- Processamento digital de sinais –

Capítulo 2 – Sinais e sistemas discretos

1 – Sinais discretos

2

• Sinais analógicos x digitais• Contínuos x discreto • Admitido como sequência de números.

{x[n]}, n = 0, ±1, ±2, ... n ∈ Z

• Período amostragem: ts

• Variáveis independentes: t e n• x(t) = sin(2πf0t) radianos• x[n] = sin(2πf0nts) radianos• Logo: t = nts

• 1/ts >= 2.FMAX (freq. máxima sinal)• “Domínio do tempo”

• Conversão AD e DA

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Filtro(I)

AD DSP DAFiltro

(II)

x(t) y(t)

� Filtro I : Filtro anti-aliasing

� AD: Conversor analógico digital

� DSP: Computador digital ou processador digital de sinais

� DA: Conversor digital analógico

� Filtro II : Filtro anti-imaging ( filtro de reconstrução)

• Frequência de aquisição

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• Sistema discreto: saída discretizada• y[n]=2x[n]-1

• Equação de diferenças

• Tempo x frequência• Componente espectral

• X(m)

• Formas sinal• Forma onda

• Matematicamente

• Espectro

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• Amplitude, magnitude e potência• Amplitude (distância e direção da origem)

• Magnitude (distância sem direção)

• Potência: proporcional ao valor quadrático

xpwr[n]=|x[n]|²

Xpwr[m]=|X[m]|²

Problema: sinais com moderadas diferenças em amplitude terão diferenças

aumentadas gerando valores muito grandes e pequenos em mesmo gráfico

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• Escala logarítmica:• Proposta inicial: comparação entre potência de dois sinais P1 e P2

Diferença potência

• Ouvido humano era capaz de sentir uma diferença de 1/10 bells

Diferença potência

Note que: (i) quando P1/P2 é pequena, temos um grande valor (em módulo) em dB

(ii) Quando P1/P2 não é tão pequena, temos evolução moderada em dB

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bellsP

P

=

2

110log

dBP

P

=

2

110log.10

• Escala logarítmica (continuação):• A relação xpwr[n]=|x[n]|² não representa a potência em seu

sentido clássico (em watts), mas tem uma relação direta com esta.

• Potência de um sinal em dB é dada por:

Potência espectro sinal:

• “Normalização” do espectro:

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|)][(|log.20)|][(|log.10][ 10

2

10 mXdBmXmX dB ==

dBX

mXmX

onormalizaddB

=

|]0[|

|][|log.20][ 10_

• Exemplo: comparação entre potência elétrica contínua e potência de um sinal

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∫

∫

−=

=

==

<<

<<

2

1

2

12

2

1

2

2

)(1Potência

)(Energia

)()().()(

21

21

t

tttt

t

tttt

dtR

tv

tt

dtR

tv

R

tvtitvtp

Tempo contínuo Tempo discreto

∫−=<<

2

1

2

12

|)(|1

sinalPotência 21

t

tttt dttx

tt ∑=

<<+−

=2

1

21

2

12

|][|1

1sinalPotência

n

nn

nnn nxnn

• Operações básicas (transformações) de sinais:• Deslocamento de um sinal

• Reflexão: x[-n]

10

• Escala no tempo

11

• Exemplo: calcule x[-n+2]

• Algumas características de sinais:

– Periodicidade:

• x(t)=x(t+T)=x(t+mT)

• Período fundamental = menor valor positivo de T

• x[n]=x[n+N]

– Simetria• Par: x(-t) = x(t) ou x[-n] = x[n]

• Ímpar: x(-t) = -x(t) ou x[-n] = -x[n]

• Todo sinal pode ser decomposto em x[n]=par(x[n])+ímpar(x[n])

• Onde:

– Exemplo

12

( )][][2

1]}[{ nxnxnxEv −+= ( )][][2

1]}[{ nxnxnxOd −−=

• Estocástico/randômico x determinístico

• Estacionaridade

13

t

sinal senoidal

t

Ruído

Sinal senoidal com ruído

t

Sinal de voz - “hoje é bom dia”

t

• Representações de sinais multidimensionais

14

)]()(2sin[)(1

tttFtASinalN

i

iii∑=

+= θπ

– Amplitude

– Frequência

– Fase

• Sinais complexos

– Sinal “real”:

– Sinal complexo:

15

)2sin(.)(1 tAts π=

)2sin(.)2cos(.

)( 2

2

tjAtA

Aetstj

ππ

π

+=

=

16

)sen( j)cos(ee 0

2 00 twtwo

tjwtfj +==π

2

ee)cos(

tjwtjw

o

oo

tw−+

=2j

ee)sen(

tjwtjw

o

oo

tw−−

=

Forma fasorial

• Versão discretizada

– Exemplo:

• w=π/6 radianos por amostra ou

• f=1/12 ciclos por amostra

• Periodicidade

17

)36

cos(][ππ

+= nAnx

][][ nxNnx =+

• Propriedade: em sinais discretos a frequência w varia entre – π e π. Assim sendo:

Isto indica que todas sequências

onde

são iguais. Isto implica dizer que:

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]cos[]2cos[])2cos[( 000 φφπφπ +=++=++ nwnnwnw

0,1,2,...kpara ]cos[)( =+= φnwnx kk

πππ ≤≤+= 00 w-para 2 kwwk

2/1/21-

w-

≤≤

≤≤

f

ππ

19

• Sinais harmonicamente relacionados

– Grupo de sinais complexos cujas frequências fundamentais são múltiplas

– Componentes analógicas:

– Série de Fourrier:

– Série discreta de Fourrier:

20

... 2, 1, 0,kpara )()(2 0 == tkFj

k etsπ

ec (t)sc)(k)t(Fj2

kkk0∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

==kk

a txπ

ecec ][sc][1

0

knN

1j2

k

1

0

knFj2

k

1

0

kk0 ∑∑∑

−

=

−

=

−

=

===N

k

N

k

N

k

nnxπ

π

• Sinais “especiais”

– Sequência amostra unitária (impulso unitário)

– Degrau unitário

21

≠

==

0npara ,0

0npara ,1][nδ

<

≥=

0npara ,0

0npara ,1][nu

– Sinal exponencial

• Real:

• Imaginário:

Exemplo:

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nanx =][

njnnjerrenx

θθ == )(][

)sin(cos njnrn θθ +=

nrnxn θcos])[(Real =

nrnxn θsin])[(Img =

nj

enx

= 109.0][

π

• Definição:

• Classificação: • Linearidade - Invariância - Causalidade - Estabilidade

• Sistemas LTI (lineares e invariantes)• Caracterizados pela resposta à amostra unitária/impulso

unitário gerando a resposta impulsiva.

• Relação entrada-saída é dada pela “convolução”23

2 – Sistemas discretos

])[(][ nxny τ=

• Linearidade

• Exemplo sistema linear:

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( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nxTanxTanxanxaT MMMM ++=++ LL 1111

( ) ( )nyanya MM++= L11

2

][][

nxny

−=

• Exemplo de sistema não-linear:

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2][][ nxny =

2

)cos(

2

)cos()sin().(sin :que Lembrando

bababa

+−

−=

• Sistemas invariantes no tempo:

• Exemplo de sistema invariante: nova entrada x’[n] = x[n-4] para y[n] = -x[n]/2. A saída acompanha o deslocamento da entrada ?

• Propriedade comutativa de sistemas LTI

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( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )dd nnynnxTnxTny −=−⇒=

• Casualidade:

• Estabilidade: entrada limitada, saída limitada

– Ex.:

• Considerações importantes sobre análise de sistemas LTI1. uma vez conhecida a “resposta ao impulso unitário” (ou resposta impulsiva)

o sistema pode ser completamente caracterizado;

2. saída do sistema: convolução da entrada com a resposta impulsiva;

3. Dada a resposta impulsiva no domínio do tempo, sua resposta em

frequência equivale a transformada discreta de Fourier de sua resposta

impulsiva.

27

]...][],1[],[[][ knxnxnxny −−= τ

][]1[][ 2nxnyny +−=

• Exemplo: analisar o comportamento do sistema abaixo:

Considere a entrada impulsiva

A resposta será:

28

29

+

a

z-k

Bloco somador : x(n)

v(n)

y(n) = x(n) + v(n)

Multiplicador :

x(n) y(n) = ax(n)

Bloco de atraso: x(n) y(n) = x(n-k)

O operador z-k indica um atraso de k amostras no sinal e ficará esclarecido no

estudo da transformada z.

xx(n)

v(n)

y(n) = x(n)v(n)

• Discretização de sistemas: equação de diferenças

• Diagramas de bloco

∑∑==

−+−−=M

k

k

N

k

k knxbknyany01

)()(][st

nxnx

dt

tdx ]1[][)( −−≈

30

Exemplo: Represente em diagrama de blocos o seguinte sistema:

( ) ( ) ( ) ( )150501 −++−= nx.nx.nyny

Rearranjando a equação:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1501 −++−= nxnx.nyny

portanto tem-se o seguinte de blocos:

Observe que foi economizado um bloco multiplicador.

x(n)+ +

z-1z-1

0.5y(n)

x(n-1) y(n-1)

• Soma de convolução

– Seja h(n) a resposta à excitação δ(n)

– Calcular a saída do sistema no “instante” n=n0 faça:

Passos:• 1. Rebate-se h(k) em torno do índice zero ⇒ h(-k)

• 2. Desloca-se h(-k) por n0 amostras ( à direita ou à esquerda)

• 3. Multiplica-se cada elemento x(k) por h(n0-k) para se obter a sequência produto x(k) h(n0-k)

• 4. Soma-se todos os valores da sequência produto ⇒ y(n0)

31

( ) ( ) ( ) )(*)(00 nhnxknhkxnyk

=−= ∑∞

−∞=

• Exemplo: considere a entrada e resposta impulsiva abaixa. Determine a saída do sistema.

32

n0= 0

n0= -1

n0= +1

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Propriedades da Convolução e Interconexão de Sistemas LTI

- Comutativa: ( ) ( ) ( ) ( )nxnhnhnx ∗=∗

- Associativa: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nhnhnxnhnhnx 2121 ∗∗=∗∗

h1(n)*h2(n)h1(n) h2(n)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )nhnxnhnxnhnhnx 2121 ∗+∗=+∗- Distributiva:

h1(n)

h2(n)

+ h1(n)+h2(n)

Referencias para leitura:

• Proakis//Manolakis (4ª edição)

– Cap. 1, seções 1.1, 1.2 e 1.3

– Cap. 2, seções 2.1, 2.2 e 2.3

• Lyons (3ª edição)

– Cap. 1 todo

• Oppenheim (3ª edição, Discrete-time...)

– Cap. 2, seções 2.1 a 2.7

• Oppenheim (2ª edição, Sinais e Sistemas)

– Cap. 1 todo

– Cap. 2, seções 2.1 a 2.3

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