Con regla y compás l1l1 l2l2 ha B C a α. A Construcción A’.. l MBC b A Construcción mama. β...

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS• con regla y compás

l1

l2

ha

B Caα

. A

Construcción

A’

.

.

lM BC

b

A Construcción

ma

.

β γB’ C’

A’

a’r3

Ir1

r2

A

CB

c

. 1.2.

3.

.

. .. .

.

r

Construcción

l1

l2

ha

B C

wa

A

2

α2

α

..w w

’

.

..

Construcción

RECOMENDACIONES

1 ángulo y el segmento opuesto → Arco Capaz

Altura de un lado de un triángulo → dos paralelas separadas por la altura

1 segmento y la razón de los otros dos lados → Circunferencia de Apolonio

2 ángulos → semejanza

CONSTRUCCIONES BÁSICAS

A

l

MB.

. .. .

Hallar la mediatriz de un segmento1.-Sea AB el segmento dado2.- Los puntos 1 y 2 a la O (A,r) (B,r)3.- La recta l pasa por los puntos 1 y 2

4.- l es mediatriz del segmento AB y pasa por el punto medio m del segmento AB

1

2

.

.Hallar la recta paralela a una recta dada que pasa por un punto dado

1.-Sea l1 la recta dada y P el punto

2.- El punto A l13.- Los puntos 1 y 2 O (A,PA) l14.- El punto 3 O (2,P1) O (A,PA) 5.- La recta l1 une a los puntos P y 3 y es

paralela a l1

. l1

P

A1 2

3 l2

B’

B.Duplicar un ángulo1.- Sea a α el ángulo dado.2.- Sea O’C una semirrecta3.- Los puntos A y B O (O,r) con los lados del ángulo dado4.- A’ O (O,r) 5.- B’ O (O,r) O (A,B) 6.- La semirrecta OD tiene su origen en el punto O y pasa por B’

α

O’ C.

.AO.

.A’

.

D

Trazar la tangente a una circunferencia1.-Sea C la circunferencia de centro O y radio OA. 2.-O’ pertenece a la prolongación de OA una distancia OA3.- l es la mediatriz de OO’4.- l es tangente a C en el punto A

A .O’.O.

lC

α

CONSTRUCCIONES BÁSICAS

Dividir un segmento en una razón dada1.- Sea AB el segmento dado2.- Se traza la recta l a un α a partir de A3.- El punto n1 O (A,a) l4.- El punto n2 O (n1,a) l5.- El punto n3 O (n2,a) l ….y asi sucesivamente hasta nn

6.- Se traza el segmento n3B7.- El punto m3 (n3B AB)8.- El punto m2 (║a n3B AB)9.- El punto m1 (║a n2B AB)

m1

A B

l

an1

n2

n3

m2m3

. ..

..

..

Hallar la bisectriz W de un ángulo α1.-Sea el ángulo α dado y O su origen2.- El punto w O (A,r) (B,r), donde r es un valor constante3.- La bisectriz Wα es el rayo que sale del origen de ángulo y pasa por el punto w

αA

B

.w.O

..

Trisecar un ángulo recto1.-Sea el AOB un ángulo recto2.- Los puntos 1 y 2 O(O,r) lados del ángulo, (OA y OB) 3.- El punto 3 O(O,2) O(O,r) 4.- El punto 4 O(O,1) O(O,r)

5.- l1 es la semirrecta que une los puntos O y 3

6.- l2 es la semirrecta que une los puntos O y 4

A

OB

..

..1

2

34.

l1l2

B

O . s

α

t

m

B

C

A

α

Caso N° 1 (α, AB)1.- Por A se traza t que forme con AB el ángulo α2.- Se traza s t3.- Sea m la mediatriz de AB4.- O (s m)5.- El arco capaz ☉(O, OA) AC(AB, α) ☉(O,OA) = APB

Caso N° 2 (α, R)1.- Sea C la ☉(O, R) 2.- Se copia α inscrito a la ☉C3.- A lado de α C4.- B lado de α C

Caso N° 3 (R, AB)1.- Sea C la ☉(O, R) 2.- Sea AB una cuerda de C3.- α es el ángulo inscrito cuyos lados pasan por A y

CONSTRUCCIÓN DEL ARCO CAPAZ

α B A R

El arco capaz se define como un Datum (α, AB, R), es decir el ángulo, el segmento y el radio del acrco. Si se tienen dos elementos del Datum se puede construir el Arco Capaz, y encontrar el tercer elemento

A

. R

O

B

C

A

α

. R

O

l1

l2

ha

B Caα

A

Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, α y ha2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha3.- El lado a l∈ 2 y define los vértices B y C4.- El vértice A [(l∈ 1 ∩ AC (a, α)]

Construcción

A’

1.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, α, ha

A

BC a

haα

Figura de AnálisisAl conocer el lado a, se tienen los vértices C y B, el vértice A está a la altura ha del lado BC, de modo que dibujaremos dos paralelas separadas por la altura ha

Además desde A se ve el segmento BC bajo el ángulo α conocido. Es decir, tenemos un ángulo y el segmento opuesto → utilizaremos Arco Capaz

Discusión

2 soluciones por semiplano A y A’

.

haa α

..

2.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, b, ma

lM

BC

b

A

Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, b y ma2.- Sea l la recta que contiene al lado a3.- El lado a define los vértices B y C4.- El punto M al punto medio del lado a∈5.- El vértice A [∈ O (M,ma) ∩ O (C,b)]

Construcción Discusión

1 solución por semiplano

ma

bmaa

A

BC a

ma

b

Figura de Análisis

Al conocer el lado a, se tienen los vértices C y B, el vértice A está en la intersección del lado b con la mediana ma

. .

.

a.

Construcción l1

l2

ha

B C

wa

A

2

α2

α

3.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: α, ha y wa

α hawa

A

CB

Wa

α

Figura de AnálisisAl conocer la altura ha, podemos saber que el triángulo se encuentra entre dos paralelas separadas por la altura ha, por lo que el vértice A puede ubicarse en una de las paralelas. Si Wa es la bisectriz, los vértices C y B estarán a cada lado de la bisectriz separados por la mitad del ángulo α

ha

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados α, ha y wa.2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha.3.- El vértice A l∈ 1

4.- El punto W [∈ O (A,Wa) ∩ l2]5.- El vértice B (lado izquierdo del ∈ α/2) ∩ l26.- El vértice C (lado derecho del ∈ α/2) ∩ l2

..w w’

W

Discusión

2 soluciones por semiplano W y W’

.

..B’ C’

4.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, ha, ma

a

A

CB a

ma

Figura de Análisis

ha

ma ha

Al conocer la altura ha, podemos saber que el triángulo se encuentra entre dos paralelas l1 y l2 separadas por la altura ha,.

Además, el lado a define los vértices C y B, el vértice A se encuentra en la intersección de la mediana ma con la recta l1

M

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, ha y ma

2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha

3.- El lado a define los vértices B y C

4.- M es el punto medio del lado a

5.- El vértice A ∈ O (a/2,ma) ∩ l1

Discusión

2 soluciones por semiplano A y A’

l1

l2

ha

B C

ma

A.

M

Construcción

a

A’ .

.. .

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados c, ha y ma

2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia ha

3.- El vértice A l∈ 1

4.- El punto M ∈ O (A,ma) ∩ l2

5.- El vértice B ∈ O (A,c) ∩ l2

6.- El vértice C ∈ O (M,BM) ∩ l2Discusión

2 solución por semiplano M y M’

Construcción

l1

l2

ha

B CM

A

c Ma

5.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos:. c, ha, ma

chaMa

A

CB

ma

C

Figura de Análisis

ha

Al conocer la altura ha, podemos saber que el triángulo se encuentra entre dos paralelas l1 y l2 separadas por la altura ha,.

Además, el vértice A se encuentra en la recta l1. El vértice B está a una distancia c de A, el vértice C está a una distancia a/2 del pto medio de BC

M

.

. . .M’

.C’.

Discusión


Construcción

6.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: wa, β, γ

β γWa’

B’ C’

A

Wa

B C

a’

l1

A

C’B’Wa’β

Figura de Análisis

Tenemos dos ángulos conocidos : β y γ de manera que cualquier triángulo que tenga estos dos ángulos es semejante al triángulo requerido ABC. Asi, se construye un triángulo semejante A’B’C’ y se halla la bisectriz Wa’ del ángulo α . Esta se compara con la compara con la dada para para encontrar el triángulo requerido.

γ

Wa

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados β,γ,wa2.- Sea el ∆AB’C’ el auxiliar y dados a’, β y γ 3.- El lado a’ define los vértices B’ y C’4.- El vértice A (lado del ángulo ∈ β copiado a partir del lado a’) ∩ (lado del ángulo γ copiado a partir del lado a’)5.- Wa’ es la bisectriz del ángulo α 6.- El punto W ∈ O (A,Wa) ∩ prolongación de Wa’7.- l1║ B’C’ y pasa por W8.- El vértice B prolongación de ∈ AB’ ∩ l19.- El vértice C prolongación de ∈ AC’ ∩ l1

Análisis

β γWa

B C

W.

.

7.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: β, γ, r

Figura de Análisis

Tenemos dos ángulos conocidos : β y γ de manera que cualquier triángulo que tenga estos dos ángulos es semejante al triángulo requerido ABC. Así, se construye un triángulo semejante A’B’C’ y se halla el radio r’.

Los lados a, b, c a la prolongación de r’ hasta ∈r con las rectas paralelas a los lados a’, b’ y c’

A

C’B’r

β γ

B C

A’

O’r’.

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados β , γ , r

2.-Sea el ∆A’B’C’ el auxiliar y dados β , γ, a’

3.- El lado a’ define los vértices B’ y C’

4.- El vértice A’ (lado del ángulo ∈ β copiado a partir del lado a’)∩ (lado del ángulo γ copiado a partir del lado a’)

5.- c es la circunferencia inscrita al ∆A’B’C

6.- Sea el I incentro del ∆A’B’C’

7.- Sea r1, r2 y r3 radios de la circunferencia inscrita perpendiculares a los lados del ∆ A’B’C’

8.-los puntos 1,2 y 3 ∈ O (i,r) ∩ (prolongaciones

de Ir1,Ir2 y Ir3)

9.- l1,l2 y l3 son paralelas a los lados B’C’, A’C’ y B’A’ y pasan por los puntos 1,2 y 3 respectivamente

10.- El vértice A l∈ 2 ∩ l311.- El vértice B l∈ 1 ∩ l212.- El vértice C l∈ 1 ∩ l3

Discusión


Construcción

β γB’ C’

A’

a’r3

Ir1

r2

l1l2

l3

A

CB

c

. 1.2.

3.

.

. .. .

.

r

β γ r

Figura de análisis

β γ

B

A

D ECa b

bc

c

2p

γ/2β/2

β/2 γ/2

1.- Se prolonga el lado a una cantidad b a la derecha hasta E y una cantidad c a la izquierda hasta D

2.-DE es el perímetro 2p

3.- Los Δs ADB y ACE son isósceles

4.- El DAE se calcula de la siguiente manera:

α + β + γ = 180 Suma de los ángulos del triangulo

180 - α = β + γ Despeje

División de ambos miembros entre 2 (3.1)

m DAE = 180- (β/2 + γ/2) Suma de ángulos (3.2)

m DAE = 180- (90- /2) Sustitución de (3.1) en (3.2)

m DAE = 90+ /2

22

180

8.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: , β, 2p

/2

/2

/2 90

D

A E

90 +

D

A E

2p

θ

β

A

D Eβ/2

Construcción

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados , β, 2p

2.- Sea el ∆DAE el auxiliar y dados 2p, β/2 y DAE = θ

3.- El lado 2p define los vértices D y E

4.- El vértice A (lado del ángulo ∈ β/2 copiado a partir del lado 2p)

∩ AC (2p,θ)

5.- l1 es mediatriz de AD y L2 es mediatriz de AE

6.- El vértice B l1 ∩ 2p∈

7.- El vértice C l2 ∩ 2p∈

Discusión


2pθ

β/2

.

.

m..B

l1l2

.C

2p

D

A E

θ

9.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: , β, 2p

Figura de análisis

α β

A

C

D EBc a

ab

b

2p

β/2α/2

α/2 β/2

2p

β

1.- Se prolonga el lado a una cantidad b a la derecha hasta E y una cantidad c a la izquierda hasta D

2.-DE es el perímetro 2p

3.- Los Δs ADC y BEC son isósceles

4.- El Δ DCE se construye /2 , β/2 y 2p, es decir un lado y los ángulos adyacentes (A.L.A.)

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados , 2p, β

2.- Sea el ∆DAE el auxiliar y dados 2p, β/2 y l2

3.- El lado 2p define los vértices D y E

4.- El vértice C (lado del ángulo ∈ β/2 copiado a partir del lado 2p) ∩ (lado del ángulo /2 copiado a partir del lado 2p)

5.- l1 es mediatriz de AD y l2 es mediatriz de AE

7.- El vértice A ∈ l2 ∩ 2p

8.- El vértice B ∈ l1 ∩ 2pDiscusión


Construcción

A

C

D EB

β/2

l1

l2

/2

2p. .

.

. .

2p/2 β/2

2pβ

Discusión

2 solución por semiplano B y B’

Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados R, a y hb2.- Sean l1 y l2 dos rectas paralelas entre sí y separadas una distancia hb3.- El vértice C l14.- El vértice B O (C,a) ∩ l2 5.- l3 es mediatriz del BC6.- El punto O O (B, R) ∩ l37.- El vértice A O (O, R) ∩ l1

AC

B

R

a

Construcción

l1

R

l2

hb

l3

10.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: R, a, hb

B

AC

a

hb

Figura de AnálisisSe conoce la altura hb desde el lado CA, de modo que dibujaremos dos paralelas l1 y l2 separadas por la altura hb.

Los vértices B y C están en l1 y l2 respectivamente, y la circunferencia circunscrita de radio R cuyo centro está en la mediatriz de BC permite determinar el vértice A.

.

.

B’.

O.

.

.

R hba

Construcción

A C

2ma

D

l1

c

l2

Discusión

2 soluciones por semiplano D y D’.

Sin embargo, en este caso el punto D’ no existe, pues no hay intersección entre las circunferencias de centro en A y radio 2ma con la de centro en C y radio c.

11.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: b,c,ma

B

CA

cma

Figura de Análisis

b

Se conocen los lados b y c y la mediana ma. El lado b define los vértices A y C.

Si se duplica la mediana ma es posible construir un paralelogramo cuya diagonal BC permite ubicar el vértice B

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados b,c, ma

2.- El lado b l1 y define los Vértices A y C

3.- El punto D O (A, 2ma) ∩ (C,c)

5.- l2 pasa por A y es paralela a c

6.- El vértice B O (A,c) ∩ l2

b. .

.

(se forma el paralelogramo ABDC)

c

b mac

Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, mc, mb 2.- El lado a l1 y define los vértices B y C3.- El punto G O (B,2/3mb) ∩ O (C,2/3mc)

11.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a,mc, mb

A

CB

mcmb

Figura de Análisis

a

Se conoce el lado a y las medianas mb y mc. El lado a define los vértices B y C.

Si se interceptan las medianas en G, el vértice A estará en la prolongación de BM1 con la prolongación de CM2G

M

1/3mc 1/3mc 1/3mc

mb1/3mb1/3mb 1/3mb

CB l1a

a

mb

mc

mc

Construcción

M1 M2



A

CB

mcmb

Figura de Análisis

a


Si se interceptan las medianas en G, , el vértice A estará en la prolongación de BM1 con la prolongación de CM2G

M

1/3mc 1/3mc 1/3mc

mb1/3mb1/3mb 1/3mb

CB l1a

a

mb

mc

mc

Construcción

M1 M2



A

CB

mcmb

Figura de Análisis

a



M

1/3mc 1/3mc 1/3mc

mb1/3mb1/3mb 1/3mb

CB l1a

a

mb

mc

mc

Construcción

G

2/3mb 2/3mc

M1 M2

Discusión


Análisis 1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, mc, mb 2.- El lado a l1 y define los vértices B y C3.- El punto G O (B,2/3mb) ∩ O (C,2/3mc) 4.- EL punto M1 O (C, mc) ∩ (prolongación de CG)5.- EL punto M2 O (B, mb) ∩ (prolongación de BG)6.- l2 contiene BM1

7.- l3 contiene CM2

8.- El vértice A prolongación de B M1 ∩ prolongación de C M2


A

CB

mcmb

Figura de Análisis

a



M

1/3mc 1/3mc 1/3mc

mb1/3mb1/3mb 1/3mb

A

CB

G

l1

2/3mb

M2M1

a

a

mb

mc

Construcción

mc

l3

l2

2/3mc

M1 M2

12.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, ma, mb

A

CB

ma

mb

Figura de Análisis

a

Se conoce el lado a y las medianas ma y mb. El lado a define los vértices B y C.

Si se interceptan las medianas en G, el vértice A estará en la prolongación del segmento que une el punto medio del lado a con el baricentro G.

G

M

1/3ma 1/3ma 1/3ma1/3mb1/3mb 1/3mb

a

Construcción

ma

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, ma, mb

2.- El lado a l1 y define los vértices B y C

3.- M es punto medio del lado a

3.- El punto G O (B,2/3mb) ∩ O (M,1/3mc)

CB l1.M

..

mb

Discusión


CB

G

l1

2/3mb

a

Construcción

1/3m

a

Análisis

1.- Sea el ∆ABC el requerido y dados a, ma, mb

2.- El lado a l1 y define los vértices B y C

3.- M es punto medio del lado a

3.- El punto G O (B,2/3mb) ∩ O (M,1/3mc)

4.- EL vértice A O (M, ma) ∩ (prolongación de MG)

.M

1/3ma 1/3ma 1/3mama

..

A.

1/3mb1/3mb 1/3mbmb

12.- Analizar, construir y discutir el triángulo ABC si se conocen los siguientes elementos: a, ma, mb

A

CB

ma

mb

Figura de Análisis

a

Se conoce el lado a y las medianas ma y mb. El lado a define los vértices B y C.

Si se interceptan las medianas en G, el vértice A estará en la prolongación del segmento que une el punto medio del lado a con el baricentro G.

G

M

Con regla y compás l1l1 l2l2 ha B C a α. A Construcción A’.. l MBC b A Construcción mama. β...

Documents

Transcript of Con regla y compás l1l1 l2l2 ha B C a α. A Construcción A’.. l MBC b A Construcción mama. β...