Análise de Fourier de Sinais Discretos · ˇˆ ˙ ˝˛ ˝˚˚˜ ˝˚˚! Análise de Fourier de...
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Análise de Fourier de Sinais Discretos
• Transformada de Fourier de sinais discretos (DTFT)
• A DTFT é periódica de período 2π, i.e.,
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Análise de Fourier de Sinais Discretos-DTFT
• Exemplo
• Não é em geral possível calcular as expressões analíticas da DTFT para sinais genéricos (quaisquer) de comprimento finito ou infinito, por exemplo, troços de sinais de voz.
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DTFT - Propriedades
1. Linearidade
2. Deslocamento no tempo
3. Simetria (x(n) real)
4. Convolução no tempo
5. Multiplicação no tempo
6. Teorema de Parseval
7. Derivação no tempo
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Análise de Fourier de Sinais Discretos - DFT
• Transformada Discreta de Fourier (DFT)
• Funções de base
• Ortogonalidade
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DFT – Forma Matricial
• Forma matricial
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DFT-Deslocamento Circular
• Deslocamento circular (no tempo)– Uma sequência finita pode ser encarada como sendo um
período da seguinte sequência infinita periódica:
– xp(n) é periódico de período N
– Função módulo N
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DFT-Amostragem da DTFT
• A DFT de dimensão N é constituída por N amostras equi-espaçadas da DTFT.– Seja x(n) uma sequência de dimensão finita N
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DFT-Amostragem da DTFT
• Dado um sinal x(n) de dimensão N, com M≥N amostras da DTFT é possível representar o sinal original.
• Quando o nº de amostras da DTFT é inferior à dimensão do sinal original o sinal resultante é uma versão distorcida so sinal original.
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Estimação Espectral – Janela Rectangular
• Calcular a composição espectral de um troço de sinal, multiplicando-o por uma janela w(n)
• Perda de resolução
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Estimação Espectral – Janelas não rectangulares
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Convolução com DFT de sequências longas
• A convolução de dois sinais pode ser obtida através do produto das DFT’s desses sinais:
• Normalmente x(n) é de dimensão muito superior à dimensão de h(n). É necessário “partir” x(n) em troços mais pequenos, convoluircada um deles com h(n) e combinar os vários resultados:
– Overlap-add– Overlap-save
• Se N for a dimensão de x(n) e P a dimensão de h(n) então a dimensão de y(n)=h(n)*x(n) é N*P-1.
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• O sinal x(n) é seccionado em troços de comprimento L.• Realiza-se a convolução com DFT de comprimento = L+M-1.• A saída é obtida através da soma das L primeiras amostras com as
últimas P-1 amostras da convolução anterior.
Overlap-add
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Overlap - save
• O sinal de entrada é seccionado em troços de comprimento L que se sobrepõe, isto é, as P-1 amostras finais de um dado troço são as mesmas que as P-1 primeiras amostras do troço seguinte.
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