Modelacion de sistemas

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matematicas

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Mode lac ion

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S i s t m a s

Mode lac ion

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En un sentido amplio, un sistema es un conjunto coherente de elementos asociados en forma tal que es capaz de cumplir con un objetivo dado: producir energía, acumular materia, separar, transportar, etc.

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ENTRADAS

Conjunto de pares ordenados de funciones del tiempo que representan entradas y salidas.

( E1,ξ(t)),..., ( En, ξ(t)); ( E1, ϖ(t)),..., ( En, ϖ(t));...; ( E1, φ(t)),..., ( En, φ(t)).

SALIDAS

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Generalmente, un modelo es una representación de un objeto, sistema o idea, de forma diferente al de la entidad misma. Un requerimiento básico para cualquier modelo, es que debe describir al sistema con suficiente detalle para hacer predicciones válidas sobre el comportamiento del sistema. Más generalmente, las características del modelo deben corresponder a algunas características del sistema modelado. Un modelo es la representación concisa de una situación; por eso representa un medio de comunicación más eficiente y efectivo.

Ecuación matemática

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entre las salidas y las entradas del

sistema.

Encontrar una relación matemática

MODELACION DE SISTEMAS Buscar un modelo matemático es:

entradas

Salidas

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Para que los modelos puedan decirnos algo sobre el objeto que r e p r e s e n t a n , e s n e c e s a r i o q u e s e c o n s t r u y a n e s t ab lec i endo una relación con la realidad que debe ser simétrica, es decir, la relación de correspondencia entre el objeto real y el modelo debe ser al menos parcialmente r e ve r s i b l e y d e b e permitir la traducción de algunas propiedades d e l m o d e l o a l a realidad.

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La utilidad de los modelos para conocer o predecir está condicionada principalmente por una buena selección de los factores relevantes para el problema y una adecuada descripción de sus relaciones funcionales.

Dado que el modelo representa la realidad con una cantidad menor de información, existe un error inherente al proceso de modelización que puede ser reducido pero no eliminado. La reducción del error puede hacerse por dos caminos complementarios:

•mayor precisión en la medida y mejor selección de los componentes: no implica mayor complejidad del modelo. •mayor cantidad de componentes —partes e interrelaciones funcionales—: implica una mayor complejidad del modelo.Relación genérica entre error y complejidad. La modelización pretende reducir el error manteniendo una complejidad reducida.

La eliminación del error implicaría la identificación del modelo con el objeto real, por lo que no resulta posible. En este sentido, debe buscarse un compromiso entre la complejidad del modelo y el error aceptable en los resultados.

ERROR

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El ser humano siempre ha tratado de representar y expresar ideas y objetos para tratar de entender y manipular su medio.

La modelación de sistemas es una metodología aplicada y experimental que pretende:

1.Describir el comportamiento de sistemas. 2.Hipótesis que expliquen el comportamiento de situaciones problemática. 3.Predecir un comportamiento futuro, es decir, los efectos que se producirán mediante cambios en el sistema o en su método de operación.

situaciones, y cómo, la interacción entre sus partes determinan su evolución temporal.

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Discretos

SistemasContinuos

salidas.

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Discretos

Sistemas

Continuos

funciones del tiempo

salidas.

entradas

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Ecuaciones de estado para sistemas continuos

Continuas: Decimos que una variable es continua si está definida para todo tiempo “t”, por ejemplo la variación de nivel en un tanque o la variación de temperatura en un horno.

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Son sistemas cuyas variables evolucionan de forma continua en el tiempo

• Esto incluye: sistemas físicos (mecánicos, eléctricos, hidráulicos, etc.),

• procesos químicos,

• dinámica de poblaciones,

• algunos modelos económicos,

• etc.

Estos sistemas pueden en general modelarse mediante Ecuaciones Diferenciales.

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La forma más general de representación por variable de estado de un sistema continuo está dada por dos

ecuaciones:

• la primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo;

• y la segunda que define la salida en función de las variables de estado, las entradas y el tiempo.

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La forma más general de representación por variable de estado de un sistema continuo está dada por dos

ecuaciones:

• la primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo;

• y la segunda que define la salida en función de las variables de estado, las entradas y el tiempo.

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Ejemplo: Decaimiento radioactivo

El isótopo radioactivo torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente del mismo. Si 100 mg de este material se reducen a 82.04 mg en una semana, encontrar una expresión para la cantidad presente en cualquier instante .

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Ecuaciones de estado para sistemas discretos

Discretas: Decimos que es discreta si es intermitente o sea sólo está definida para tiempos discretos, por ejemplo una señal continua que es muestreada.

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Estático

Escalar Lineal

Parámetros Concentrados Variante en el tiempo

Estable

Dinamico

Multivariable

No Lineal

Parámetros distribuidos Invariante en el tiempo Inestable

Un sistema es siempre una de las dos alternativas

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• Estático / Dinámico: Un sistema es estático si la salida en el tiempo “t” solo depende del valor de la entrada en el mismo tiempo “t”, y diremos que es dinámico si la salida depende del valor de la entrada en ese tiempo y de la historia de la entrada, es decir de lo que paso previamente al tiempo “t”.

Por ejemplo el sistema del movimiento de un timón, al cual definiremos como salida del sistema, es estático en tanto la posición de este depende en cada momento de la posición del volante (entrada del sistema). Toda posición del timón en un dado momento depende exclusivamente de la posición del volante en ese mismo instante. En cambio, un ejemplo de sistema dinámico es un horno que está a una temperatura dada debido a un sistema de calentamiento eléctrico. En este sistema definiremos a la temperatura del horno como la salida y la tensión al calefactor como la entrada del sistema. Si en un dado momento se corta la tensión, es decir el calentamiento, la temperatura del horno no cae inmediatamente sino que cae exponencialmente hasta la temperatura ambiente después de un largo período. Esto es posible debido a que contrariamente a un sistema estático, un sistema dinámico posee acumulación de energía.

• Lineal / No Lineal: Decimos que un sistema es lineal si cumple con el teorema de super- posición. Este dice que dado el sistema cuya salida y(t) esta descripta por una función de la entrada u(t) de la forma y(t) = f(u(t)) entonces si y1(t) = f(u1(t)), e y2(t) = f(u2(t)) entonces y1(t) + y2(t) = f(u1(t) + u2(t)). Por ejemplo el sistema y = 2 × u es lineal, pero y=u2 o y=u+1son nolineales.

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• Escalar / Multivariable: Decimos que un sistema es escalar si se trata de un sistema que posee una entrada y una salida. Decimos que es multivariable si el sistema está definido para varias entradas y varias salidas.

• Parámetros Concentrados / Parámetros Distribuidos: Consideremos un sistema masa- resorte, la masa puede tener cierta elasticidad y el resorte puede tener cierta inercia. Decimos que un sistema es de parámetros concentrados si consideramos al sistema como compuesto por elementos idealizados, tales como una masa (sin elasticidad) y un resorte (sin inercia). Caso contrario decimos que es un sistema de parámetros distribuidos.

• Variante en el tiempo / Invariante en el tiempo: Decimos que el sistema es variante en el tiempo si sus parámetros varían con el tiempo. Por ejemplo un sistema de resorte que sostiene un balde con agua. A medida que el agua se evapora cambia la masa del sistema. Si los parámetros son constantes en el tiempo decimos que el sistema es invariante en el tiempo.

• Estable / Inestable: Un sistema es estable si apartando las variables de su punto de equilibrio, estas vuelven naturalmente a éste, y es inestable si divergen de él sin retorno.