SISTEMAS DISCRETOS SISO - BIENVENIDO A LA … · xZyZx y. kk k k} += + { } [] { } { } D.C. al menos...

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  • Reg. Automtica II 1

    SISTEMAS DISCRETOS SISOCurso 10/11

    Coordinador: Prof. Roberto Gonzlez

    Profesor: Pablo San Segundo

    Despacho: C-206

    Tutoras: Lunes 15:30h-17:30h

    Martes 10:00h-12:00h

  • Reg. Automtica II 2

    TRANSFORMADA Z

    { } /k kx x { }( )k

    kk k

    kz Z x x z z

    =+

    =

    = =

    { }0

    1kk kZ z +

    = =

    { } 1 2 10

    1

    11 1 11 1

    kk k

    zZ u u z z z z zz z

    +

    = = + + + = = < >

    { }0

    1 11

    0

    1( ) 11 ( )

    k k k k zZ a a z a z a z z aa z z a

    + +

    = = = = < >

    0

    ( )n

    nn

    n

    S z a Z=+

    =

    = Si converge, converge absolutamente

    Dominio de convergencia es el interior de una bola

    0

    ( ) nn

    nn

    S z a Z=+

    =

    = Serie de potencias de trminos negativosDominio de convergencia es el exterior de una bola

    Ejercicios

    Transformada Z con slo trminos k positivosControl

    Dominio de convergencia

  • Reg. Automtica II 3

    PROPIEDADES DE LA TRANSFOMADA Z

    Linealidad

    { } { } { } { }[ ]k k k kZ x Z y Z x y + = +

    D.C. al menos la interseccin de ambos dominios pudiendo ser el mayor

    Desplazamiento

    { } { } ( )n nk n kn Z x z Z x z X z = = { } { }(( ))k n nk k k

    k n k n nk n k n k n k n

    kk

    kn

    kZ x x z z x z z Zx z z x

    =+ =+ =+

    = = =

    = = = =

    Multiplicacin por sucesin de potencias

    { } { }1( ) ( )k k kZ a x X a z donde Z x X z= =

    { } { } { } { }2 1 2 [ ] ?k kk k k kx y Z x y= = + =Ejemplo

    { } 1 1( ) ( )k k

    k k k kk k k

    k kZ a x a x z x a z X a z

    =+ =+

    = =

    = = =

    { }1

    11( )1 1ku k

    z a z zX Z u X a zz a z z a

    = = = =

    Aplicacin

    { } { } 1( )k

    k kk uZ a Z a u X a z

    = =

    , 0z a a> >

    D.C.Trminos negativos

  • Reg. Automtica II 4

    PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z

    Diferenciacin

    { } { }1 1( ) k k kd X z z Z r x z Z k xdz

    = = Vlido en el dominio de convergencia

    { }1 1 1( ) ( )k k k k

    k k k kk k k k k

    k k k k

    d d dX z x z x z x k z z k x z z Z k xdz dz dz

    = = = =

    = = = =

    = = = = = Demostracin

    Aplicacin { } { } { } ?k kZ r Z k u Z k= = =

    { } { } { }2 21 1 21 1( ) ( )

    1 ( 1) ( 1)( 1)ku k k kd d zX z z Z k u z Z k u zZ k udz z z z z zd

    = = = = =

    Convolucin discreta

    { } { }n n

    k k k n k n n k nn n

    h x y x y y x=+ =+

    = =

    = = =

    0 0 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 1 0 2h x y h x y x y h x y x y x y= = + = + +

    { } { }( ) ( ) ( )k kZ x y X z Y z =

    Mtodo de la malla

    0x

    0h

    Interpretacin grfica?

  • Reg. Automtica II 5

    PROPIEDADES DE LA TRANSFOMADA Z

    Tma del valor inicial Secuencias ndices positivos

    0 lim ( )zx X z=Como los dominios de convergencia son del tipo la expresin es vlida siemprez >

    01( ) ( ) ?

    1 1zX z X z x

    z z= = =

    Aplicacin

    Tma del valor final Secuencias ndices positivos

    1

    11lim( ) ( )z

    x z X z =0

    lim ( )s

    s F s

    Sistemas continuos

    Aplicable en el dominio de convergencia

    Aplicaciones1( ) ( ) ?

    1 1zX z X z x

    z z = = =

    ( ) ?

    8zX z x

    z = =

    . 8!!!Dom Convergencia z >

  • Reg. Automtica II 6

    ANTITRANSFORMADA ZResiduos

    { }11 1

    2 2

    k

    kk

    Cpolos

    polosC

    Sea X( z ) Z x

    x X( z ) z dz F( z ) Re sdzj j

    [ F( z )]

    =

    = = =

    Camino debe englobar todos los polos de F(z)

    AplicacinzX( z )

    z a=

    Repaso T de Residuos

    a

    f ( z )analtica z a < +

    Cf ( z )Re s [ ] f ( a )z a

    =

    2C z af ( z ) dRe s [ ] f ( z )| f '( a )

    ( z a ) dz == =

    111

    n

    C z an

    f ( z ) dRe s [ ] f ( z )|( z a ) ( n )! dz

    ==

    Polos mltiples

    Aplicacin 3Cf ( z )Re s [ ] ?

    ( z a )=

    3

    12C

    f ( z )Re s [ ]( z a

    f ' ))

    '( a=

    { }1k

    k

    p a

    z zZ ( ) Re s( ) az a z a

    =

    = =

    121

    zZ ( ) ?( z )

    =

    { }1 21zZ ( )

    ( z )k =

  • Reg. Automtica II 7

    ANTITRANSFORMADA ZDivisin larga Secuencia de trminos positivos (k>0)

    Divisin de trminos en potencias de z-1

    Aplicacin 5 3 2zX( z )

    ( z )( z )=

    2 11 1 2 3

    2 1 15 5 5 5 193 2 1 3 1 2z z zX( z ) ( z z z )

    ( z )( z ) z ( z )( z )

    = = = + + +

    53 2

    zX( z )( z )( z )

    = Aplicacin

    3 3 2523 2 3 2 3 2

    Az A B X( z )B( z )( z ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z )

    = = + = =

    { } { }1 1 10

    5 3 3 23 2253 2

    k k

    kXX( z )

    ( z ) ( z)

    )( z

    = =

    Linealidad

    Descomposicin en fracciones simples + Linealidad

    Dom. convergencia?

    1( ) ( ) ?1

    zX z X zz

    = =

  • Reg. Automtica II 8

    SISTEMAS DISCRETOS

    { }kx { }ky{ }kg{ }kg Secuencia de ponderacin

    Convolucin

    { } { } { } ( ) ( ) ( )k k k Y z G zg Xy x z= = { }kg Secuencia salida ante

    entrada { }k

    Secuencias fundamentales para control

    { } { } { }1,0,0 1, kk Z = =

    { } { } { } { } { } { }1111,1,1, 0,

    11,1,

    1k kk kzZ u Z u

    zu u

    z = =

    = =

    { } { } { } { } 20,1,2,3, ( 1)kkzZ r

    zr k =

    = =

    { } { } { } { } { }2 30,1,4,9,16 ( 1)( 1)kk kz zr pk Zp kz

    = =+

    = =

    Aplicacin

    { } { } { } { } { }2,2,1 0,1,2,1,0,0, ?k k kx g y= = =

  • Reg. Automtica II 9

    SISTEMAS DISCRETOS{ }kx { }ky{ }kg

    { } { } { } { } { }2,2,1 0,1,2,1,0,0, ?k k kx g y= = =

    Convolucin

    0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 00 2 6y x g y x g x g y x g x g x g= = = + = = + + =

    Aplicando definicin convolucin { } { }n n

    k k k n k n n k nn n

    y x g x g g x=+ =+

    = =

    = = =

    Sumas desplazadas { } { } { } { }0 1 1 2 2k k k ky x g x g x g = + + +

    { }{ }{ }

    2 0,1,2,1,0,0,0,

    2 0,0,1,2,1,0,0,

    1 0,0,0,1,2,1,0,

    +

    +

    0x

    1x

    2x

    { } { }0,2,6,7,4,1,0,ky =Malla

    { } { }0,2,6,7,4,1,0,ky =112102242022420

    1210

    { }kg

    { }kx

  • Reg. Automtica II 10

    SISTEMAS DISCRETOS-ECUACIONES EN DIFERENCIAS{ }kx { }ky{ }kg

    1 2 1 2( , , , , , , , , )k k k n k k k mk ky f y y y x x x x =

    Causalidad Ec. En diferencias

    Sistemas LTI

    1 1 2 2 0 1 1( ) k k k n k n k k m k mI y a y a y a y b x b x b x + + + + = + + +Tomando transformada Z en (I) a cada lado y aplicando

    linealidad y desplazamiento

    1

    1 20 1 2

    1 21 2

    2 11 2 0 1

    ( )(

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    1)

    m

    n

    m

    n m

    nn

    mY z a z Y z a z Y z a z Y z b X z b

    Y z b

    z

    b z b z b zX z a z a z a

    X z b

    z

    z X z

    + + + +=

    + + +

    + + + + = + + +

    +

    Expresiones cannicas de sistemas discretos fsicamente realizables

    1 1 2 102 11 k k k n k n k k m k my a y a y a y x xb b b x + + + + = + + +

    0 0,n ma a b b ctes

  • Reg. Automtica II 11

    RETARDO DE UN SISTEMA DISCRETO{ }kx { }ky{ }kg

    1 2 1 2( , , , , , , , , )k k k n k k k mk ky f y y y x x x x =Ecuacin en diferencias

    Diferencia de ndices de mayor grado entre entrada y salida

    Forma cannica

    ndice de la primera potencia del numerador

    Expresin en potencias de Z

    Diferencia de grados entre denominador y numerador

    Aplicacin{ }kx { }ky

    1z

    z

    Forma cannica:1

    11 z

    Ec. en diferencias: 1k k ky y x =

    Sistemas causales

  • Reg. Automtica II 12

    EJERCICIOS Junio 2006

    Soluciones

    1. S. El sistema se puede pasar a la forma cannica de la Ec. en diferencias

    2. El retardo es la unidad

  • Reg. Automtica II 13

    SISTEMAS MUESTREADOS

    Transformadas discretas

    { } { } { } )( ) (j sw Z ejwkk skkkk kZ ke s jwk F x L x s xw x ex eZ x Z +

    == +

    +

    +

    = = = = ==

    Zeta Fourier Laplace

    2wT =

    Muestreo de seales continuas con periodo T

    { } { } { }) ( )(j swT T Z ejw kk k s j s kk kZk e wk Tk L x LZ F x F wx x Z sx e x e++

    ==

    +=

    = = = ==

    2wT T

    =

    2sT jT

    = +

    2sT j = +

    { } { }/

    /

    1( ) ( )2 /

    TjwkT

    kT kT

    x kT x x F w e dwT

    = = =

    Anti-transformada Fourier

    { }( ) T kTx t xjwtF( x( t )) f ( t )e dt

    +

    = { }kF x ?=

    Aplicacin

    { }{ } { }

    1 2

    ? ?

    1

    k k

    kZ z z

    x x

    x

    F L

    = + + +

    = =

  • Reg. Automtica II 14

    TEOREMA FUNDAMENTAL DE MUESTREO (I){ } ( )kx x kT

    TX(t)

    jwtc( w ) x( t ) e dt

    +

    = jwkT

    d k( w ) x e+

    =

    Relacin entre transformadas de Fourier contnua y discreta

    d c x( kT )( w ) ( w )| =Razonamiento{ }

    /

    /

    ( ) ( )2

    TjwkT

    k dT

    TII x w e dw

    =

    1 11 12 2

    kTt k

    jwt jwc c x( cT )kT( I ) x( t ) ( w ) F( w ) e dw x( ) ( w )| ( w ) e dw

    + +

    == = = =

    { }/

    /

    1( ) ( ) ( )2 2

    TjwkT jwkT

    k d cT

    TIII x w e dw w e dw

    +

    = = 1 2( ) ( )

    r

    d cr

    rX w X wT T

    =+

    =

    = +

    T

    T

    d ( w )

    oo

    1T

    No peridica Peridica:2T

    T

    T

    c( w ) 1

    oo

    Tma de Shannon

    No peridica2TPeridica:

    NfFrec. de Nyquist (angular)

    Seal de banda limitada

  • Reg. Automtica II 15

    TEOREMA FUNDAMENTAL DE MUESTREO (II){ } ( )kx x kT

    TX(t)

    jwtc( w ) x( t ) e dt

    +

    = jwkT

    d k( w ) x e+

    =

    Tma de Shannon

    Si entonces se puede reconstruir la seal muestreada sin prdida de informacin

    o T =

  • Reg. Automtica II 16

    SELECCIN PERIODO DE MUESTREO(I){ } ( )kx x kT

    TX(t)

    Objetivos tericosT lo ms alto posible

    T cumpla Shannon (muestreo ideal)

    Eleccin del periodo de muestreo para seales

    A-Seal de banda limitada (wo)0

    2 2sf

    =

    B-Seal x(t) de banda no limitada

    2s

    ( HZ ) elegif f armnico de X( w ) X ( w ) F( x )d )o ( t= =

    No es posible, en general

    1T

    T

    T

    c( w ) 1

    oo

    T

    T

    d ( w )Aliasing

    5f ( t ) sen( t ) T ?= =Aplicacin

    0sf

  • Reg. Automtica II 17

    SELECCIN PERIODO DE MUESTREO(II){ } ( )kx x kT

    TX(t)

    Sistemas 1er Orden

    Sistemas

    Mnimo 30 muestras antes de estabilizacin 10T

    3 3 1330 10 10s

    K / ag(s) ts a a a

    T = = = = =+

    Demostracin

    Sistemas 20 Orden

    Mnimo 30 muestras antes de estabilizacin

    Mnimo 10 muestras por oscilacin

    110

    T

    5 dT

    W

    Demostracin 130 30 10s

    stt T

    2 210 10 5

    pp

    d d d

    tt T

    W W W

    110 5 d

    T min( , )W

    =

  • Reg. Automtica II 18

    EJERCICIOS Muestreo

    0,110

    T s =

    Polo Real Simple Parte oscilatoria2 0,05

    10 dT s

    W

    Junio 2007

  • Reg. Automtica II 19

    RECONSTRUCCIN DE LA SEAL{ } ( )kx x kT

    TX(t) Bloq

    X(t)

    h(t)

    jwkTd k( w ) x e

    +

    = jwtc( w ) x( t ) e dt+

    = H( w )

    No peridica

    PeridicaNo peridica

    S. Hbridos

    Ec. Fundamental

    ( ) ( )kk

    x t x h t kT+

    =

    = ( ) ( ) ( )c dw w H w =

    ( ) ( ) ( )c ds s H s =

    Bloqueador ideal Filtro de paso bajo

    T

    T

    idealH ( w )

    oo

    1T

    T 1

    ( ) ( )

    1( ) ( )( )

    ( )

    2 2

    2 2

    T Tjwt jwt

    T T

    t tj jT Twjwt T

    wT

    h t

    T

    TH w H w e dw e dw

    T T e eejt t j

    tsent T

    =

    =

    = = = =

    = = =

    ( )( ) sin( )( )kk

    T t kTx t xt kT T

    +

    =

    =

    No causal!

  • Reg. Automtica II 20

    BLOQUEADORES POR INTERPOLACIN

    Bloqueador de orden 0

    (( 1) ) ( (( ), (( 1) ), , (( ( 1)) )x k T f x kT x k T x k n T+ = Interpolacin de orden n

    Mejor polinomio que pasa por la muestra actual y las anteriores

    k 1 h(t)

    T 2T

    01 1( ) 11 sT sTH s ee

    s s s= =

    Bloqueador de orden 1

    k 1h(t)

    T 2T2

    1 2

    2

    2 2

    22

    1 1 1 1 1 2 1 1( ) ( )( ) ( )

    1 1 1( )

    ( )

    1 1

    sT sT sT

    s TT

    T ss

    e e es s T s T s T s

    e

    H s

    sT eTT s

    es s

    = +

    +

    + + =

    +

  • Reg. Automtica II 21

    ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS

    Un sistema es estable si ante cualquier entrada acotada la salida es acotada

    Definicin laxa

    Corolario (I) LTI

    k

    kk

    Estabilidad g=+

    =

    < Serie formada por la secuencia ponderatriz es absolutamente sumable

    Corolario (II) LTI

    lim 0kkEstabilidad g =

    Ante entrada pulso discreto la salida tiende a 0

    Definicin general

    Un sistema es estable si ante cualquier entrada acotada todas sus variables estn acotadas

    11 22

    kk

    k

    g = +

    21 22

    kk

    k

    g =

    1 2122k k

    k

    g g + =

    1

    1 1 2

    2 2.5( )1 2.5

    zG zz z

    =

    +1

    2 1 2

    1.5( )1 2.5

    zG zz z

    =

    +

    1 2( ) ( ) ?G z G z+ =

    Prob. de def. laxa

  • Reg. Automtica II 22

    EJERCICIOS DE ESTABILIDAD Aplicando definicin

  • Reg. Automtica II 23

    ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS (II)sTz e=

    T

    T

    Plano S

    sTz e=

    Plano Z

    1

    1

    0T semiplano S negativo

    Un sistema con funcin de transferencia G(z) es estable si sus polos se encuentran dentro de la

    circunferencia de radio unidad

  • Reg. Automtica II 24

    EJERCICIOS DE ESTABILIDAD (II) (Examen)

    2( )2

    zG zz

    =

    Raznese sin realizar ningn clculo previo acerca de lacausalidad, retardo y estabilidad del sistema. Determine a) elvalor inicial y final ante entrada escaln unitario; b) la ecuacinen diferencias que caracteriza el sistema; c) Termino general de lasalida ante entrada escaln unitario

    Un sistema G responde ante una secuencia escaln unitario{1k} con la secuencia {0,1,4,4,4}.

    a) Determine la ecuacin caracterstica del sistema (G(z))

    b) A partir de la ecuacin caracterstica (obtenida en el apartado anterior) determine la ecuacin en diferencias que representa al sistema

    c) Obtenga la secuencia de ponderacin del sistema a partir de G(z). Calcule por convolucin la respuesta ante entrada {1k}.

  • Reg. Automtica II 25

    CRITERIO DE JURY Mtodo algebraico

    11 1 0

    220 0,( )

    n n nin nap z z a z a z a z aa a

    = + + + + > +

    Tabla de Jury

    Z0 Z1 Z2 . Zn-1 Zn

    an an-1 an-2 a1 a0

    a0 a1 a2 an-1 an

    bn-1 bn-2 bn-3 b0

    b0 b1 b2 bn-1

    k0 k1 k2

    Polinomio dato

    Rellenar filas pares primero

    ltima fila de la tabla: 3 coeficientes

    (Pol. segundo orden)

    ( 1)

    1

    n n kk

    o k

    a ab

    a a +

    +

    =

    Aplicacin

    2 1( ) 22

    p z z z= +

    0 1 211 22

    k k k= = =

  • Reg. Automtica II 26

    CRITERIO DE JURY1

    1 1 02

    20 0,( )n n n

    in nap z z a z a z a z aa a

    = + + + + > +

    Las races de un polinomio de coef. ctes. estn dentro de el crculo unidad si y slo si:

    1) 0na a< Trmino indep. < Trmino en zn

    2) (1) 0p >

    4) 1 0 2 0 2 0n nb b c c k k > > >

    Aplicacin

    2 1( ) 22

    p z z z= + 0 1 211 22

    k k k= = = 0( 1)

    0si n par

    psi n impar

    >

  • Reg. Automtica II 27

    EJERCICIOS - JURY

    G( z ){ }ku

    -

    { }kyK

    A) 21( )

    0.5 0.5G z

    z z=

    +

    Hallar los valores de K para que el sistema realimentado sea estable en los siguientes casos

    2( ) 0.5 0 0 1. 55 .cp z z kz k= + <

  • Reg. Automtica II 28

    JURY

    EJERCICIOS (II) - JURY

  • Reg. Automtica II 29

    SOLUCIN (II) - JURY

    3 21 1( ) (

    1( ) ( ) ( 1)( 1)( )2

    ) ( ) ( 1)2 2c

    N z z D

    p z D z K N z z z z

    z z z

    k

    z= = +

    = + = + +

    Z0 Z1 Z2 Z3

    1/2 (k-1) -1/2 1

    1 -1/2 (k-1) 1/2

    b2 b1 b0

    b0 b1 b2

    0

    1 1 321 412

    kb k

    = = +

    2

    1 1 321 412

    b = =

    Tabla de Jury

    Criterio de Jury

    1)1 12 >

    ( 1) 0 0p k k = < >3)

    0 23 34 4

    b b k< + + < < < 3 3 3 3) 0 (1) (2) (1) (2)4 4

    3 34 24 2

    b k k k De y k + < < < < GRADO NUMERADOR B(s)G(s)

  • Reg. Automtica II 31

    EJERCICIOS

    1( ) ( )

    1( ) Re ( ) ( )1

    k

    k k pTpolos B s G s

    B G z s B s G se z

    =

    Eq. Discreto

    A) ( ) ( ) ( )kbF s B s G s

    s a= =

    + 1 11( ) Re [ ]

    1 1pT aTp aTaT

    b b bZ ss a s a e z e z

    bzz e =

    = = =+ +

    B) 0 ( ) / ( )bB s G s

    s a=

    +

    0 1 1

    0 0

    1 1 11

    1 1

    1

    1

    1

    1

    1 1 1( ( ) ( )) Re [ ] ( ) Re [ ]1 ( ) 1

    1 1 1 1 1(1 ) 11 1 1 1

    1sT

    pT pTTp a p ap p

    aT

    aT aT aT

    e b bZ B s G s s ss s a e z s s a e z

    b b b z b e z zza z a e z a e z a

    z

    z

    be z

    = == =

    = = =

    + +

    + = = = =

    1

    11

    aT

    aT

    ea e z

    Mismo polo

    01( ) / ( )B s G ss

    =C)

    1T

    z 1 1

    0 2 10

    10

    1 1 1( ( ) ) (1 ) Re (1 )1

    11 sTsTpT s

    dds e z

    Z B s z s zs s e z

    =

    =

    = = =

  • Reg. Automtica II 32

    EQUIVALENTE DISCRETO DE UN S. CONTINUO

    1 20.5 0.05

    1( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))2 0.37 0.

    0.319

    6 0.0

    048T s T s

    F s G z Z F s G z Z F ss z z= =

    = = = = =+

    2 ( )G z

    1( )G z

    Respuesta Escaln

    1er Orden

    Comando MATLAB

    c2d (F(s),T,zoh)

    c2d (F(s),T,foh)

    1 aTb ea

    BLOQUEADOR DE ORDEN 0

  • Reg. Automtica II 33

    EJERCICIOS Eq. Discreto

    Bo(s) T

    { }kx { }kyx(t) y(t)Gc(z)

    { }ku

    Hallar el equivalente discreto U-Y teniendo en cuenta que el algoritmo de control U-X es tal que la salida es igual a la entrada en ese ite. ms la salida en el instante anterior por 1/2

    a) Equivalente discreto X-Y

    10 1 52

    0,020 5

    0,235 5 1 1( ( ) ) (1 ) Re [ ]2 ( 2) 1

    80,905

    aT

    pT aT bpT ap T s

    b eZ B s z ss s s e z a z e z

    == == =

    = = = + +

    52s +

    0, 510

    0T sg =

    b) Eq. de control

    { } { } { }11

    1 ( ) 11 12 ( ) 12 2

    k k kX z zx u xU z z z

    = + = =

    00,238( ) ( ) 1( )( 0,905)

    2

    czG z B G z

    z z =

    5 1 0 9052

    ( , )

  • Reg. Automtica II 34

    ARQUITECTURA DE CONTROL

    BK(s) G(s)

    T

    { }kx { }kyx(t) y(t)Gc(z)

    { }ku

    H(s)

    T-

    { }kyPC

    Alg. Control SWRealim. serie

    PCPLANTA

    G(s)

    BK(s)

    H(s)T

    Alg. Control SW

    { }ku { }kxC. D/A

    C. A/D Captador

    Seal de control

    { }ky

    C.A/D

    Mux.

  • Reg. Automtica II 35

    EQUIVALENTE DISCRETO S. REALIMENTADOS

    BK(s) G(s)

    T

    { }kyx(t) y(t){ }ku

    H(s)

    T-

    { }ky

    Realim. serie

    kB G( z )

    kB GH( z )

    1k

    k

    Y( z ) B G( z )M( z )U( z ) B GH( z )

    = =+

    cG ( z )

    Si existe compensador Gc(z)

    1c k

    c k

    Y( z ) G ( z )B G( z )M( z )U( z ) G ( z )B GH( z )

    = =+

    Cad. Abierta

    Cad. Directa

    Si H(s)=1 existe una rep. grfica equivalente kB G( z )

    { }ku-

    { }ky

    1k

    k

    B G( z )M( z )B G( z )

    =+

  • Reg. Automtica II 36

    DINMICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS Funcin de transferencia conocida

    Respuesta genrica de un sistema ante entrada impulso

    Polos reales simples

    Un par de polos complejos

    Respuesta genrica de un sistema ante entrada escaln

    Polos simples

    Un par de polos complejos

    -Enlace con sistema continuos muestreados: bacos

    ( )( )( )

    P zG zQ z

    =

  • Reg. Automtica II 37

    MODOS TRANSITORIOS ANTE ENTRADA IMPULSO

    ( )( )( )

    P zG z KQ z

    = { }1 1

    1( ( ))

    Nn

    n r r rr

    Z G z g K a P a =

    = = Residuos

    ( )( )

    r

    rr

    P

    P Pa

    dQ zdz

    =

    P1

    P2

    1

    2

    11d

    2d3d

    21

    1 3

    dad d

    =

    1 1 1 2( )a = +

    Polos reales simples ,r rP a 1rP > Progresin geomtrica creciente

    0rP < Progresin geomtrica signo alternado

    Polos complejos ,r rP a

    { } 112

    1

    ( )2 (( 1) )

    '(cos

    )n r

    n r r r rr r

    nr

    P Pg K a P K n P a

    Q PP

    =

    = = +

    El grado de amortiguamiento depende de (n-1)

    Frecuencia de la senoide depende de (n-1)

    ( ) ( )r

    r ii rP

    dQ z p pdz

    =

  • Reg. Automtica II 38

    MODOS TRANS. ANTE ENTRADA ESCALN ( )( ) ( )P zG z KQ z

    =

    { }1 1( )( ( )) Re [ ]1 ( )

    nn r

    polos

    z P zZ G z y K s z az Q z

    = =

    Polos reales simples ,r rP a 1rP > Progresin geomtrica creciente (S. Inestable)

    0rP < Progresin geomtrica signo alternado

    Polos complejos ,r rP a

    { } ( )(1) 2 cos( )(1) ( 1) '( )

    nrn r r r

    r r

    P PPg K K P P aQ P Q P

    n= + +

    El grado de amortiguamiento depende de n

    Frecuencia de la senoide depende de n

    { }1

    (P )(1) ( ) (1)Re [ ](1) ( 1) 1( ) (1) ( ) '( )

    Nn r

    n rpolos

    n

    rrr r

    PP P z Py K K s z K K PQ P PQ z Q Q P=

    = + = +

    Residuo de l polo en z=1

    1 11

    P( )y K G( )Q( )

    = ={ }

    1

    11

    N

    n r rr

    nP( )y K K a PQ( ) =

    = + ( )

    ( 1) '( )r

    rr r

    P Pa

    P Q P=

  • Reg. Automtica II 39

    RESPUESTA 1er ORDEN ANTE ENTRADA ESCALN

    A)

    bG( z )z a

    =

    { }kx { }ky a,b

    0a >

    { }1

    111 1 11 1

    n n n

    npolos p a

    p

    nb z z ay Res[ ( )] b Re s[ )] b[ ]z a z ( z )(

    b [ a ]az a ) a a=

    =

    = = = + =

    1b zy( z ) ( )

    z a z=

    { }1

    11

    N

    n r rr

    nP( )y K K a PQ( ) =

    = +

    Ejercicio0 0 1 1

    by y G( )a

    = = =

    10 8

    G( z )z .

    =

    B) 0a < { } 11n

    nb [ a ]a

    y

    =

    Alterna signo

    b

    1 0 551 1 0 8

    b .a ( . )= =

    10 8

    G( z )z .

    =+

    S ZT

    T

    j

    -1

    Te

    2Orden!

    Pico de oscilacin

    1

    1

    p

    bba a

    a

    M b

    = =

    Tanto por uno

  • Reg. Automtica II 40

    RESPUESTA 2 ORDEN ANTE ENTRADA ESCALN22 2

    KG( z )z ( P cos )z P

    = +

    { }kx { }ky

    1

    1P

    P P

    S

    P

    P

    dWZ

    Te

    dW T =

    Pd( W j )TsTz e e + = =

    1

    2

    dW

    ( 0,707)st

  • Reg. Automtica II 45

    EJERCICIOReduccin S. Eq.

    Hallar el sistema equivalente reducido de

    2

    3( 0.55)( 0.5)( )( 0.5)( 0.1)( 0.5)

    z zG zz z z z

    +=

    + + +

    2

    0.45 1 0.5( ) 30.5 1.1 ( 0.5)

    zG zz z z

    +=

    + +

    ( )G z

    ( )G z

    0.55 10

    1) 2.5 0.1

    )zz z +

    Reduccin

  • Reg. Automtica II 46

    EJERCICIO

    2( 1)( 0.5)z

    z z z +K-

    +

    1)Valores de K que hacen estable el sistema

    2)Sistema equivalente de orden reducido para

    3)Valores nr,np, ns, Mp del sistema reducido

    4)Estimar si la aproximacin es vlida y calcular npy Mp del sistema total

    { }kx { }ky

    25.1maxKK =

    1: (1 ), 12

    Polos j

  • Reg. Automtica II 47

    ERRORES EN RGIMEN PERMANENTE

    -+{ }kx { }kyG(z)E(z) )()(1

    1)( zXzG

    zE+

    =

    1

    1

    1lim(1 ) ( )1 ( )k

    e z X zG z

    =

    +

    Secuencias de prueba

    { } { }1 ( )1k k

    zx X zz

    = =

    { } { } { } 2( ) ( 1)k kzx r kT X z T

    z= = =

    { } { }2

    23

    1 ( 1)( ) ( )2 2 ( 1)k k

    T z zx P kT X zz+ = = =

    ORDEN DE UN SISTEMA DISCRETONmero de polos en z=1

    Constantes de error

    1

    1 lim ( )1p p zp

    e k G zk

    = =+

    1lim( 1) ( )v v z

    v

    Te k z G zk

    = =

    22

    1lim( 1) ( )a a z

    a

    Te k z G zk

    = =

    Realimentacin unitaria

    Cad. abierta

  • Reg. Automtica II 48

    DISCRETIZACIN DE REGULADORES CONTINUOS

    Discretizacin: Dada una funcin de transferencia de un sistema continuo R(s), encontrar la del sistema discreto R(z) que haga que los sistemas A y B sean equivalentes

    ( )G sR(z)-

    +{ }kx ( )y t

    T

    ( )B s

    ( )G sR(s)-

    +( )x t ( )y t ( )G sR(z)-

    +( )x t ( )y tT B(s)

    R(z)=?

    R(s)( )x t ( )y t

    A

    R(z)T B(s)( )x t ( )y t

    B

  • Reg. Automtica II 49

    APROXIMACIN DE LA EVOLUCIN TEMPORAL

    Aproximacin ante escaln 11 1( ) (1 ) (1 1( ( )) ( )

    1( ))RZ R s R z s

    sz z Z R

    sz==

    11

    0

    1( ) (1 ) Re( ) 1 sTs

    s b

    s aR z z A ss s b e z

    ==

    += = +

    1

    1

    ( )( )1

    bT

    bT

    A b a b ae zR zb e z

    + =

    2( ) 50.4

    sR ss+

    =+

    0.52( ) 5 0.250.90

    zR z T sz

    = =

    B0(s)R(z)T B(s)( )x t ( )y t

    R(z)T B(s)( )x t ( )y t

    T

    Bloqueador ficticio( )R s

    Aproximaciones de orden mayor

    2

    21 2(1 ) (1 )( ) ( ( )) (1 )(1 ) ( ( ))

    sTsT eR z Z R sT s

    sTz Z R sTs

    +

    + = =

    ( )s aR s As b+

    =+

    Ejercicio

    ( ) s aR s As b+

    =+

    Ejercicio

  • Reg. Automtica II 50

    DISCRETIZACIN POR INTEGRACIN NUMRICA

    Aproximacin operador derivada 1( ) k kt kT

    x xdx tdt T

    =

    2( 1) 1 1 2 1 2

    2 2 2

    ( ) ( ) 2t kT t k T k k k k k k kt kT

    dx dxdt dtd x t x x x x x x x

    dt T T T= =

    =

    + +

    = =

    Aplicacin

    ( ) ( )( ) ( )dy t dx tb y t A a x tdt dt

    + = + 1

    1

    (1 )( )( )( ) 1

    A aT zY zR zX z bT z

    + = =+

    2( ) 50.4

    sR ss+

    =+

    6 5( )1.04 1

    zR sz

    =

    S

    ( )dx tdt( )x t { }kx

    ( )

    t KT

    dx tdt =

    -11 - z

    T

    1

    ( )( ) 1

    W z TX z z

    = = -1

    1 Ts 1- z

    El regulador discreto ser estable si el regulador continuo tambin lo es

    Hay que comprobar siempre la estabilidad del nuevo sistema

    ( ) ( )t

    o

    w t f t dt=

    10

    k

    k k k ki

    w Tx w Tx=

    = = +

    T 2T 3T 4T

    ( )f t

    Aprox. Integral

  • Reg. Automtica II 51

    DISCRETIZACIN POR INTEGRACIN TRAPEZOIDAL

    T 2T 3T 4T

    ( )f t

    Aprox. Trapezoidal

    El regulador discreto ser estable si el regulador continuo tambin lo es

    Hay que comprobar siempre la estabilidad del nuevo sistema

    11 1( ) ( )2 2

    k kK k k k k

    x x TA t t x x +

    = = +

    1 11 1( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))2 2k k k k

    T Tw w x x W z z W z X z z X z = + + = + +

    1/S( )x t dt( )x t { }kx { }( ) t KTx t dt =

    -1

    -1

    T 1+ z2 1- z

    2( ) 50.4

    sR ss+

    =+

    5.5 4.5( )1.02 0.98

    zR zz

    =

  • Reg. Automtica II 52

    REGULADORES PID DISCRETOS( ) 1( ) ( ) ( )

    t

    di o

    de tx t K e t T e ddt T

    = + +

    1

    0

    kk k

    k k d jji

    e e Tx K e T eT T

    =

    = + +

    11 2

    1 10

    kk k

    k k d jji

    e e Tx K e T eT T

    =

    = + +

    1 1 2(1 ) ( 1 2 )d d dk k k k ki

    T T TTx x x K e e eT T T T

    = = + + + +

    -

    0 (1 )di

    TTq KT T

    = + +

    1 ( 1 2 )dTq KT

    =

    2dTq K

    T=

    11 0

    0( )

    2

    kk k k

    k k d jji

    e e e eTx K e T eT T

    =

    += + + +

    21 2 0 1

    1 10

    ( )2

    kk k k

    k k d jji

    e e e eTx K e T eT T

    =

    += + + +

    -

    1 1 2(1 ) ( 1 2 )2 2id d d

    k k ki

    k kT T Tx x x K e e eT

    TT T

    TT T

    = = + + + + +

    0 (1 )2d

    i

    TTq KT T

    = + +

    1 ( 1 2 )2d

    i

    T Tq KT T

    = +

    2dTq K

    T=

    1 20 1 2

    1

    ( )( )( ) 1

    q q z q zX zR zE z z

    + += =

    Aproximacin Int. trapezoidal

    = -1

    -1

    2 1 - zT 1+ z

    s

    Aproximacin Op. Derivada

    =-11 - z

    Ts

    d iT T T