Lineaarialgebra

Kertaus: Sinin ja Kosinin määrittely

kaikille kulmille välillä -∞ …∞

Arvioi yksikköympyrän avulla:

a) sin(30o)

b) Cos(30o)

Ratkaise ilman laskinta

a) sin(x) = 0.5 (terävä ja tylppä

kulma)

b) cos(x) = 0

c) cos(x) = -0.5

sin(α ) on kulmaa α vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti

cos(α ) on x- koordinaatti

Yhtälölle sin(x) = 0.5

Kone antaa x1 = sin -1(0.5) =

30o

Toinen ratkaisu on aina

x2= 180 o – x1

(tässä siis 150o)

Vektorilaskentaa osa1

• Peruslaskutoimitukset

• Komponenttiesitys

• Vektorin pituus

• Jana vektorimuodossa

• Koordinaatistopisteen paikkavektori

2D - vektorit

Vektorit • Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita,

joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v.

Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla.

• Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien

suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma

esim. Lentokoneen nopeus

v = (200m/s, 100 m/s)

tai ts. v = 223.6 m/s suuntaan 26.6o

eli lyh. 223.6

Peruslaskutoimitukset

b

a

a + b

a + b

-b

-b

a

a – b

= a + (-b)

a

b

suunnikassääntö

3b

Summa

a + b

erotus

vakio*vektori, esim. 3b

vastavektori

suunnikassääntö

a - b a

b

Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan

sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä.

a) a + b

b) b – a (myös –a + b)

c) ½ b + a

d) b + ½ a

e) -½ a – ½ b

f) ½ b + a – ¼ b = ¼ b + a

Vektorit koordinaatistossa

a = (2,4)

b = (-3,2)

c = (-1,-4)

Kun vektorin alkupiste asetetaan origoon, vektori voidaan

yksikäsitteisesti esittää sen loppupisteen koordinaattien avulla.

(Tällä kurssilla käytetään pääasiassa tätä esitysmuotoa)

(lue komponentit kuvasta)

Vektorien peruslaskutoimitukset

komponenttimuodossa Algebrallisesti:

(a1,a2) + (b1,b2) = (a1+ b1, a2 + b2,)

(a1,a2) - (b1,b2) = (a1 - b1, a2 - b2)

t (a1, a2) = (t a1, t a2)

Esim. Vektori a = (1,2) ja b = (3,-2) . Laske

a) a + b = (1+3, 2 -2) = (4, 0)

b) a – b = (1-3, 2 – (-2)) = (-2, 4)

c) -2 b = (-2*3 , -2*(-2)) = (-6, 4)

d) 3 a – 4 b = (3,6) – (12, -8) = (3-12, 6 + 8) =(-9, 14)

Monet laskimet osaavat laskea vektoreilla: esim. WolframAlphassa kohdat a) … d) syötetään

(1,2) + (3, -2) (1,2) - (3, -2) -2*(3, -2) 3*(1,2) - 4*(3, -2)

Huom! Joissain laskimissa kaarisulkujen tilalla pitää käyttää hakasulkuja tai aaltosulkuja

2

2

2

1|| aaa 

a)

b)

Esim.

√(22+42) = √20 = 4.5

√(32+22) = √13 = 3.6

√(12+42) = √17 = 4.1

Summavektori ja sen pituus

s = (2-3-1,4+2-4) =(-2, 2)

|s| = √(22+22) = √8 = 2.8

(2,4) (-3,2)

(-1,-4) norm (2,4) antaa 4.5

norm (-3,2) antaa 3.6

norm (-1,-4) antaa 4.1

Vektorin pituus laskimissa

Vektorin pituus lasketaan funktiolla norm()

Esim. laske vektorin (2,-5) pituus

TI- cas norm((2,-5))

WolframAlpha norm (2,-5)

funktiolaskin √(22+52)

Miten lasketaan sen vektorin komponentit, jonka lähtö-piste

on koordinaattipiste A(a1,a2) ja päätepiste on B(b1,b2)?

Kuvion perusteella OB saadaan

lisäämällä OA:han vektori AB , ts.

OB = OA + AB , josta ratkaistuna

Kaavan mukaan vektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä

loppupisteen B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori

Pisteiden koordinaatteja käyttäen vektori AB on siten

𝐴𝐵 =(b1,b2)- (a1,a2) = (b1–a1, b2 - a2)

Jana pisteestä A pisteeseen B

vektorimuodossa AB HUOMAA! Pisteen ja pisteeseen liittyvän paikkavektorin ero

Piste, esim. A(2,5) ei ole vektori, sillä ei ole suuntaa eikä pituutta.

Pisteeseen A liittyy origosta O pisteeseen A piirretty paikkavektori OA = (2,5)

Miten lasketaan sen vektorin komponentit, joka lähtee koordinaattipisteestä

A ja päättyy koordinaattipisteeseen B?

Kuvion perusteella OB saadaan

lisäämällä OA:han vektori AB , ts.

OB = OA + AB , josta ratkaistuna

=> siirtymävektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä loppupisteen

B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori

Esimerkkejä

vektoritehtäviin

Esim. 1 Kuinka pitkä matka on Rovaniemen linja-autoasemalta linnuntietä hotelli

Pohjanhoviin

- määritä matkaa kuvaavan vektorin AB komponentit

- laske vektorin pituus

Jana vektorina : AB = (1030,550) – (150, 140) = (880,410)

Kysytty välimatka on janan pituus

|AB| = 971 m (√(8802 + 4102) = 971)

Esim. 2: Turisti lähtee Pohjanhovista B ja tulee paikkaan C, joka sijaitsee 400 m länteen

ja 50 m etelään lähtöpaikasta

- määritä matkaa kuvaavan vektorin BC komponentit : (-400,-50)

- laske loppupisteen C koordinaatit vast: C(630,500)

OC = OB + BC =

(1030,550) +(-400,-50)

= (1030-400, 550-50)

= (630, 500)

Janan päätepisteen B laskeminen, kun

alkupiste A ja siirtymävektori AB tunnetaan

A(100,150)

Sähkölinjan lähtöpiste on A(100, 150).

Linjan pituus on 700m suuntaan 60o.

Laske linjan toisen päätepisteen B koordinaatit.

B

1. Lasketaan siirtymävektorin AB komponentit:

Vaakasuunnassa : 700*cos(60o) = 350 m

Pystysuunnassa : 700*sin(60o) = 606 m

2. Lasketaan vektorin pisteen B koordinaatit:

𝑶𝑩 = 𝑶𝑨 +𝑨𝑩 = (100,150) + (350, 606) = (450, 756)

60o

Huom: Piste ja sen paikkavektori merkitään eri tavalla: A(100,150) on piste, jolla ei voi laskea.

Pisteen koordinaatteja voi käyttää paikkavektorina, jolloin merkintätapa on

𝑂𝐴 = (100,150) tai tällä kurssilla ҧ𝐴 = (100,150) . Paikkavektoriin voi lisätä toisen vektorin, jolloin saadaan uusi koordinaatistopiste.

Esim. 3 Henkilö siirtyy Pohjanhovista 600 m suuntaan, joka on 20 astetta

länsisuunnasta Etelään. Mihin pisteeseen C hän tulee ?

Lasketaan siirtymävektori BC komponentit:

BC = ( 600*cos200o, 600*sin200o) = (-564, -205)

Vektorin komponentit

laskettuna napakoordi-

naateista r, φ

x= r cos φ , y = r sin φ

Suuntakulma φ luetaan

positiivisesta x- akselista

r = vektorin pituus

Loppupiste : OC =

(1030,550) + (-564,-205) = (466,345)

A(0,0)

B(60,20)

C(-10,30)

D (?, ?)

Esim 3. Suorakulmaisen tontin kolme kärkipistettä sijaitsevat kohdissa A(0,0), B(60,20) ja

C(-10, 30). Mitkä ovat pisteen D koordinaatit?

Siirtymävektori B:stä D:hen:

BD = AB = (-10,30)-(0,0) =(-10,30)

Joten

D:n paikka saadaan lisäämällä

B:n paikkavektoriin siirtymä

(60,20) + (-10,30)

=(60-10, 20+30)

= (50, 50)

Janan AB vektorimuoto AB

Vektori AB saadaan vähentämällä

janan loppupisteen koordinaateista

janan alkupisteen koordinaatit

b) Laske myös janan pituus

a) Esitä jana AB vektorina, kun

päätepisteiden koordinaatit ovat

A(-2,3) ja B(3,7)

(3,7) – (-2,3) = (5,4)

𝟓𝟐 + 𝟒𝟐= 𝟒𝟏 = 6.4

WolframAlpha

norm (5,4)

6.4

LapinAMK:n rakennus

sijaitsee pisteessä

A(475, 265)

LUC:n kirjasto sijaitsee

pisteessä B(90, 790)

Laske välimatka LapinAMK:n

ja LUC- kirjaston välillä

seuraavasti:

a) Määritä vektorin AB

komponentit

b) Määritä vektorin AB

pituus |AB|

(kokeile laskimen tai WA:n

norm() funktiota)

Esimerkki:

Ratkaisu: Lasketaan vektori kampus => kirjasto

AB = (90, 790) – (475, 265)= (-385, 525)

Etäisyys on tämän vektorin pituus

|AB|= √(3852+5252) = 651 m

Napakoordinaatit r ja φ

Muunnokset

(r ,φ) =>(x,y)

(x,y) => (r ,φ)

r

φ

Napakoordinaatit r,φ

sinry 

Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti

napakoordinaattien avulla (merk. r < φ) , missä r = vektorin pituus ja φ on

vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x – akselin kanssa)

cosrx 

Vektorin komponentit (x,y)

saadaan napakoordinaateista

muunnoskaavoilla

Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus.

Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän