Lineaarialgebra - Lapin Peruslaskutoimitukset b a a + b a + b-b-b a a –b = a + (-b) a b...

download Lineaarialgebra - Lapin Peruslaskutoimitukset b a a + b a + b-b-b a a –b = a + (-b) a b suunnikassأ¤أ¤ntأ¶

of 151

  • date post

    08-Jul-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Lineaarialgebra - Lapin Peruslaskutoimitukset b a a + b a + b-b-b a a –b = a + (-b) a b...

  • Lineaarialgebra

  • Kertaus: Sinin ja Kosinin määrittely

    kaikille kulmille välillä -∞ …∞

    Arvioi yksikköympyrän avulla:

    a) sin(30o)

    b) Cos(30o)

    Ratkaise ilman laskinta

    a) sin(x) = 0.5 (terävä ja tylppä

    kulma)

    b) cos(x) = 0

    c) cos(x) = -0.5

    sin(α ) on kulmaa α vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti

    cos(α ) on x- koordinaatti

    Yhtälölle sin(x) = 0.5

    Kone antaa x1 = sin -1(0.5) =

    30o

    Toinen ratkaisu on aina

    x2= 180 o – x1

    (tässä siis 150o)

  • Vektorilaskentaa osa1

    • Peruslaskutoimitukset

    • Komponenttiesitys

    • Vektorin pituus

    • Jana vektorimuodossa

    • Koordinaatistopisteen paikkavektori

    2D - vektorit

  • Vektorit • Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita,

    joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v.

    Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla.

    • Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien

    suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma

    esim. Lentokoneen nopeus

    v = (200m/s, 100 m/s)

    tai ts. v = 223.6 m/s suuntaan 26.6o

    eli lyh. 223.6

  • Peruslaskutoimitukset

    b

    a

    a + b

    a + b

    -b

    -b

    a

    a – b

    = a + (-b)

    a

    b

    suunnikassääntö

    3b

    Summa

    a + b

    erotus

    vakio*vektori, esim. 3b

    vastavektori

    suunnikassääntö

    a - b a

    b

  • Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan

    sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä.

    a) a + b

    b) b – a (myös –a + b)

    c) ½ b + a

    d) b + ½ a

    e) -½ a – ½ b

    f) ½ b + a – ¼ b = ¼ b + a

  • Vektorit koordinaatistossa

    a = (2,4)

    b = (-3,2)

    c = (-1,-4)

    Kun vektorin alkupiste asetetaan origoon, vektori voidaan

    yksikäsitteisesti esittää sen loppupisteen koordinaattien avulla.

    (Tällä kurssilla käytetään pääasiassa tätä esitysmuotoa)

    (lue komponentit kuvasta)

  • Vektorien peruslaskutoimitukset

    komponenttimuodossa Algebrallisesti:

    (a1,a2) + (b1,b2) = (a1+ b1, a2 + b2,)

    (a1,a2) - (b1,b2) = (a1 - b1, a2 - b2)

    t (a1, a2) = (t a1, t a2)

    Esim. Vektori a = (1,2) ja b = (3,-2) . Laske

    a) a + b = (1+3, 2 -2) = (4, 0)

    b) a – b = (1-3, 2 – (-2)) = (-2, 4)

    c) -2 b = (-2*3 , -2*(-2)) = (-6, 4)

    d) 3 a – 4 b = (3,6) – (12, -8) = (3-12, 6 + 8) =(-9, 14)

    Monet laskimet osaavat laskea vektoreilla: esim. WolframAlphassa kohdat a) … d) syötetään

    (1,2) + (3, -2) (1,2) - (3, -2) -2*(3, -2) 3*(1,2) - 4*(3, -2)

    Huom! Joissain laskimissa kaarisulkujen tilalla pitää käyttää hakasulkuja tai aaltosulkuja

  • 2

    2

    2

    1|| aaa 

  • a)

    b)

    Esim.

    √(22+42) = √20 = 4.5

    √(32+22) = √13 = 3.6

    √(12+42) = √17 = 4.1

    Summavektori ja sen pituus

    s = (2-3-1,4+2-4) =(-2, 2)

    |s| = √(22+22) = √8 = 2.8

    (2,4) (-3,2)

    (-1,-4) norm (2,4) antaa 4.5

    norm (-3,2) antaa 3.6

    norm (-1,-4) antaa 4.1

  • Vektorin pituus laskimissa

    Vektorin pituus lasketaan funktiolla norm()

    Esim. laske vektorin (2,-5) pituus

    TI- cas norm((2,-5))

    WolframAlpha norm (2,-5)

    funktiolaskin √(22+52)

  • Miten lasketaan sen vektorin komponentit, jonka lähtö-piste

    on koordinaattipiste A(a1,a2) ja päätepiste on B(b1,b2)?

    Kuvion perusteella OB saadaan

    lisäämällä OA:han vektori AB , ts.

    OB = OA + AB , josta ratkaistuna

    Kaavan mukaan vektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä

    loppupisteen B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori

    Pisteiden koordinaatteja käyttäen vektori AB on siten

    𝐴𝐵 =(b1,b2)- (a1,a2) = (b1–a1, b2 - a2)

  • Jana pisteestä A pisteeseen B

    vektorimuodossa AB HUOMAA! Pisteen ja pisteeseen liittyvän paikkavektorin ero

    Piste, esim. A(2,5) ei ole vektori, sillä ei ole suuntaa eikä pituutta.

    Pisteeseen A liittyy origosta O pisteeseen A piirretty paikkavektori OA = (2,5)

    Miten lasketaan sen vektorin komponentit, joka lähtee koordinaattipisteestä

    A ja päättyy koordinaattipisteeseen B?

    Kuvion perusteella OB saadaan

    lisäämällä OA:han vektori AB , ts.

    OB = OA + AB , josta ratkaistuna

    => siirtymävektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä loppupisteen

    B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori

  • Esimerkkejä

    vektoritehtäviin

  • Esim. 1 Kuinka pitkä matka on Rovaniemen linja-autoasemalta linnuntietä hotelli

    Pohjanhoviin

    - määritä matkaa kuvaavan vektorin AB komponentit

    - laske vektorin pituus

    Jana vektorina : AB = (1030,550) – (150, 140) = (880,410)

    Kysytty välimatka on janan pituus

    |AB| = 971 m (√(8802 + 4102) = 971)

  • Esim. 2: Turisti lähtee Pohjanhovista B ja tulee paikkaan C, joka sijaitsee 400 m länteen

    ja 50 m etelään lähtöpaikasta

    - määritä matkaa kuvaavan vektorin BC komponentit : (-400,-50)

    - laske loppupisteen C koordinaatit vast: C(630,500)

    OC = OB + BC =

    (1030,550) +(-400,-50)

    = (1030-400, 550-50)

    = (630, 500)

  • Janan päätepisteen B laskeminen, kun

    alkupiste A ja siirtymävektori AB tunnetaan

    A(100,150)

    Sähkölinjan lähtöpiste on A(100, 150).

    Linjan pituus on 700m suuntaan 60o.

    Laske linjan toisen päätepisteen B koordinaatit.

    B

    1. Lasketaan siirtymävektorin AB komponentit:

    Vaakasuunnassa : 700*cos(60o) = 350 m

    Pystysuunnassa : 700*sin(60o) = 606 m

    2. Lasketaan vektorin pisteen B koordinaatit:

    𝑶𝑩 = 𝑶𝑨 +𝑨𝑩 = (100,150) + (350, 606) = (450, 756)

    60o

    Huom: Piste ja sen paikkavektori merkitään eri tavalla: A(100,150) on piste, jolla ei voi laskea.

    Pisteen koordinaatteja voi käyttää paikkavektorina, jolloin merkintätapa on

    𝑂𝐴 = (100,150) tai tällä kurssilla ҧ𝐴 = (100,150) . Paikkavektoriin voi lisätä toisen vektorin, jolloin saadaan uusi koordinaatistopiste.

  • Esim. 3 Henkilö siirtyy Pohjanhovista 600 m suuntaan, joka on 20 astetta

    länsisuunnasta Etelään. Mihin pisteeseen C hän tulee ?

    Lasketaan siirtymävektori BC komponentit:

    BC = ( 600*cos200o, 600*sin200o) = (-564, -205)

    Vektorin komponentit

    laskettuna napakoordi-

    naateista r, φ

    x= r cos φ , y = r sin φ

    Suuntakulma φ luetaan

    positiivisesta x- akselista

    r = vektorin pituus

    Loppupiste : OC =

    (1030,550) + (-564,-205) = (466,345)

  • A(0,0)

    B(60,20)

    C(-10,30)

    D (?, ?)

    Esim 3. Suorakulmaisen tontin kolme kärkipistettä sijaitsevat kohdissa A(0,0), B(60,20) ja

    C(-10, 30). Mitkä ovat pisteen D koordinaatit?

    Siirtymävektori B:stä D:hen:

    BD = AB = (-10,30)-(0,0) =(-10,30)

    Joten

    D:n paikka saadaan lisäämällä

    B:n paikkavektoriin siirtymä

    (60,20) + (-10,30)

    =(60-10, 20+30)

    = (50, 50)

  • Janan AB vektorimuoto AB

    Vektori AB saadaan vähentämällä

    janan loppupisteen koordinaateista

    janan alkupisteen koordinaatit

    b) Laske myös janan pituus

    a) Esitä jana AB vektorina, kun

    päätepisteiden koordinaatit ovat

    A(-2,3) ja B(3,7)

    (3,7) – (-2,3) = (5,4)

    𝟓𝟐 + 𝟒𝟐= 𝟒𝟏 = 6.4

    WolframAlpha

    norm (5,4)

    6.4

  • LapinAMK:n rakennus

    sijaitsee pisteessä

    A(475, 265)

    LUC:n kirjasto sijaitsee

    pisteessä B(90, 790)

    Laske välimatka LapinAMK:n

    ja LUC- kirjaston välillä

    seuraavasti:

    a) Määritä vektorin AB

    komponentit

    b) Määritä vektorin AB

    pituus |AB|

    (kokeile laskimen tai WA:n

    norm() funktiota)

    Esimerkki:

    Ratkaisu: Lasketaan vektori kampus => kirjasto

    AB = (90, 790) – (475, 265)= (-385, 525)

    Etäisyys on tämän vektorin pituus

    |AB|= √(3852+5252) = 651 m

  • Napakoordinaatit r ja φ

    Muunnokset

    (r ,φ) =>(x,y)

    (x,y) => (r ,φ)

    r

    φ

  • Napakoordinaatit r,φ

    sinry 

    Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti

    napakoordinaattien avulla (merk. r < φ) , missä r = vektorin pituus ja φ on

    vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x – akselin kanssa)

    cosrx 

    Vektorin komponentit (x,y)

    saadaan napakoordinaateista

    muunnoskaavoilla

    Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus.

    Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän