Lineaarialgebra

Kertaus: Sinin ja Kosinin määrittely

kaikille kulmille välillä -∞ …∞

Arvioi yksikköympyrän avulla:

a) sin(30o)

b) Cos(30o)

Ratkaise ilman laskinta

a) sin(x) = 0.5 (terävä ja tylppä

kulma)

b) cos(x) = 0

c) cos(x) = -0.5

sin(α ) on kulmaa α vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti

cos(α ) on x- koordinaatti

Yhtälölle sin(x) = 0.5

Kone antaa x1 = sin-1(0.5) =

30o

Toinen ratkaisu on aina

x2= 180o – x1

(tässä siis 150o)

Vektorilaskentaa osa1

• Peruslaskutoimitukset

• Komponenttiesitys

• Vektorin pituus

• Jana vektorimuodossa

• Koordinaatistopisteen paikkavektori

2D - vektorit

Vektorit• Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita,

joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v.

Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla.

• Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien

suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma

esim. Lentokoneen nopeus

v = (200m/s, 100 m/s)

tai ts. v = 223.6 m/s suuntaan 26.6o

eli lyh. 223.6 <26.6o

Miten vektorin merkintä poikkeaa tavallisista luvuista eli skalaareista?

Suositeltava tapa: Jos alkupiste on A ja loppupiste B, käytetään

Huom: Koneella kirjoitetussa tekstissä (esim. Office) yläviivojen käyttäminen on hidasta. Tällöin

vektori erotetaan skalaarista pelkästä lihavoinnilla.

Esim. symbolijonossa (t , k , a, b, v, F, c) on 4 skalaaria ja kolme vektoria (a, v, F)

Peruslaskutoimitukset

b

a

a + b

a + b

-b

-b

a

a – b

= a + (-b)

a

b

suunnikassääntö

3b

Summa

a + b

erotus

vakio*vektori, esim. 3b

vastavektori

suunnikassääntö

a - ba

b

Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan

sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä.

a) a + b

b) b – a (myös –a + b)

c) ½ b + a

d) b + ½ a

e) -½ a – ½ b

f) ½ b + a – ¼ b = ¼ b + a

Vektorit koordinaatistossa

a = (2,4)

b = (-3,2)

c = (-1,-4)

Kun vektorin alkupiste asetetaan origoon, vektori voidaan

yksikäsitteisesti esittää sen loppupisteen koordinaattien avulla.

(Tällä kurssilla käytetään pääasiassa tätä esitysmuotoa)

(lue komponentit kuvasta)

Vektorien peruslaskutoimitukset

komponenttimuodossaAlgebrallisesti:

(a1,a2) + (b1,b2) = (a1+ b1, a2 + b2,)

(a1,a2) - (b1,b2) = (a1 - b1, a2 - b2)

t (a1, a2) = (t a1, t a2)

Esim. Vektori a = (1,2) ja b = (3,-2) . Laske

a) a + b = (1+3, 2 -2) = (4, 0)

b) a – b = (1-3, 2 – (-2)) = (-2, 4)

c) -2 b = (-2*3 , -2*(-2)) = (-6, 4)

d) 3 a – 4 b = (3,6) – (12, -8) = (3-12, 6 + 8) =(-9, 14)

Monet laskimet osaavat laskea vektoreilla: esim. WolframAlphassa kohdat a) … d) syötetään

(1,2) + (3, -2) (1,2) - (3, -2) -2*(3, -2) 3*(1,2) - 4*(3, -2)

Huom! Joissain laskimissa kaarisulkujen tilalla pitää käyttää hakasulkuja tai aaltosulkuja

2

2

2

1|| aaa

a)

b)

Esim.

√(22+42) = √20 = 4.5

√(32+22) = √13 = 3.6

√(12+42) = √17 = 4.1

Summavektori ja sen pituus

s = (2-3-1,4+2-4) =(-2, 2)

|s| = √(22+22) = √8 = 2.8

(2,4)(-3,2)

(-1,-4)norm (2,4) antaa 4.5

norm (-3,2) antaa 3.6

norm (-1,-4) antaa 4.1

Vektorin pituus laskimissa

Vektorin pituus lasketaan funktiolla norm()

Esim. laske vektorin (2,-5) pituus

TI- cas norm((2,-5))

WolframAlpha norm (2,-5)

funktiolaskin √(22+52)

Miten lasketaan sen vektorin komponentit, jonka lähtö-piste

on koordinaattipiste A(a1,a2) ja päätepiste on B(b1,b2)?

Kuvion perusteella OB saadaan

lisäämällä OA:han vektori AB , ts.

OB = OA + AB , josta ratkaistuna

Kaavan mukaan vektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä

loppupisteen B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori

Pisteiden koordinaatteja käyttäen vektori AB on siten

𝐴𝐵 =(b1,b2)- (a1,a2) = (b1–a1, b2 - a2)

Jana pisteestä A pisteeseen B

vektorimuodossa ABHUOMAA! Pisteen ja pisteeseen liittyvän paikkavektorin ero

Piste, esim. A(2,5) ei ole vektori, sillä ei ole suuntaa eikä pituutta.

Pisteeseen A liittyy origosta O pisteeseen A piirretty paikkavektori OA = (2,5)

Miten lasketaan sen vektorin komponentit, joka lähtee koordinaattipisteestä

A ja päättyy koordinaattipisteeseen B?

Kuvion perusteella OB saadaan

lisäämällä OA:han vektori AB , ts.

OB = OA + AB , josta ratkaistuna

=> siirtymävektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä loppupisteen

B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori

Esimerkkejä

vektoritehtäviin

Esim. 1 Kuinka pitkä matka on Rovaniemen linja-autoasemalta linnuntietä hotelli

Pohjanhoviin

- määritä matkaa kuvaavan vektorin AB komponentit

- laske vektorin pituus

Jana vektorina : AB = (1030,550) – (150, 140) = (880,410)

Kysytty välimatka on janan pituus

|AB| = 971 m (√(8802 + 4102) = 971)

Esim. 2: Turisti lähtee Pohjanhovista B ja tulee paikkaan C, joka sijaitsee 400 m länteen

ja 50 m etelään lähtöpaikasta

- määritä matkaa kuvaavan vektorin BC komponentit : (-400,-50)

- laske loppupisteen C koordinaatit vast: C(630,500)

OC = OB + BC =

(1030,550) +(-400,-50)

= (1030-400, 550-50)

= (630, 500)

Janan päätepisteen B laskeminen, kun

alkupiste A ja siirtymävektori AB tunnetaan

A(100,150)

Sähkölinjan lähtöpiste on A(100, 150).

Linjan pituus on 700m suuntaan 60o.

Laske linjan toisen päätepisteen B koordinaatit.

B

1. Lasketaan siirtymävektorin AB komponentit:

Vaakasuunnassa : 700*cos(60o) = 350 m

Pystysuunnassa : 700*sin(60o) = 606 m

2. Lasketaan vektorin pisteen B koordinaatit:

𝑶𝑩 = 𝑶𝑨 +𝑨𝑩 = (100,150) + (350, 606) = (450, 756)

60o

Huom: Piste ja sen paikkavektori merkitään eri tavalla: A(100,150) on piste, jolla ei voi laskea.

Pisteen koordinaatteja voi käyttää paikkavektorina, jolloin merkintätapa on

𝑂𝐴 = (100,150) tai tällä kurssilla ҧ𝐴 = (100,150) .

Paikkavektoriin voi lisätä toisen vektorin, jolloin saadaan uusi koordinaatistopiste.

Esim. 3 Henkilö siirtyy Pohjanhovista 600 m suuntaan, joka on 20 astetta

länsisuunnasta Etelään. Mihin pisteeseen C hän tulee ?

Lasketaan siirtymävektori BC komponentit:

BC = ( 600*cos200o, 600*sin200o) = (-564, -205)

Vektorin komponentit

laskettuna napakoordi-

naateista r, φ

x= r cos φ , y = r sin φ

Suuntakulma φ luetaan

positiivisesta x- akselista

r = vektorin pituus

Loppupiste : OC =

(1030,550) + (-564,-205) = (466,345)

A(0,0)

B(60,20)

C(-10,30)

D (?, ?)

Esim 3. Suorakulmaisen tontin kolme kärkipistettä sijaitsevat kohdissa A(0,0), B(60,20) ja

C(-10, 30). Mitkä ovat pisteen D koordinaatit?

Siirtymävektori B:stä D:hen:

BD = AB = (-10,30)-(0,0) =(-10,30)

Joten

D:n paikka saadaan lisäämällä

B:n paikkavektoriin siirtymä

(60,20) + (-10,30)

=(60-10, 20+30)

= (50, 50)

Janan AB vektorimuoto AB

Vektori AB saadaan vähentämällä

janan loppupisteen koordinaateista

janan alkupisteen koordinaatit

b) Laske myös janan pituus

a) Esitä jana AB vektorina, kun

päätepisteiden koordinaatit ovat

A(-2,3) ja B(3,7)

(3,7) – (-2,3) = (5,4)

𝟓𝟐 + 𝟒𝟐= 𝟒𝟏 = 6.4

WolframAlpha

norm (5,4)

6.4

LapinAMK:n rakennus

sijaitsee pisteessä

A(475, 265)

LUC:n kirjasto sijaitsee

pisteessä B(90, 790)

Laske välimatka LapinAMK:n

ja LUC- kirjaston välillä

seuraavasti:

a) Määritä vektorin AB

komponentit

b) Määritä vektorin AB

pituus |AB|

(kokeile laskimen tai WA:n

norm() funktiota)

Esimerkki:

Ratkaisu: Lasketaan vektori kampus => kirjasto

AB = (90, 790) – (475, 265)= (-385, 525)

Etäisyys on tämän vektorin pituus

|AB|= √(3852+5252) = 651 m

Napakoordinaatit r ja φ

Muunnokset

(r ,φ) =>(x,y)

(x,y) => (r ,φ)

r

φ

Napakoordinaatit r,φ

sinry

Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti

napakoordinaattien avulla (merk. r < φ) , missä r = vektorin pituus ja φ on

vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x – akselin kanssa)

cosrx

Vektorin komponentit (x,y)

saadaan napakoordinaateista

muunnoskaavoilla

Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus.

Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän tehtävän voisi ratkaista erittäin helposti:

[12<60] + [7<155] + [9<270] Enter

antaa suoraan summavektorin pituuden ja suunnan

[4.53 < 104.4] (ei toimi enää Ti CAS:ssa)

Muunnoskaavat molempiin suuntiin

(x,y) = (r cosφ, r sinφ)

φ

r

r = √(x2+y2)

φ = tan-1(y/x) (+ 180o, jos x<0)

Komponenttimuoto ja napakoordinaattiesitys

Esim. laske ao. kuvan vektorien summavektori ja sen pituus

(x,y)

12 cos60o 12 sin60o

+ 7 cos155o 7 sin 155o

+ 9 cos265o 9 sin265o

= - 1.129 = 4,385

Summavektori s = (-1.13 , 4.39)

pituus |s| = √(1.132 + 4.392) = 4.53

suunta tan-1(4.39/-1.13) + 180o = 104.4o

Esim. Suunnistaja juoksee ensin itään 500 m , ja sitten koilliseen

300 m. Kuinka kaukana hän on lopussa lähtöpisteestään?

Lasketaan väli AB vektorimuodossa kahden vektorin summana:

AB = (500, 0 ) + (300 cos45o, 300 sin45o) = (712.1 , 212.1)

Välimatka = vektorin pituus |AB| = √(712.12+212.12) m= 743 m

Esim. Maanmittari määrittää pisteiden A ja B välimatkan. Välissä on este, joka

täytyy kiertää, joten mittaus tehdään kuvan mukaisesti pätkissä. Laske vektoreita

käyttäen väli AB. (Tehtävä tehtiin syksyllä ”vaikealla tavalla” kosinilauseella)

Ratkaisu: jaetaan vektorit komponentteihin ja lasketaan yhteen.

AB = (150, 0 ) + (130 cos40o, 130 sin40o)+(180 cos85o, 180 sin85o)

= (265.3 , 262.9)

Vektorin pituus |AB| = √(265.32+262.92) m= 373.5 m

Napakoordinaattilaskimella (mm. vanha HP) tehtävä olisi helppo:[150<0] + [130<45] + [ 180<85] [Enter]

antaa [373.5 < 44.7]

x = r cos φ

y = r sin φ

a

b

c

Laske komponentit kuvan vektoreille:

25

30

16

60o

10o

8o

a = (25 cos60, 25 sin60) = (12.5, 21.7)

b = (30 cos170, 30 sin170) = (-29.5, 5.2)

c = (16 cos278, 16 sin278) = (2.2, -15.8)

Vektorien skalaaritulo eli pistetulo

Vektoreille on määritelty ns. skalaaritulo eli pistetulo a.b

a

bφ

Määr.

2D -vektorien a = (a1,a2) ja b = (b1,b2) pistetulo laskettuna

komponenteista

3D –vektoreille

Esim2. Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun

a) a = (2,4) ja b = (3,1)

b) a = (1,4,2) ja b = (3,1, -1)

a) a.b = a1b1+a2b2 = 2*3 + 4*1 = 10

b) a.b = a1b1+a2b2 +a3b3 = 1*3 + 4*1 + 2*(-1) = 5

Esim1.

Laske vektorien a ja b pistetulo a.b, kun

a) |a| = 5, | b |= 2 ja vektorit ovat samansuuntaiset

b) |a| = 5, | b | = 2 ja vektorit ovat vastakkaissuuntaiset

c) |a| = 5, | b | = 2 ja vektoreiden välinen kulma = 90o

a) 2*5*cos0o = 10

b) 2*5*cos180o = -10

c) 2*5*cos90o = 0

Pistetulon määritelmästä nähdään, että a.b on luku,

joka on suurimmillaan |a||b| ja pienimmillään - |a||b|

Perustelu: cosφ on yksikköympyrän kehäpisteen x-

koordinaatti jonka suurin arvo on 1 ja pienin - 1

Pistetulon sovelluksia:

1. Vektorien välinen kulma

Esim. Laske vektorien ( 3, 1) ja ( 1, 2) välinen kulma.

=> γ = 45o

2. Vektorien kohtisuoruus

Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan a.b = 0

Esim. Määrää jokin vektoria ( 2, 3) vastaan kohtisuora vektori.

Ratkaisu: esim. (3, - 2) käy, koska (2,3).(3,-2) = 2*3 + 3* -2 = 0

a.b = |a||b|cosγ =>

cosγ = ഥ𝒂.ഥ𝒃

ഥ𝒂 |ഥ𝒃|

a.b = |a||b|cos90o =0

Harj. Kartassa näkyvä kolmiopuisto sijaitsee Helsingissä.

Kolmion kärkipisteiden koordinaatit ovat

A(200,100), B(190, 230), C(140,180).

a) Laske kolmion sivujen pituudet

b) Laske puiston pinta-ala.

Ala lasketaan ns. alalauseella A = ½ |AB| |AC| sinα

Tähän tarvitaan vielä kulma α:

cosα = 𝒂.𝒃

𝒂 |𝒃|=

(−𝟏𝟎,𝟏𝟑𝟎).(−𝟔𝟎,𝟖𝟎)

𝟏𝟑𝟎.𝟒∗𝟏𝟎𝟎=

𝟔𝟎𝟎+𝟏𝟎𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟑𝟎.𝟒∗𝟏𝟎𝟎=0.844 => α = 32.5o

Ala A = ½ 130.4*100* sin(32.5o) = 3503 m2

3. Kolmion ratkaiseminen

Kolmion kärkipisteet ovat A(3,4) , B(1,1) ja C(5,2) . Määritä

kolmion ABC a) sivujen pituudet b) kulmat c) ala

a) Sivut esitetään vektoreina. Lasketaan pituudet

AB = (1,1) – (3,4) = (-2,-3) |AB| = √13

AC = (5,2) – (3,4) = (2,-2) |AC| = √ 8

BC = (5,2) – (1,1) = (4,1) |BC| = √ 17

b) kulmat o

ACAB

ACAB7.78)

813

)2,2).(3,2((cos)

||||(cos 11

o

BCBA

BCBA3.42)

1713

)1,4).(3,2((cos)

||||(cos 11

α = 180o – 78.7o – 42.3o = 59.0o

c) Alalause: A = ½ a b sin γ = ½ √ 13 √ 8 sin78.7o = 5.0

A B

C

α

(”ala = ½*kahden sivun tulo*niiden välisen kulman sini” )

Huom!

Kulmaa β lasket-

taessa pitää

kääntää vektori

AB BA:ksi

BA=-(-2,-3)

=(2,3)

Vektorien pistetulon

ഥ𝒂. ഥ𝒃 sovelluksia

PROJEKTIOLASKUT

- Skalaariprojektio

- Vektoriprojektio

Aiheeseen liittyvät tehtävät : 19, 20 , 21

Projektiotehtävät

Pisteet A, B ja C on annettu. Pisteestä C piirretään suora, joka

tulee suorassa kulmassa janalle AB pisteeseen P (jota voidaan

kutsua C:n projektiopisteeksi janalla AB

Tehtäviä:

1. Ratkaise janan AP pituus

2. Ratkaise vektorin AP komponentit

3. Ratkaise pisteen P koordinaatit

4. Ratkaise janan PC pituus

ESIMERKKI: kaapelin veto kohtisuoraan tielinjalle.

Muuntajalta M(800,500) vedetään kohtisuora kaapeli tielinjalle

A(100,100) B(1100,150). Määritä

a) välin AC pituus (kuvan x)

b) kaapelin CM pituus (kuvan y)

c) pisteen C koordinaatit

Tapa1:

α

AM=(800,500) – (100,100) = (700,400) , pituus |AM| = √(7002+4002)= 806.2 (=a)

AB=(1100,150) – (100,100) = (1000,50) , pituus |AB| = √(10002+502)= 1001.2 (=AB)

Pistetulo AM.AB = (700,400).(1000,50) = 700000+20000 = 720000

𝑐𝑜𝑠α =𝐴𝑀.𝐴𝐵

𝐴𝑀 |𝐴𝐵|=

720000

806.2∗1001.2= 0.892 => α= cos-1(0.892) = 26.9o

a) Välin AC pituus (kuvan x) = |AM| cosα=> x= 806.2*cos26.9o = 719.0 metriä

b) Kaapelin pituus (kuvan y) = |AM| sinα => y= 806.2*sin26.9o = 364.8 metriä

c) Tien AB suuntakulma φ = tan-1(50/1000)= 2.86o

Vektori AC = (r cos φ, r sin φ) = (719 cos2.86o, 719 sin2.86o) =(718.1, 35.9)

Pisteen C koordinaatit saadaan lisäämällä A:n paikkavektoriin AC

OC = ÒA + AC = (100,100) + (718.1, 35.9) = (818.1, 135.9)

806.2

26.9o

Vektorin ത𝑎 suuntainen yksikkövektori ഥ𝑎0

Määritelmä: Kun vektori ഥ𝒂 jaetaan omalla pituudellaan,

saadaan vektori, jonka suunta on sama kuin ത𝑎:lla ja pituus = 1

Tätä vektoria sanotaan ത𝑎:n suuntaiseksi yksikkövektoriksi

Esim. Laske vektorin a = ( 1, 3) suuntainen yksikkövektori

ഥ𝑎0 = ത𝑎

|𝑎|=

(r𝑐𝑜𝑠φ, r𝑠𝑖𝑛φ)𝑟

= (𝒄𝒐𝒔𝝋, 𝒔𝒊𝒏𝝋)yksikkövektori

Tapa1: Vektorin a pituus |a| = √(12+32) = √10 = 3.16

ഥ𝑎0 = ത𝑎

|𝑎|= (

1

3.16,

3

3.16)= (0.316,0.949)

Tapa2: Vektorin a suuntakulma φ = tan-1(y/x)=tan-1(3/1) =71.57o

ഥ𝑎0 = (𝑐𝑜𝑠φ, 𝑠𝑖𝑛φ)=((cos 71.57o, 𝑠𝑖𝑛71.57𝑜) =(0.316,0.949)

x = r 𝑐𝑜𝑠φy = r 𝑠𝑖𝑛φ

yks.vektorille r = 1

Suorat kaavat projektioille (Maol)

𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏

|𝑏|

Vektorin ഥ𝒂 skalaariprojektio vektorin ഥ𝒃 suuntaan:

Skalaariprojektio ab = kuvassa

punaisen janan pituus

Vektoriprojektio = kyseinen

jana vektorimuodossa

Vektorin ഥ𝒂 vektoriprojektio vektorin ഥ𝒃 suuntaan:

ത𝑎𝑏=𝑎𝑏 ഥ𝑏𝑜 =

ത𝑎. ത𝑏

|𝑏|2ത𝑏

Tehdään edellä esitetty kaapeliesimerkki käyttäen näitä kaavoja =>

ESIMERKKI: kaapelin veto kohtisuoraan tielinjalle.

Muuntajalta M(800,500) vedetään kohtisuora kaapeli tielinjalle

A(100,100) B(1100,150). Määritä

a) välin AC pituus (kuvan x)

b) kaapelin CM pituus (kuvan y)

c) pisteen C koordinaatit

Tapa2:

AM=(800,500) – (100,100) = (700,400) , pituus |AM| = √(7002+4002)= 806.2

AB=(1100,150) – (100,100) = (1000,50) , pituus |AB| = √(10002+502)= 1001.2

Pistetulo AM.AB = (700,400).(1000,50) = 700000+20000 = 720000

𝑎) 𝑥 =𝐴𝑀.𝐴𝐵

|𝐴𝐵|=720000

1001.2= 719.1 m

b) Kaapelin pituus y = √(806.22-719.12) = 364.5 metriä

c) Tien suuntakulma: φ = tan-1(50/1000)=2.86o

Vektori AC = (719.1cos2.86o,719.1sin2.86o) = (718.2, 35.9)

Pisteen C koordinaatit saadaan lisäämällä A:n paikkavektoriin AC

OC = ÒA + AC = (100,100) + (718.2, 35.9) = (818.2, 135.9)

𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏

|𝑏|

ത𝑎𝑏=𝑎𝑏 ഥ𝑏𝑜

806.2

719.1

Esim. Määritä vektorin ( 1,5) a) skalaariprojektio

b) vektoriprojektio vektorin (6,4) suuntaan.

𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏

|𝑏|=

1,5 .(6,4)

62+42=26

52=3.6

skalaariprojektio

vektoriprojektio

ത𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏

|𝑏|2ത𝑏=

1,5 . 6,4

62+42(6,4)

=26

52(6,4)= (

26

526,

26

524)=(3,2)

Vektoriprojektion voi laskea myös kertomalla skalaariprojektiolla

yksikkövektori b0 =(cosφ, sin φ)

ത𝑎𝑏 = 3.6(𝑐𝑜𝑠33.69𝑜, 𝑠𝑖𝑛33.69𝑜)=(3,2)

b:n suuntakulma φ = tan-1(y/x) = tan-1(4/6) =33.69o

3.6

Helpompi tapa

𝑎𝑏=ത𝑎. ത𝑏

|𝑏|

Skaalaariproj.

ത𝑎𝑏=𝑎𝑏 ഥ𝑏𝑜 =

ത𝑎. ത𝑏

|𝑏|2ത𝑏

Vektoriproj. laskukaavat

1*6+5*4 = 26

Vektoriyhtälön ratkaiseminenmekaniikan tasapainotehtävissä

* Meillä on n kpl voimia, joiden suunnat tunnetaan ja joiden summa = 0

* Kaksi voimista on tuntemattomia, muiden suuruudet tunnetaan

Voimakolmiomenetelmä

60

F2F1

90o

25o

65o

𝐹1

𝑠𝑖𝑛90=

𝐹2

𝑠𝑖𝑛25=

60

𝑠𝑖𝑛65

Em. Tehtävä voidaan tehdä ilman vektorilaskennan menetelmiä: Kolmen vektorin summa = 0 , kun vektorit muodostavat peräkkäin asetettuna kolmion.

Kolmion kulmien päätteleminen on vaikein kohta tässä menetelmässä.

Jos kulmat ovat oikein, kolmion kaksi sivua voidaan ratkaista helposti sinilauseella.

Aiheeseen liittyy tehtävämonisteen teht. 25

Huom! Jos vektoreita on enemmän kuin kolme, tämä geometrinen menetelmä menee hankalaksi. Vektorimenetelmä sen sijaan on yleispätevä, eikä työmäärä juuri lisäänny vektorien määrän kasvaessa.

”Kompassi suuntakulmien Lukemista varten”

Ratkaise voimien F1 ja F2 suuruudet, kun ao. kuvan kolmen vektorin summa = 0

F1 cos(135o) + F2 cos(250o) + 60 cos(340o) = 0

x = r cosϕy = r sinϕ

Vektorin komponentit x ja y saadaan ao. kaavoilla

r = vektorin pituusϕ = vektorin ja positiivisen x- akselin välinen kulma (ns. suuntakulma)

pituudet ja suunnat [r< ϕ] : [F1<135o] , [F2<250o] , [60 <340o]

Tasapainoehdot vaaka- ja pystykomponenteille

F1 sin(135o) + F2 sin(250o) + 60 sin(340o) = 0

Ratkaisu WolframAlpha.com – online laskimella:

solve F1 cos(135 deg)+F2 cos(250 deg)+60 cos(340 deg)=0 , F1 sin(135 deg)+F2 sin(250 deg)+60 sin(340 deg)=0 [enter]

Aiheeseen liittyy tehtävämonisteen teht. 25

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisumenetelmiä

- Poiketaan hieman laskumonisteen esitysjärjestyksestä, koska mekaniikassa tarvitaan nyt yhtälöryhmäaihetta

Aiheeseen liittyvät tehtävät:

42 a) ja 42 b) 44) 45 a) 45 b)

Lineaarinen yhtälöryhmä: 2 yht. , 2 tuntematonta

𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2

WolframAlpha:

Tuloksena on ratkaisukaavat x:lle ja y:lle

Tässä muodossa kaavat eivät esiinny taulukkokirjassa

Maol:n taulukoiden vastaavat kaavat on esitetty eri muodossa, käyttäen determinantin käsitettä

Taulukkokirja esittää kaavat determinanttien avulla

𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2

Matriisi ja determinanttiMatriisit ovat lukutaulukkoja B=

2 1 14 3 1

on 2x3 matriisi

2x2 neliömatriisi A=3 14 5

2x2 neliömatriisiin liittyy luku, jota sanotaan determinantiksi

Det(A)=𝟑 𝟏𝟒 𝟓

= 𝟑 ∗ 𝟓 − 𝟒 ∗ 𝟏 = 𝟏𝟏

D = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Esim.

Laskimiin matriisin voi syöttää JOKO matriisieditorilla taulukkomuodossa, tai vaihtoehtoisesti yhdelle riville kahden vektorin parina. Esimerkin determinantin voi laskea komennolla det ((3,1), (4,5))

Yhtälöryhmän ratkaisu determinanttimuodossa

x = 𝐷𝑥

𝐷

y = 𝐷𝑦

𝐷

D = 𝒂𝟏 𝒃𝟏𝒂𝟐 𝒃𝟐

= x:n ja y:n kerroindeterminantti

Dx = 𝒄𝟏 𝒃𝟏𝒄𝟐 𝒃𝟐

= saadaan kerroindeterminantista

korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2

Dy = 𝒂𝟏 𝒄𝟏𝒂𝟐 𝒄𝟐

saadaan kerroindeterminantista

korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2

𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2

Tarvitaan yhtälöryhmän vasemman puolen kertoimista laskettava kerroindeterminantti D ja kaksi sen variaatiota

Yhtälöryhmä on vietävä ns. normaalimuotoonennen determinanttien laskemista

3 𝒙 = 7 − 5𝑦𝑦 = 2𝑥 + 1

3 𝒙 + 5𝒚 = 7−2𝒙 + 𝒚 = 1

D = 𝟑 𝟓−𝟐 𝟏

= 3 + 10 = 13

Dx = 𝟕 𝟓𝟏 𝟏

= 7 - 5 = 2

Dy = 𝟑 𝟕−𝟐 𝟏

= 3 + 14 = 17

X = Dx/D = 2/13

y = Dy/D = 17/13

Normaalimuoto: x:t , y:t omissa sarakkeissaan vasemmalla, vakiot oikealla puolen yhtälöä

𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2

Esim. Aiemmin esitetty tasapainotehtävä, jossa voimien summa = 0 antoi viereisen yhtälöryhmän, joka ratkaistiin solvella. Ratkaistaan se nyt determinanteilla.

Aloitetaan muuttamalla yhtälöryhmä normaalimuotoon

x = 𝐷𝑥

𝐷=

60

0.906= 66.2

y = 𝐷𝑦

𝐷=

25.36

0.906= 28.0

D = −𝟎. 𝟕𝟎𝟕 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟎. 𝟕𝟎𝟕 −𝟎. 𝟗𝟒

= 0.906

−0.707𝑭𝟏 + 0.342 𝑭𝟐 = −56.380.707𝑭𝟏 − 0.940 𝑭𝟐 = 20.52

Dx = −𝟓𝟔. 𝟑𝟖 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟐𝟎. 𝟓𝟐 −𝟎. 𝟗𝟒

= 60.0

Dy = −𝟎. 𝟕𝟎𝟕 −𝟓𝟔. 𝟑𝟖𝟎. 𝟕𝟎𝟕 𝟐𝟎. 𝟓𝟐

= 25.36

𝑭𝟏𝑐𝑜𝑠135 + 𝑭𝟐𝑐𝑜𝑠250 = −60 𝑐𝑜𝑠340𝑭𝟏𝑠𝑖𝑛135 + 𝑭𝟐𝑠𝑖𝑛250 = −60 𝑠𝑖𝑛340

Kertoimet kannattaa ehkä muuttaa desimaaliluvuiksi

F1 cos(135o) + F2 cos(250o) + 60 cos(340o) = 0F1 sin(135o) + F2 sin(250o) + 60 sin(340o) = 0

Graafinen ratkaisu 5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3

Molemmat yhtälöt edustavat suoria.

Yhtälöt ovat yhtaikaa voimassa suorien Leikkauspisteessä

Yhtälöryhmän ratkaisu on suorien leikkauspiste

Kuvan perusteella x = 1.4 , y = 2.0

WolframAlpha:

Yhtälöryhmän ratkaisumenetelmien vertailua

Seuraavassa esitetään 4 menetelmää, joista 3 ensimmäistä voi käyttää, jos laskimessa ei ole yhtälön ratkaisuun soveltuvaa solve - käskyä tai jos tehtävä on määrätty ratkaisemaan manuaalisesti.

A. Eliminoimismenetelmä:

5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3

Kerrotaan yhtälöt selliaislla luvuilla, että jommankumman muuttujan kertoimiksi tulee vastaluvut. Tämän jälkeen yhtälöt lasketaan puolittain yhteen, jolloin saadaan yhtälö jossa on vain yksi muuttuja

Kerrotaan yhtälö1 luvulla 3

Kerrotaan yhtälö2 luvulla -2

15 𝒙 + 6𝒚 = 334 𝒙 − 6 𝒚 = −6 Lasketaan yhtälöt yhteen

19 x = 27

x = 27/19 ≈ 1.42

Ratkaistaan x

Ratkaistaan y sijoittamalla saatu x esim. yhtälöön 1

5*27/19 + 2y = 112y = 11- 135/19 = 74/19= y = 37/19

Käytännön sovelluksissa x ja y ovat useimmiten desimaalilukuja, joten viimeinen vaihe yksinkertaistuu muotoon 7.1 + 2y = 11 => y = 1.95

B. Sijoitusmenetelmä:

5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3

Ratkaistaan esim. y yhtälöstä 1.Sijoitetaan saatu lauseke yhtälöön 2 y:n tilalle.Saadusta ens. asteen yhtälöstä ratkaistaan xLopuksi ratkaistaan y sijoittamalla saatu x:n arvo vaiheen 1 tuloksena saatuun yhtälöön

<= Ratkaistaan y yhtälöstä 1

Sijoitetaan saatu lauseke y:n tilalle yhtälössä 2

2y = 11 – 5 x=> y = 11/2 – 5/2 x = 5.5 – 2.5 x

−2 𝒙 + 3 𝟓. 𝟓 − 𝟐. 𝟓𝒙 = 3 => −2 𝒙 + 16.5 − 7.5𝑥 = 3=> -9.5𝑥 = −13.5 => x = -13.5/(-9.5)-=> x = 1.42

y = 5.5 – 2.5 x = 5.5 – 2.5*1.42 = 1.95

C. Determinanttikaavat x = Dx/D , y= Dy/D

5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3

D = 𝟓 𝟐−𝟐 𝟑

= 15 + 4 = 19

Dx = 𝟏𝟏 𝟐𝟑 𝟑

= 33 -6 = 27

Dy = 𝟓 𝟏𝟏−𝟐 𝟑

= 15 + 22 = 37

X = 27/19 ≈ 1.42

Y = 37/19 ≈ 1.95

D. Solven käyttö 5 𝒙 + 2𝒚 = 11−2 𝒙 + 3 𝒚 = 3

Esim. mekaniikan tasapainotehtävissä kaikkein tehokkain tapa, mikäli laskimessa on tämä toiminto.

Mitä menetelmiä voi käyttää, kun tuntemattomia ja yhtälöitä

on paljon?

Esim. Ratkaise x, y , z , u ja v yhtälöryhmästä

2 x + 5 y – 3 z -7 u + v = 11- x + 3 y + 2 z + u – 11 v = 27 x - y + 8 x + 5 v = 19-5 x + 13 y – 4 z + 6 u – v = 143 x – 2 y + 5 z - 6 u + 4 v = 21

Solve toimii myös suurille yhtälöryhmille

solve 2 x + 5 y – 3 z -7 u + v = 11, - x + 3 y + 2 z + u – 11 v = 2, 7 x - y + 8 z + 5 v = 19,

-5 x + 13 y – 4 z + 6 u – v = 14 , 3 x – 2 y + 5 z - 6 u + 4 v = 21

Determinanttikaavat toimivat suurille yhtälöryhmille hyvin(Excel –funktio MDETERM laskee det.)

42

Ratkaise determinanttikaavoilla x = Dx/D ja y = Dy/D

44

Seuraavassa tehtävässä ei saa käyttää determinantteja eikä solvea

Vektorien ristituloengl. cross product

ba

Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille

Ristitulon ഥ𝒂xഥ𝒃 määritelmä

Ominaisuuksia:ഥ𝒃xഥ𝒂 = - ഥ𝒂xഥ𝒃 kun järjestys tulossa vaihdetaan, suunta vaihtuu päinvastaiseksi

Osittelulait pitävät paikkansaഥ𝒂x(ഥ𝒃+ത𝒄) =ഥ𝒂xഥ𝒃 + ത𝐚xത𝒄 j.n.e

Ristitulo = (0,0,0), kun vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset. (koska suunnikkaan ala = 0)

Pituus : Ristitulovektorin pituus |ഥ𝒂xഥ𝒃|= |ഥ𝒂||ഥ𝒃|sinγ

Suunta: ഥ𝒂xഥ𝒃 on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan siten. Oikean käden sääntö: a = etusormi, b = keskisormi => axb = peukalon suuntainen

=> Ristitulovektorin pituus antaa vektoreiden a ja b määräämään suunnikkaan alan.

Ristitulon laskeminen manuaalisesti (ver 1)

Tapa1: Merkitään koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreja i =(1,0,0), j =(0,1,0) ja k=(0,0,1)

Ristitulo lasketaan tavallisimmin determinanttina

ത𝑎𝑥ത𝑏 =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘

𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑏1 𝑏2 𝑏3

Kun determinantti on laskettu, yksikkövektorien i , j ja kkertoimet ovat ristitulovektorin x,y ja z komponentit.

Esimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)

ത𝑎𝑥ത𝑏 =ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘1 2 34 1 1

= ҧ𝒊2 31 1

- ҧ𝒋1 34 1

+ ഥ𝒌1 24 1

= - ҧ𝒊 + 11 ҧ𝒋 - 7 ഥ𝒌 = ( - 1, 11, -7)

Harj. Laske yo.tavalla (5, 2, 3) x ( 1 , 3, 2)

Kertaus: 3x3 – neliömatriisin determinantin laskeminen

𝐵 =2 5 13 1 74 1 2

Esim. Laske det(B)

Ylärivin alkiot kerrotaan niitä vastaavilla 2x2 alideterminanteilla, jotka saadaan peittämällä alkion rivi ja sarake. Tulot lasketaan yhteen siten, että keskimmäisen tulon etumerkki vaihdetaan negatiiviseksi

Det(𝑩) =2* 𝟏 𝟕𝟏 𝟐

- 5*𝟑 𝟕𝟒 𝟐

+ 1*𝟑 𝟏𝟒 𝟏

= 2*(-5) – 5*(-22) + 1*(-1) = 99

Ristitulon laskeminen manuaalisesti (ver 2)

Tapa2: Kirjoitetaan a:n ja b:n komponentit alekkain taulukoksi ja laajennetaan taulukkoa oikealle kopioimalla sinne 2 ensimmäistä saraketta. Ristitulovektorin komponentit saadaan kolmesta perättäisestä 2x2 determinantista sarakkeesta 2 alkaen.

Esimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)

X =

Y =

Z =

= 2*1-1*3 = -1

= 3*4-1*1 = 11

= 1*1- 4*2 = -7

det

det

det

Tulos: a x b = (-1, 11, -7)

Alla on laskettu ristitulovektorin komponentit determinantteina

Harj. Laske yo.tavalla (5, 2, 3) x ( 1 , 3, 2)

3D vektorin esitys koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien avulla

Merkitään x, y ja z – akselien suuntaisia yksikkövektoreja symboleilla

i = (1,0,0) , j = (0, 1, 0) , k = ( 0,0,1)

Tällöin jokainen 3D vektori voidaan esittää niiden avulla, esimVektori ( 2, 4, 1) = 2 i + 4 j + k

Tätä merkintätapaa käyttäen voi myös laskea vektoreja yhteen:Esim ( 2, 1, - 5) + ( 4, 2, 7 ) = ( 2 + 4, 1 + 2, -5 + 7) = (6, 3, 2)voidaan laskea myös seuraavasti:2 i + j -5 k + 4 i + 2j + 7 k = (2 +4) i + (1+2) j + (-5+7) k = 6 i +3 j + 2kmikä muistuttaa paljon polynomilausekkeiden sieventämistä

Laskimet eivät tunne yksikkövektoriesitystä

Vektorin esitysmuoto (x 𝑖 + y ҧ𝑗 + z ത𝑘)

Ristitulovektorin laskeminen W.A:llaEsimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)

Ristitulon komento on cross , jota seuraa vektorit pilkulla erotettuna

Ristitulon voi laskea myös käyttämällä tähteä (*) kertomerkkinä

Ristitulovektorin laskeminen TI- laskimellaEsimerkki: Laske ത𝑎𝑥ത𝑏 kun ത𝑎= (1,2, 3) ja ത𝑏 = (4, 1, 1)

crossP([1,2,3],[4,1,1])

Funktion nimi on lyhenneRistitulon englanninkielisestä muodosta cross product

Sovellus: Kolmion alan laskeminen

Laske kolmion A(1,2,1) B(7,3,1) C(2,9,3) ala.

Ratkaisu: Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: a =AB= (6,1,0) ja b = AC = (1,7,2)Lasketaan ala kaavalla A = ½ *|axb|

Kaava: Ristitulovektorin pituus |ഥ𝒂xഥ𝒃|= |ഥ𝒂||ഥ𝒃|sinγ

* suunnikkaan ala A = | a x b |

TI ja Casio : ½* norm(crossP( [6,1,0],[1,7,2] ))

Kolmion muotoisen maa (vesialueen) alahuom! ei korkeuseroja

a = (500,100)

A=?

b = (200,450)

Koska ristitulo on vain 3D vektoreille, lisätään 3. komponentti 0.

= n. 10 ha

Suora kaava jota maanmittarit käyttävät, kun ei ole korkeuseroja

Kolmiotontin ala :

𝐴 =1

2𝑎1 𝑎2𝑏1 𝑏2

Missä a ja b ovat kolmion samasta kärjestä lähtevät vektorit

Maanmittareiden kaava kolmion alalle

Yleisesti : Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat (x1,y2) ja (x2, y2). Laske kolmion ala .

ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘𝑥1 𝑦1 0𝑥2 𝑦2 0

= k𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2

= ( 0, 0, 𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2

)

Kolmion ala A = ½ |𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2

|

Kun lisätään vektoreihin z- komponentti 0, ja lasketaan vektorien ristitulo, saadaan

(x1,y2,0) x (x2, y2, ,0) =

Esim. Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektori ovat (2,4) ja (5,1)

Kolmion ala A = ½ |2 45 1

| = ½*|-18| = 9

Esimerkki laskutehtäviin

Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektorit a = (1,4,3) ja b=(3,1,1)Laske kolmion ala: A = ½ | a x b |

x= 4*1-1*5 = -1y = 5*3-1*1 = 14z = 1*1-3*4 = -11a x b = (-1,14,-11)Sen pituus

|a x b|= 12+ 142+ 112= 17.8 (suunn. Ala)Kolmion ala = ½*17.8 = 8.9

Vektorien ristituloengl. cross product

ba Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille

Vektorilaskennan koe hiihtoloman jälkeen ke 14.3

Ristitulon ഥ𝒂xഥ𝒃 määritelmä

Pituus : Ristitulovektorin pituus |ഥ𝒂xഥ𝒃|= |ഥ𝒂||ഥ𝒃|sinγ

Suunta: ഥ𝒂xഥ𝒃 on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan siten. Oikean käden sääntö: a = etusormi, b = keskisormi => axb = peukalon suuntainen

=> Ristitulovektorin pituus antaa vektoreiden a ja b määräämään suunnikkaan alan.

Vektorien ristitulon ഥ𝒂 × ഥ𝒃laskeminen käsin

1 5 2 1 5

2 3 1 2 3

Ristitulovektorin komponentit voidaan laskea helpoimmin seuraavan esimerkin mukaisesti: Lasketaan vektorin a = (1,5,2) ja b = (2,3,1) ristitulovektori

a x b = ( 5 23 1

, 2 11 2

, 1 52 3

) = (-1 , 3, -7)

1. Tehdään taulukko, jossa a ja b ovat alekkain2. Laajennetaan taukukkoa kopiomalla sarakkeet 1 ja 2 oikealle3. Ristitulovektorin komponentit ovat 3 oikeanpuolimmaista taulukosta saatavaa determinanttia.

Vektorien ristitulon ഥ𝒂 × ഥ𝒃laskeminen koneella

Esim. vektorin a = (1,5,2) ja b = (2,3,1) ristitulovektori

WA:

TI: crossP( [1,2,5] , [2,3,1] )

Ristitulon sovelluksia

Pinta-alalaskut

||2

1baA Kolmion ala

|axb|=|a||b|sinγ

Esim1. Kolmion yhdestä kärjestä lähtevät vektorit ovat a = (4,2,1) ja b = (1,2,7). Laske kolmion ala

||2

1baA

= 15.1 WA:

Kolmion ala on

Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit:AB = (5,2,1) – (1,1,1) = (4,1,0) AC = (2,7,3) - (1,1,1) = (1,6,2)

ESIM2: Laske kuvan kolmion ala:

Kolmion ala on

=

||2

1baA

2D kolmion ala (”maanmittareiden kaava”) a = (a1, a2)b = (b1, b2)

Ala A = ½ | (a1,a2,0) x (b1,b2,0) |

Ristituloa varten lisätään molempiin z-koordinaatti 0

a1 a2 0 a1 a2

b1 b2 0 b1 b2Ristitulovektori = ( 0 , 0 ,

𝑎1 𝑎2𝑏1 𝑏2

)

Kolmion ala A = ½ 𝑎1 𝑎2𝑏1 𝑏2

Huom! Vektorien järjestyksen determinantissa pitää olla sellainen, että oikeanpuolimmainen vektoreista on ylärivillä, muuten alasta tulee negatiivinen

Lasketaan ristitulovektori

Koska vain z- komponentti ≠ 0, se on samalla vektorin pituus

Esim. Kolmion muotoisen tontin samasta kärjestä lähtevät vektorit ovat a = (700, 100) ja b=(200, 400). Laske tontin ala.

A = ½ 700 100200 400

= 130000 m2 = 13 ha

Tehtävän voi laskea myös ristitulon avulla, kunhan pisteisiin lisätään z –koordinaateiksi 0 .

Esim. Lammen pinta-alan laskeminen

Ala voidaan laskea neljän kolmion alan summana.Ensin pitää laskea vektorit jotka lähtevät pisteestä A:AF = (280, -10) AE = (260,450) AD = (10, 470) AC=(-260, 270) AB=(-310, -20)

Kierretään lampi ja mitataan pisteiden A- F koordinaatit GPS:llä:A = (810, 80) B = (500, 60) C = (550, 350) D =(820, 550) E =(1070, 530) F = (1090, 70)

2230050|)20310

270260||

270260

47010||

47010

450260||

450260

10280(|

2

1mA

Lasketaan ala neljän kolmion alan summana käyttäen kaavaa A = ½ 𝒂𝟏 𝒂𝟐𝒃𝟏 𝒃𝟐

Skalaarikolmitulo ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄

On tulo, jossa on kolme vektoria, joiden välillä on sekä ristitulo, että pistetulo.

Kolmitulon ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄 laskeminen tapa1:Kolmitulon laskeminen koneella:

Jos laskin osaa laskea molemmat tulot suht. helposti, voidaan kolmitulo laskea helposti niitä käyttäen

Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3) .(5,4,2)

dotP( crossP([3,2,1],[1,2,3]),[5,4,2])

WA: = - 4

TI-laskinja Casio:

Lauseke laskimella on sen verran monimutkainen, että näin ei kolmituloa kannata laskea laskimella. Seuraavalla kalvolla on helpompi tapa

Kolmitulon ഥ𝒂xഥ𝒃. ത𝒄 laskeminen tapa2:Kolmitulo voidaan laskea 3x3 - determinanttina, jonka rivit muodostavat vektorit a, b ja c :

Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3) .(5,4,2)

4)6()13(2)8(345

211

25

312

24

323

245

321

123

WA, TI- laskin ja Casio: det( (3,2,1) , (1,2,3) , (5,4,2)) antaa -4

1. Suuntaissärmiön tilavuuden laskeminen Olkoot suuntaissärmiön samasta kärjestä lähtevät kolme vektoriaa = (a1,a2,a3) , b = (b1,b2,b3) ja c = (c1,c2,c3)

Särmiön tilavuus V = skalaarikolmitulon axb.c itseisarvo

|| cbaV

Perustelu: hAcbacba suunn cos||||||

ϕ

Huom. Skalaarikolmitulon arvo on reaaliluku, joka voi olla myös negatiivinen. Luvun itseisarvo on kuitenkin aina vektoreiden a, b ja c virittämän suuntaissärmiön tilavuus

axb

Esim. Suuntaissärmiön kärkipisteen A(1,1,1) viereiset kärkipisteet ovatB(5,1,2) , C(3,7,4) ja D(2,2,9). Laske suuntaissärmiön tilavuus

Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (4,0,1)AC = (2, 6, 3)AD = (1, 1, 8)

det( (4,0,1), (1,6,3), (1,1,8)) = 176

Tilavuus saadaan determinantin avulla

V = 176

2. Pisteen D kohtisuora etäisyys kolmion ABC tasosta

Kysytty etäisyys h = sellaisen suuntaissärmiön korkeus, jonka AB,AC ja AD määräävät

Suuntaissärmiön korkeus on sen tilavuus V jaettuna pohjauunnikkaan alalla A

||

||

ba

cba

A

Vh

ഥ𝒂, ഥ𝒃 ja ത𝒄 ovat pisteestä A lähtevät vektorit AB, AC ja AD

Esim. Laske pisteen D(3,7,2) etäisyys kolmion A(1,2,1)B(7,2,1)C(1,4,3) tasosta

83.297.16

48

||

||

ba

cba

A

Vh

Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiönAB = (6,0,0)AC = (0, 2, 2)AD = (2, 5, 1)

Kysytty etäisyys (kuvan h) = suuntaissärmiön tilavuus V jaettuna sen pohjasuunnikkaan alalla A

det( (6,0,0), (0,2,2), (2,5,1)) = -48 => V = 48

norm( (6,0,0)*(0,2,2) ) = 16.97 => A = 17.0

||

||

ba

cba

A

Vh

norm() vektorin pituus

3. Tutki, ovatko pisteet A(1,1,1) B(2,3,4) C(7,2,1) ja D(5,2,1) samassa tasossa.

Pisteet ovat samassa tasossa jos vektorien AB, AC ja AD virittämänsuuntaissärmiön tilavuus V = 0

Lasketaan A:sta lähtevät vektorit:AB = (1,2,3)AC = (6,1,0)AD=(4,1,0)

Vastaus: Pisteet eivät ole samassa tasossa, koska determinantti ≠ 0

Suuntaissärmiön tilavuus (laskimella)1 2 36 1 04 1 0

= det( (1,2,3) , (6,1,0) , (4,1,0) ) = 34

Lin. Algebra osa 2

1. Matriisilaskentaa ja sovelluksia

2. Eksponenttifunktio, eksponenttiyhtälö

3. Logaritmit, logaritmiset asteikot

Jäljellä olevat tunnit:

• 20.3 ja 21.3 matriisilaskentaa

• 26.3 laskutunti , 29.3 vektorikokeen uusinta

• 4.4 ja 5.4 eksponenttifunktio, eksponenttimalli

• 9.4 ja 10.4 logaritmifunktio, logaritmiasteikot

• 16.4 ja 18.4 laskutunteja, kertausta

• 23.4 koe osasta 2, 24.4 kokeen palautus

• 3.5 uusintakoe

Poimintoja kokeesta

Tehtävä 1d) Laske ristitulo (3,1,2) x (5,2,3)

kokeesta

3) Laskettava kuvan vektoreiden summavektori

x = r cosφ

y = r sinφ

120o

235o

kokeesta

3) Laskettava kuvan vektoreiden summavektori

x = r cosφ

y = r sinφ

120o

235o

kokeesta

2) Kolmion ratkaiseminen

AB=(6,2,0)

AC=(2,7,0)

BC=(-4,5,0)

Matriisit

Peruslaskutoimitukset:

• Yhteenlasku

• Vähennyslasku

• Vakiolla kertominen

• Kertolasku

• Determinantti

• Käänteismatriisi

• Käänteismatriisin käyttö yhtälöryhmien ratkaisussa

Mitä matriisit ovat?

2 -ulotteisia lukutaulukoita sanotaan matriiseiksi. (matrix). Matriiseja

merkitään isoilla kirjaimilla. Matriisin ympärillä käytetään hakasulkuja

Esim.

B on 2x3 – matriisi (2 riviä, 3 saraketta)

A on 2x2 -neliömatriisi

C on 3x1 matriisi, joita kutsutaan myös

pystyvektoreiksi

Sovelluksissa käytetään useimmin neliömatriiseja.

Mihin matriiseja käytetään?

• Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun

• Kiertomatriisit ovat tärkeitä 3D grafiikassa

(CAD) Niillä voidaan pyörittää objekteja

näytöllä tai muuttaa katsojan paikkaa

• Determinantit liittyvät myös

matriisilaskentaan

Matriisien peruslaskutoimitukset

Samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen ja vähentää toisistaan

ja kertoa vakiolla. Summa saadaan laskemalla vastinalkiot yhteen,

erotus vähentämällä vastinalkiot toisistaan. Matriisi kerrotaan vakiolla

kertomalla kaikki alkiot ko. vakiolla

Summa

Erotus

Vakio x

matriisi

Matriisien tuloMatriisien A ja B tulo A.B voidaan määritellä, jos matriisilla A on sama määrä sarakkeita

kuin matriisilla B on rivejä. Tulomatriisin alkiot ovat matriisin A rivien ja matriisin B

sarakkeiden pistetuloja. Käsin tulo lasketaan seuraavasti:

Huom! Esimerkin matriiseille tuloa B.A ei ole edes määritelty, koska koot eivät täsmää.

Silloinkin kun tulot A.B ja B.A ovat olemassa, ne ovat pääsääntöisesti erisuuret:

Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen.

Kertolaskutaulukko:

Tulo A.B =

Matriisien tulo TI-Cas laskimella

Seuravaksi syötetään matriisi koko.

Matriisien kertolaskussa käytetään tavallista kertomerkkiä *.

Matriisien tulo wolframalphalla

((2,3,1),(4,1,0),(-1,2,5)) . ((5,1),(-2,3),(4,-1))

WolframAlphassa kertomerkkinä käytetään pistettä.

Matriisien tulo Excelissä

http://easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php

Osaako laskimesi matriisien kertolaskun?

Online kalkulaattoreita matriisien kertolaskuun löytyy runsaasti, mm.:

Neliömatriisien ominaisuuksiaMatriisilaskennassa käytetään useimmin 2x2 tai 3x3 neliömatriiseja.

Niillä on peruslaskutoimitusten +,-, . lisäksi muita ominaisuuksia, jotka

muistuttavat reaalilukujen vastaavia ominaisuuksia

Reaalilukujen joukossa erityisiä lukuja ovat 0 ja 1

0 on luku, jonka lisääminen ei muuta lukua; ts. a + 0 = 0 + a = a

1 on luku, jolla kertominen ei muuta lukua; ts. a*1 = 1*a = a

3x3 neliömatriiseilla näitä vastaavat nollamatriisi ja yksikkömatriisi I.

Neliömatriisin A determinantti |A|

Reaaliluvuilla on itseisarvo, vektoreilla on pituus. Neliömatriiseihinkin

liitetään reaaliluku, jota sanotaan matriisin determinantiksi ja merkitään |A|

tai joskus Det(A) tai pelkällä D-kirjaimella.

Determinantti 2x2 – matriisille on siis

lävistäjien tulojen erotus

Esim. Laske matriisin determinantti

Ratk. D = 4*2 -3*1 = 5

3x3 – neliömatriisin determinantti

3x3- determinantti lasketaan menetelmällä, jota sanotaan determinantin

”kehittämiseksi” jonkin rivin tai sarakkeen suhteen. Menetelmässä

muodostetaan summa, jossa esim. kukin ylimmän rivin alkio vuoronperään

kerrotaan sitä vastaavalla alideterminantilla, joka saadaan luvuista jotka

näkyvät kun alkiota vastaava sarake ja rivi peitetään matriisista. Saadut

tulot lasketaan yhteen etumerkkiä vuorotellen : + , - , +

= 1*(5*2-6*6) – 2*(4*2-7*6) + 3*(4*6-7*5) = 9

Determinantti voidaan yhtä hyvin kehittää jonkin muun rivin tai

sarakkeen suhteen vastaavalla tavalla. Jos jollain rivillä tai sarakkeessa

on useita nollia, kannattaa kehittää sen suhteen, jotta termejä olisi

vähemmän. Termien etumerkit saadaan oheisesta kaaviosta.

Determinantit ExcelilläKäytännössä, kun determinantteja lasketaan, se tehdään esim. Excelin

funktiolla MDETERM, tai laskimella

Valitse MDETERM – funktio, ja

maalaa argumentiksi matriisin solut.

det ((1,2,3), (4,5,6), (7,6,2))

Determinantit Wolfram A:lla

Determinantit Ti CAS :lla

Vinkki: Käytä nollarivejä/-sarakkeita

Laske oheisen matriisin determinantti.

Koska 2. sarakkeessa on kaksi nollaa, kannattaa determinantti

kehittään nimenomaan sen sarakkeen suhteen:merkit

|A| = - 4*(4*7-3*(-1))

= -4*31 = - 124

Saman sarakkeen muut alkiot ovat

nollia, joten niistä ei tule mitään lisää

determinanttiin

Determinantin ominaisuuksia

Vektoreista muistamme, että determinantin

itseisarvo = sen rivejä edustavien vektorien

virittämän suuntaissärmiön tilavuus.

Tästä seuraa, että determinantti = 0, jos

a) Determinantissa on sama rivi kahdesti

b) Determinantissa jokin rivi on toisen rivin monikerta

c) Determinantissa jokin riveistä on kahden muun rivin

lineaarikombinaatio , esim. c = t a + u b

a) ja b) Kaksi särmiön

virittäjävektoreista samoja

tai samansuuntaisia =>

litistynyt särmiö.

c) särmiön kolmas

virittäjävektori on kahden

muun tasossa => särmiöllä

ei ole ”korkeutta”Säännöt a) b) ja c) pätevät myös sarakkeille

Determinantin arvo ei muutu, jos jokin rivi/sarake lisätään

toiseen riviin jollakin vakiolla kerrottuna

Tämä ominaisuus ei ole niin ilmeinen kuin kohdat a),b) ja c). Sitä voisi kuitenkin perustella seuraavasti.

Jos esim. vektoriin c lisättäisiin a kerrottuna jollakin vakiolla, tämä siirtäisi vain vektorin c kärkipistettä sivun

a suunnassa, jolloin särmiöstä tulisi vinompi, mutta sen pohjan ala ja korkeus säilyisivät muuttumattomina.

Tällöin särmiön tilavuus jota determinantti edustaa ei muuttuisi.

Lineaarinen yhtälöryhmä

ja matriisimenetelmät

B) Determinanttien käyttö (ns. Cramerin kaavat)

A) Käänteismatriisimenetelmä

Matriisilaskennan menetelmistä saadaan hyötyä (ajansäästöä),

mutta tämä edellyttää hyvää laskinta tai Wolfram Alphaa

Lineaarisen yhtälöryhmän

ratkaisukaava

A11 x + A12y + A13z = B1

A21 x + A22y + A23z = B2

A31 x + A32y + A33z = B3

A11 , A12 ,A13

A21 , A22, A23

A31 , A32, A33

-1

*

B1

B2

B3

X

Y

Z

=

Ratkaisu saadaan laskemalla koneella kerroinmatriisin

käänteismatriisin ja oikean puolen tulo

Kaavan tarkempi perustelu ja käyttöohjeet

ovat seuraavilla kalvoilla.

Yksikkömatriisi I on ”neliömatriisien luku 1”

Reaalilukujen joukossa on luku 1, jolla kertominen säilyttää luvun sellaisenaan: ts. 1*a = a*1 = a

Neliömatriisien joukossa on vastaavasti yksikkömatriisi, jolla kertominen ei muuta tulon toista matriisia.

2x2 yksikkömatriisi on

3x3 yksikkömatriisi on

Matriisin A käänteismatriisi A-1

Reaaliluvuilla a, (paitsi luvulla 0 ) on käänteisluku 1/a, jolle a*(1/a) = 1

Neliömatriiseilla A, joiden determinantti |A| ≠ 0 , on käänteismatriisi A-1, jolle

IAAAA 11

31

52A

21

531AEsimerkki: ja

ovat toistensa käänteismatriiseja, koska niiden tulo on yksikkömatriisi I. =>

Huom! Käänteismatriisin laskeminen käsin on työlästä, eikä kuulu tähän

kurssiin. Koneella käänteismatriisi on helppo laskea (potenssi -1)

Yhtälöryhmän voi kirjoittaa matriisimuodossa A.X=B

Yhtälöryhmän vasen puoli ja oikea puoli voidaan ajatella 3x1 matriiseina eli pystyvektoreina

Vasen puoli voidaan esittää kertoimista muodostuvan matriisin A ja muuttujista x,y,z muodostuvan pystyvektorin X tulona. ( Tämän voi helposti tarkistaa suorittamalla kertolasku A.X )

Tämä matriisiyhtälö on muotoa A X = B

Missä A on kerroinmatriisi, X = pystyvektori, jonka alkioina ovat muuttujat x,y, zB = oikean puolen vakioista muodostuva pystyvektori.

Perustelu esimerkkinä seuraava yhtälöryhmä:

Ratkaisu käänteismatriisilla A-1

Reaalilukumatematiikassa yhtälön a x = b molemmat puolet jaetaan a:lla ja ratkaisu x = b/a. Tämän voi myös ilmaista niin, että molemmat puolet kerrotaan a:n käänteisluvulla 1/a

a

bxb

axa

abxa

11

Sama menetelmä toimii myös matriisiyhtälöön A X = B. Yhtälön molemmat puolet kerrotaan käänteismatriisilla A-1 , jolloin saadaan

BAXBAxAABXA 111

Käänteismatriisi A-1 on käsin monimutkainen laskea, joten kaavasta ei ole hyötyä, jos ratkaisee yhtälöryhmiä käsin. Algebralaskimella taas tämä on nopea tapa ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä.

BAX 1

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu saadaan siten kaavalla:

Wolfram AlphaKäänteismatriisimenetelmän käyttö onnistuu vain 2x2 ja 3x3 tapauksissa, ei

suuremmissa yhtälöryhmissä . Alla esimerkki:

Ratkaisukaavan A-1.B kirjoitetaan Wolfram Alphalla seuraavasti:

*

TI Inspire CAS toimii hyvin kaikissa kokoluokissa

ja laskutoimitus on helppo syöttää

antaa ratkaisuksi

1) Kerroinmatriin käänteismatriisi lasketaan

MINVERSE:llä

2) Käänteismatriisi ja oikean puolen vakiot kerrotaan

MMULT:lla

Excelistä löytyy käänteismatriisin laskeva funktio

MINVERSE ja matriisien kertolasku MMULT

Laskeminen Excelillä vaatii kuitenkin

Excelin käytön hyvää tuntemusta

Kiertomatriisit (2D-tapaus)Kun pistettä (x, y) halutaan kiertää vastapäivään origon ympäri α astetta, saadaan pisteen uudet koordinaatit kertomalla vanhat koordinaatit kiertomatriisilla :

cossin

sincosT

Esim. Vektoria (2, 1) kierretään vastapäivään 45 astetta. Mitkä ovat vektorin uudet koordinaatit?

12.2

71.0

1

2.

45cos45sin

45sin45cos

Jos kierto tehtäisiin myötäpäivään, kulmana käytettäisiin -45o

Matriisilaskentaa tarvitaan CAD –ohjelmistoissa ja

esim. tietokonepeleissä.

B. Determinanttikaavat yhtälöryhmän ratkaisemiseksi

x = 𝐷𝑥

𝐷

y = 𝐷𝑦

𝐷

D = 𝒂𝟏 𝒃𝟏𝒂𝟐 𝒃𝟐

= x:n ja y:n kerroindeterminantti

Dx = 𝒄𝟏 𝒃𝟏𝒄𝟐 𝒃𝟐

= saadaan kerroindeterminantista

korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2

Dy = 𝒂𝟏 𝒄𝟏𝒂𝟐 𝒄𝟐

saadaan kerroindeterminantista

korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2

𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2

Tarvitaan yhtälöryhmän vasemman puolen

kertoimista laskettava kerroindeterminantti D

ja kaksi sen variaatiota

Lineaarinen

yhtälöryhmä

normaalimuodossa

Yhtälöryhmä on vietävä ns. normaalimuotoon

ennen determinanttien laskemista

3 𝒙 = 7 − 5𝑦𝑦 = 2𝑥 + 1

3 𝒙 + 5𝒚 = 7−2𝒙 + 𝒚 = 1

D = 𝟑 𝟓−𝟐 𝟏

= 3 + 10 = 13

Dx = 𝟕 𝟓𝟏 𝟏

= 7 - 5 = 2

Dy = 𝟑 𝟕−𝟐 𝟏

= 3 + 14 = 17

x = Dx/D = 2/13

y = Dy/D = 17/13

Normaalimuoto: x:t , y:t omissa sarakkeissaan

vasemmalla, vakiot oikealla puolen yhtälöä

𝑎1 𝒙 + 𝑏1𝒚 = 𝑐1𝑎2 𝒙 + 𝑏2 𝒚 = 𝑐2

ns. ”Cramerin kaavat”

Determinanttimenetelmää voi helposti

soveltaa Excelissä (funktio MDETERM)

Eksponenttifunktio

eksponenttimalli

ja eksponenttiyhtälö*logaritmin määritelmä

Tehtävät eksponenttiyhtälöstä: 47 - 50

4.4 – 5.4

Esim. Kiinteistön arvo v.2010 alussa oli 125 000 Euroa. Oletetaan, että

kiinteistöjen arvot nousevat tasaisesti 2.5 % vuodessa. Laske

a) esimerkin kiinteistön arvo 2016 alussa

b) arvo v.1990, jolloin kiinteistö rakennettiin

c) milloin arvo ylittää 160 000 Euron rajan?

a) 125000*1.0256 = 144962 Euroa

b) 125000*1.025-20 = 76 284 Euroa

tai näin 125000 / 1.02520 = 76284 Euroa

Eksponenttimalli y = y0 at

c) 125000*1.025 t = 160 000 | jaetaan 125000 :lla

1.025 t = 1.28 ( 160000/ 125000 = 1.28 )

t = log(1.28)/log(1.025) = 10.0

(W.A tai TI) log1.025(1.28) = 10.0 Vastaus. 2020 alussa

Periaate: Seuraavan vuoden arvo saadaan aina kertomalla edellisen vuoden arvo 1.025:llä,

joka saadaan yhteenlaskulla 1 + 2.5/100 = 1.025.

Vastaavasti laskettaessa arvoa ajassa taaksepäin jaetaan nykyarvo vuosittain 1.025:lla.

Yhtälöä a x = b sanotaan

eksponenttiyhtälöksi

Sen ratkaisu x saadaan

logaritmifunktiolla:

x = loga(b) ”a-kantainen logaritmi b”

x = log(b)/log(a) ”muunnoskaava, jos

laskimessa ei ole kuin 1 tai 2 logaritmifunktiota”

Eksponenttiyhtälö ax=bEsim. Ratkaise x yhtälöstä 2x = 10

Haarukoidaan ratkaisua: 23 = 8 ja 24 = 16 => x on välillä 3 … 4

Haarukoidaan ratkaisua edelleen laskimella:

23.1 = 8.57 23.2 = 9.19 23.3 = 9.85 23.4 =10.13

=> 3.4 < x < 3.4

Solve ratkaisee myös eksponenttiyhtälön

Eksponenttiyhtälön ratkaisuun on täsmäfunktio: logaritmi

Yhtälön a x = b ratkaisu on x=loga(b)

Esim. Ratkaise 2x = 10 => W.A

Huom! Funktiolaskimissa on logaritmifunktiot vain kun kantaluku on 10 [log] tai Neperin luku e = 2.7128… [ln]

Näillä laskimilla voidaan loga(b) laskea muunnoskaavalla loga(b) = 𝐥𝐨𝐠(𝒃)

𝐥𝐨𝐠(𝒂)

2x = 10 => x = 𝐥𝐨𝐠(𝟏𝟎)

𝐥𝐨𝐠(𝟐)=3.32funktiolaskimella

Nouseva ja laskeva

exponenttifunktio y = ax

a > 1 0<a <1

Määritysjoukko: Mj = R (kaikki reaaliluvut)

Arvojoukko : Aj = R+ (funktio saa vain positiivisia arvoja)

aidosti kasvava funktio vähenevä funktio

Esim vm. 2007 Fiat Punto maksoi v. 2011 alussa 4900 Euroa. Oletetaan arvo

alenee 15 % vuodessa.

a) Paljonko Punto maksoi uutena (2007 alussa)

b) Paljonko siitä saa 2015 puolivälissä?

c) Milloin arvo on enää 1000 Euroa ?

a) 4900 * 0.85-4 = 9387 Euroa

b) 4900 * 0.854.5 = 2368 Euroa

c) 4900 * 0.85 t = 1000 | jaetaan 4900 :lla

0.85 t = 1000/4900 = 0.204

t = log(0.204) / log(0.85) = 9. 8

(vuosiluku 2020 loppupuolella)

Seuraavan vuoden arvo saadaan edellisestä kertomalla luvulla 0.85

( koska 1 – 15/100 = 0.85)

Eksponenttiyhtälö:

a x = b

Ratkaisu:

x = log(b)/log(a)

tai jos laskin tukee

kaikkia kantalukuja:

x = loga(b)

Esim . Ydinonnettomuudessa syntyy radioaktiivista jodia, jonka määrä

puoliintuu 8 päivässä.

a) Kuinka paljon 1000 000 atomista jodia on jäljellä 30 vrk kuluttua.

b) Minkä ajan kuluttua jodia on vain 1 atomi jäljellä?

Jodiatomien määrä alussa N0 = 1 000 000

Kantaluku = ½ = 0.5

a) Jodin määrä 30 vrk kuluttua

N = 1000 000 *0.5 30/8 = 74325 atomia ≈ 74 000 atomia

Kaava N = N0.0.5 t / 8 N0 = alkuperäinen atomimäärä

N = määrä ajan t kuluttua

t /8

Eksponenttiyhtälö:

a x = b

Ratkaisu:

x = log(b)/log(a)

tai suoremmin

x = loga(b)

Luku e ja eksponenttifunktio ex

Luku e on ns. Neperin luku, Sen likiarvon voi laskea esim kaavalla

( 1 + 1/ n) n antamalla n:lle suuria arvoja , esim . n = 50000 antaa e = 2.71825

Euler on myös osoittanut, että Neperin luku saadaan äärettömänä summana

e = 1 + 1 + 1/ 2! + 1/ 3! + 1/ 4! + …

Ottamalla 10 ensimmäistä termiä saadaan e = 2.71828

Fysiikassa ja tekniikassa tärkeä eksponenttifunktio on

y = e x

3 2 1 1 2 3

5

10

15

20 Ohjelmointikielissä tämä

funktio kirjoitetaan

exp(x)

laskimissa näppäin ex

Logaritmin määritelmä

Kun x ratkaistaan yhtälöstä y = a x , saadaan x = loga(y)

=> Funktio y = loga(x) on exponenttifunktion y = a x käänteisfunktio.

yxya a

x log

FUNKTIOLASKIMIEN LOGARITMIFUNKTIOT

ln(x) Kantalukuna Neperin luku e = 2.713

log(x) tai lg(x) Kantalukuna 10

Lue: ”a-kantainen logaritmi y”

)log(

)log()(log

a

xxa Yksikin logaritmifunktio laskimessa riittää,

sillä muut voidaan laskea muunnoskaavalla:

Algebralaskimet ja WolframAlpha

Laskettava arvo Wolfram A TI-CAS funktiolaskin

log(27.0) 10-kant. log10(27.0) log(27.0) log(27.0)

ln(12.5) log(12.5) ln(12.5) ln(12.5)

log3(5.5) log3(5.5) log3(5.5) log(5.5)/log(3)

)log(

)log()(log

a

xxa

Laske seuraavat logaritmit

Osan logaritmeista voi laskea päässälaskuna

perustuen logaritmin määritelmään: Laske

a) log28

yxya a

x log

b) log100

c) log 0.001

Muutoin logaritmeja lasketaan laskimella:

2x = 8 , x=? Vast: 3 koska 23 = 8

10x =100 x=? Vast: 2 koska 102 = 100

10x =0.001 x=? Vast: -3 koska 10-3 = 0.001

3x =1/9 x=? Vast: -2 koska 3-2 = 1/9

ex =e5 x=? Vast: 5 koska e5 = e5

)log(

)log()(log

a

xxa

a) log27.3

b) log1.051.6

Funktiolaskimella käytä

muunnoskaavaa:

Vast: 2.87

Vast: 9.63

tai ln(x)/ln(a)

Yhteenveto

eksponenttiyhtälöiden

perustyypeistä

Tavallisimmat eksponenttimallit

”arvo kasvaa 5% vuodessa” y = y0 1.05 t

”arvo laskee 12% vuodessa ” y = y0 0.88t

” arvo kasvaa 30% 7 vuodessa” y = y0 1.30 t / 7

”arvo kaksinkertaistuu 25 vuodessa” y = y0 2.0 t / 25

”arvo puoliintuu 3.5 vrk:ssa” y = y0 (½) t / 3.5

Exponenttiyhtälöt

ty 02.1120000

Kiinteistön arvo 2012 on 120 000 Euroa, Arvo kasvaa 2.0 % vuodessa.

a) Esitä arvo ajan funktiona ( ajan yksikkönä on vuosi ja origo v.2012

b) Minkä ajan kuluttua arvo ylittää 140 000 rajan ?

𝑎𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) =log(𝑏)

log(𝑎)

120000 ∗ 1.02𝑡 = 140000

1.02𝑡 =140000

120000= 1.167

𝑡 = 𝑙𝑜𝑔1.02(1.167) =log(1.167)

log(1.02)=7.8 vuotta

a)

b)

ty 87.06500

Käytetyn Renault Clion arvo laskee 13 % vuodessa. Auto ostettiin 2010

alussa käytettynä hinnalla 6500 Euroa

Milloin autosta saa enää 1500 Euroa?

100%-13%=87%

6500 ∗ 0.87𝑡 = 1500

0.87𝑡 =1500

6500= 0.231

𝑡 = 𝑙𝑜𝑔0.87(0.231) =log(0.231)

log(0.87)=10.5 v

a)

b)

Vuosi on 2021

Logaritmien ominaisuuksia

Logaritmiset asteikot

Logaritmin ominaisuudet

1) log(x y) = log(x) + log(y)

2) log(x/y) = log(x) - log(y)

3) log(xr) = r log(x)

Muita ominaisuuksia

logaa = 1

loga1 = 0

kaikilla kantaluvuilla a

Esim. Oletetaan, että

Log(2) = 0.69

Log(3) = 1.10

Laske päässä:

a) Log(6) = Log(2*3)= 0.69+1.10=1.79

b) Log(27)=log(33) =3*log(3)=3*1.1=3.3

Tulon logaritmi on sen

tekijöiden logaritmien summa.

Osamäärän logaritmi on

osoittaja ja nimittäjän

logaritmien erotus

Potenssin logaritmia

laskettaessa eksponentti

voidaan siirtää kertoimeksi

ax= a

x=1

ax= 1

x=0

Lineaarinen asteikko

Logaritminen asteikko

Luvun 64 logaritmi on 6 kertaa luvun 2 logaritmi, koska log64 = log 26 = 6 log 2

Logaritmisia asteikkoja käytetään tilanteissa, jossa suureen absoluuttisten arvojen

erot ovat erittäin suuria: esim. melu , maanjäristykset

Laskutikku

Ennen funktiolaskimia (1970 -luvun alkuun asti) insinöörit laskivat

numerolaskut laskutikulla, jossa logaritmisella asteikolla varustettuja

viivottimia liikuteltiin toisiinsa nähden.

Kertolaskut tyyppiä 1,62 * 7,23 onnistuivat nopeasti ja tehokkaasti kahden

merkitsevän numeron tarkkuudella.

Log(x y) = Log (x) + Log(y)

Kuvassa laskettu laskutikulla kertolasku

2 x 4 = 8

Kertolasku muuttuu janojen yhteenlaskuksi logaritmiasteikolla

Kuvassa laskettu laskutikulla jakolasku

10 : 5 = 2

Log(x/y) = Log (x) - Log(y)

Jakolasku muuttuu janojen vähennyslaskuksi logaritmiasteikolla

Logaritmiset asteikotfysiikassa ja tekniikassa

Magnitudi- eli Richterin asteikko

Desibeliasteikko

Käytetään ilmiöissä, joissa absoluuttisten arvojen vaihtelu on erittäin

suurta. Logaritminen asteikko tasaa äärimmäisiä vaihteluita

Exponenttifunktio ja logaritmifunktio

ovat käänteisfunktioita

Yhtälön a x = b ratkaisu on x = logab (=logb/loga)

Yhtälön loga(x) = b ratkaisu on x =ab

Logartmisissa asteikoissa (melu, maanjäristys, pH) käytetään

logartmia, jonka kantaluku on 10 : laskimen log(x)

Esim. Log(x) = 4.5 => x = 104.5 = 31623

Yhtälön log(x) = b ratkaisu on x =10b

10

Magnitudiasteikko

magnitudi Absoluuttinen (* A0)

kohtalainen

järistys5.8 105.8 = 0.63*106

Voimakas

järistys7.3 107.3 = 20*106

Maanjäristyksien amplitudien suhde on 20/0.63 = 32

M = log(A/A0)

Esim. Mikä on 7.3 magnitudin ja 5.8 magnitudin maanjäristysten

voimakkuuden suhde absoluuttisella asteikolla, jossa mittana on amplitudit?

A = maan värähtelyn laajuus: A0 = nollaa Magnitudia vastaava perustaso

Esim. Kun Magnitudi nousee 1:llä, kuinka

monikertaiseksi nousee absoluuttinen arvo?

magnitudi Absoluuttinen (* A0)

M 10M

M+1 10M+1 = 10M*101=10*10M

Kaavaa:

xnxm=xm+n

=> Yksi magnitudi lisää tarkoittaa maanjäristyksen

voimakkuuden 10 –kertaistumista.

Magnitudi voi olla < 0 (A<A0), esim. kaivoksissa maan värähtelyä mitataan

jatkuvasti ja siellä usein taso voi olla esim. - 0.1 M

Ratk. Olkoon ensimmäinen järistys voimakkuudeltaan M ja

toinen M +1 . Muutetaan arvot absoluuttisiksi

Yhtälön log(x) = b ratkaisu on x =10b

dB - asteikko

dB Absoluuttinen (*p0)melu luokassa 83 108.3 = 200*106

melu metroasemalla 107 1010.7 = 50120*106

Ilmanpainearvojen suhde on 50120 / 200 = 250

dB = 10*log(p/p0)

Esim. Mikä on metroaseman 107 dB:n ja luokkamelun 83 dB suhde, kun

käytetään absoluuttista asteikkoa (ilmanpainearvoja)

Kun absoluuttinen painetaso 10- kertaistuu, dB kasvaa 10:llä

p = melun aiheuttama paine Pascaleina, p0 = paine, jonka määritellään vastaavan 0 dB

Esim. : Jos yksi katsomossa huutava katsoja aiheuttaa urheiluhallissa 85 dB

melun, mikä on melutaso kun katsojia on kaksi?

Kuinka monta katsojaa saa aikaan 100 dB?

desibelit Abs. Painetaso (p/p0)

1 katsoja 85 dB => 108.5 = 316*106

2 katsojaa dB=10*log(632000000) =88dB<= 2*316*106= 632*106

100 dB 1010.0 = 10000*106=

x*316*106 ratkaise x

dB/10 = log(p/p0)

x= 1010/316000000 = 32 katsojaa

Esim.: Kuinka monikertainen on 5 koneen aiheuttama melu dB

asteikolla verrattuna 1. koneen aiheuttamaan meluun

desibelit Abs. Painetaso (p/p0)

1 kone x dB vastaa absol.arvona p/p0

5 konetta y = ?

dB=10*log(5 * p/p0)

=10*(log5 + log(p/p0))

= 10*log5 + dBalkup

Lisää tulee 10*log5 = 6.99 dB =7.0 dB

5* p/p0

dB = 10*log(p/p0)

Log(x y) = Log (x) + Log(y)

Jatkokysymys: montako konetta salissa aiheuttaisi 15 dB lisämelua

yhteen koneeseen verrattuna ?

N konetta aiheuttaa lisämelun 10*log(N) . Mikä on N?

10*log(N) = 15 => log(N) = 1.5 => N = 101.5 = 32 konetta

W.A

Symbolimuodossa:

10*log(N* p/p0) = 10*log(N) + 10*log( p/p0) = >lisäys = 10 log(N)

pH asteikkoAbsoluuttinen happamuus mitataan vetyionien pitoisuutena

ja merkitään [H+] (esim. tislatussa vedessä 10-7 mol/l)

pH = - log[H+]

a) Suolahappoliuoksen pH = 1.0. Mikä on absoluuttinen arvo [H+] ?

b) Hiilihappojuoman pH = 3.5. Kuinka moninkertainen on vetyionipitoisuus

suolahapossa verrattuna Coca Colaan?

a) [H+] = 10-pH = 10-1.0 = 0.1 mol/l

b) Colajuomassa [H+] = 10-pH = 10-3.5 = 0.00032 mol/l

Suohapossa pitoisuus on 0.1/0.00032 – kertainen eli

312 kertainen => ts. suolahappo on 312 kertaa happamampi

pH:n määritelmä=> -pH=log[H+]

[H+]= 10-pH