SISTEMAS DISCRETOS SISO - BIENVENIDO A LA … · xZyZx y. kk k k} += + { } [] { } { } D.C. al menos...
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Reg. Automática II 1
SISTEMAS DISCRETOS SISOCurso 10/11
Coordinador: Prof. Roberto González
Profesor: Pablo San Segundo
Despacho: C-206
Tutorías: Lunes 15:30h-17:30h
Martes 10:00h-12:00h
Reg. Automática II 2
TRANSFORMADA Z
{ } /k kx x ∈ℜ { }( )k
kk k
kz Z x x z z
=+∞−
=−∞
Χ = = ⋅ ∈∑
{ }0
1kk kZ zδ δ
+∞−= ⋅ =∑
{ } 1 2 1
01
11 1 11 1
kk k
zZ u u z z z z zz z
+∞− − − −
−= ⋅ = + + + = = < → >− −∑
{ }0
1 11
0
1( ) 11 ( )
k k k k zZ a a z a z a z z aa z z a
+∞ +∞− − −
−= ⋅ = ⋅ = = ⋅ < → >− ⋅ −∑ ∑
0
( )n
nn
n
S z a Z=+∞
=
= ∑•Si converge, converge absolutamente
•Dominio de convergencia es el interior de una bola
0
( ) nn
nn
S z a Z=+∞
=
−= ∑ •Serie de potencias de términos negativos
•Dominio de convergencia es el exterior de una bola
Ejercicios
Transformada Z con sólo términos k positivosControl
Dominio de convergencia
Reg. Automática II 3
PROPIEDADES DE LA TRANSFOMADA Z
Linealidad
{ } { } { } { }[ ]k k k kZ x Z y Z x yα β α β+ = +
D.C. al menos la intersección de ambos dominios pudiendo ser el mayor
Desplazamiento
{ } { } ( )n nk n kn Z x z Z x z X z− −−∀ ∈ = = { } { }(( ))k n n
k k kk n k n n
k n k n k n k nk
kk
nk
Z x x z z x z z Zx z z x=+∞ =+∞ =+∞
− −− − −−
− − −− − − −
=−∞ =−∞ =−∞
= = = =∑ ∑ ∑
Multiplicación por sucesión de potencias
{ } { }1( ) ( )kk kZ a x X a z donde Z x X z−= ⋅ =
{ } { } { } { }2 1 2 [ ] ?k kk k k kx y Z x y= = − + =
Ejemplo
{ } 1 1( ) ( )k k
k k k kk k k
k kZ a x a x z x a z X a z
=+∞ =+∞− − − −
=−∞ =−∞
= = =∑ ∑
{ }1
11( )
1 1ku kz a z zX Z u X a z
z a z z a
−−
−= = = =− − −
Aplicación
{ } { } 1( )k
k kk uZ a Z a u X a z−= =
, 0z a a> >
D.C.Términos negativos
Reg. Automática II 4
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Diferenciación
{ } { }1 1( ) k k kd X z z Z r x z Z k xdz
− −= − ⋅ = − ⋅Válido en el dominio de convergencia
{ }1 1 1( ) ( )k k k k
k k k kk k k k k
k k k k
d d dX z x z x z x k z z k x z z Z k xdz dz dz
=∞ =∞ =∞ =∞− − − − − − −
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞
= = = − =− ⋅ ⋅ = − ⋅∑ ∑ ∑ ∑Demostración
Aplicación { } { } { } ?k kZ r Z k u Z k= ⋅ = =
{ } { } { }2 21 1
2
1 1( ) ( )1 ( 1) ( 1)( 1)ku k k k
d d zX z z Z k u z Z k u zZ k udz z z z z zd
− −− −= − ⋅ = = ⇒ − ⋅ = ⋅ =⇒
−− − −
Convolución discreta
{ } { }n n
k k k n k n n k nn n
h x y x y y x=+∞ =+∞
− −=−∞ =−∞
= ∗ = =∑ ∑
0 0 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 1 0 2h x y h x y x y h x y x y x y= = + = + +
{ } { }( ) ( ) ( )k kZ x y X z Y z∗ = ⋅
Método de la malla
0x
0h
¿Interpretación gráfica?
Reg. Automática II 5
PROPIEDADES DE LA TRANSFOMADA Z
Tma del valor inicial Secuencias índices positivos
0 lim ( )z
x X z→∞
= Como los dominios de convergencia son del tipo la expresión es válida siemprez ρ>
01( ) ( ) ?
1 1zX z X z x
z z= = =
− −
Aplicación
Tma del valor final Secuencias índices positivos
1
11lim( ) ( )z
x z X z−∞ →
−=0
lim ( )s
s F s→
⋅Sistemas continuos
Aplicable en el dominio de convergencia
Aplicaciones1( ) ( ) ?
1 1zX z X z x
z z ∞= = =− −
( ) ?8
zX z xz ∞= =−
. 8!!!Dom Convergencia z≡ >
Reg. Automática II 6
ANTITRANSFORMADA ZResiduos
{ }11 1
2 2
k
kk
Cpolos
polosC
Sea X( z ) Z x
x X( z ) z dz F( z ) Re sdzj j
[ F( z )]π π
−
=
= ⋅ = =∫ ∑∫
Camino debe englobar todos los polos de F(z)
AplicaciónzX( z )
z a=
−
Repaso Tª de Residuos
a
f ( z )analítica z a ε< +
Cf ( z )Re s [ ] f ( a )z a
=−
2C z af ( z ) dRe s [ ] f ( z )| f '( a )
( z a ) dz == =−
111
n
C z an
f ( z ) dRe s [ ] f ( z )|( z a ) ( n )! dz
−
==− −
Polos múltiples
Aplicación 3Cf ( z )Re s [ ] ?
( z a )=
−
3
12C
f ( z )Re s [ ]( z a
f ' ))
'( a=−
{ }1k
k
p a
z zZ ( ) Re s( ) az a z a
−
=
= =− −∑
121
zZ ( ) ?( z )
− =−
{ }121
zZ ( )( z )
k− =−
Reg. Automática II 7
ANTITRANSFORMADA ZDivisión larga Secuencia de términos positivos (k>0)
División de términos en potencias de z-1
Aplicación 53 2
zX( z )( z )( z )
=− −
2 11 1 2 3
2 1 15 5 5 5 193 2 1 3 1 2
z z zX( z ) ( z z z )( z )( z ) z ( z )( z )
− −− − − −
− − −
⎛ ⎞= = = + + +⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠
53 2
zX( z )( z )( z )
=− −Aplicación
3 3 2523 2 3 2 3 2
Az A B X( z )B( z )( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z )
=⎧ ⎡ ⎤= + ⇒ = −⎨ ⎢ ⎥= −− − − − − −⎩ ⎣ ⎦
{ } { }1 1 1
05 3 3 23 225
3 2k k
kXX( z )
( z ) ( z)
)( z− − −
≥
⎡ ⎤= − ⎡ ⎤= −⎣⇒⎥− − ⎦⎢
⎣ ⎦
Linealidad
Descomposición en fracciones simples + Linealidad
¿Dom. convergencia?
1( ) ( ) ?1
zX z X zz
−= =−
Reg. Automática II 8
SISTEMAS DISCRETOS
{ }kx { }ky{ }kg { }kg ≡ Secuencia de ponderación
Convolución
{ } { } { } ( ) ( ) ( )k k k Y z G zg Xy x z= ∗ =⇒ { }kg ≡ Secuencia salida ante entrada { }kδ
Secuencias fundamentales para control
{ } { } { }1,0,0 1, kk Zδ δ= =
{ } { } { } { } { } { }1111,1,1, 0,
11,1,
1k kk kzZ u Z u
zu u
z− −= =−
= =−
{ } { } { } { } 20,1,2,3,( 1)kk
zZ rz
r k =−
= =
{ } { } { } { } { }230,1,4,9,16 ( 1)
( 1)kk kz zr pk Zp kz
= ⋅ =+−
= =
Aplicación
{ } { } { } { } { }2,2,1 0,1,2,1,0,0, ?k k kx g y= = =
Reg. Automática II 9
SISTEMAS DISCRETOS{ }kx { }ky{ }kg
{ } { } { } { } { }2,2,1 0,1,2,1,0,0, ?k k kx g y= = =
Convolución
0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 00 2 6y x g y x g x g y x g x g x g= ⋅ = = ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Aplicando definición convolución { } { }n n
k k k n k n n k nn n
y x g x g g x=+∞ =+∞
− −=−∞ =−∞
= ∗ = =∑ ∑
Sumas desplazadas { } { } { } { }0 1 1 2 2k k k ky x g x g x g− −= + + +
{ }{ }{ }
2 0,1,2,1,0,0,0,
2 0,0,1,2,1,0,0,
1 0,0,0,1,2,1,0,
+
+
0x
1x
2x
{ } { }0,2,6,7,4,1,0,ky =Malla
{ } { }0,2,6,7,4,1,0,ky =
112102242022420
1210
{ }kg
{ }kx
Reg. Automática II 10
SISTEMAS DISCRETOS-ECUACIONES EN DIFERENCIAS{ }kx { }ky
{ }kg
1 2 1 2( , , , , , , , , )k k k n k k k mk ky f y y y x x x x− − − − − −=
Causalidad Ec. En diferencias
Sistemas LTI
1 1 2 2 0 1 1( ) k k k n k n k k m k mI y a y a y a y b x b x b x− − − − −+ + + + = + + +
Tomando transformada Z en (I) a cada lado y aplicando linealidad y desplazamiento
1
1 20 1 2
1 21 2
2 11 2 0 1
( )(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1)
m
n
m
n m
nn
mY z a z Y z a z Y z a z Y z b X z b
Y z b
z
b z b z b zX z a z a z a
X z b
z
z X z− − − − −
− − −
− − −
+ + + +=
+ + +
+ + + + = + + +
+
⇒
Expresiones canónicas de sistemas discretos físicamente realizables
1 1 2 102 11 k k k n k n k k m k my a y a y a y x xb b b x− − − − −⋅ + + + + = ⋅ + + +
0 0,n ma a b b ctes− −
Reg. Automática II 11
RETARDO DE UN SISTEMA DISCRETO{ }kx { }ky
{ }kg
1 2 1 2( , , , , , , , , )k k k n k k k mk ky f y y y x x x x− − − − − −=Ecuación en diferencias
Diferencia de índices de mayor grado entre entrada y salida
Forma canónica
Índice de la primera potencia del numerador
Expresión en potencias de Z
Diferencia de grados entre denominador y numerador
Aplicación{ }kx { }ky
1z
z −
Forma canónica:1
11 z−−
Ec. en diferencias: 1k k ky y x−− =
Sistemas causales
Reg. Automática II 12
EJERCICIOS Junio 2006
Soluciones
1. Sí. El sistema se puede pasar a la forma canónica de la Ec. en diferencias
2. El retardo es la unidad
Reg. Automática II 13
SISTEMAS MUESTREADOS
Transformadas discretas
{ } { } { } )( ) (j sw Z ejwk
ksk
kk
k kZ
ke
s jwk F x L x s xw x ex eZ x Z σχ χ+∞
=−= +
−
+∞−
−
+−
−∞ ∞∞
∞=⎯ = = ⎯⎯⎯ ⎯ =→ == ⎯ →∑ ∑ ∑
Zeta Fourier Laplace
2wT π=
Muestreo de señales continuas con periodo T
{ } { } { }) ( )(j swT T Z ejw k
k k s js k
k kZ
ke
wk T
k L x LZ F x F wx x Z sx e x e+∞+∞
−
−
=−=
−∞
+=
∞−
−∞ ∞
⎯⎯⎯→ = = ⎯⎯ =⎯ =→=∑ ∑ ∑
2wT
Tπ
=2
sT jTπσ= +
2sT jσ π= +
{ } { }/
/
1( ) ( )2 /
TjwkT
kT kT
x kT x x F w e dwT
π
ππ −
= = = ⋅∫
Anti-transformada Fourier
{ }( ) TkTx t x⎯⎯→
jwtF( x( t )) f ( t )e dt+∞ −
−∞= ∫ { }kF x ?=
Aplicación
{ }{ } { }
1 2
? ?
1
k k
kZ z z
x x
x
F L
− −= + + +
= =
Reg. Automática II 14
TEOREMA FUNDAMENTAL DE MUESTREO (I){ } ( )kx x kT≡
TX(t)
jwtc( w ) x( t ) e dtχ
+∞−
−∞
= ⋅∫jwkT
d k( w ) x eχ+∞
−
−∞
= ⋅∑
Relación entre transformadas de Fourier contínua y discreta
d c x( kT )( w ) ( w )|χ χ=Razonamiento{ }
/
/
( ) ( )2
TjwkT
k dT
TII x w e dwπ
π
χπ −
= ⋅∫
1 11 12 2
kTt k
jwt jwc c x( cT )kT( I ) x( t ) ( w ) F( w ) e dw x( ) ( w )| ( w ) e dwχ χ χ
π π
+∞ +∞− − −
−∞ −∞== = ⋅ ⇒ = = ⋅∫ ∫
{ }/
/
1( ) ( ) ( )2 2
TjwkT jwkT
k d cT
TIII x w e dw w e dwπ
π
χ χπ π
+∞
− −∞
= ⋅ = ⋅∫ ∫1 2( ) ( )
r
d cr
rX w X wT T
π=+∞
=−∞
= +∑
Tπ
Tπ−
d ( w )χ
oωoω−
1T
No periódica Periódica:2Tπ
Tπ
Tπ−
c( w )χ1
oωoω−
Tma de Shannon
No periódica2TπPeriódica:
NfFrec. de Nyquist (angular)
Señal de banda limitada
Reg. Automática II 15
TEOREMA FUNDAMENTAL DE MUESTREO (II){ } ( )kx x kT≡
TX(t)
jwtc( w ) x( t ) e dtχ
+∞−
−∞
= ⋅∫jwkT
d k( w ) x eχ+∞
−
−∞
= ⋅∑
Tma de Shannon
Si entonces se puede reconstruir la señal muestreada sin pérdida de información
o Tπω <
Otra formulación de Tma de Shannon
Tπ
Tπ−
d ( w )χ
oωoω−
1T
T Reconstrucción
Nf angular( rad / seg )
1NFrecuencia de Nyquist: f (rad seg )
Tπ −= ⋅1
sFrecuencia de muestreo: fT
=0
2 2 2N sf fω
π π< =
Una señal muestreada puede reconstruirse sin pérdida de información siempre que la frecuencia de muestreo sea mayor que el doble de la frecuencia(Hz) base del último armónico
2s
( HZ )f f Base del último armónico de X ( w ) X( w ) F( x( t ))> =
Reg. Automática II 16
SELECCIÓN PERIODO DE MUESTREO(I){ } ( )kx x kT≡
TX(t)
Objetivos teóricos•T lo más alto posible
•T cumpla Shannon (muestreo ideal)
Elección del periodo de muestreo para señales
A-Señal de banda limitada (wo)0
2 2sf ω
π=
B-Señal x(t) de banda no limitada
2s
( HZ ) elegif f armónico de X( w ) X ( w ) F( x )d )o ( t= =
No es posible, en general
1T
Tπ
Tπ−
c( w )χ1
oωoω−
Tπ
Tπ−
d ( w )χAliasing
5f ( t ) sen( t ) T ?= =
Aplicación
0sf
ωπ
Reg. Automática II 17
SELECCIÓN PERIODO DE MUESTREO(II){ } ( )kx x kT≡
TX(t)
Sistemas 1er Orden
Sistemas
Mínimo 30 muestras antes de estabilización 10T τ≅
3 3 1330 10 10s
K / ag(s) ts a a a
T ττ= → ≅ ⋅ = = = =+ ⋅
Demostración
Sistemas 20 Orden
Mínimo 30 muestras antes de estabilización
Mínimo 10 muestras por oscilación
110
Tσ
≅
5 d
TWπ
≅
Demostración 130 30 10s
stt Tπ π
σ σ σ≅ ⇒ ≅ ≅ ≅
2 210 10 5
pp
d d d
tt T
W W Wπ π π⋅
≅ ⇒ ≅ ≅ ≅
110 5 d
T min( , )Wπ
σ=
Reg. Automática II 18
EJERCICIOS Muestreo
0,110
T sτ≅ =
Polo Real Simple Parte oscilatoria2 0,05
10 d
T sWπ
≅ ≅
Junio 2007
Reg. Automática II 19
RECONSTRUCCIÓN DE LA SEÑAL{ } ( )kx x kT≡
TX(t) Bloq
X(t)
h(t)
jwkTd k( w ) x eχ
+∞−
−∞
= ⋅∑ jwtc( w ) x( t ) e dtχ
+∞−
−∞
= ⋅∫H( w )
No periódica
PeriódicaNo periódica
S. Híbridos
Ec. Fundamental
( ) ( )kk
x t x h t kT+∞
=−∞
= ⋅ −∑( ) ( ) ( )c dw w H wχ χ= ⋅
( ) ( ) ( )c ds s H sχ χ= ⋅
Bloqueador ideal Filtro de paso bajo
Tπ
Tπ−
idealH ( w )
oωoω−
1T
T 1
( ) ( )
1( ) ( )( )
( )
2 2
2 2
T Tjwt jwt
T T
t tj jT Twjwt T
wT
h t
T
TH w H w e dw e dw
T T e eejt t j
tsent T
π π
π π
π ππ
π ππ
π
π
π
π
−
− −
−
=
−=
= = = =
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
( )( ) sin( )( )k
k
T t kTx t xt kT T
ππ
+∞
=−∞
−= ⋅
−∑No causal!
Reg. Automática II 20
BLOQUEADORES POR INTERPOLACIÓN
Bloqueador de orden 0
(( 1) ) ( (( ), (( 1) ), , (( ( 1)) )x k T f x kT x k T x k n T+ = − − −Interpolación de orden n
Mejor polinomio que pasa por la muestra actual y las anteriores
kδ 1 h(t)
T 2T
01 1( ) 11 sT sTH s ee
s s s−−= − = ⎡ ⎤−⎣ ⎦
Bloqueador de orden 1
kδ 1h(t)
T 2T2
1 2
2
2 2
22
1 1 1 1 1 2 1 1( ) ( )( ) ( )
1 1 1( )
( )
1 1
sT sT sT
s TT
T ss
e e es s T s T s T s
e
H s
sT eTT s
es s
− −
−−
−
−
= + −
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣
−
+ + =⎦
− +
Reg. Automática II 21
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
Un sistema es estable si ante cualquier entrada acotada la salida es acotada
Definición laxa
Corolario (I) LTI
k
kk
Estabilidad g=+∞
=−∞
⇔ < ∞∑Serie formada por la secuencia ponderatriz es absolutamente sumable
Corolario (II) LTI
lim 0kkEstabilidad g
→∞⇒ =
Ante entrada pulso discreto la salida tiende a 0
Definición general
Un sistema es estable si ante cualquier entrada acotada todas sus variables están acotadas
11 22
kk
k
g ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
21 22
kk
k
g ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2122k k
k
g g ⎛+ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1 1 2
2 2.5( )1 2.5
zG zz z
−
− −
−=
− +1
2 1 2
1.5( )1 2.5
zG zz z
−
− −
−=
− +
1 2( ) ( ) ?G z G z+ =
Prob. de def. laxa
Reg. Automática II 23
ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS (II)sTz e=
−∞
−∞
Tπ
Tπ−
Plano S
sTz e=
Plano Z
1
1
0T semiplano S negativo→
Un sistema con función de transferencia G(z) es estable si sus polos se encuentran dentro de la
circunferencia de radio unidad
Reg. Automática II 24
EJERCICIOS DE ESTABILIDAD (II) (Examen)
2( )2
zG zz
=−
Razónese sin realizar ningún cálculo previo acerca de lacausalidad, retardo y estabilidad del sistema. Determine a) elvalor inicial y final ante entrada escalón unitario; b) la ecuaciónen diferencias que caracteriza el sistema; c) Termino general de lasalida ante entrada escalón unitario
Un sistema G responde ante una secuencia escalón unitario{1k} con la secuencia {0,1,4,4,4…}.
a) Determine la ecuación característica del sistema (G(z))
b) A partir de la ecuación característica (obtenida en el apartado anterior) determine la ecuación en diferencias que representa al sistema
c) Obtenga la secuencia de ponderación del sistema a partir de G(z). Calcule por convolución la respuesta ante entrada {1k}.
Reg. Automática II 25
CRITERIO DE JURY Método algebraico
11 1 0
220 0,( ) n n n
in nap z z a z a z a z aa a− −−= + + + + > ∈+
Tabla de Jury
Z0 Z1 Z2 …. Zn-1 Zn
an an-1 an-2 a1 a0
a0 a1 a2 an-1 an
bn-1 bn-2 bn-3 b0
b0 b1 b2 bn-1
… … …
k0 k1 k2
Polinomio dato
Rellenar filas pares primero
Última fila de la tabla: 3 coeficientes
(Pol. segundo orden)
( 1)
1
n n kk
o k
a ab
a a− +
+
=
Aplicación
2 1( ) 22
p z z z= + −
0 1 211 22
k k k= = = −
Reg. Automática II 26
CRITERIO DE JURY1
1 1 02
20 0,( ) n n nin nap z z a z a z a z aa a− −
−= + + + + > ∈+
Las raíces de un polinomio de coef. ctes. están dentro de el círculo unidad si y sólo si:
1) 0na a< Término indep. < Término en zn
2) (1) 0p >
4) 1 0 2 0 2 0n nb b c c k k− −> > >…
Aplicación
2 1( ) 22
p z z z= + − 0 1 211 22
k k k= = = −0( 1)
0si n par
psi n impar
>⎧− ⎨<⎩
3) FUERA CIRCULO UNIDAD!
Reg. Automática II 27
EJERCICIOS - JURY
G( z ){ }ku
-
{ }kyK
A) 2
1( )0.5 0.5
G zz z
=+ −
Hallar los valores de K para que el sistema realimentado sea estable en los siguientes casos
2( ) 0.5 0 0 1. 55 .cp z z kz k= + − < <+
B) 2( )0.5 0.5
zG zz z
=+ −
2( ) (0.5 ) 0.5cp z z k z= + + − ∃k
2
2( )0.5 0.5
zG zz z
=+ −
C) 2( ) ( 1) 0.5 0.5cp z k z z k= + + − ∀
Polos:-1,.5
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
G
G
c
N z K N zD z D
p
z
z D z N z
= ⋅=
= +( ) ( )( ) ( )1 ( ) ( )
( ( ))( )( ) ( )
( )c
kG z N zM z G zkG z D zkN zM z
Dp D z k
z kN zN z
= =+
= = + ⋅⇒+
Reg. Automática II 29
SOLUCIÓN (II) - JURY
3 21 1( ) (
1( ) ( ) ( 1)( 1)( )2
) ( ) ( 1)2 2c
N z z D
p z D z K N z z z z
z z z
k
z= = − + −
= + ⋅ = − + − +
Z0 Z1 Z2 Z3
1/2 (k-1) -1/2 1
1 -1/2 (k-1) 1/2
b2 b1 b0
b0 b1 b2
0
1 1 321 412
kb k
−= = − +
−
2
1 1 321 412
b = = −
Tabla de Jury
Criterio de Jury
1)1 12<
2) (1) 0 0p k k= > ⇒ >
( 1) 0 0p k k− = − < ⇒ >3)
0 23 34 4
b b k< ⇒ − + <4)
303 3 3) 0 (1) 0 0 (2) (1) (2)4 4 4 4
ka k k k k De y− + > − + < ⇒ − < < <⇒ >
3 3 3 3) 0 (1) (2) (1) (2)4 4
3 34 24 2
b k k k De y k− + < − < ⇒ < < <
302
k< <SOLUCION
Reg. Automática II 30
EQUIVALENTE DISCRETO DE UN S. CONTINUO
Bloq. G(s) T
S. Discreto Eq.
{ }kx { }kyX(t) y(t)
{ }kx { }ky
( )kB G z
1( ) ( )
1( ) Re ( ) ( )1
k
k k pTpolos B s G s
B G z s B s G se z−
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦∑
GRADO DENOMINADOR B(s)G(s)> GRADO NUMERADOR B(s)G(s)
Reg. Automática II 31
EJERCICIOS
1( ) ( )
1( ) Re ( ) ( )1
k
k k pTpolos B s G s
B G z s B s G se z−
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦∑
Eq. Discreto
A) ( ) ( ) ( )kbF s B s G s
s a= ⋅ =
+ 1 1
1( ) Re [ ]1 1pT aT
p aTaT
b b bZ ss a s a e z e z
bzz e− − −
=−−= ⋅ = =
+ + −− −∑
B) 0 ( ) / ( ) bB s G ss a
=+
0 1 1
0 0
1 1 11
1 1
1
1
1
1
1 1 1( ( ) ( )) Re [ ] ( ) Re [ ]1 ( ) 1
1 1 1 1 1(1 ) 11 1 1 1
1sT
pT pTTp a p ap p
aT
aT aT aT
e b bZ B s G s s ss s a e z s s a e z
b b b z b e z zza z a e z a e z a
z
z
be z
−
− −=− =−= =
− − − −−
− − − − − −
−
−
−
−⋅ = ⋅ = ⋅ =
+ − + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ − − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅ = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−∑ ∑
1
11
aT
aT
ea e z
−
− −
⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦
Mismo polo
01( ) / ( )B s G ss
=C)
1T
z −1 1
0 2 10
10
1 1 1( ( ) ) (1 ) Re (1 )1
11 sTsT
pT s
dds e z
Z B s z s zs s e z
− −−
=−
=
⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⋅ = − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎛
−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠∑
Reg. Automática II 32
EQUIVALENTE DISCRETO DE UN S. CONTINUO
1 20.5 0.05
1( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))2 0.37 0.
0.319
6 0.0
048T s T s
F s G z Z F s G z Z F ss z z= =
= = = = =+ − −
2 ( )G z
1( )G z
Respuesta Escalón
1er Orden
Comando MATLAB
c2d (F(s),T,’zoh’)
c2d (F(s),T,’foh’)
1 aTb ea
−⎡ ⎤−⎣ ⎦BLOQUEADOR DE ORDEN 0
Reg. Automática II 33
EJERCICIOS Eq. Discreto
Bo(s) T
{ }kx { }kyx(t) y(t)Gc(z)
{ }ku
Hallar el equivalente discreto U-Y teniendo en cuenta que el algoritmo de control U-X es tal que la salida es igual a la entrada en ese ite. más la salida en el instante anterior por 1/2
a) Equivalente discreto X-Y
10 1 52
0,020 5
0,235 5 1 1( ( ) ) (1 ) Re [ ]2 ( 2) 1
80,905
aT
pT aT bpT ap T s
b eZ B s z ss s s e z a z e z
−−
− − ==− == =
⎡ ⎤−⋅ = − ⋅ = =⎢ ⎥+ + −− −⎣ ⎦
∑
52s +
0, 510
0T sgτ≅ =
b) Eq. de control
{ } { } { }11
1 ( ) 11 12 ( ) 12 2
k k kX z zx u xU z z z
−−
= + ⇒ = =− −
00,238( ) ( ) 1( )( 0,905)
2
czG z B G z
z z⋅ =
− −
5 1 0 9052
( , )−
Reg. Automática II 34
ARQUITECTURA DE CONTROL
BK(s) G(s)
T
{ }kx { }kyx(t) y(t)Gc(z)
{ }ku
H(s)
T-
{ }kyPC
Alg. Control SWRealim. serie
PCPLANTA
G(s)
BK(s)
H(s)T
Alg. Control SW
{ }ku { }kx
C. D/A
C. A/D Captador
Señal de control
{ }ky
C.A/D
Mux.
Reg. Automática II 35
EQUIVALENTE DISCRETO S. REALIMENTADOS
BK(s) G(s)
T
{ }kyx(t) y(t){ }ku
H(s)
T-
{ }ky
Realim. serie
kB G( z )
kB GH( z )
1k
k
Y( z ) B G( z )M( z )U( z ) B GH( z )
= =+
cG ( z )
Si existe compensador Gc(z)
1c k
c k
Y( z ) G ( z )B G( z )M( z )U( z ) G ( z )B GH( z )
= =+
Cad. Abierta
Cad. Directa
Si H(s)=1 existe una rep. gráfica equivalente kB G( z )
{ }ku
-
{ }ky
1k
k
B G( z )M( z )B G( z )
=+
Reg. Automática II 36
DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS Función de transferencia conocida
• Respuesta genérica de un sistema ante entrada impulso
Polos reales simples
Un par de polos complejos
• Respuesta genérica de un sistema ante entrada escalón
Polos simples
Un par de polos complejos
-Enlace con sistema continuos muestreados: Ábacos
( )( )( )
P zG zQ z
=
Reg. Automática II 37
MODOS TRANSITORIOS ANTE ENTRADA IMPULSO
( )( )( )
P zG z KQ z
= { }1 1
1( ( ))
Nn
n r r rr
Z G z g K a P a− −
=
= = ∈∑Residuos
( )( )
r
rr
P
P Pa
dQ zdz
=
P1
P2
1α
2α
1β1d
2d3d
21
1 3
dad d
=
1 1 1 2( )a β α α∠ = − +
Polos reales simples ,r rP a ∈ℜ
1rP > Progresión geométrica creciente
0rP < Progresión geométrica signo alternado
Polos complejos ,r rP a ∈
{ } 112
1
( )2 (( 1) )
'(cos
)n r
n r r r rr r
nr
P Pg K a P K n P a
Q PP −−
=
= = − ∠ +∠∑
El grado de amortiguamiento depende de (n-1)
Frecuencia de la senoide depende de (n-1)
( ) ( )r
r ii rP
dQ z p pdz ≠
= −∏
Reg. Automática II 38
MODOS TRANS. ANTE ENTRADA ESCALÓN ( )( )( )
P zG z KQ z
=
{ }1 1( )( ( )) Re [ ]1 ( )
nn r
polos
z P zZ G z y K s z az Q z
− −= = ⋅ ∈−∑
Polos reales simples ,r rP a ∈ℜ
1rP > Progresión geométrica creciente (S. Inestable)
0rP < Progresión geométrica signo alternado
Polos complejos ,r rP a ∈
{ } ( )(1) 2 cos( )(1) ( 1) '( )
nrn r r r
r r
P PPg K K P P aQ P Q P
n= + ∠ +∠−
El grado de amortiguamiento depende de n
Frecuencia de la senoide depende de n
{ }1
(P )(1) ( ) (1)Re [ ](1) ( 1) 1( ) (1) ( ) '( )
Nn r
n rpolos
n
rrr r
PP P z Py K K s z K K PQ P PQ z Q Q P= −
= + = +−∑ ∑
Residuo de l polo en z=1
1 11
P( )y K G( )Q( )∞ = =
{ }1
11
N
n r rr
nP( )y K K a PQ( ) =
= + ∑( )
( 1) '( )r
rr r
P Pa
P Q P=
−
Reg. Automática II 39
RESPUESTA 1er ORDEN ANTE ENTRADA ESCALÓN
A)
bG( z )z a
=−
{ }kx { }ky a,b∈
0a∈ℜ >
{ }1
111 1 11 1
n n n
npolos p a
p
nb z z ay Res[ ( )] b Re s[ )] b[ ]z a z ( z )(
b [ a ]az a ) a a=
=
= = = + =− − − − −
−−−∑ ∑
1b zy( z ) ( )
z a z=
− −
{ }1
11
N
n r rr
nP( )y K K a PQ( ) =
= + ∑
Ejercicio0 0 1
1by y G( )
a∞= = =−
10 8
G( z )z .
=−
B) 0a∈ℜ < { } 11n
nb [ a ]a
y −−
=
Alterna signo
b
1 0 551 1 0 8
b .a ( . )= =
− − −
10 8
G( z )z .
=+
S ZTπ
Tπ−
j
σ-1
Teσ
2ºOrden!
Pico de oscilación
1
1
p
bba a
a
M b
−−= =
−
−
Tanto por uno
Reg. Automática II 40
RESPUESTA 2º ORDEN ANTE ENTRADA ESCALÓN22 2
KG( z )z ( P cos )z Pφ
=− +
{ }kx { }ky
1
γ1P −
θ
P P
S
σθ
P
P
dW ZTeσ
dW Tθ = ⋅
Pd( W j )TsTz e e σ + ⋅= =
1
γ 2π γ π≤ ≤
dW φ→
( 0,707)stπ ξσ
<
Plano S
rd
tWπ θ−
=
pd
tWπ
=
tan( )pM e
πφ
−
=
Plano Z
r rn qγφ
= +
p pn qπφ
= +
(0 1( ), )i i iq q n≤ ≤ ∈ ∈
s sn qπσ+
pnpM e p
πσφ= =
Sin redondear
Reg. Automática II 41
RESPUESTA 2º ORDEN ANTE ENTRADA ESCALÓN22 2
KG( z )z ( P cos )z Pφ
=− +
{ }kx { }ky
1
γ1P −
θ
P P
Plano Z
3r rn qγφ
= + =
5p pn qπφ
= + =
11s sn qπσ+ =
0.25pM eπσφ= =
0 5 1P . ( j )?= ±
21
21
2 +−=
zz)z(G
Reg. Automática II 42
LUGARES GEOMÉTRICOS
Plano S
r rn qγφ
= +
2ºOrden
22 2KG( z )
z ( P cos )z Pφ=
− +{ }kx { }ky
1rn =
2rn =
3rn =
4rn =
P
PP
p pn qπφ
= +
Plano S
2pn =3pn =
4pn =
sin( ) 1
s rn qπσγ
+
≅
=pM ↑
Plano S
, snσ ↑ ↓
pM ↑
pM ↑sn ↑ sn ↑ r
p
n
n
↑
↑RESUMEN
pnpM P e
π σφ⋅
= =sn ↑
1pn =
1γ
1P −θ
P P
Reg. Automática II 43
SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTE (I){ }
1
11
N
n r rr
nP( )y K K a PQ( ) =
= + ∑(
'( )1P )
( )r
rr
r
PaQP P
=−
( )( )( )
P zG z KQ z
={ }ky{ }kx
1
1
( )( )( )( ) ( )
m
kkn
rr
z zP zG z K KQ z z p
=
=
−= =
−
∏
∏1
1 1 1
( )...( )(P )( ) '( ) ( )( )...( )(1 1 )...( )
r r mrr
r r r r r r r nr r
p z p zPaQ P p p p p p pP p p p− +− −
− −= =
− − − −
Reducción par polo-cero ( , )i jp z
0 0i ijp az → ⇒ →−Se puede eliminar el modo i
siempre que no afecte demasiado a los otros coef. ar
VALIDEZ (conservar ar)
/ra r i∀ ≠11
j r j
i r i
z p zp p p
− −
− −
Pr
1d3d4
d2d1 32
1 4
ddd d
izjp
( )( ) ))
11
((
i
j
j
i
z pG z Gzp
zz z−
=−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎣ ⎦−REDUCCIÓN
(1) (1)G G=
D
0D mejor aproximación→
Reg. Automática II 44
SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTE (II)
Reducción polo cercano al origen
{ }1
11
N
n r rr
nP( )y K K a PQ( ) =
= + ∑(
'( )1P )
( )r
rr
r
PaQP P
=−
( )( )( )
P zG z KQ z
={ }ky{ }kx
1
1
( )( )( )( ) ( )
m
kkn
rr
z zP zG z K KQ z z p
=
=
−= =
−
∏
∏
1
1 1 1
( )...( )(P )( ) '( ) ( )( )...( )(1 1 )...( )
r r mrr
r r r r r r r nr r
p z p zPaQ P p p p p p pP p p p− +− −
− −= =
− − − −
Se puede eliminar el modo isiempre que no afecte
demasiado a los otros coef. ar
1 0niip para n bajop − ><< ⇒
( ) ( ) ( ) 1 11 i
iG z zp
p G zz
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦
= −REDUCCIÓN
1 1 1 /1 r
r i r i
a r ip p p p
∀ ≠− −
Validez (conservar ar)Pr
1
r ip p−rp
ip
(1) (1)G G=
Aplicación
1
ba
1( )( )( )
G zz a z b
=− −
2519090
11
1123180
119010 ..x.ab
..ab
.b.a ≅=−
⋅≅=−
==
Reg. Automática II 45
EJERCICIOReducción S. Eq.
Hallar el sistema equivalente reducido de
2
3( 0.55)( 0.5)( )( 0.5)( 0.1)( 0.5)
z zG zz z z z
− +=
+ + + −
2
0.45 1 0.5( ) 30.5 1.1 ( 0.5)
zG zz z z
+= ⋅ ⋅
+ +
( )G z
( )G z
0.55 10
1) 2.5 0.1
)zz z−− +
Reducción
Reg. Automática II 46
EJERCICIO
2( 1)( 0.5)z
z z z− − +K-
+
1)Valores de K que hacen estable el sistema
2)Sistema equivalente de orden reducido para
3)Valores nr,np, ns, Mp del sistema reducido
4)Estimar si la aproximación es válida y calcular npy Mp del sistema total
{ }kx { }ky
25.1maxKK =
1: (1 ), 12
Polos j±
Reg. Automática II 47
ERRORES EN RÉGIMEN PERMANENTE
-+{ }kx { }ky
G(z)E(z) )(
)(11)( zX
zGzE
+=
1
1
1lim(1 ) ( )1 ( )k
e z X zG z
−∞ →= −
+
Secuencias de prueba
{ } { }1 ( )1k k
zx X zz
= =−
{ } { } { } 2( )( 1)k k
zx r kT X z Tz
= = =−
{ } { }2
23
1 ( 1)( ) ( )2 2 ( 1)k k
T z zx P kT X zz+⎧ ⎫= = =⎨ ⎬ −⎩ ⎭
ORDEN DE UN SISTEMA DISCRETONúmero de polos en z=1
Constantes de error
1
1 lim ( )1p p z
p
e k G zk →
= =+
1lim( 1) ( )v v z
v
Te k z G zk →
= = −
22
1lim( 1) ( )a a z
a
Te k z G zk →
= = −
Realimentación unitaria
Cad. abierta
Reg. Automática II 48
DISCRETIZACIÓN DE REGULADORES CONTINUOS
Discretización: Dada una función de transferencia de un sistema continuo R(s), encontrar la del sistema discreto R(z) que haga que los sistemas A y B sean equivalentes
( )G sR(z)-
+{ }kx ( )y t
T
( )B s
( )G sR(s)-
+( )x t ( )y t( )G sR(z)
-
+( )x t ( )y tT B(s)
R(z)=?
R(s)( )x t ( )y t
A
R(z)T B(s)( )x t ( )y t
B
Reg. Automática II 49
APROXIMACIÓN DE LA EVOLUCIÓN TEMPORAL
Aproximación ante escalón 11 1( ) (1 ) (1 1( ( )) ( )
1( ))RZ R s R z s
sz z Z R
sz−−== ⇒
−−
11
0
1( ) (1 ) Re( ) 1 sT
ss b
s aR z z A ss s b e z
−−
==−
⎡ ⎤+= − ⋅ =⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
∑1
1
( )( )1
bT
bT
A b a b ae zR zb e z
− −
− −
⎡ ⎤+ − −= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
2( ) 50.4
sR ss+
=+
0.52( ) 5 0.250.90
zR z T sz−
= =−
B0(s)R(z)T B(s)( )x t ( )y t
R(z)T B(s)( )x t ( )y t
T
Bloqueador ficticio( )R s
Aproximaciones de orden mayor
2
21 2(1 ) (1 )( ) ( ( )) (1 )(1 ) ( ( ))
sTsT eR z Z R sT s
sTz Z R sTs
−− +
−⎡ ⎤+ −
= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) s aR s A
s b+
=+
Ejercicio
( ) s aR s As b+
=+
Ejercicio
Reg. Automática II 50
DISCRETIZACIÓN POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Aproximación operador derivada 1( ) k k
t kT
x xdx tdt T
−
=
−
2( 1) 1 1 2 1 2
2 2 2
( ) ( ) 2t kT t k T k k k k k k k
t kT
dx dxdt dtd x t x x x x x x x
dt T T T= = − − − − − −
=
−− − + − +
= =
Aplicación
( ) ( )( ) ( )dy t dx tb y t A a x tdt dt
⎡ ⎤+ ⋅ = + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦1
1
(1 )( )( )( ) 1
A aT zY zR zX z bT z
−
−
⎡ ⎤+ −⎣ ⎦= =+ −
2( ) 50.4
sR ss+
=+
6 5( )1.04 1
zR sz−
=−
S
( )dx tdt( )x t { }kx
( )
t KT
dx tdt =
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭-11 - z
T
1
( )( ) 1
W z TX z z−
= =− -1
1 Ts 1- z
El regulador discreto será estable si el regulador continuo también lo es
Hay que comprobar siempre la estabilidad del nuevo sistema
( ) ( )t
o
w t f t dt= ∫
10
k
k k k ki
w Tx w Tx−=
= = +∑
T 2T 3T 4T
( )f t
Aprox. Integral
Reg. Automática II 51
DISCRETIZACIÓN POR INTEGRACIÓN TRAPEZOIDAL
T 2T 3T 4T
( )f t
Aprox. Trapezoidal
El regulador discreto será estable si el regulador continuo también lo es
Hay que comprobar siempre la estabilidad del nuevo sistema
11 1( ) ( )
2 2k k
K k k k kx x TA t t x x−
− −
+= − = +
1 11 1( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
2 2k k k kT Tw w x x W z z W z X z z X z− −
− −= + + ⇒ = + +
1/S( )x t dt∫( )x t { }kx { }( )
t KTx t dt
=⋅∫
⋅-1
-1
T 1+ z2 1- z
2( ) 50.4
sR ss+
=+
5.5 4.5( )1.02 0.98
zR zz−
=−
Reg. Automática II 52
REGULADORES PID DISCRETOS( ) 1( ) ( ) ( )
t
di o
de tx t K e t T e ddt T
τ τ⎡ ⎤
= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
1
0
kk k
k k d jji
e e Tx K e T eT T
−
=
⎡ ⎤−= + +⎢ ⎥
⎣ ⎦∑
11 2
1 10
kk k
k k d jji
e e Tx K e T eT T
−− −
− −=
⎡ ⎤−= + +⎢ ⎥
⎣ ⎦∑
1 1 2(1 ) ( 1 2 )d d dk k k k k
i
T T TTx x x K e e eT T T T− − −
⎡ ⎤Δ = − = + + + − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
-
0 (1 )d
i
TTq KT T
= + +
1 ( 1 2 )dTq KT
= − −
2dTq K
T=
11 0
0( )
2
kk k k
k k d jji
e e e eTx K e T eT T
−−
=
⎡ ⎤− += + + +⎢ ⎥
⎣ ⎦∑
21 2 0 1
1 10
( )2
kk k k
k k d jji
e e e eTx K e T eT T
−− − −
− −=
⎡ ⎤− += + + +⎢ ⎥
⎣ ⎦∑
-
1 1 2(1 ) ( 1 2 )2 2i
d d dk k k
ik k
T T Tx x x K e e eT
TT T
TT T− − −
⎡ ⎤Δ = − = + + + − − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
0 (1 )2
d
i
TTq KT T
= + +
1 ( 1 2 )2
d
i
T Tq KT T
= − − +
2dTq K
T=
1 20 1 2
1
( )( )( ) 1
q q z q zX zR zE z z
− −
−
+ += =
−
Aproximación Int. trapezoidal
= ⋅-1
-1
2 1 - zT 1+ z
s
Aproximación Op. Derivada
=-11 - z
Ts
d iT T T<< <<
Cuanto mas se verifique esta desigualdad menor diferencia entre comportamientos de aprox. derivada y trapezoidal