LÓGICA PROPOSICIONALprofesorjosebarrossergio.weebly.com/uploads/6/3/9/0/...LÓGICA PROPOSICIONAL...

LÓGICA PROPOSICIONAL

Lógica (Del lat. logĭca, y este del gr. ∧ογική). 1. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico. Formal, o ~ matemática. 1. f. La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo abstracción de los contenidos. Tomado de: http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logica La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo ∧ογική (logike), que significa "dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo", que a su vez viene de ∧όγος (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio". Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Tomado de: http://www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones Una Proposición es una expresión u oración declarativa con sentido completo que no depende de la persona, ni del espacio ni del tiempo. Toda proposición tiene un valor de verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, esto es una ley denominada ley del tercer excluido. La proposición es el elemento fundamental de la lógica matemática. Una proposición se expresa generalmente con letra minúscula, dos puntos y a continuación la oración. Algunos ejemplo de proposiciones validas o no validas son: 𝑝: La tierra es plana. 𝑞: Los médicos prolongan la enfermedad de los pacientes 𝑟: Ningún abogado es honesto (No) 𝑠: Los economistas pronostican fenómenos físicos 𝑡: Buenos días (No) 𝑤: Hoy es lunes (No) 𝑣: Hace Calor (No) 𝑥: Santa Marta es más bonita que Valledupar (No) Conectivos Lógicos

http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logicahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones

Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2

Taller de Lógica

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las proposiciones simples están formadas por una sola oración y las compuestas por más de una oración y enlazadas por conectivos lógicos a saber: la negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional. La Negación Si a una proposición simple se le antepone la expresión no es cierto o se le interpone el adverbio no se forma una proposición compuesta llamada la negación de la proposición principal. Se simboliza con ~ 𝑝. Si p es una proposición simple, la negación de p se representa ~ p y se lee no p. Tabla de verdad Utilizaremos los números 1 y 0 para indicar que las proposiciones son verdaderas o falsas respectivamente

𝑝 ~ 𝑝 1 0 0 1

Nótese que si la proposición es verdadera su negación es falsa y viceversa Ejercicio. Niegue cada una de las siguientes proposiciones 𝑎: La matemática es la madre de todas las ciencias 𝑏. Las drogas genéricas no sanan 𝑐: Algunas leyes no son claras 𝑑: Colombia tiene la mejor democracia en América Latina 𝑒: El hombre no es el único animal racional 𝑓: No es cierto que todas las aves vuelan 𝑔: No hay nadie en casa La Disyunción Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo v se lee o. Si p y q son proposiciones simples la disyunción de p y q se representa p v q se lee p o q. Tabla de verdad

𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0


Taller de Lógica

Nótese que la disyunción solamente es falsa si las dos proposiciones son falsas Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si:

r: Simón Bolívar era venezolano s: Simón Bolívar era colombiano. Entonces: r v s≡ p: La tierra es redonda q: La tierra es ovalada Entonces: 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ p: La ballena es un mamífero s: La ballena no tiene branquias Entonces: 𝑝 ∨ 𝑠 ≡ p: El calentamiento global es consecuencia de que la tierra se acerca al sol s: El calentamiento global es consecuencia del número de habitantes de la tierra Entonces: ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ p: La evolución tecnológica ha retrasado la evolución del hombre s: La evolución tecnológica no aporta a la inteligencia del hombre Entonces: 𝑝 ∨ 𝑠 ≡

La Disyunción Exclusiva Es un caso especial de disyunción cuyo símbolo es v, que se diferencia del anterior en que solo es verdadera cuando una y solamente una de las proposiciones es verdadera. La Conjunción Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo ∧ se lee y. Si p y q son proposiciones simples la conjunción de p y q se representa p ∧ q se lee p y q. Tabla de verdad

𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0


Taller de Lógica

Nótese que la conjunción es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas. Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si:

r: Simón Bolívar era venezolano s: Simón Bolívar lidero la libertad de las chilenos. Entonces: 𝑟 ∧ 𝑠 ≡ p: La tierra es redonda q: La tierra es achatada en los polos Entonces: 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ p: La ballena tiene branquias s: La ballena es un mamífero Entonces: ~𝑝 ∧ 𝑠 ≡ p: La Sierra nevada de Santa Marta pertenece al Cesar s: La sierra nevada de Santa Marta está afectada por el calentamiento global Entonces: 𝑝 ∧ ~𝑠 ≡ p: La evolución tecnológica ha retrasado la evolución del hombre s: La evolución tecnológica aporta a la inteligencia del hombre Entonces: ~(𝑝 ∧ 𝑠) ≡

El Condicional Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo→ se lee Si...entonces. Si p y q son proposiciones simples el condicional de p y q se representa p → q se lee Si p entonces q. Tabla de verdad

𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Nótese el condicional solo es falso cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si:


Taller de Lógica

r: Todos los peces son ovíparos s: La ballena no es pez Entonces: r → s≡ p: Colombia es el tercer país más rico en agua q: En Colombia hay problemas con el consumo de agua Entonces: p → ~ q≡ p: Colombia instalará bases militares de EEUU s: Venezuela mantiene relaciones con Colombia Entonces: ~𝑝 → 𝑠 ≡ p: Los paramilitares devuelven las tierras s: Hay desplazados en Colombia Entonces: p → ~ s≡ p: La evolución tecnológica ha mejorado el nivel de vida del hombre s: El hombre ha aprovechado la evolución tecnológica Entonces: p → s≡

Tipos de Condicionales Dado la condicional p→q denominada condicional directa entonces se denomina: Contraria: la condicional ~ p → ~ q Reciproca: la condicional q → p Contra-reciproca: la condicional ~q → ~p Ejercicio: Escriba la contraria, la recíproca y la contra-reciproca de cada proposición 1. Si los países vecinos a Colombia colaboran con los grupos insurgentes entonces no

son países amigos 2. Si no aumenta el precio del petróleo entonces disminuye el consumo de

biocombustible 3. Si el banco de la República sube las tasas de interés entonces no se estimula la

actividad económica y se desacelera la economía 4. Si la administración del recurso público es eficiente entonces no hay que crear

nuevos impuestos 5. Si los ingresos de la Nación se reducen de manera drástica entonces la confianza

inversionista en el país disminuirá y se provocará salida de capitales. 6. Si continua el encarecimiento del dólar entonces no crece la producción o disminuye

los ingresos para el Estado Salud


Taller de Lógica

1. Si las niñas presentan mejoría entonces no se le puede diagnosticar una enfermedad 2. Si el flujo sanguíneo no es regular entonces el vaso capilar esta obstruido 3. Si la salud es un negocio entonces no hay médicos humanistas 4. Si no actualizan las historias clínicas entonces la atención médica es deficiente 5. Si no aumenta la inversión en salud entonces cerraran los hospitales y no habrá

atención médica. 6. Si hay fiebre y no expectora entonces se tiene que recetar antibiótico y no

expectorante. 7. Si es una enfermedad rara entonces no es fácil su diagnóstico y El Bi-condicional Es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples. Se representa con el símbolo ↔ se lee Si .. Solo si. Si p y q son proposiciones simples la bicondicional de p y q se representa p ↔ q se lee p si solo si q. Tabla de verdad

p Q p ↔ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Nótese la bi-condicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son iguales. Ejercicios: Escriba la proposición compuesta e indique su valor de verdad si

r: En Colombia hay paz s: En Colombia todos los gobernantes son honestos Entonces: r ↔ s≡ p: x + 5 = 7

q: x = 2 Entonces: p ↔ q≡ p: Las células vegetales poseen cloropastos s: Las células vegetales poseen clorofila Entonces: p ↔ s≡

p: Los paramilitares devuelven las tierras s: Los paramilitares tienen garantizado el reintegro a la sociedad Entonces: p ↔ s≡


Taller de Lógica

p: El Unión Magdalena volverá a la primera categoría s: El unión Magdalena es vendido Entonces: p ↔ s≡

p: Haití es el país más pobre del mundo s: Haití es el país con mayor posibilidad de invasión extranjera Entonces: p ↔ s≡

Equivalencias de los Conectores

Conector Lenguaje Común Negación No; No es cierto que; no es el caso que Conjunción Y: Pero; Sin embargo; Además; Aunque; A la vez; No

obstante, Ni Disyunción O; Condicional “Si… entonces…”; “Por lo tanto”, “…si…”, “…dado

que…”; “siempre que…”; “… porque…”; “…en vista que…”

Bicondicional “Si y solo si” Interpretación oracional Idiomática Se denomina interpretación idiomática, a cualquier enunciado cuya estructura coincida con una proposición dad: Ejercicio. Interprete oracionalmente cada enunciado, identifique las proposiciones simples y represente en forma simbólica 1. Si los estudiantes son responsables de sus compromisos y muestran interés en el

estudio de su profesión entonces la universidad mejora el nivel académico o buscará estrategias para la deserción

2. Si el hombre fuera racional entonces no construyera armas lesivas para la

humanidad 3. Es falso, que las rosas son rojas y las violetas son azules 4. Si las políticas de estado son buenas entonces el país no estaría en guerra 5. Si Colombia es el país que más abastece a Venezuela y Venezuela es el principal

comprador de los productos colombianos entonces las diferencias en sus presidentes no convienen a ninguno de los dos países


Taller de Lógica

6. Los residentes cancelarán la administración si solo si la junta administradora cambia al administrador o abren una cuenta bancaría donde se pague la administración

7. Si el calentamiento global es producto de la contaminación ambiental o de la tala

indiscriminada de árboles, entonces no, a la contaminación ambiental y a la tala indiscriminada de arboles

8. La inversión social se mejora si solo si se implementan políticas de fortalecimiento

tributario y no hay corrupción administrativa. 9. Si no es cierto que, el decrecimiento sea un modelo económico y no social entonces

su idea principal relaciona la producción y al ser humano.

10. Si los ingresos de la Nación se reducen de manera drástica entonces la confianza inversionista en el país disminuirá y se provocará salida de capitales.

11. Si continua el encarecimiento del dólar entonces no crece la producción o disminuye

los ingresos para el Estado

Salud

12. Si la mayoría de las menores de edad se han quejado de dolor de cabeza y no han presentado movimientos anormales entonces el diagnostico no pueden ser clasificados como convulsiones o alteración del sistema nervioso.

13. Si la salud en Colombia es administrada por políticos o no profesionales de la salud

entonces se seguirán creando clínicas de garaje y no gozaremos de un servicio de salud óptimo

14. En Colombia habrá una población sana si solo si la salud no se trata como un negocio

y los pacientes como clientes 15. Si las estadísticas sobre las enfermedades raras son pobres o no existen entonces no

se tiene identificada la población vulnerable y hay un alto desconocimiento médico

16. Si la salud es una empresa entonces los médicos son mercaderes y los pacientes sus clientes.


Taller de Lógica

Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas Los diagramas de verdad nos permiten conocer el valor de verdad de un enunciado compuesto Ejercicio. Hallar el valor de cada proposición si: 𝑎 (1), 𝑏(0), 𝑐(0) 𝑦 𝑑(1) 1. (𝑎 ∧ 𝑏) → 𝑐 2. (𝑏 ∨ 𝑐) ↔ 𝑑 3. ~(𝑏 ∨ 𝑑) → (~𝑏 ∨ ~𝑑) 4. [(𝑑 ∧ 𝑎) ∨ 𝑐] ↔ [(𝑑 ∨ 𝑐) ∧ (𝑎 ∨ 𝑣 𝑐)] 5. 𝑐 → (𝑎 ∧ ~𝑐) Ejercicios Hallar el valor de cada proposición 1. [∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞)] → [∼ 𝑝 ∨ 𝑞] , con 𝑝(0) 𝑦 𝑞(1) 2. {[(𝑝 ↔∼ 𝑞) ∨ 𝑟] →∼ 𝑝} , con 𝑝(0), 𝑞(0) 𝑦 𝑟(1) Tablas de Verdad Una tabla de verdad es un diagrama que permite determinar claramente cuando una proposición compuesta es verdadera, falsa o variada. Si todos los valores de verdad de una proposición compuesta son verdaderos se denomina una tautología, por ejemplo [𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)], si son falsos una contradicción, por ejemplo [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ~𝑞], de lo contrario se llama indeterminada o contingencia, por ejemplo [(p ∨ q) →~p]. El proceso de construcción de una tabla de verdad inicia por determinar el número de combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples constituyentes. Si la proposición consta de n proposiciones simples diferentes, puesto que cada una de ellas tiene dos valores posibles (verdadero o falso) habrá 2n combinaciones posibles de valores.


Taller de Lógica

Ejercicio. Construir la tabla de verdad de cada proposición compuesta e indique su tipo 1. (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞)

𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 ∧ ~𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞)

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

La proposición es una contradicción

2. ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~(𝑞 ↔ 𝑝)

𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ~(𝑝 ∧ 𝑞) 𝑞 ↔ 𝑝 ~(𝑞 ↔ 𝑝) ~(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~(𝑞 ↔ 𝑝)

1 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 1

La proposición es indeterminada o contingencia

3. {(𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞} → ~𝑝 𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 {(𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞} → ~𝑝

1 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1

La proposición es una tautología

4. {(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝} → 𝑞 5. ~{𝑝 → [~𝑝 → (𝑞 ∨ ~𝑞)]} 6. (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ~(𝑝 ∨ 𝑞) 7. [(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝] → 𝑞 8. [(𝑝 ↔ ~𝑞)˄ 𝑞] → ~𝑝 9. [∼ (𝑝˄ ∼ 𝑞)] → [∼ 𝑝˅𝑞]

10. (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑟 11. {[(𝑝 ↔∼ 𝑞) ∨ 𝑟] →∼ 𝑝}

Equivalencia Lógica: Algebra de proposiciones


Taller de Lógica

Se dice que dos proposiciones 𝑃(𝑝, 𝑞, … ) 𝑦 𝑄(𝑝, 𝑞, … ) son lógicamente equivalentes si tienen idénticas tablas de verdad, se denota 𝑃(𝑝, 𝑞, … ) ≡ 𝑄(𝑝, 𝑞, … ). Por ejemplo. Consideremos las tablas de verdad de las proposiciones ~ (p ∧ q) y ~p v ~ q Como los resultados finales de las tablas de verdad son iguales, las proposiciones son equivalentes es decir ∼ (𝑝 𝛬 𝑞) ≡ (∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞) Ejercicio. Verifique la equivalencia de la siguiente proposición 1. (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ (∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞) 2. 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑞) 3. [∼ (∼ 𝑝 → 𝑞)] ≡ [∼ 𝑝˄ ∼ 𝑞] Las proposiciones satisfacen muchas equivalencias lógicas, o leyes, a continuación enunciamos unas de las más importantes, t denota tautología y f contradicción Leyes del Algebra de Proposiciones

Leyes Proposiciones

Idempotencia p v p ≡ p p ∧ p ≡ p

Asociativas (p v q) v r ≡ p v (q v r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

Conmutativas (p v q) ≡ (q v p) (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)

Distributivas p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧(p v r) p ∧ (q v r) ≡ (p ∧ q) v(p ∧ r)

Leyes de identidad

P v f ≡ p P ∧ t ≡ p P v t ≡ t P ∧ f ≡ f

Leyes de complementos

p v ~p ≡ t p ∧ ~p ≡ f ~t ≡ f ~f ≡ t

Leyes de involución

~ ~p ≡ p

Morgan ~(p v q) ≡ ~p ∧ ~𝑞 ~(p ∧ q) ≡ ~p v ~𝑞

P Q p ∧ q ~(p ∧ q) p q ~p ~ q ~p v ~ q 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1


Taller de Lógica

Implicación y disyunción

p → q ≡ ~p ∨ q

Negación de la implicación

~(p → q) ≡ p ∧ ~q

Inferencias Lógicas Uno de los objetivos de la lógica es determinar cómo unas proposiciones pueden derivarse de otras, esta derivación es de naturaleza puramente formal y recibe el nombre de deducción. Por medio de la deducción se muestra si una determinada proposición llamada conclusión resulta de una o más proposiciones llamadas premisas. El proceso por el cual se establece que la conclusión se sigue de las premisas recibe el nombre de prueba. Una prueba se desarrolla de acuerdo con las tautologías y a partir de ciertas reglas, denominadas reglas de inferencias, que son necesarias establecerlas desde un principio.. Llamaremos correcta a una inferencia que siga las reglas establecidas. Una inferencia lógica consiste en obtener una proposición verdadera (conclusión) a partir de una proposición verdadera dada (premisas) a la que aplicamos las reglas de inferencia. Reglas de Inferencia 1. Modus Ponendo Ponens (PP)

Ejemplo Premisa 1: Si la emisión de gas carbónico aumenta entonces aumentará la temperatura sobre la tierra Premisa 2: La emisión de gas carbónico aumenta Conclusión: Aumentará la temperatura sobre la tierra Premisa 1: p → q Esquemáticamente: p → q p1 Premisa 2: p p p2 Conclusión: q . . q


Taller de Lógica

Ejemplo p p1 p →~ q p2 .. ~ q Ejemplo (~ p v q) → (s ∧ r) p1 (~ p v q) p2 .. s ∧ r

2. Modus Tollendo Tollens (TT)

Premisa 1: p → q Esquemáticamente: p → q P1 Premisa 2: ~ q ~ q P2 Conclusión: ~ p .. ~ p Premisa 1: Si los Mayas predecían el futuro entonces porque no evitaron su destrucción. Premisa 2: Los mayas evitaron su destrucción Conclusión: Los mayas predecían el futuro

3. Modus Tollendo Ponens (TP)

Premisa 1: p v q Esquemáticamente: p v q P1 Premisa 2: ~ p ~ p P2 Conclusión: q . . q p v q P1+ ~ q P2 .. p Premisa 1: Los carnavales son fiestas de sectas satánicas o del pueblo Premisa 2: Los carnavales no so fiestas de sectas satánicas Conclusión: Los carnavales son fiestas del pueblo

4. Regla del Silogismo Hipotético (SH)

Esquemáticamente p → q P1 q → r P2 .. p → r


Taller de Lógica

Ejemplo Premisa-1: Si tengo problemas de obesidad entonces tendré problemas de hipertensión Premisa-2: Si tengo problemas de hipertensión entonces puedo morir del corazón Conclusión: Si tengo problemas de obesidad entonces puedo morir del corazón Ejemplo Premisa-1: Si el Unión Magdalena tiene buenos jugadores entonces juega bien el futbol Premisa-2: Si Unión Magdalena juega bien el futbol entonces subirá de categoría Conclusión: Si el Unión Magdalena tiene buenos jugadores entonces subirá de categoría

5. Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)

Esquemáticamente p → r P1 q → s P2 p v q P3 .. r v s Ejemplo Premisa-1: Si aumenta el precio de la gasolina entonces sube el precio del transporte urbano Premisa-2: Si se incrementa el cultivo de palma entonces utilizaremos biocombustible Premisa-3: Aumenta el precio de la gasolina o se incrementa el cultivo de palma Conclusión: Sube el precio del transporte urbano o utilizaremos biocombustible Ejemplo Premisa-1: Si se incrementa el desempleo entonces las empresas están quebrando Premisa-2: Si se aplican nuevos impuestos entonces la economía decrece Premisa-3: Se incrementa el desempleo o se aplican nuevos impuestos Conclusión: Las empresas están quebrando o la economía decrece

6. Leyes de Morgan (LM)

~(p v q) P1 ó ~p ∧ ~q P1 ..~p ∧ ~q ..~(p v q)


Taller de Lógica

~ (p ∧ q) P1 ó ~p v ~q P1 ..~p v ~q ..~(p ∧ q)

7. Reglas de las Proposiciones Bi-condicionales

(p ↔ q) P1 ó (p → q) ∧ (q → p) P1 ..(p → q) ∧ (q → p) ..(p ↔ q)

8. Doble Negación (DN)

Premisa 1: ~ (~ p) Esquemáticamente: ~ (~ p) P1 Conclusión: p . . p La regla de la doble negación se puede expresar p P1 ~ (~ p) Premisa: La ballena no es un animal mamífero Conclusión: No es cierto que la ballena no sea un animal mamífero

9. Regla de Simplificación (S)

Esquemáticamente p ∧ q P1 ó p ∧ q P1 .. p ..q Ejemplo Premisa: La tala de árboles acaba las fuentes de agua y aumenta la temperatura del suelo Conclusión-1: La tala de árboles acaba las fuentes de agua Conclusión-2: La tala de árboles aumenta la temperatura del suelo Ejemplo Premisa: El incremento de la inflación sube las tasas de interés e incrementa la inversión extranjera Conclución-1: El incremento de la inflación sube las tasas de interés Conclución-2: El incremento de la inflación incrementa la inversión extranjera

10. Regla de Adjunción (A)

Esquemáticamente p P1 ó p P1 q P2 q P2 .. p v q ..q v p


Taller de Lógica

Ejemplo Premisa-1: El gobierno colombiano es democrático Premisa-2: El gobierno colombiano es socialista Conclución-1 El gobierno colombiano es democrático o es socialista Conclución-2 El gobierno colombiano es socialista o es democrático Ejemplo Premisa-1: Albert Einstein era físico Premisa-2: Albert Einstein era filósofo Conclución-1 Albert Einstein era físico o era filósofo Conclución-2 Albert Einstein era filósofo o físico

11. Regla de Adición (LA)

Esquemáticamente p P1 ..p v q Ejemplo Premisa: Los economistas predicen el futuro Conclusión: Los economistas predicen el futuro o analizan el presente Ejemplo-2 El plan Colombia fue un fracaso Conclusión: El plan Colombia fue un fracaso o un éxito

12. Regla de la Simplificación Disyuntiva

Esquemáticamente p v p .. p Ejemplo Premisa-1: Aprueba el curso o aprueba el curso Conclusión: Aprueba el curso Ejemplo Premisa: Se opera o se opera Conclusión: Se opera Conmutativas (LC) p v q P1 p ∧ q P1 .. q v p .. q ∧ p


Taller de Lógica

Ejercicios Escriba la conclusión que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y represéntela simbólicamente: 1. Si no hay inyección de capital, entonces la empresa debe cerrar 2. Si en Venezuela continúan los cierres a las empresas privadas y los apagones

entonces Chávez baja en su popularidad o no será re-elegido 3. Hoy es el último día del mes. Si hoy es último día del mes entonces solo habrá banco

hasta las once de la mañana 4. a > b y k > 0. Si a > b y k > 0 entonces a x k > b x k Ejercicio Escriba la conclusión en cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y determine la regla de inferencia utilizada

p → ~q P1 ~p P2

~p → ~q P1 ~q → r P2

~(~p ∧ ~q P1

p → ~r P1 ~q → s P2 p v ~q P3

(p ∧ ~q) v r P1 ~p v q P2

p → (r ∧ s) P1 q → ~s P2 p v q P3

~p P1 ~q P2

(p → ~q) ∧ (~q →p) P1

(p v ~q) → r P1 ~(~p v q) P2

Ejercicio Aplique las leyes de Morgan para establecer la conclusión

~(p v ~q)

~[(p v ~q)∧ r]

~(~p ∧ ~q)

p ∧ ~q

~p v ~q

~[(p v (~q ∧ r)

Ejercicio Verifique si la conclusión dada es correcta 1. Si Pedro llama entonces María regresa. Pedro llama. Por lo tanto Pedro llama 2. Es falso que: estudio y trabajo. Por lo tanto ni estudio ni trabajo. 3. Si 𝑎 es múltiplo de 𝑏 y 𝑏 es múltiplo de c entonces a es múltiplo de c. 𝑎 no es múltiplo

de 𝑐. Por lo tanto, concluyo que 𝑎 no es múltiplo de 𝑏 o 𝑏 no es múltiplo de 𝑐


Taller de Lógica

~p → ~q P1 p P2 .. q

p → ~q P1 ~q → r P2 .. r →p

~(~p v q) P1 .. p ∧ ~q

p → r P1 ~q → s P2 p v ~q P3 .. r ∧ s

(~p ∧ q) v r P1 P v ~q P2 .. r

(~p ∧ q) → r P1 ~r P2 .. p v ~q

Ejercicio Escriba la conclusión que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y represéntela simbólicamente e indique la regla inferencia que aplica: 1. Si bajan los aranceles entonces aumenta la importación. No aumenta la importación.

2. Si el mototaxismo le gana la batalla al transporte legal entonces las empresas de

transporte público tendrán una dura crisis financiera. Si las empresas de transporte público tienen una dura crisis financiera entonces el transporte público queda en manos de ilegales.

3. No es cierto que, si suben las tasas de interés se incrementa la inversión extranjera y aumenta el empleo.

4. Si las grandes cadenas de supermercado siguen abriendo sucursales en los barrios entonces las tiendas de barrio tienden a desaparecer. No es cierto que las tiendas de barrios tiendan a desaparecer

5. No es cierto que, si se aumenta la importación se incrementa la inversión de capital o crece la economía.

6. No es cierto que, todos los estudiantes son irresponsables y no respetan a los docentes

7. Los argentinos no son los mejores jugadores de futbol o no son las personas más humildes.

8. Si se cuentan con los recursos para cancelar las deudas entonces no continua la anormalidad académica. Se cuenta con los recurso para cancelar la deudas

9. No es cierto que los países desarrollados no trazaron su futuro basado en el conocimiento.


Taller de Lógica

10. Si en Colombia no se forma capital humano con grandes capacidades entonces no se logra disminuir la desigualdad y el empleo informal. En Colombia no se forma capital humano con grandes capacidades

11. Colombia estaría preparado para asumir las exigencias del comercio moderno si solo si desarrolla un mercado más competitivo.

12. Si la tasa de interés baja entonces los demandantes del mercado financiero solicitan más créditos. Si los demandantes del mercado financiero solicitan más créditos entonces los oferentes retiran sus ahorros.

13. Los emprendedores colombianos mejoran su cadena de valor o no son competitivos. Los emprendedores colombianos son competitivos.

14. Si la administración del recurso público es eficiente entonces no hay que crear nuevos impuestos. Si se estimula al contribuyente entonces aumenta la inversión social. la administración del recurso público es eficiente o se estimula al contribuyente

15. Si se recortan las expectativas de crecimiento económico entonces no crece el empleo. Crece el empleo.

16. La crisis no afecta la economía colombiana si solo si los exportadores conquistan mercados en el exterior.

Cuantificación de Enunciados Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P” donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso sería un enunciado conceptual o general. En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos. El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad


Taller de Lógica

Cuantificador Universal Se representa con el símbolo ∀ que se lee “para todo”. Contiene una expresión lingüística como “todos” o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el sujeto. Simbólicamente ∀𝒙 ∈ 𝑨/𝑷(𝒙) La expresión afirmativa es “todo S es P” y la expresión negativa “ningún S es P” Cuantificador Existencial Se simboliza con ∃ se lee “existe”. Contiene una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún” y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir es decir solo afirma que el concepto que el concepto del predicado es aplicable a algunos casos a las que también se aplica el concepto sujeto. Simbólicamente ∃𝒙 ∈ 𝑨/𝑷(𝒙) La expresión afirmativa es “Algún S es P”, la expresión negativa “algún S no es P” Negación de los Cuantificadores Simbólicamente ~(∀𝑥 ∈ 𝐴/𝑃(𝑥)) ≡ (∃𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃(𝑥)) ~(∃𝑥 ∈ 𝐴/𝑃(𝑥)) ≡ (∀𝑥 ∈ 𝐴/~𝑃(𝑥)) Clasificación de las Proposiciones Categóricas por la Cualidad y la Cantidad. Las proposiciones categóricas Proposición Universal Afirmativa: Todos los gatos son mamíferos (A) Proposición Universal Negativa: Ningún gato es mamífero (E): Proposición Particular Afirmativa: Algún gato es mamífero (I) Proposición Particular Negativa: Algún gato no es mamífero (O) Ejercicio Identifique las siguientes proposiciones y determine si el sujeto y el sujeto y el predicado son universales o particulares. 1. Algunos políticos son candidatos presidenciales 2. Ningún músico es boxeador 3. Todo locutor es poseedor de un permiso para ejercer su profesión


Taller de Lógica

4. Algunos de tus poemas no están bien logrados 5. Todos los artefactos que necesitan gasolina son contaminantes del aire 6. Algún miembro de ese consejo no apoyo la medida 7. Ninguna de las decisiones emanadas de organismo tan ineficientes son eficaces 8. Todos los integrantes del equipo son menores de doce años 9. Ningún desinfectante es inofensivo para la salud

10. Algunos escritores de novelas de ciencia-ficción no son detectives

El Cuadrado de la Oposición de las Proposiciones. Inferencias que se basan en él Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera y O es falsa Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa y O es verdadera Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas Si O es verdadera: A es falsa, E e I quedan determinados Si A es falsa: O es verdadera, E e I quedan indeterminadas Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminados Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera y O es verdadera Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa e I es verdadera Ejercicio ¿Qué puede inferirse acerca de las siguientes proposiciones, en cada uno de los conjuntos dados, si suponemos que la primera de ellas es verdadera? ¿Y si suponemos que es falsa?

Nº Proposiciones Valores de Verdad

1 Todos los filósofos son inteligentes 1 0 Ningún filosofo es inteligente Algún filosofo es inteligente Algún filosofo no es inteligente

2 Ningún político es mentiroso 1 0


Taller de Lógica

Todos los políticos son mentirosos Algún político es mentiroso Algún político no es mentiroso

3 Algunos titulares de prensa están mal redactados 1 0 Ningún titular de prensa está mal redactado Todos los titulares de prensa están mal redactados Algunos titulares de prensa no están mal redactados

4 Ningún mamífero es roedor 1 0 Todos los mamíferos son roedores Algunos mamíferos son roedores Algunos mamíferos no son roedores

5 Algunos ejercicios de lógica no son difíciles de resolver 1 0 Todos los ejercicios de lógica son difíciles de resolver Ningún ejercicio de lógica es difícil de resolver Algunos ejercicios de lógica son difíciles de resolver

Ejercicio Identifique el cuantificador que aplica y niegue cada una de las siguientes proposiciones 1. Todos los tumores son malignos 2. Ninguna droga genérica cura 3. Algunos médicos no son humanitarios 4. Algunas clínicas estafan al estado 5. Algunas enfermedades no tiene explicación cientifica 6. Todos los políticos son corruptos 7. Algunos futbolistas son profesionales 8. Ningún hombre es racional 9. Existen buenas políticas de estado

10. Todos los jóvenes siente atracción hacia la tecnología 11. Algunos guerrilleros no son delincuentes 12. Ningún programa de televisión enseña 13. Existen profesores malos 14. Todo el que se educa es culto 15. Algunos mototaxistas son delincuentes 16. Todas las investigaciones científicas aumentan las expectativas de vida del ser

humano. 17. Ningún país latinoamericano posee una economía sólida. 18. Algunos reinsertados continúan delinquiendo. 19. Algunos costeños no son mamadores de gallo. 20. Todas las políticas de estado buscan superar una crisis. 21. Todos los seres vivos son pluricelulares


Taller de Lógica

Ejercicios Niegue las siguientes proposiciones 1. Todos los médicos confunden las patologías de las enfermedades raras (0) 2. Algunas enfermedades raras no tienen tratamiento (1) 3. Algunos medicamentos alteran el sistema nervioso (1) 4. Algunas personas no nacen con malformaciones cardiacas (0) 5. Ninguna de las niñas han presentado síntomas que comprometa su vida (1) 6. Todas las niñas que manifiestan malestares fueron vacunadas (0) 7. Algunos gremios no apoyan el cambio de horario de entrada a la oficina (1) 8. Todas las empresas en Colombia destacan el incremento de las ventas en el 2014 (0)

9. Todos los ingresos fiscales del país están atados al sector petrolero (0) 10. Algunos analistas advierten que las alzas del dólar no repercuten en la inflación (1)

LÓGICA PROPOSICIONALprofesorjosebarrossergio.weebly.com/uploads/6/3/9/0/...LÓGICA PROPOSICIONAL...

Documents

Transcript of LÓGICA PROPOSICIONALprofesorjosebarrossergio.weebly.com/uploads/6/3/9/0/...LÓGICA PROPOSICIONAL...