Sinais e Sistemas - renatomaia.net · Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia Faculdade de Ciência e...

Sinais e Sistemas

Renato Dourado Maia

Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros

Fundação Educacional Montes Claros

Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Introdução

( )x t ( )y t( )h t [ ]x n [ ]y n[ ]h n

( ), [ ]h t h n Resposta do sistema quando a entrada é um impulso unitário, . ( ), [ ]t nδ δ

A Resposta ao Impulso caracteriza um sistema LTI: dada uma entrada x, pode-se, conhecendo-se h, determinar-se y. Esse

método é denominado Convolução.

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Sinais Discretos e Soma de Impulsos

Seja o seguinte sinal:

,,

[ ]

0

,0,21

1

25

nn

x n

caso cn

ontrário

=

==

−=

O sinal pode ser escrito como uma soma de impulsos?

1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x nδ δ δ= − ++− − = +SIM!!!

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Sinais Discretos e Soma de Impulsos 1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x nδ δ δ= − ++− − = +

Tempo (n)

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Sinais Discretos e Soma de Impulsos Todo sinal discreto limitado pode ser escrito co-

mo uma soma ponderada de impulsos unitários deslocados no tempo:

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n kδ+∞

=−∞

= −∑

Impulso Deslocado

Peso

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Lembrando... Linearidade:

Sistema 1( )x t 1( )y t

Sistema 2 ( )x t 2 ( )y t

1[ ]x n 1[ ]y n 2[ ]x n 2[ ]y n

Sistema 1 2( ) ( )a bx t x t+ 1 2( ) ( )a by t y t+

1 2[ ] [ ]a bx n x n+ 1 2[ ] [ ]a by n y n+

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Lembrando... Invariância no Tempo:

Tempo Tempo

Entrada Saída

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Somatório de Convolução Retomando o exemplo:

1 2 3[ ] [ ] [ ]2 [ ] [ ] [ ] [1 1 2 5 ]x n n n n x n x n x nδ δ δ= − ++− − = +

1 2 3[ ] [ ] [ ] [ ]y n y n y n y n= + +

1 1

2 2

2 3

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ 2] [ 2] [ ]1[ 2] 2 [ 5] [ ] [ ]5

1x n n y n h nx n n y n h nx n n y n h n

δδδ

= → == − − → = −= −

−→ = −

Considerando a LINEARIDADE e a INVARIÂNCIA NO TEMPO:

[ ] [ ] [1 [2 5] ]1 2y n h n h n h n= − −+−

A saída é uma soma ponderada das saídas devidas a cada entrada, ou seja, um somatório de respostas ao

impulso deslocadas e ponderadas!

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Somatório de Convolução Generalizando para qualquer sinal discreto limita-

do:

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n kδ+∞

=−∞

= −∑

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k x n h n h n x n+∞

=−∞

= − = ∗ = ∗∑

Somatório de Convolução

Sinal Discreto Limitado

UM SISTEMA LTI É COMPLETAMENTE CARACTERIZADO POR SUA RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO!!!

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Reflexão

23/03/2016

Tempo Tempo

Entrada Entrada

10/46


Somatório de Convolução - Resumo

[ ]x n [ ]y n[ ]h n

[ ]nδ [ ]h n[ ]h n

[ ]n kδ − [ ]h n k−[ ]h n

[ ] [ ]x k n kδ − [ ] [ ]x k h n k−[ ]h n

[ ] [ ]k

x k h n k+∞

=−∞

−∑ [ ] [ ]k

x k h n k+∞

=−∞

−∑[ ]h n

[ ]x n [ ]h n [ ] [ ]k

x k h n k+∞

=−∞

−∑

Definição de

Invariância no Tempo

Linearidade

Linearidade

Definição de

[ ]h n

[ ]nδ

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,,

[ ]

0

,0,21

1

25

nn

x n

caso cn

ontrário

=

==

−=

0,[ ] [ ] , 0.6

00,≥

= = = <

nn na

h n a u n com an

Exemplo

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Somatório de Convolução Entrada Saída

Tempo Tempo

23/03/2016 13/46


Somatório de Convolução [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

k ky n x k h n k x n k h k

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑

[0] [ ] [ ]k

y x k h k+∞

=−∞

= −∑ [ ] [ ] [1 1]k

y x k h k+∞

=−∞

= − +∑ [ ] [ ] [ ] ..2 2 .k

y x k h k+∞

=−∞

+= −∑O que acontece para cada valor de n, se imaginarmos os

sinais em função da variável k?

Vejamos uma animação em Java para compreendermos a segunda interpretação do somatório de convolução: rebate, desloca,

multiplica e soma...

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Somatório de Convolução Exemplo – O Mesmo

,,

[ ]

0

,0,21

1

25

nn

x n

caso cn

ontrário

=

==

−=

0,[ ] [ ] , 0.6

00,≥

= = = <

nn na

h n a u n com an

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Somatório de Convolução Vamos observar graficamente a resolução do e-

xemplo utilizando a interpretação rebate, deslo-ca, multiplica e soma.

Script: M_6_SistemasLTIProg1.m

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Tempo

Rebate

Desloca

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n = -5

23/03/2016 18/46


n = -4

23/03/2016 19/46


n = -3

23/03/2016 20/46


n = -2

23/03/2016 21/46


n = -1

23/03/2016 22/46


n = 0

23/03/2016 23/46


n = 1

23/03/2016 24/46


n = 2

23/03/2016 25/46


n = 3

23/03/2016 26/46


n = 4

23/03/2016 27/46


n = 5

23/03/2016 28/46


n = 6

23/03/2016 29/46


n = 7

23/03/2016 30/46


n = 8

23/03/2016 31/46


n = 9

23/03/2016 32/46


n = 10

23/03/2016 33/46


n = 11

23/03/2016 34/46


n = 12

23/03/2016 35/46


n = 13

23/03/2016 36/46


n = 14

23/03/2016 37/46


n = 15

23/03/2016 38/46


n = 16

23/03/2016 39/46


n = 17

23/03/2016 40/46


n = 18

23/03/2016 41/46


n = 19

23/03/2016 42/46


n = 20

23/03/2016 43/46


Resumindo...

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Educational Matlab GUIs Demos sobre Processamento de Sinais: Convolu-

ção, Série de Fourier, Transformadas, etc...

http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html

(Acesso em 19/08/2011)

Ainda há tempo? Vamos brincar um pouco com a Discrete Convolution Demo!

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 23/03/2016

Novidade

O ENUNCIADO DO SEGUNDO TRABALHO JÁ ESTÁ DISPONÍVEL NA PÁGINA DA

DISCIPLINA!

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