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Semana 8 [1/62] Transformaciones lineales 8 de septiembre de 2007 Transformaciones lineales

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Semana 8 [1/62]

Transformaciones lineales

8 de septiembre de 2007

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [2/62]

Definición

Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [3/62]

Definición

Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [4/62]

Definición

Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [5/62]

Definición

Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [6/62]

Ejemplos

Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.

f : R→ R, x → x2, no es lineal.

f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T (f ) =dfdx

(x)

es lineal.

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [7/62]

Ejemplos

Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.

f : R→ R, x → x2, no es lineal.

f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T (f ) =dfdx

(x)

es lineal.

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [8/62]

Ejemplos

Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.

f : R→ R, x → x2, no es lineal.

f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T (f ) =dfdx

(x)

es lineal.

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [9/62]

Ejemplos

Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.

f : R→ R, x → x2, no es lineal.

f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T (f ) =dfdx

(x)

es lineal.

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Definiciones básicas Semana 8 [10/62]

Ejemplos

Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.

f : R→ R, x → x2, no es lineal.

f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T (f ) =dfdx

(x)

es lineal.

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [11/62]

Ejemplos

Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.

f : R→ R, x → x2, no es lineal.

f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T (f ) =dfdx

(x)

es lineal.

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [12/62]

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : V → V1, P2 : V → V2

v = v1 + v2 → P1(v) = v1 v = v1 + v2 → P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

Pi: Proyección de V sobre Vi

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [13/62]

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : V → V1, P2 : V → V2

v = v1 + v2 → P1(v) = v1 v = v1 + v2 → P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

Pi: Proyección de V sobre Vi

Transformaciones lineales

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Definiciones básicas Semana 8 [14/62]

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : V → V1, P2 : V → V2

v = v1 + v2 → P1(v) = v1 v = v1 + v2 → P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

Pi: Proyección de V sobre Vi

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [15/62]

Propiedades

PropiedadesSea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T (0) = 0 ∈ V

2 T (−u) = −T (u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U

T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2)

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [16/62]

Propiedades

PropiedadesSea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T (0) = 0 ∈ V

2 T (−u) = −T (u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U

T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2)

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [17/62]

Propiedades

PropiedadesSea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T (0) = 0 ∈ V

2 T (−u) = −T (u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U

T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2)

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Propiedades Semana 8 [18/62]

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación linealn

i=1

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V .

Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u =n

i=1

αiui .

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T :

T (u) = T (n

i=1

αiui) =n

i=1

αiT (ui)

Basta definir T sobre una base de U!

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [19/62]

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación linealn

i=1

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V .

Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u =n

i=1

αiui .

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T :

T (u) = T (n

i=1

αiui) =n

i=1

αiT (ui)

Basta definir T sobre una base de U!

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [20/62]

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación linealn

i=1

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V .

Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u =n

i=1

αiui .

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T :

T (u) = T (n

i=1

αiui) =n

i=1

αiT (ui)

Basta definir T sobre una base de U!

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [21/62]

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación linealn

i=1

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V .

Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u =n

i=1

αiui .

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T :

T (u) = T (n

i=1

αiui) =n

i=1

αiT (ui)

Basta definir T sobre una base de U!

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [22/62]

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación linealn

i=1

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V .

Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u =n

i=1

αiui .

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T :

T (u) = T (n

i=1

αiui) =n

i=1

αiT (ui)

Basta definir T sobre una base de U!

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [23/62]

Isomorfismos de e.v.’s

IsomorfismoSea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismosi T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V , en cuyo caso lodenotaremos como

U ∼= V .

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [24/62]

Isomorfismos de e.v.’s

IsomorfismoSea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismosi T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V , en cuyo caso lodenotaremos como

U ∼= V .

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [25/62]

Ejemplo

Consideremos:f : U → Kn

u → f (u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn

Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [26/62]

Ejemplo

Consideremos:f : U → Kn

u → f (u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn

Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [27/62]

Ejemplo

Consideremos:f : U → Kn

u → f (u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn

Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [28/62]

Ejemplo

Consideremos:f : U → Kn

u → f (u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn

Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [29/62]

Ejemplo

Consideremos:f : U → Kn

u → f (u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn

Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [30/62]

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.

∼= es relación de equivalencia !

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [31/62]

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.

∼= es relación de equivalencia !

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [32/62]

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.

∼= es relación de equivalencia !

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [33/62]

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.

∼= es relación de equivalencia !

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [34/62]

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.

∼= es relación de equivalencia !

Transformaciones lineales

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Propiedades Semana 8 [35/62]

Composición entre T.L.

Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.

∼= es relación de equivalencia !

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [36/62]

Núcleo

NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:

KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0.

KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [37/62]

Núcleo

NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:

KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0.

KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [38/62]

Núcleo

NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:

KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0.

KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [39/62]

Núcleo

NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:

KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}

KerT 6= φ ya que T (0) = 0.

KerT es un s.e.v. de U.

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [40/62]

Imagen

ImagenT : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como elconjunto:

ImT = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f (u)}

ImT es un s.e.v de V .

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [41/62]

Imagen

ImagenT : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como elconjunto:

ImT = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f (u)}

ImT es un s.e.v de V .

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [42/62]

Imagen

ImagenT : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como elconjunto:

ImT = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f (u)}

ImT es un s.e.v de V .

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [43/62]

Rango y nulidad

Definicióndim(ImT ): rango de la transformación T y se nota r .

dim(KerT ): nulidad y se suele denotar por ν.

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [44/62]

Rango y nulidad

Definicióndim(ImT ): rango de la transformación T y se nota r .

dim(KerT ): nulidad y se suele denotar por ν.

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [45/62]

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R4 → R3

(x1, x2, x3, x4) → (x1 + x2, x2 − x3, x1 + x3)

o en términos matriciales:

T (x) =

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

Determinemos KerT e ImT .

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [46/62]

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R4 → R3

(x1, x2, x3, x4) → (x1 + x2, x2 − x3, x1 + x3)

o en términos matriciales:

T (x) =

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

Determinemos KerT e ImT .

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [47/62]

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R4 → R3

(x1, x2, x3, x4) → (x1 + x2, x2 − x3, x1 + x3)

o en términos matriciales:

T (x) =

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

Determinemos KerT e ImT .

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [48/62]

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

=

000

Escalonando:

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0

x1 = −x3

x2 = x3

x3 = x3

x4 = x4

x1

x2

x3

x4

= x3

−1110

+ x4

0001

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [49/62]

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

=

000

Escalonando:

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0

x1 = −x3

x2 = x3

x3 = x3

x4 = x4

x1

x2

x3

x4

= x3

−1110

+ x4

0001

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [50/62]

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

=

000

Escalonando:

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0

x1 = −x3

x2 = x3

x3 = x3

x4 = x4

x1

x2

x3

x4

= x3

−1110

+ x4

0001

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [51/62]

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

=

000

Escalonando:

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0

1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0

x1 = −x3

x2 = x3

x3 = x3

x4 = x4

x1

x2

x3

x4

= x3

−1110

+ x4

0001

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [52/62]

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .

Con dim(KerT ) = 2.

Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:

y1

y2

y3

=

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

= x1

101

+ x2

110

+ x3

0−11

Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.

Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [53/62]

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .

Con dim(KerT ) = 2.

Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:

y1

y2

y3

=

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

= x1

101

+ x2

110

+ x3

0−11

Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.

Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [54/62]

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .

Con dim(KerT ) = 2.

Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:

y1

y2

y3

=

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

= x1

101

+ x2

110

+ x3

0−11

Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.

Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales

Page 55: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [55/62]

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .

Con dim(KerT ) = 2.

Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:

y1

y2

y3

=

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

= x1

101

+ x2

110

+ x3

0−11

Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.

Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [56/62]

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .

Con dim(KerT ) = 2.

Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:

y1

y2

y3

=

1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0

x1

x2

x3

x4

= x1

101

+ x2

110

+ x3

0−11

Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.

Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [57/62]

KerT e inyectividad

TeoremaSea T : U → V una transformación lineal entonces

T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

CorolarioT : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V ,

o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.

Transformaciones lineales

Page 58: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [58/62]

KerT e inyectividad

TeoremaSea T : U → V una transformación lineal entonces

T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

CorolarioT : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V ,

o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.

Transformaciones lineales

Page 59: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [59/62]

KerT e inyectividad

TeoremaSea T : U → V una transformación lineal entonces

T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

CorolarioT : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V ,

o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.

Transformaciones lineales

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Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [60/62]

Inyectividad y conjuntos l.i.

TeoremaSi T : U → V es inyectiva, entonces{ui}

ki=1 es ℓ.i . en U ⇒ {T (ui)}

ki=1 es ℓ.i . en V .

Transformaciones lineales

Page 61: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [61/62]

Inyectividad y conjuntos l.i.

TeoremaSi T : U → V es inyectiva, entonces{ui}

ki=1 es ℓ.i . en U ⇒ {T (ui)}

ki=1 es ℓ.i . en V .

Transformaciones lineales

Page 62: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [62/62]

Ejemplo

Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).

En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:

(a0, a1, ..., an) →

n∑

i=0

aix i ∈ Pn(R)

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales

Page 63: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [63/62]

Ejemplo

Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).

En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:

(a0, a1, ..., an) →

n∑

i=0

aix i ∈ Pn(R)

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales

Page 64: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [64/62]

Ejemplo

Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).

En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:

(a0, a1, ..., an) →

n∑

i=0

aix i ∈ Pn(R)

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales

Page 65: Transformaciones lineales - docencia/algebra_lineal/material/presentac... · Transformaciones lineales. Definiciones básicas Semana 8 [3/62] Definición Transformación lineal

Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [65/62]

Ejemplo

Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).

En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:

(a0, a1, ..., an) →

n∑

i=0

aix i ∈ Pn(R)

Es un isomorfismo.

Transformaciones lineales