Análise de Fourier de Sinais Discretos · ˇˆ ˙ ˝˛ ˝˚˚˜ ˝˚˚! Análise de Fourier de...

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! Análise de Fourier de Sinais Discretos Transformada de Fourier de sinais discretos (DTFT) A DTFT é periódica de período 2π, i.e., < < - = = < < - = = = -∞ = - - π ω π ω ω ω π ω ω π π ω ω π ω ω π ω π ω = = = = + -∞ = - -∞ = - - -∞ = + -

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Análise de Fourier de Sinais Discretos

• Transformada de Fourier de sinais discretos (DTFT)

• A DTFT é periódica de período 2π, i.e.,

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Análise de Fourier de Sinais Discretos-DTFT

• Exemplo

• Não é em geral possível calcular as expressões analíticas da DTFT para sinais genéricos (quaisquer) de comprimento finito ou infinito, por exemplo, troços de sinais de voz.

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DTFT - Propriedades

1. Linearidade

2. Deslocamento no tempo

3. Simetria (x(n) real)

4. Convolução no tempo

5. Multiplicação no tempo

6. Teorema de Parseval

7. Derivação no tempo

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Análise de Fourier de Sinais Discretos - DFT

• Transformada Discreta de Fourier (DFT)

• Funções de base

• Ortogonalidade

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DFT – Forma Matricial

• Forma matricial

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DFT-Deslocamento Circular

• Deslocamento circular (no tempo)– Uma sequência finita pode ser encarada como sendo um

período da seguinte sequência infinita periódica:

– xp(n) é periódico de período N

– Função módulo N

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DFT-Amostragem da DTFT

• A DFT de dimensão N é constituída por N amostras equi-espaçadas da DTFT.– Seja x(n) uma sequência de dimensão finita N

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DFT-Amostragem da DTFT

• Dado um sinal x(n) de dimensão N, com M≥N amostras da DTFT é possível representar o sinal original.

• Quando o nº de amostras da DTFT é inferior à dimensão do sinal original o sinal resultante é uma versão distorcida so sinal original.

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Estimação Espectral – Janela Rectangular

• Calcular a composição espectral de um troço de sinal, multiplicando-o por uma janela w(n)

• Perda de resolução

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Estimação Espectral – Janelas não rectangulares

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Convolução com DFT de sequências longas

• A convolução de dois sinais pode ser obtida através do produto das DFT’s desses sinais:

• Normalmente x(n) é de dimensão muito superior à dimensão de h(n). É necessário “partir” x(n) em troços mais pequenos, convoluircada um deles com h(n) e combinar os vários resultados:

– Overlap-add– Overlap-save

• Se N for a dimensão de x(n) e P a dimensão de h(n) então a dimensão de y(n)=h(n)*x(n) é N*P-1.

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• O sinal x(n) é seccionado em troços de comprimento L.• Realiza-se a convolução com DFT de comprimento = L+M-1.• A saída é obtida através da soma das L primeiras amostras com as

últimas P-1 amostras da convolução anterior.

Overlap-add

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Overlap - save

• O sinal de entrada é seccionado em troços de comprimento L que se sobrepõe, isto é, as P-1 amostras finais de um dado troço são as mesmas que as P-1 primeiras amostras do troço seguinte.

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