Lógica proposicional. Deducciónnatural

Lógica 2020

1

Justificación de la validez delrazonamiento

Justificación semántica: Γ ⊧ 𝛽Probar que la veracidad de las hipótesis implica laveracidad de la conclusiónJustificación sintáctica: Γ ⊢ 𝛽Demostrar la conclusión a partir de las hipótesisusando pasos claramente definidos y explicitados.

2

Justificación sintácticaΓ ⊢ 𝛽

Demostrar la conclusión 𝛽 a partir de lashipótesis de Γusando pasos claramente definidos yexplicitados.

¿Qué es una demostración?Es una prueba formal

la corrección de la demostración depende de suforma y no del significadocumplen reglas precisas de construcción

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Pruebas formales¿Cómo probamos usualmente?

Sostenemos hipótesis iniciales (las podemosusar como dato en todo instante de la prueba)Encadenamos pasos simples de deducción quenos permite llegar a la conclusión

¿Por qué pruebas formales?Podemos compilar las pruebas hechas, y asegurar sucorrección o detectar errores mediante el análisis desu estructura.

4

Formalización del razonamientoVarias maneras de formalizar el razonamiento

Método Axiomático (a la Hilbert)Deducción Natural (Gentzen)otros …

5

EjemploEn Deducción Natural las demostraciones seformalizan mediante árboles

[𝛼 → (𝛽 → 𝛾)]1

[¬(¬𝛼 ∨ ¬𝛽)]2[¬𝛼]3

¬𝛼 ∨ ¬𝛽 𝐼∨1

⊥ 𝐸¬𝛼 𝑅𝐴𝐴(3)

𝛽 → 𝛾 𝐸 →[¬(¬𝛼 ∨ ¬𝛽)]2

[¬𝛽]3

¬𝛼 ∨ ¬𝛽 𝐼∨1

⊥ 𝐸¬𝛽 𝑅𝐴𝐴(3)

𝛾 𝐸 →¬(¬𝛼 ∨ ¬𝛽) → 𝛾 𝐼 →(2)

(𝛼 → (𝛽 → 𝛾)) → (¬(¬𝛼 ∨ ¬𝛽) → 𝛾) 𝐼 →(1)

6

Algunos árboles de prueba

7

Deducción naturalReglas de construcción de pruebas

Construyen una prueba a partir de subpruebasmás simplesManejan correctamente las hipótesis (hipótesisglobales) y supuestos (hipótesis locales) encada etapa de la prueba

El análisis de corrección de una prueba formal puedemecanizarse, y lo ha sido. Existen asistentes yverificadores automáticos de pruebas para el cálculoproposicional.

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Reglas de construcción de pruebasEn general, para cada conectivo se definenReglas de introducciónIndican cómo probar una fórmula con ese conectivoReglas de eliminaciónIndican cómo utilizar una fórmula con ese conectivoen una prueba

9

¿Cómo probar una conjunción?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛼 ∧ 𝛽

DemostraciónProbamos 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛Probamos 𝛽 usando𝛿1, … 𝛿𝑛Luego, hemosprobado 𝛼 ∧ 𝛽usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛽

𝛼 ∧ 𝛽 𝐼∧

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¿Cómo probar un implica?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛼 → 𝛽

DemostracionSupongamos 𝛼Probamos 𝛽 usando𝛿1, … 𝛿𝑛 y 𝛼Luego, hemosprobado 𝛼 → 𝛽usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛, [𝛼]𝑘....𝛽

𝛼 → 𝛽 𝐼 →(𝑘)

11

¿Cómo probar una disyunción?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛼 ∨ 𝛽

DemostraciónProbamos 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛Luego, hemosprobado 𝛼 ∨ 𝛽usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼𝛼 ∨ 𝛽 𝐼∨1

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛽

𝛼 ∨ 𝛽 𝐼∨2

12

¿Cómo probar un si y sólo si?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛼 ↔ 𝛽Demostración

Directo. Supongamos 𝛼,y probemos 𝛽 usando𝛿1, … 𝛿𝑛 y 𝛼Recíproco. Supongamos𝛽, y probemos 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛 y 𝛽Luego, hemos probado𝛼 ↔ 𝛽 usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛[𝛼]𝑘....𝛽

𝛿1, … 𝛿𝑛[𝛽]𝑘....𝛼

𝛼 ↔ 𝛽 𝐼 ↔(𝑘)

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¿Cómo probar una negación?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: ¬𝛼

DemostraciónSupongamos 𝛼Probamos ⊥ usando𝛿1, … 𝛿𝑛 y 𝛼Luego, hemosprobado ¬𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛[𝛼]𝑘....⊥¬𝛼 𝐼¬(𝑘)

14

¿Cómo utilizar una conjunción?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛼

DemostraciónProbamos 𝛼 ∧ 𝛽usando 𝛿1, … 𝛿𝑛Luego, hemosprobado 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼 ∧ 𝛽

𝛼 𝐸∧1

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼 ∧ 𝛽

𝛽 𝐸∧2

15

¿Cómo utilizar una implicancia?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛽

DemostraciónProbamos 𝛼 → 𝛽usando 𝛿1, … 𝛿𝑛Probamos 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛Luego, hemosprobado 𝛽 usando𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼 → 𝛽

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼𝛽 𝐸 →

16

¿Cómo utilizar una disyunción?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛿

DemostraciónProbamos 𝛼 ∨ 𝛽usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

Caso A. Probamos 𝛿usando 𝛿1, … 𝛿𝑛 y 𝛼

Caso B. Probamos 𝛿usando 𝛿1, … 𝛿𝑛 y 𝛽

Luego, hemos probado𝛿 usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼 ∨ 𝛽

𝛿1, … 𝛿𝑛[𝛼]𝑘....𝛿

𝛿1, … 𝛿𝑛[𝛽]𝑘....𝛿

𝛿 𝐸∨(𝑘)

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¿Cómo utilizar un si y sólo si?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛽

DemostraciónProbamos 𝛼 ↔ 𝛽 usando𝛿1, … 𝛿𝑛

Probamos 𝛼 usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

Luego, hemos probado 𝛽usando 𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼 ↔ 𝛽

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼𝛽 𝐸 ↔1

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼 ↔ 𝛽

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛽

𝛼 𝐸 ↔2

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¿Cómo utilizar una negación?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: Absurdo

DemostraciónProbamos ¬𝛼usando 𝛿1, … 𝛿𝑛Probamos 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛Luego, hemosprobado ⊥ usando𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....¬𝛼

𝛿1, … 𝛿𝑛....𝛼⊥ 𝐸¬

19

¿Cómo utilizar el absurdo?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛼

Demostración (reducciónal absurdo)

Supongamos ¬𝛼Llegamos a unacontradicción usando𝛿1, … 𝛿𝑛 y ¬𝛼Luego, hemosprobado 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛, [¬𝛼]𝑘....⊥𝛼 𝑅𝐴𝐴(𝑘)

20

¿Cómo utilizar el absurdo?Hipótesis: 𝛿1, … 𝛿𝑛

Tesis: 𝛼

DemostraciónLlegamos a unacontradicción usando𝛿1, … 𝛿𝑛Luego, hemosprobado 𝛼 usando𝛿1, … 𝛿𝑛

𝛿1, … 𝛿𝑛....⊥𝛼 𝐸⊥

21

Una prueba trivialHipótesis: 𝛾1, 𝛾2, … , 𝛼, … , 𝛾𝑛

Tesis: 𝛼

DemostraciónLa tesis vale porquesuponemos la hipótesis.

𝛼 𝐻𝐼𝑃

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Pruebas = ÁrbolesLas derivaciones se definen inductivamente como unconjunto de árboles etiquetados y ”bien plantados:-)”, o sea, con la raiz debajo de las hojas.Cada nodo, interno u hoja, se etiqueta con unafórmula proposicional y una regla y si genera hipótesislocales (supuestos), se le pone un superíndice.Las hojas son las hipótesis de la prueba.La raíz es la conclusión de la prueba.

23

Pruebas = ÁrbolesDe las hojas hacia la raíz se pasa por aplicaciónde alguna de las reglas de construcción.Las hipótesis locales a subpartes de una pruebase representan con hojas tachadas o usando[_]𝑛 donde 𝑛 es el super de la regla que laintrodujo.En cada nodo, importa el orden de sus hijos.

Ejemplo: ⊢ 𝛼 ∧ 𝛽 → 𝛽 ∧ 𝛼[𝛼 ∧ 𝛽]1

𝛽 𝐸∧2[𝛼 ∧ 𝛽]1

𝛼 𝐸∧1

𝛽 ∧ 𝛼 𝐼∧

𝛼 ∧ 𝛽 → 𝛽 ∧ 𝛼 𝐼 →1

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Ejemplo: 𝛼 ∧ 𝛽 → 𝛾, 𝛼 ⊢ 𝛽 → 𝛾

𝛼 ∧ 𝛽 → 𝛾𝛼 [𝛽]1

𝐼∧

𝛼 ∧ 𝛽 𝐸 →

𝛾 𝐼 →1

𝛽 → 𝛾

25

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER)El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:HIPSi 𝜑 ∈ PROP, entonces 𝜑 ∈ DER

26

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (2/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐼∧

Si SS

��𝐷

𝜑 ∈ DER y SS

��𝐷′

𝜓 ∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜑S

S��𝐷′

𝜓𝜑 ∧ 𝜓 𝐼∧ ∈ DER

27

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (3/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸∧1

Si SS

��𝐷

𝜑 ∧ 𝜓∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜑 ∧ 𝜓𝜑 𝐸∧1 ∈ DER

28

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (4/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸∧2

Si SS

��𝐷

𝜑 ∧ 𝜓∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜑 ∧ 𝜓𝜓 𝐸∧2 ∈ DER

29

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (5/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐼 →

SiS

S��𝐷

𝜓

𝜑

∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜓

[𝜑]

𝜑 → 𝜓 𝐼 → ∈ DER

30

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (6/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸 →

Si SS

��𝐷

𝜑 → 𝜓∈ DER y SS

��𝐷′

𝜑 ∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜑 → 𝜓S

S��𝐷′

𝜑𝜓 𝐸 → ∈ DER

31

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (7/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐼∨1

Si SS

��𝐷

𝜑 ∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜑𝜑 ∨ 𝜓 𝐼∨1 ∈ DER

32

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (8/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐼∨2

Si SS

��𝐷

𝜓 ∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜓𝜑 ∨ 𝜓 𝐼∨2 ∈ DER

33

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (9/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸∨

Si SS

��𝐷

𝜑 ∨ 𝜓∈ DER,

SS

��𝐷′

𝛾

𝜑

∈ DER, yS

S��𝐷″

𝛾

𝜓

∈ DER,entonces

SS

��𝐷

𝜑 ∨ 𝜓S

S��𝐷′

𝛾

[𝜑]S

S��𝐷″

𝛾

[𝜓]

𝛾 𝐸∨ ∈ DER34

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (10/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐼 ↔

SiS

S��𝐷

𝜓

𝜑

∈ DER yS

S��𝐷′

𝜑

𝜓

∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜓

[𝜑]S

S��𝐷′

𝜑

[𝜓]

𝜑 ↔ 𝜓 𝐼 ↔ ∈ DER

35

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (11/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸 ↔1

Si SS

��𝐷

𝜑 ↔ 𝜓∈ DER y SS

��𝐷′

𝜑 ∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜑 ↔ 𝜓S

S��𝐷′

𝜑𝜓 𝐸 ↔1 ∈ DER

36

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (12/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸 ↔2

Si SS

��𝐷

𝜑 ↔ 𝜓∈ DER y SS

��𝐷′

𝜓 ∈ DER, entonces

SS

��𝐷

𝜑 ↔ 𝜓S

S��𝐷′

𝜓𝜑 𝐸 ↔2 ∈ DER

37

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (13/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐼¬

SiS

S��𝐷

⊥

𝜑

∈ DER, entonces

SS

��𝐷

⊥

[𝜑]

¬𝜑 𝐼¬ ∈ DER

38

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (14/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸¬

Si SS

��𝐷

¬𝜑 ∈ DER y SS

��𝐷′

𝜑 ∈ DER, entonces

SS

��𝐷

¬𝜑S

S��𝐷′

𝜑⊥ 𝐸¬ ∈ DER

39

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (15/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:𝐸⊥

Si SS

��𝐷

⊥∈ DER y 𝜑 ∈ PROP, entonces

SS

��𝐷

⊥𝜑 𝐸⊥ ∈ DER

40

Definición 1.5.1. Derivaciones (DER) (16/16)

El conjunto DER ⊆ 𝒯 (ℰ) de las derivaciones de lalógica proposicional se define inductivamente comosigue:RAA

SiS

S��𝐷

⊥

¬𝜑

∈ DER, entonces

SS

��𝐷

⊥

[¬𝜑]

𝜑 𝑅𝐴𝐴 ∈ DER

41

Conclusión e hipótesisEjercicioSea 𝐷 ∈ DER. Llamamos 𝐶 (𝐷) a la conclusión de𝐷, y 𝐻 (𝐷) al conjunto de hipótesis no canceladasde 𝐷.Defina recursivamente sobre DER

1. 𝐶 (𝐷), y2. 𝐻 (𝐷), asumiendo que al aplicarse las reglas se

realizan todas las cancelaciones (o descargas)posibles.

42

Consecuencia sintácticaDefinición 1.5.2Sean Γ ⊆ PROP y 𝜑 ∈ PROP. Decimos que 𝜑 esconsecuencia sintáctica de Γ (o que 𝜑 se deriva deΓ ssi existe 𝐷 ∈ DER tal que

𝐶 (𝐷) = 𝜑 y 𝐻 (𝐷) ⊆ ΓNotación

Γ ⊢ 𝜑 se lee “𝜑 se deriva de Γ”∅ ⊢ 𝜑 se lee “𝜑 es teorema”, y se escribe ⊢ 𝜑

43

Consecuencias sintácticasDefinición. ConsSea Γ ⊆ PROP. El conjunto de las consecuenciassintácticas de Γ es

Cons (Γ) = {𝜑 ∈ PROP|Γ ⊢ 𝜑}

44

Ejercicio: ⊢ ¬¬𝜑 → 𝜑[¬¬𝜑]1 [¬𝜑]2

𝐸¬

⊥𝑅𝐴𝐴(2)

𝜑𝐼 →(1)

¬¬𝜑 → 𝜑

45

Ejercicio: ⊢ 𝛼 → ¬¬𝛼[¬𝛼]2 [𝛼]1

𝐸¬

⊥𝐼¬(2)

¬¬𝛼𝐼 →(1)

𝛼 → ¬¬𝛼

46

Propiedades de ∧, → y ⊥Lema 1.5.3Sean 𝛼 ∈ PROP, 𝛽 ∈ PROP, Γ ⊆ PROP, Δ ⊆ PROP:

Si 𝛼 ∈ Γ entonces Γ ⊢ 𝛼Si Γ ⊢ 𝛼 y Δ ⊢ 𝛽 entonces Γ, Δ ⊢ 𝛼 ∧ 𝛽Si Γ ⊢ 𝛼 ∧ 𝛽 entonces Γ ⊢ 𝛼 y Γ ⊢ 𝛽Si Γ, 𝛼 ⊢ 𝛽 entonces Γ ⊢ 𝛼 → 𝛽Si Γ ⊢ 𝛼 y Δ ⊢ 𝛼 → 𝛽 entonces Γ, Δ ⊢ 𝛽Si Γ ⊢ ⊥ entonces Γ ⊢ 𝛼Si Γ, ¬𝛼 ⊢ ⊥ entonces Γ ⊢ 𝛼

47

Propiedades de ∨, ↔ y ¬Lema 1.7.2Sean 𝛼 ∈ PROP, 𝛽 ∈ PROP, 𝛾 ∈ PROP, Γ ⊆ PROP,Δ ⊆ PROP:

Si Γ ⊢ 𝛼 entonces Γ ⊢ 𝛼 ∨ 𝛽Si Γ ⊢ 𝛽 entonces Γ ⊢ 𝛼 ∨ 𝛽Si Γ, 𝛼 ⊢ 𝛾 y Γ, 𝛽 ⊢ 𝛾 entonces Γ, 𝛼 ∨ 𝛽 ⊢ 𝛾Si Γ, 𝛼 ⊢ 𝛽 y Γ, 𝛽 ⊢ 𝛼 entonces Γ ⊢ 𝛼 ↔ 𝛽Si Γ ⊢ 𝛼 ↔ 𝛽 entonces Γ, 𝛼 ⊢ 𝛽 y Γ, 𝛽 ⊢ 𝛼Si Γ, 𝛼 ⊢ ⊥ entonces Γ ⊢ ¬𝛼Si Γ ⊢ 𝛼 y Δ ⊢ ¬𝛼 entonces Γ, Δ ⊢ ⊥

48

Equivalencias entre conectivosTeorema 1.7.3Sean 𝛼 ∈ PROP, 𝛽 ∈ PROP:

⊢ ¬𝛼 ↔ 𝛼 → ⊥⊢ 𝛼 ∨ 𝛽 ↔ ¬(¬𝛼 ∧ ¬𝛽)⊢ (𝛼 ↔ 𝛽) ↔ (𝛼 → 𝛽) ∧ (𝛽 → 𝛼)⊢ 𝛼 ↔ 𝛽 ↔ (𝛼 → 𝛽) ∧ (𝛽 → 𝛼)⊢ 𝛼 ∧ 𝛽 ↔ ¬(¬𝛼 ∨ ¬𝛽)⊢ (𝛼 → 𝛽) ↔ (¬𝛼 ∨ 𝛽)⊢ ⊥ ↔ ¬(𝛼 ∨ ¬𝛼)

49

Más propiedadesTeorema 1.5.4Sean 𝛼 ∈ PROP, 𝛽 ∈ PROP, 𝛾 ∈ PROP:

⊢ 𝛼 → (𝛽 → 𝛼)⊢ 𝛼 → (¬𝛼 → 𝛽)⊢ (𝛼 → 𝛽) → (𝛽 → 𝛾) → 𝛼 → 𝛾⊢ (𝛼 → 𝛽) → ¬𝛽 → ¬𝛼⊢ ¬¬𝛼 ↔ 𝛼⊢ (𝛼 → (𝛽 → 𝛾)) ↔ (𝛼 ∧ 𝛽 → 𝛾)⊢ 𝛼 → (𝛽 → 𝛾) ↔ (𝛼 ∧ 𝛽 → 𝛾)⊢ ⊥ ↔ 𝛼 ∧ ¬𝛼

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Propiedades interesantes de ⊢Si Γ ⊆ Δ y Γ ⊢ 𝛼, entonces Δ ⊢ 𝛼Si Γ ⊢ 𝛼, entonces existe Δ ⊆ Γ tal que Δ esfinito y Δ ⊢ 𝛼Si Δ ⊢ 𝛼 y Γ ⊢ 𝛿 para todo 𝛿 ∈ Δ, entoncesΓ ⊢ 𝛼

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