mayor detalle en el siguiente cuadro:

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f x ( x , y )= f x=∂ f∂ x

= ∂∂x

f ( x , y )= ∂z∂ x

=f 1=D 1 f=D x f

f y ( x , y )=f y=∂ f∂ y

= ∂∂ y

f ( x , y )= ∂ z∂ y

=f 2=D2 f=D y f

Para calcular derivadas parciales, todo lo que tenemos que hacer es recordar de la E1 que la derivada parcial con respecto a x, es precisamente la derivada ordinaria de la función g de una sola variable que obtenemos al conservar yfija. Entonces para calcular derivadas obtenemos la siguiente regla:

1. Para hallar f x, considere y como constante y derive f (x , y ) con respecto a x.

2. Para hallar f y, considere x como constante y derive f (x , y ) con respecto a y.

Ejemplo 1: Hallar y evaluar las derivadas parciales.

Si f (x , y )=x3+x2 y3 –2 y2, encuentre f x (3,2) y f y (5,2)

Solución: conservando y constante y derivando con respecto a x, tenemos:

f x (x , y)=3 x2+2x y3

f x (3 ,2 )=3 (3 )2+2 (3 ) (2 )2=27+24=51

Ahora, conservando x constante y derivando con respeto a y, obtenemos:

f y ( x , y )=3 x2 y2−4 y

f y (5 ,2 )=3 (5 )2 (2 )2−4 (2 )=300−8=292

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Ejemplo 2: Hallar y evaluar las derivadas parciales.

Si f (x , y )=xex 2 y, encuentre fx y fx , y evaluar cada una en el punto (1 , ln 2) .

Solución: conservando y constante y derivando con respecto a x, tenemos:

f x (x , y)=xe x2 y (2 xy)+ex2 y

f x (1, ln2 )=e ln2 (2 ln 2 )+e ln2=4 ln2+2

Ahora, conservando x constante y derivando con respeto a y, obtenemos:

f y ( x , y )=e ln 2 y (x2 )=x3 ex 2 y

f y (1 , ln 2 )=eln 2=2

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f (x , y ) , tienen una interpretación geométrica que más adelante profundizamos, pero en este ejemplo; Si y= y0, entonces z=f (x , y 0)representan la curva intersección de la superficie z=f (x , y ) con el plano y= y0, como se muestra en la figura a continuación:

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Interpretación geométrica de las Derivadas Parciales:

Cuando se trata de funciones de una sola variable, la derivada de Y=f (x ) proporciona la pendiente de la recta tangente al grafico de Y=f (x ). De la misma manera, sí se tiene la función de dos variables Z=f (x , y ), la derivada parcial da la pendiente de una recta tangente a la superficie Z=f (x , y ).

Cuando se tiene la función Z=f (x , y ) y se considera a y constante, es decir, y=c , entonces la derivada parcial de Z respecto a x proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z=f (x , y ) con el plano y=c . Por otra parte, si la que se considera constante es x, es decir, x=c , entonces la derivada parcial de Z respecto a y proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z=f (x , y ) con el plano x=c .

Ilustración 1

La derivada parcial de f respecto a x, evaluada en (x 0 , c) , da la pendiente de la recta tangente T1, en el punto P1.

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O sea que:

La ecuación de la recta tangente T1 se puede escribir, entonces, de la siguiente manera:

Ilustración 2

La derivada parcial de f respecto a y evaluada en (c , y0) , da la pendiente de la recta tangente T2, en el punto P2.

Es decir:

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La ecuación de la recta tangente T2 se puede escribir como:

Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie f (x , y )=4−x ²− y ³ , con el plano y=1, en el punto (1, 1, 2)

Solución:

f (x , y )=4−x ²− y ³

Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie Z=xy ²+x ³ y , con el plano x=2, en el punto (2, 1, 10).

Solución:

Z=xy ²+x ³ y

Al evaluar en (2, 1), se tiene que la pendiente s2(2)(1)+2³=12

La ecuación de la recta tangente resulta ser:

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Derivadas parciales de una función de tres o más variables:

El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si k=f (x , y , z ) , existen tres derivadas parciales. Para definir la derivada parcial de k con respecto a x, se consideran y y z constantes y se deriva con respecto a x. Para hallar las derivadas parciales de k con respecto a y y con respecto a z se usa el mismo proceso.

∂k∂ x

=f x ( x , y , z )= lim∆ x→0

( f (x+∆ x , y , z )−f (x , y , z )∆ x )

∂k∂ y

=f y ( x , y , z )= lim∆ x→0

( f ( x , y+∆ y , z )−f (x , y , z)∆ y )

∂k∂ z

=f z ( x , y , z )= lim∆ x→0

( f ( x , y , z+∆z )−f ( x , y , z )∆ z )

En general, si k=f (x1 , x2… .. xn) , hay n derivadas parciales denotadas por:

∂k∂ xc

=f xc (x1 , x2 ,… .. xn ) , c=1,2,… ..n

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales.

a) Para hallar la derivada parcial de f (x , y , z)=xy+ y z2+ xzcon respecto a z, se

consideran xy y constantes y se obtiene:

∂∂ z

[ xy+ y z2+xz ]=2 yz+x

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b) Para hallar la derivada parcial de f ( x , y , z )=z sen ( x y2+2 z ) con respecto a z,

se consideran xy y constantes. Entonces, usando la regla del producto, se obtiene:

∂∂ z

[ z sen (x y2+2 z ) ]= (z ) ∂∂z

[ sen (x y2+2 z ) ]+sen (x y2+2 z ) ∂∂ z

[z ]

¿ ( z ) [ cos (x y2+2 z ) ](2)+sen (x y2+2 z )

¿2 zcos ( x y2+2 z)+sen (x y2+2 z )

c) Para calcular la derivada parcial de f (x , y , z , k )=(x+ y+z)/w con respecto a k , se

consideran x, y y z constantes y se obtiene.

∂∂k [ x+ y+z

k ]= x+ y+zk 2

Derivadas parciales de orden superior:

Las derivadas parciales de la función Z=f (x , y ) pueden ser, a su vez, derivadas y se obtienen, entonces, las derivadas parciales de 2º orden.

La derivada parcial de fxcon respecto a y se denota así:

Si se tiene que Z=f (x , y ), las derivadas parciales de 2º orden se denotan de la siguiente manera:

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Ejemplo: Para f (x , y )=7 x – 3 x y ³ ,+ y, encontrar todas las segundas derivadas parciales.

Solución:

Podemos observar que fxy – fyx ; esto se cumplirá siempre que las derivadas parciales de segundo orden sean continuas.

Ejemplo: Calcular las segundas derivadas parciales de f (x , y )=sen(x ²+ y ²) .

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Solución:

Ejemplo: Para la función f (x , y )=cos x / yhallar fxxfxy

Regla De La Cadena:

En varias ocasiones una función lo es de dos o más variables, las cuales a su vez dependen de una tercera variable. Para encontrar la razón de cambio de la función respecto a esta ultima variable, se utiliza la regla de la cadena. Por ejemplo, la producción de una fábrica depende del capital invertido y del tamaño de la fuerza de trabajo, pero ambos se modifican en el tiempo. Por esta razón, la producción depende, en última instancia, del tiempo.

Si se tiene la función de dos variables Z=f (x , y ), de tal manera que x y son, su vez, funciones que dependen de la variable t , entonces la derivada de zrespecto a t se obtiene de la manera siguiente:

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Ejemplo: Sí Z=3 x2−2 y3, donde x=t y=sent, hacer uso de la regla de la cadena para encontrar dz /dt .

Solución:

Ejemplo: Sea w=(ln x)cos ( y z2), con x=t 2+1 , y=e2t , z=t 3 . Encontrar dw /dt

Solución:

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Ejemplo: Un supermercado vende café molido a x colones la libra y café granulado a y colones la libra. Actualmente la demanda mensual de café molido es:

D(x , y)=1600−6 x4 /3+10 y3 /2Libras

Dentro de tmeses, el supermercado venderá la libra de café molido a:

x=26.55+0.15√ t Colones

y el café granulado a:

y=35.1+0.1t Colones

¿A qué ritmo estará cambiando la demanda del café molido dentro de 9 meses?

Solución:

Para t=9 se tiene x=26.55+0.15√9=27

y=35.1+0.1(9)=36

Por lo tanto, al sustituir valores resulta:

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Derivación Implícita:

Sea F (x , y )=0 una ecuación que define a y como función implícita de x . Al usar la regla de la cadena, para derivar F con respecto a x, se tiene:

Al despejar resulta:

Si F (x , y , z)=0 define implícitamente az como función de x y, al derivarF respecto a x (y constante)

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De la misma manera:

Ejemplo: Si e y sen x+3 xy=1 , Encontrar dy /dx .

Solución:

Ecuaciones diferenciales en Derivadas Parciales:

Ecuaciones lineales

Veamos ecuaciones lineales en dos variables:

A∂2u∂x2

+B∂2u∂ xdy

+C∂2u∂ y2

+D∂u∂ x

+E∂u∂ y

+Fu=G

En donde A ,B ,C ,….G son funciones de x y y. Cuando G(x , y)=0, se dice que la ecuación es homogénea; contrariamente estamos con ecuaciones no homogéneas.

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Solución por integración

Cuando se integra una derivada parcial aparece una función arbitraria en lugar

de una constante de integración. Por ejemplo, la solución de ∂u∂ x

=0 es u=f ( y) ,

donde f es una función diferenciable (admite derivadas parciales en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín).

Ejemplo:

Resolver: ∂u2

∂ x2− y2=ex

Solución: resolvemos la ecuación como lo haríamos para una ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden, esto es, primero resolver en este caso:

∂u2

∂ x2− y2=0

Tratando a y como constante, tenemos que:

uc=f ( y ) exy+g ( y )e− xy

Para encontrar una solución particular usamos coeficientes indeterminados y suponemos que:

up=A ( y)ex

Sustituyendo esta última función en la ecuación dada, resulta:

Aex− y2 Aex=ex

Y por tanto, A( y)=1 /(1− y2) . Luego, una solución de la ecuación es:

u=f ( y ) exy+g ( y ) e−xy+ e x

1− y2

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Separación de variables

En derivadas parciales lineal homogénea, es posible obtener soluciones particulares en forma de producto.

u ( x , y )=X ( x ) Y ( y )

El uso del producto, llamado método de separación de variables, permite reducir la ecuación diferencial en derivadas parciales a varias ecuaciones diferenciales ordinaria. Con este propósito, hacemos notar que:

∂u∂ y

=X 'Y ,∂u∂ y

=XY '

Y

∂2u∂ x2

=X ' 'Y ,∂2u∂ y2

=XY ' ' En donde las primeras indican diferenciales ordinarias.

Ejemplo: Hallar soluciones en forma de producto de la ecuación:

Solución: Si u=X (x )Y ( y) , entonces se transforma en:

Después de dividir ambos miembros entre 4 XY , se logra separar las variables:

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Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es independiente de y y es idéntico a lado derecho, el cual es independiente de x, concluimos que ambos miembros deben ser iguales a una constante. En la práctica en conveniente escribir esta constante real como λ2 , obien como−λ2 . Distinguimos los casos siguientes.

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Principios de superposición.

Si u1 ,u2….uk , son soluciones de ecuación diferencial parcial lineal homogénea, entonces la combinación lineal

U=c1u1+c2u2+….+ckuk , Donde los c i , i=1,2 ,…. ,kson constantes, también es

una solución.  

Al tener un conjunto infinito u1 ,u2 , u3….De soluciones de una función lineal homogénea, aun se tiene otra solución u formando la serie infinita.

u=∑k=1

uk

Aplicaciones más comunes de las Derivadas Parciales:

Productividad Marginal

La productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se relaciona principalmente con dos factores: el monto del capital invertido y la mano de obra empleada en la fabricación del artículo.

Sean: Q la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo).

K el monto del capital invertido en la planta productiva ($).

L el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios pagados).

Se establece entonces una función de dos variables: Q(K , L) , llamada función de producción, donde K y L son los insumos de producción, como por ejemplo:

Productividad marginal del capital: Es la derivada parcial de Qcon respecto a

K, es decir , y significa el incremento en la producción debido, al incremento

de una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la

inversión en mano de obra.

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Productividad marginal de la mano de obra: Es la derivada parcial de Q con

respecto a L, , y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de obra, manteniendo fija la inversión del capital de la planta productiva.

Ejemplo: Para la función , calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L=3 y K=5.

Solución:

4 3 4 4 3(3) 4(5) 4 9 20 7Q

L KK

unidades / unidad adicional de capital.

unidades / unidad adicional de mano de obra.

Función de producción de Cobb Douglass: Es una función de la forma

, donde a, b y c son constantes positivas y se cumple que:

Ejemplo: , calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L=35 y K=220.

Solución:

0.4 0.40.40.4 0.4 0.4 0.4

0.4

3530 (0.6) 18 18 18 18 8.63

220

Q L LL K L K

K KK

unidades / unidad adicional de capital.

unidades / unidad adicional de mano de obra.

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Demandas marginales

Ciertos productos en el mercado se relacionan entre sí, de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro.

Sean , los precios unitarios de los artículos y , sus demandas

respectivas. Entonces y son sus ecuaciones de demanda. De estas ecuaciones se pueden obtener cuatro derivadas parciales:

1

1

x

p

,

1

2

x

p

, , .

Demanda marginal del artículo 1, con respecto a su precio: Es la derivada

parcial .

Demanda marginal del artículo 1, con respecto al precio del 2: Es la

derivada parcial .

Las definiciones son similares para las otras dos derivadas parciales.

En lo general las derivadas parciales y son negativas, porque al aumentar su precio disminuye su demanda. Sin embargo las derivadas

parciales

1

2

x

p

y

2

1

x

p

, que se llaman demandas marginales cruzadas, pueden

ser positivas o negativas dependiendo de la interacción de los productos. Por ejemplo al aumentar el precio de la carne de cerdo, sin cambiar el precio de la carne de res, la demanda de carne de cerdo baja y se incrementa la demanda de la carne de res. Así mismo si se incrementa el precio de la carne de res, sin cambiar el precio de la carne de cerdo, la demanda de carne de res baja y se

incrementa la demanda de la carne de cerdo; aquí

1

2

0x

p

y

2

1

0x

p

. Sin embargo, por ejemplo, al aumentar el precio de las cámaras fotográficas (no digitales), la demanda de película fotográfica baja y viceversa; aquí las dos

derivadas parciales son negativas, es decir y .

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Artículos competitivos o sustitutos: Cuando y .

Artículos complementarios: Cuando y .

Ejemplo: Calcular las demandas marginales cruzadas para las siguientes

ecuaciones de demanda de dos productos del mercado: y

. A continuación decir si se trata de productos competitivos o complementarios.

Solución: y . Puesto que ambas derivadas son negativas, se trata de productos complementarios.

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OBJETIVOS:

Específicos:

1. Conocer la Definición de Derivadas Parciales y sus aplicaciones en entornos de la vida cotidiana con énfasis en matemáticas de Ingeniería.

2. Facilitar la utilización de Derivadas Parciales en problemas matemáticos de más de una variable para problemas de Ingeniería.

Generales:

1. Comprender el uso general de las Derivadas Parciales y su forma de aplicación en procesos matemáticos con funciones cambiantes de más de una variable, ya sean problemas lineales o no-lineales de Ingeniería.

2. Determinar y entender el uso del concepto básico de Derivadas Parciales y su utilización como herramienta facilitadora en la solución de problemas que requieren un nivel matemático en el que se involucran funciones de más de una variable con procesos especiales en las que también se pueden manejar con constantes.

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INTRODUCCIÓN:

El siguiente trabajo bibliográfico reúne una muestra general de la Definición de Derivadas Parciales, su aplicación, su Interpretación Geométrica y la alusión del uso de Derivadas Parciales de una función de dos, tres o “n” variables en algunos casos matemáticos de ingeniería.

Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniería para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes, es decir, la derivada de una función de dos variables, mide la rapidez de cambio de una de ellas llamada “variable dependiente” en relación con la denominada “variable independiente”. Podemos adelantara que las derivadas parciales son útiles para al análisis real multi-variable de vectores en dos o más dimensiones (calculo vectorial). y geometría con los números reales, los vectores, sus funciones, además de los números complejos; que en este trabajo preferimos no tocar (geometría diferencial).

Para resolver problema de Derivadas Parciales utilizaremos las técnicas básicas de Derivación, técnicas algebraicas y otros mecanismos matemáticos que facilitan la resolución de cualquier ejercicio, sin mencionar que se tendrán que hacer recordatorios de matemática iniciales.

Para el mejor desempeño en la realización de este tipo de problemas se recomienda practicar constantemente con ejercicios aumentando gradualmente la dificultad y realizar.

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CONCLUSIÓN:

Las Aplicaciones de las Derivadas Parciales se extienden en el mundo de las matemáticas, tomando gran importancia y aprecio en la resolución de problemas complejos de ingeniería y otras ramas de la ciencia; ya que han venido facilitando el proceso a través de los tiempos que incluyen procesos muy comunes como el cálculo y la geométrica en diversas formas.

Concluimos resumiendo que: las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea z=f (x , y ) , es decir, z es función de x y y. Si se mantiene constante temporalmente, z es una función de x, con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial ∂ z /∂ x=∂ f /∂x; o de la misma manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto de y se obtiene δz /δy=∂ f /∂ y.

Las derivadas parciales se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables (menos una) son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior.

Por ejemplo, si z=x 2−xy+3 y 2 se tiene que ∂ z /δx=2x− y y que ∂ z /∂ y=−x+6 y. Geométricamente, una ecuación z=f (x , y ) define una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x y y son horizontales y el eje z es vertical, entonces ∂ z /∂ x y ∂ z /∂ y representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x , y , z)en la dirección de los ejes x y y, respectivamente.

Recordemos que las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo; que con el uso de otras herramientas matematices complicarían el proceso dificultando el obtener respuestas concretas y útiles para aplicaciones además de académicas, laborales o experimentales.

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BIBLIOGRAFÍA:

Libros.

Titulo: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones.Autor: Dennis G. Zill.Edición: Segunda.Páginas Nº: 428 – 445

Titulo: Matemática 2 Ciencias Económicas y Administración.Autor: Raúl Aguilar Liborio.Edición: Primera.Paginas Nº: 101-117

Titulo: Cálculo Trascendentes Tempranas.Autor: James Stewart.Edición: Cuarta.Paginas Nº: 895-900

Titulo: Calculo II de varias variables.Autor: Ron Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards.Edición: Octava.Paginas Nº: 906-910

Documentos Pdf. de internet.

Tema: Diferenciación de funciones de varias variablesDistribuido por: Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Tec. en Inf. de Gestión. Universidad de JaénPaginas Nº: 1-12

Sitios web de internet.

CIDSE (Centro de Investigación y Desarrollo de Software Educativo) URL: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node1.htmlAutor: Walter Mora F y Geovanni Figueroa M. Tema: Cálculo Superior, Derivadas Parciales.

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES.

ÍNDICE:

Contenido Páginas

Marco Teórico. 1-22

Definición formal de derivada parcial. 1Concepto de Derivada Parcial. 1- 4Interpretación geométrica de las derivadas parciales. 5-7Derivadas parciales de una función de tres o más variables. 7-9Derivadas parciales de orden superior. 9-11Regla de la cadena. 11-13Derivación implícita. 14-15Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. 15-19Aplicaciones más comunes de derivadas parciales. 19-22

Objetivos. 23Introducción. 24Conclusión. 25Bibliografía. 26

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FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS

TEMA:

Aplicaciones de las Derivadas Parciales

MATERIA:

Matemáticas IV

Nota del autor: usar con confidencialidad.

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