Aula 15 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 4

Simon Haykin

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Propriedade da Convolução

Considere a convolução de dois sinais de tempo contínuo não periódicos x(t) e h(t).

dtxhthtxty *

Expressando x(t-τ) em termos de sua FT, temos

dejXtx tj

2

1

de modo que

dejXdeh

ddejXhty

tjj

tj

2

1

2

1

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Conclusão: y(t) é a FT inversa de H(jω)X(jω), de modo que a convolução de sinais no tempo corresponde a uma multiplicação das transformadas no domínio da frequência, isto é

dejXdehty tjj

2

1

dejXjHty tj

2

1

jHjXjYthtxtyFT

*

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De forma similar, temos que

jjjDTFT

eHeXeYnhnxny *

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Diferenciação no Tempo

Seja x(t) um sinal não periódico e X(jω) sua FT, de modo que

dejXtx tj

2

1

Diferenciando a expressão acima com respeito a t, temos

dejjXtxdt

d tj

2

1

Logo, jXjtxdt

d FT

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Diferenciação na Frequência

dtetxjX tjDiferenciando agora com respeito a ω, temos

dtetjtxjXd

d tj

Logo,

jXd

dtjtx

FT

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Aplicações das Representações de Fourier

As duas aplicações são:Análise da interação entre sinais e sistemas;Avaliação numérica das propriedades do sinal ou do

comportamento do sistema. FT e DTFT são as mais comumente usadas para análise. DTFS é a principal representação usada em aplicações computacionais.

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI

A resposta ao impulso de um sistema BIBO estável é absolutamente somável, isto é

dtth

n

nh

Logo, as condições de Dirichlet são satisfeitas, de modo que tanto a FT quanto a DTFT existem. Conclusão: a resposta em frequência existe para sistemas estáveis!

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jjjDTFT

FT

eHeXeYthnxny

jHjXjYthtxty

*

*

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Filtragem de sinais

Passa-Baixas

Passa-Altas

Passa-Faixa

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Resposta de Módulo: em unidades de decibéis [dB]

jH10log20 jeH10log20ou

A resposta em módulo na faixa de rejeição é muito menor do que na faixa de passagem, de modo que os detalhes da faixa de rejeição são muito difíceis de visualizar numa escala linear. O ganho unitário corresponde a 0dB. A margem da faixa de passagem é definida pelas frequências cuja resposta é -3dB do valor máximo ou do valor máximo.

21

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A margem da faixa de passagem é definida pelas frequências cuja resposta é -3dB do valor máximo ou do valor máximo. Desde que o espectro de energia da saída do filtro é dado por

temos que os pontos -3dB corresponde às frequências onde o filtro deixa passar somente metade da potência de entrada. Tais frequências são comumente conhecidas como frequências de corte.

21

222 jHjXjY

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Exemplo: A resposta ao impulso do circuito RC da figura é

tueRC

th RCt1

Trace a resposta em módulo em escala linear e em dB, caracterizando, a seguir, este sistema como um filtro.

Solução: A resposta em frequência do sistema é

1

1

RCjjH

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1

12

RC

jH

Trata-se de um filtro passa-baixas.

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI A propriedade da convolução implica que a resposta em frequência de um sistema pode ser expressa como a razão entre a FT ou DTFT da saída e da entrada, isto é

jX

jYjH

j

jj

eX

eYeH

para X(jω)≠0 ou

para X(ejΩ)≠0.

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Se H(jω)≠0 ou H(ejΩ)≠0, então é possível recupera a entrada do sistema a partir da saída, isto é

jYjHjX 1

jjj eYeHeX 1

ou

, em que

jHjH

11

, em que

jj

eHeH

11

O sistema inverso é conhecido como equalizador. O processo de recuperar a entrada a partir da saída é conhecido como equalização.

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Descrições por Equação Diferencial e de Diferenças

A definição de um sistema por resposta em frequência representa apenas o sistema em estado estacionário. Para representar as condições iniciais do sistema, devemos descrevê-lo a partir de equação diferencial ou de diferenças. A representação por equação diferencial de um sistema de tempo contínuo é como segue:

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

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Aplicando a FT em

temos

ou

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

M

k

kk

N

k

kk jXjbjYja

00

N

k

kk

M

k

kk

ja

jbjH

jX

jY

0

0

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Logo, a resposta em frequência pode também ser descrita a partir de uma equação diferencial linear de coeficientes constantes (razão entre dois polinômios em jω.

N

k

kk

M

k

kk

ja

jbjH

0

0

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A representação por equação de diferenças de um sistema de tempo discreto é como segue:

M

kk

N

kk knxbknya

00

Aplicando a DTFT na equação, obtém-se

M

k

jkjk

N

k

jkjk eXebeYea

00

ou

N

k

kjk

M

k

kjk

jj

j

ea

ebeH

eX

eY

0

0

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Logo, a resposta em frequência pode também ser descrita a partir de uma equação de diferenças linear de coeficientes constantes (razão entre dois polinômios em e-jΩ.

N

k

kjk

M

k

kjk

j

ea

ebeH

0

0

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Exemplo: Encontre a resposta em frequência e a resposta em módulo do sistema descrito pela equação diferencial

txtxdt

dtyty

dt

dty

dt

d 223

2

2

Solução: Observe que N=2 e M=1 em

N

k

kk

M

k

kk

ja

jbjH

0

0

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Logo,

A resposta ao impulso é dada pela FT inversa, a qual é obtida usando a expansão em frações parciais, isto é

23

122

jj

jjH

2123

122

j

B

j

A

jj

jjH

Resolvendo para A e B, encontramos A=-1 e B=3, de modo que

2

3

1

1

jj

jH

tetueth tt 23FT inversa

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Descrição por Variáveis de Estado

A descrição por variável de estado de um sistema de tempo contínuo é como segue:

Determinamos a resposta em frequência em termos de A, b,c e D tomando a FT das equações acima, isto é

ttty

tttdt

d

Dxcq

bxAqq

jjjjj

jjjjjjj

XDbAIcDXcqY

bXAIqbXAqq

1

1

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Logo,

De forma análoga, obtém-se que a resposta em frequência de um sistema de tempo discreto, em termos de A, b,c e D, é dada por

DbAIcHX

Y 1

jjj

j

DbAIcH 1jj ee

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Exemplo: Determine a resposta em frequência do sistema de tempo contínuo com descrição por variáveis de estado.

DbAIcH 1 jj

0,13

0

1,

01

12

Dc

bA

Solução:

21

1

12

1

1

12

2

1

1

j

j

jj

j

jj AI

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Logo,

12

13

0

1513

12

1

00

1

21

1

12

113

2

2

2

jj

j

jjjj

j

j

jjjH

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