Aula 16 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 4

Simon Haykin

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Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos

Seja x(t) um sinal periódico. Então sua representação por FS é

k

tjkekXtx 0

Observe agora que a FT de um impulso deslocado em frequência, δ(ω-kωo), é uma senóide complexa com frequência kωo,, isto é

00

2

1

keFT

tjk

Combinando as duas expressões, temos

k

FT

k

tjk kkXjXekXtx 020

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Consequentemente, a FT de um sinal periódico é uma série de impulsos espaçados pela frequência fundamental ωo. O k-ésimo impulso tem força 2πX[k], em que X[k] é o k-ésimo coeficiente da FS.

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Exemplo: Encontre a representação por FT para x(t)=cos(ω0t)

Solução: A representação por FS para x(t) é

1,0

1,2

1cos

0,

0

k

kkXtFS

Considerando que

k

FT

k

tjk kkXjXekXtx 020

então

0000 2

12cos

k

FT

kjXt

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000cos FT

t

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Seja x[n] um sinal periódico com período N. Então sua representação por DTFS é

Nk

njkekXnx 0

Observe que a DTFT inversa de um impulso deslocado em frequência é uma senóide complexa de tempo discreto. A DTFT é uma função da frequência com período 2π, de modo que podemos expressar um impulso deslocado em frequência das seguintes formas:

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Expressando um período

00 ,, kk

Usando uma série finita de impulso deslocados e separados entre si por um intervalo de 2π, de modo a obter a função com período 2π

m

mk 20

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A DTFT inversa de é obtida

usando a propriedade de peneiramento do impulso, isto é

m

mk 20

m

DTFTnjk mke

2

2

10

0

Usando a linearidade e substituindo a última expressão em

Nk

njkekXnx 0

então

m

jDTFT

Nk

njk mkeXekXnx 22 00

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Uma vez que X[k] tem período N e NΩ0=2π, podemos reescrever a DTFT de x[n] como

k

jDTFT

Nk

njk kkXeXekXnx 020

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Exemplo: Determine a DTFT inversa da representação mostrada na figura a seguir

Solução: um período de X(ejΩ) pode ser expressado como

,2

1

2

111 jj

eX j

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A DTFT inversa de cada impulso deslocado em frequência resulta em

n

eej

nx njnj

1sen2

1

2

1

2

111

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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais

É comum haver combinações de sinais periódicos e não periódicos em problemas de convolução e modulação. Exemplo: aplique um sinal periódico x(t) ou x[n] a um filtro estável. A saída será a convolução do sinal de entrada periódico com a resposta ao impulso do filtro não periódica. Em casos assim, usaremos como ferramentas de análise a FT e a DTFT.

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Considere a convolução entre os sinais x(t) e h(t), isto é

jHjXjYthtxtyFT

*

Digamos que x(t) seja um sinal periódico. Logo, sua FT é dada por

k

FT

kkXjXtx 02

em que X[k] são os coeficientes da FS de x(t).

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Substituindo X(jω) na expressão de convolução, temos

k

FT

k

FT

kkXjkHjY

jHkkXjYthtxty

00

0

2

2*

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k

kkXjkHjY 002

A força do k-ésimo impulso é ajustado pelo valor H(jω). Y(jω) corresponde a um sinal periódico. Consequentemente y(t) também é periódico, com o mesmo período de x(t).

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Considere a convolução entre os sinais x[n] e h[n], isto é

jjjDTFT

eHeXeYnhnxny *

Digamos que x[n] seja um sinal periódico. Logo, sua DTFT é dada por

k

j kkXeX 02

em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n].

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Substituindo X(ejΩ) na expressão de convolução, temos

k

jkjDTFT

kkXeHeYnhnxny 002*

A forma de Y(ejΩ) indica que y[n] também é periódico, com o mesmo período de x[n].

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Propriedade da Modulação: Seja x(t) e z(t) sinais não periódicos. Desejamos expressar a FT de y(t)=x(t)z(t). Logo, representando x(t) e z(t) em termos de suas respectivas FTs, temos

dejZtz

dejXtx

tj

tj

2

1

2

1

Logo

ddejZjXty tj22

1

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Fazendo η=ω-υ, temos

A integral interna em υ representa a convolução de X(jω) e Z(jω). A integral externa em ω está na forma da representação de Fourier para y(t). Daí,

dedjZjXty tj

2

1

2

1

jZjXjYtztxtyFT

*2

1

em que

djZjXjZjX *

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De forma similar, encontramos que

jjjDTFT

eZeXeYnznxny *2

1

em que

2

* deZeXeZeX jjjj

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Podemos utilizar a propriedade da modulação mesmo que um dos sinais seja periódico. Seja a modulação de dois sinais, x(t) e g(t), com x(t) periódico e g(t) não periódico

0][*2

1

*2

1

kkXjGjY

jXjGjYtxtgty

k

FT

FT

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A propriedade de peneiramento da função impulso implica que a convolução de qualquer função com um impulso deslocado resulta numa versão deslocada da função original, de forma que

0][ kjGkXjY

txtgty

k

FT

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Seja agora a modulação de dois sinais, x[n] e g[n], com x[n] periódico e g[n] não periódico

jjjDTFT

eGeXeYnxngny *2

1

sendo

k

j kkXeX 02

onde X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n].

Substituindo a última equação na definição de convolução, temos

deGkkXeY j

k

j

2

0

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Aplicando a propriedade de peneiramento, temos

Nk

kjjDTFT

eGkXeYngnxny 0

Logo, a modulação de g[n] com a sequência periódica x[n] resulta numa DTFT que consiste numa soma ponderada de versões deslocadas de G(ejΩ). Observe que y[n] é não periódico e consequentemente Y(ejΩ) também é não periódico.

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Exemplo: Considere o sinal

nnnx

16

9cos

16

7cos

Use a propriedade de modulação para avaliar o efeito de computar a DTFT usando apenas os 2M+1 valores de x[n], isto é |n|≤M.

Solução: Queremos avaliar y[n]=x[n]w[n], onde

Mn

Mnnw

,0

,1

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A DTFT de é

nnnx

16

9cos

16

7cos

onde

contráriocaso,016

9,

16

7,

2

1 kkX

k

j kkXeX 02

de modo que

,

16

7

16

9

16

7

16

9jeX

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Considere a propriedade de modulação, isto é

onde

contráriocaso,016

9,

16

7,

2

1 kkX

de modo que

167169167169

2

1 jjjjj eWeWeWeWeY

Nk

kjj eWkXeY 0

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