VectoresVectores

Notación A

A

Dirección ϕθ,

x

y

z

θ

ϕ

Ap

ϕx

y

Módulo A > 0

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

Ar

Br

Cr

CBArrr

==

Suma de Suma de VectoresVectores

BA C

BA

R

C

Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va

desde el origen del primer vector hasta el extremo del

ultimo

Ar

Br

Entonces si se tiene los siguientes vectores

Cr

Dr El vector resultante

de la suma de todos ellos será:

Ar B

r

Cr

DCBARrrrrr

+++=

Rr

Dr

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

A

Opuesto-A

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario AAr

r

=µ

µµ= ˆAA

rr

Ley Conmutativa

ABBAR +=+=

Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de

VectoresVectores

Ley Asociativa

C)BA)CBARrrrrrrr

++=++= ((

Diferencia

B-ARrrr

=

)B(-ARrrr

+=A B A

-BR

Ley conmutativa

BR = A+B

A

B R = B+A

(Método paralelogramo)

B R = A+B

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

Multiplicación de un vector por un escalar

ByArr

Dado dos vectores

BArr

α=Se dicen que son paralelos si

BAsirr

↑↑> 0α

BAsirr

↑↓< 0αBAsirr

==1α

Ar

Br

ABrr

21=

Ar

Br

ABrr

41−=

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A B

CA B

CR = 2

Vectores unitarios en el plano

y

j ix

ij

Vector unitario en la dirección del eje x+

Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

z

i j

k

yx

RepresentaciRepresentacióón n de un vectorde un vector

x

y

z

θ

ϕ

A

Ax

Ay

Az

θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=

θcosAAz =222zyx AAAAA ++==

r

kAjAiAA zyx

rrrr++=

Observaciones:

Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

+Ar4u 3u

Br

BARrrr

+=7u

Ar

Br

=+8u 4u 4u

BARrrr

+=

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?

4u

3uAr B

r

BARrrr

+=

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

Ar

Br

yAr

xAr

xBr

yBr

4u

3u

5u

6u

8u

10u

yAr

xAr

xBr

yBr

4u3u

6u8u

yx AAArrv

+=

yx BBBrrr

+=

yy BArr

+xx BArr

+10u

5u

yyxx BABARvrrrr

+++=

Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

uR 55510 22 =+=

yAr

xAr

xBr

yBr

xCryC

r

xDr

yDr

xRr

15 u5 u

yRr

xxxxx DCBARrrrrr

+++=yx RRRrrr

+=105R = yyyyy DCBAR

rrrrr+++=

(x2,y2,z2)

x

(x1,y1,z1)

Ar

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

z

y

(x2,y2,z2)

x

(x1,y1,z1)

y

Ar

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=

r

z

Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectoresvectoresθABBA cos=⋅

rr

cosθAAB =Proyección de A sobre B

cosθBBA =

Proyección de B sobre A

1ˆˆ =⋅ ii1ˆˆ =⋅ jj

0ˆˆ =⋅ ji

0ˆˆ =⋅kj0ˆˆ =⋅ki

1ˆˆ =⋅kk

xAiA =⋅ ˆr

yAjA =⋅ ˆr

zAkA =⋅ ˆrZZYYXX BABABABA ++=⋅

rr

Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos

vectoresvectores BACrrr

×=

θABC sen=

0iir

=× 0ˆˆ r=× jj

0ˆˆ r=×kk

kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×

jik ˆˆˆ =×

Demostrar:

)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx ++×++=×=rrr

YZZYX BABAC −=

zxxzy BABAC −=

xyyxz BABAC −=

Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ ++=r

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=r

kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=r

Ejemplo 2: Determine la suma de los vectores indicados

8m

z 5m

Ar

Br

Cr

10my

x

Ejemplo 9

Dados los vectores:

k3j5i4Bk5j3i3A

−+=

−+=r

r

Determine :a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambose) el ángulo que forman entre sí.Tarea 9c, 9d y 10