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Sinais e Sistemas – Capítulo 4

Simon Haykin

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Representação por Transformada de Fourier para Sinais de Tempo Discreto

Considere as senóides complexas a seguir:

tjetx njeng e

Suponha que g[n] é igual às amostras de x(t), tomadas em intervalos β, isto é,

nxng

o que implica quenjnj ee

de modo que podemos definir Logo, a frequência de tempo discreto Ω corresponde à frequência de tempo contínuo ω, multiplica pelo intervalo de amostragem β.

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Relacionando a FT com a DTFTConsidere a DTFT de um sinal de tempo discreto arbitrário x[n], isto é

n

njj enxeX

Procuramos por um par FT

jXtxFT

que corresponda ao par

jDTFT

eXnx

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Relacionando a FT com a DTFT

Começamos por substituir Ω=βω em

n

njj enxeX

n

nj

j

enx

eXjX

obtendo

Tome a FT inversa de usando a linearidade e o par FT nj

FT

ent

jX

para obter

n

ntnxtx

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Relacionando a FT com a DTFT

Consequentemente

n

njFT

n

enxjXntnxtx

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Relacionando a FT com a DTFSSeja x[n] um sinal periódico. Logo sua representação por DTFT é dada por

k

j kkXeX 02

em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n]

Substituindo Ω=βω, obtemos a representação por FT, isto é

k

k

j

kkX

kkX

eXjX

0

0

2

2

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Relacionando a FT com a DTFS Aplicando a propriedade de mudança de escala da função impulso, isto é

vaav 1

temos então que

k

kkXjX

02

Como X[k] é uma função com período N, então é periódica com período

jX

20

N

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Relacionando a FT com a DTFS O sinal correspondente à última FT é facilmente obtido usando

n

ntnxtx

tx

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Amostragem Vamos agora utilizar a representação por FT de sinais de tempo discreto para analisar os efeitos de amostrar uniformemente um sinal. A amostragem gera um sinal de tempo discreto a partir de um sinal de tempo contínuo. São muito úteis para transformar sinais de tempo contínuo em sinais manipuláveis por sistemas de comunicação, controle e processamento digital. A amostragem também é aplicável em sinais discretos para realizar mudanças na taxa efetiva de dados (subamostragem).

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AmostragemSeja x[n] um sinal de tempo discreto que é igual às amostras de x(t) em múltiplos inteiros do intervalo de amostragem β, isto é, x[n]=x(βn).O efeito da amostragem é avaliado relacionando-se a DTFT de x[n] com a FT de x(t). A ferramenta que utilizamos para isto é a FT de sinais de tempo discreto. Seja a representação em tempo contínuo de um sinal de tempo discreto, isto é

n

ntnxtx

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Amostragem Substituindo x(βn) em x[n], temos

n

ntnxtx

Desde que ntnxnttx

então, podemos representar como um produto de funções do tempo, isto é,

tx

tptxtx

em que

n

nttp

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Amostragem Amostragem por impulsos tptxtx

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Amostragem O efeito da amostragem por impulsos é avaliado relacionando-se a FT de com a FT de x(t)

jPjXjXtptxtxFT

*2

1

tx

k

FT

n

kkPjPnttp 02

onde

112

2

0

dtetkP tjk

De modo que

k

kjP 0

2

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Amostragem Logo

ks

ks

kjX

kjXjX

1

2*

2

1

em que é a frequência de amostragem. 2

0 s

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Amostragem

k

skjXjX

1

Observe que a FT do sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas da FT do sinal original, as quais são espaçadas de múltiplos inteiros de ωs.

Ws 3

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Amostragem

k

skjXjX

1

Observe ainda que as versões deslocadas de X(jω) podem se sobrepor umas às outras se ωs não

for suficientemente grande em comparação com a extensão de frequência de X(jω).

Ws 2

Ws 2

3

Alising

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Amostragem

k

skjXjX

1

O fenômeno de Alising provoca distorção do espectro do sinal de tempo contínuo, de modo que não se pode recuperar o sinal de tempo contínuo original.

Ws 2

Ws 2

3

Alising

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Amostragem A DTFT do sinal amostrado é obtida de usando-se a relação Ω=βω, isto é,

jXeXnx j

DTFT

jX

Portanto, ω=ωs corresponde a Ω=2π.

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Amostragem

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Amostragem Exemplo: Considere o efeito de extrair amostras de

ttx cos

Determine a FT do sinal amostrado para os seguintes intervalos de amostragem: a)β=1/4; b) β=1; c) β=3/2.

Solução: jXtxFT

kss

ks

kk

kjXjX

1

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Amostragem 8s

2s

3

4 s

Subamostragem Admitamos que y[n]=x[qn] seja uma versão subamostrada de x[n], onde q é um número inteiro positivo. Nossa meta é relacionar a DTFT de y[n] com a DTFT de x[n]. Podemos conseguir tal relação utilizando a FT para representar x[n] como uma versão amostrada de x(t).

n

ntnxtx

k

skjXjX

1

Subamostragem Logo, expressamos y[n] como uma versão amostrada de x(t), porém usando um intervalo de amostragem q vezes o do associado com x[n].

nqxqnxny

Consequentemente, a taxa de amostragem para y[n] é q' Logo,

n k

s

FT

kjXjYnttxty '

'

1'

qss '

Subamostragem

Daí,

ksq

kjX

qjY

1

Observe que expressamos e como funções de X(jω). Mas X(jω) é desconhecido, pois conhecemos x[n] e não x(t). Vamos então tentar expressar como uma função de .

jY jX

jY jX

Seja , onde l é a parte inteira e m é o resto

da fração.q

ml

q

k

Subamostragem

Como -∞≤k≤∞, então -∞≤l≤∞. Além disso, 0≤m≤q-1. Assim, podemos reescrever

1

0

11 q

m lss q

mljX

qjY

1

0

1 q

msq

mjX

qjY

Subamostragem Agora, convertemos a representação FT em uma representação DTFT, expressando como uma função de . O intervalo de amostragem associado com é β’. Daí, , de modo que

jeY

jY jeX

'

1

0

1

0

1

0

'

21

1

'

1

q

m

q

ms

q

ms

j

q

m

q

jX

q

q

m

qjX

q

q

mjX

q

jYeY

Subamostragem O intervalo de amostragem associado com é β. Daí,

jX

jXeX j

Portanto, podemos substituir em

Assim

qmqjeX 2

qmqqjX 2

1

0

21 q

m

qmqjj eXq

eY

1

0

21 q

m

qmqjj eXq

eY

0m

1m

1qm