Funcionales lineales. 2%. R - Egor...
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante α.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x21 + x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − 2x2 + 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 1, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(1) − 2P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + 4t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante α, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, −1
]X
[−53
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 −45 3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 −42 −5
]X
), Y =
[5 4
−1 3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
241
, b2 =
131
, b3 =
121
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1+ 2x2− 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + x2 + x4,
ϕ2(x) = 2x1 + x2 + x3 − 2x4,
ϕ3(x) = 3x1 + 2x2 + x3 − x4.
Tarea 6, variante α, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−42
0
5
2
, a2 =
2
1
−12
−2
, a3 =
−4−22
−44
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante α, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante β.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x1 − 4x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 4x1 − x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, −3, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(−1) − 3P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − 2t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante β, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, −5
]X
[−4−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 −4
−2 −5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−4 −13 2
]X
), Y =
[−3 5
−2 4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
433
, b3 =
−11
0
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+2x2−x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 4x1 + x2 − 4x3 + 2x4,
ϕ2(x) = −3x1 + x2 − 3x3 + 3x4,
ϕ3(x) = −6x1 + 2x2 − 6x3 + 6x4.
Tarea 6, variante β, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
4
3
4
3
, a2 =
2
1
1
−20
, a3 =
−4−5−4−2−3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante β, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 1 AJAS.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x21 + x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 + 2x2 − 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) − P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2− 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 1 AJAS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, −2
]X
[−34
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 −5
−3 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 −1−5 3
]X
), Y =
[−2 5
−1 −5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
144
, b2 =
223
, b3 =
133
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+x2+2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + 4x2 + x4,
ϕ2(x) = x1 + 2x2 − 4x3 − 3x4,
ϕ3(x) = x1 + 3x2 − 2x3 − x4.
Tarea 6, variante 1 AJAS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−41
3
0
2
, a2 =
1
1
3
−31
, a3 =
2
2
6
−62
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 1 AJAS, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 2 BTCF.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x21.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 + x2 − 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 3, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(−1) + P ′(4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + t + 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 2 BTCF, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−5, −1
]X
[5
−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 −33 4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 4
−1 −2
]X
), Y =
[−3 2
1 −2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
322
, b2 =
111
, b3 =
012
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 − x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −x1 + x2 + x3 + x4,
ϕ2(x) = −3x1 + x2 − 3x3 + 3x4,
ϕ3(x) = −2x1 + x2 − x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 2 BTCF, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
4
2
−10
, a2 =
1
1
1
−31
, a3 =
2
3
1
2
−1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 2 BTCF, pagina 3 de 3
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No
dobl
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 3 CSA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x21 − 3x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 3, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−1) − 3P ′(1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+2t−2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 3 CSA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, 2
]X
[1
−3
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 1
2 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−4 4
5 1
]X
), Y =
[−5 −2−3 2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
214
, b2 =
112
, b3 =
011
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1+x2−2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + 4x2 + x3 + 2x4,
ϕ2(x) = 2x1 + 4x2 + x3 − x4,
ϕ3(x) = 3x1 + 4x2 + x3 − 4x4.
Tarea 6, variante 3 CSA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
4
3
−4−3−2
, a2 =
−43
−25
4
, a3 =
0
3
−31
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 3 CSA, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 4 CNKM.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x21 − 4x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − 3x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(−2) − 3P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 4 CNKM, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, −4
]X
[1
−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 5
−3 −2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 2
4 5
]X
), Y =
[1 −52 −4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
102
, b2 =
213
, b3 =
214
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 + x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −2x1 + x2 + 2x3 + 2x4,
ϕ2(x) = 4x1 − 2x2 − 4x3 − 4x4,
ϕ3(x) = 4x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4.
Tarea 6, variante 4 CNKM, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−4−22
1
−2
, a2 =
0
2
3
2
4
, a3 =
4
4
1
1
6
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 4 CNKM, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 5 CNLE.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x1x2 − 4x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −4x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(1) − 2P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 5 CNLE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[1, −2
]X
[2
−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 −5−4 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 2
1 −5
]X
), Y =
[3 4
2 −5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
1
2
−1
, b2 =
1
3
−2
, b3 =
221
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x2 − 4x3 − 4x4,
ϕ2(x) = x1 + 2x2 + x3 − 2x4,
ϕ3(x) = x1 + 3x2 − x3 − 4x4.
Tarea 6, variante 5 CNLE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
−13
−31
, a2 =
−22
−66
−2
, a3 =
2
−1−4−33
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 5 CNLE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 6 DPE.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1x2 − 2x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 3x1 − x2 − 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 3, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−1) + P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+2t+2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 6 DPE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, −5
]X
[−1−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[3 2
4 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 −44 2
]X
), Y =
[2 5
1 4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
3
2
−1
, b2 =
111
, b3 =
112
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1− 3x2− 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + 4x2 − 2x3 + 2x4,
ϕ2(x) = 2x1 + 3x2 − 2x3 + 3x4,
ϕ3(x) = x1 − x2 + x4.
Tarea 6, variante 6 DPE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
−33
1
−2
, a2 =
6
−63
5
−6
, a3 =
4
0
−33
−2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 6 DPE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 7 DEER.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 + 3x2 + 3.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −3x1 + x2 + 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(1) + P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 7 DEER, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, −5
]X
[5
−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[3 −44 −5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([4 3
−3 2
]X
), Y =
[−1 3
−2 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
121
, b2 =
132
, b3 =
342
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1−2x2+x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −4x1 + x2 − 2x3 + 2x4,
ϕ2(x) = 4x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4,
ϕ3(x) = −3x2 + 6x3 − 5x4.
Tarea 6, variante 7 DEER, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−14
3
2
5
, a2 =
0
1
4
1
2
, a3 =
1
−31
−1−3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 7 DEER, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 8 DLRTH.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x1x2 + x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − 3x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −2, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−3) + 4P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 8 DLRTH, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[2, 3
]X
[−4−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 3
−3 −2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−4 4
5 1
]X
), Y =
[1 −1
−2 4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
1
−12
, b2 =
1
4
−1
, b3 =
111
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 + x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 + x4,
ϕ2(x) = −x1 − 3x2 + x3,
ϕ3(x) = x1 − 2x2 − 2x3 + x4.
Tarea 6, variante 8 DLRTH, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
3
1
3
1
, a2 =
−1−1−3−5−2
, a3 =
0
−22
2
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 8 DLRTH, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 9 DGGI.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1 + 3x2 + 4.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −4x1 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 3, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−1) + 2P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 9 DGGI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, −1
]X
[−3−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[3 5
−4 −5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 2
1 −2
]X
), Y =
[−4 2
1 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
131
, b2 =
141
, b3 =
132
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1−x2+3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 − 3x4,
ϕ2(x) = −3x1 − 2x2 + 2x3 − x4,
ϕ3(x) = x1 + x2 + x3 + 4x4.
Tarea 6, variante 9 DGGI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
−43
2
1
, a2 =
1
4
4
3
−3
, a3 =
−20
−7−52
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 9 DGGI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 10 DJRA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −4x1 + 4x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 + x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, −2, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(1) − P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 10 DJRA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, −5
]X
[1
−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 3
−5 2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 −3−1 3
]X
), Y =
[5 3
−1 1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
−11
1
, b2 =
213
, b3 =
023
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 2x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 + x2 − x3 + x4,
ϕ2(x) = 2x1 + x2 + 3x4,
ϕ3(x) = −4x1 − x2 + 2x3 + x4.
Tarea 6, variante 10 DJRA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
4
3
−4−2
, a2 =
2
6
4
6
4
, a3 =
1
3
2
3
2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 10 DJRA, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 11 FMFD.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1x2 + 3x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −1, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(−1) + P ′(4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 11 FMFD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−5, 4
]X
[1
−2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 3
2 −4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([1 −22 3
]X
), Y =
[4 2
−5 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
211
, b3 =
2
−1−2
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1−x2+2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + 6x2 + x3 − 4x4,
ϕ2(x) = 2x1 + 3x2 + 3x3,
ϕ3(x) = x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4.
Tarea 6, variante 11 FMFD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−23
−34
4
, a2 =
−42
−31
3
, a3 =
2
1
0
3
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 11 FMFD, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 12 GDLD.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x1 − 2x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 + x2 − 4x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 1, 4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(1) + P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 + 3t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 12 GDLD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, −1
]X
[−5−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−5 −1−2 3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([1 −12 −2
]X
), Y =
[−1 −3−5 1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
323
, b2 =
0
2
−1
, b3 =
111
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −x1 + 4x2 + 2x3 + 3x4,
ϕ2(x) = −3x1 − 5x2 − 4x4,
ϕ3(x) = 4x1 + x2 − 2x3 + x4.
Tarea 6, variante 12 GDLD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−31
0
1
4
, a2 =
−12
−21
4
, a3 =
1
3
−41
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 12 GDLD, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 13 GLMA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + 4x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 4, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−1) + P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+2t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 13 GLMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, 3
]X
[−1−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−5 4
1 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 4
1 −4
]X
), Y =
[−3 1
−5 2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
101
, b2 =
214
, b3 =
−11
2
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 2x2 − 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 − 4x2 + 2x3 + 2x4,
ϕ2(x) = −2x1 − 2x2 − 4x3 − 2x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 3x2 + 4x3 + 3x4.
Tarea 6, variante 13 GLMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
−30
2
3
, a2 =
−1−3−11
1
, a3 =
−2−6−22
2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 13 GLMA, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 14 GSLE.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 − x2 + 3.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 3, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−1) + P ′(2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 + t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 14 GSLE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, 5
]X
[−4−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 −3
−1 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 2
3 1
]X
), Y =
[−5 −33 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
121
, b3 =
1
−12
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 + 2x2 + 3x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −3x1 + 2x2 − 2x3 + 4x4,
ϕ2(x) = 4x1 + x2 + 3x3 − 4x4,
ϕ3(x) = x1 + 3x2 + x3.
Tarea 6, variante 14 GSLE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
2
−2−43
, a2 =
2
5
1
−47
, a3 =
1
3
3
0
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 14 GSLE, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 15 KSJG.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x1 − x2 − 2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 + 3x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 2, −3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(2) + 2P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2 + t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 15 KSJG, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, −2
]X
[1
−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 2
−3 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 4
−4 5
]X
), Y =
[−5 1
4 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
343
, b2 =
334
, b3 =
102
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+2x2−x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −x1 − 3x3 − 2x4,
ϕ2(x) = 5x1 + x2 − x3 + 4x4,
ϕ3(x) = 4x1 + x2 − 4x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 15 KSJG, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−31
−41
−3
, a2 =
−33
−24
1
, a3 =
0
2
2
3
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 15 KSJG, pagina 3 de 3
Engra
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 16 LSS.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x21 − 4x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 2, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(−1) − P ′(1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 16 LSS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−1, 3
]X
[1
2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 −45 3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 −3−5 3
]X
), Y =
[−1 5
3 −4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
322
, b2 =
221
, b3 =
1
−12
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 − 3x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −3x1 − x2 − 2x3 − 2x4,
ϕ2(x) = 2x1 + x2 + 2x3 − 3x4,
ϕ3(x) = 5x1 + 2x2 + 4x3 − x4.
Tarea 6, variante 16 LSS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−2−2−22
1
, a2 =
−1−2−13
2
, a3 =
1
0
1
1
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 16 LSS, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 17 LPS.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x21 + 4x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 3x1 − x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, 2, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(1) + 2P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 17 LPS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, 5
]X
[2
3
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−1 4
5 2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 −2
−4 −5
]X
), Y =
[−2 4
2 −5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
233
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 − 4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 + x2 + x3 + x4,
ϕ2(x) = −x1 − x2 + 3x3 + 4x4,
ϕ3(x) = −4x1 − 2x2 + 2x3 + 3x4.
Tarea 6, variante 17 LPS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
3
−42
0
, a2 =
−2−4−2−2−2
, a3 =
1
2
1
1
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 17 LPS, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 18 MPDD.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 − 3x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + 3x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 2, −3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(−1) + P ′(4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 + t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 18 MPDD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[1, 5
]X
[3
−2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 2
−4 −3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 3
2 1
]X
), Y =
[−4 2
3 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
343
, b2 =
334
, b3 =
102
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 3x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + 2x2 − 3x3 + x4,
ϕ2(x) = 3x1 + 4x2 − x3 + 4x4,
ϕ3(x) = −2x1 − 2x2 − 2x3 − 3x4.
Tarea 6, variante 18 MPDD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−14
3
2
3
, a2 =
4
−2−2−1−5
, a3 =
3
2
1
1
−2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 18 MPDD, pagina 3 de 3
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 19 MHF.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −3x1 + 2x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, −1, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(1) − P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 + t − 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 19 MHF, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, −2
]X
[1
3
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 −3
−4 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 −1
−4 2
]X
), Y =
[−1 3
1 −2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
433
, b3 =
−11
0
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − 4x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 + x2 + x3 − 3x4,
ϕ2(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + 4x4,
ϕ3(x) = −5x1 − 2x2 − 3x3 − x4.
Tarea 6, variante 19 MHF, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
1
3
2
1
, a2 =
2
−31
−3−4
, a3 =
−42
−41
3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 19 MHF, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 20 MME.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −x21 − 3x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 + 3x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −1, −3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −3P(1) + P ′(4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t− 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 20 MME, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−4, 3
]X
[−31
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−3 −21 4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 2
−1 3
]X
), Y =
[3 2
4 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
112
, b2 =
012
, b3 =
−21
3
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −4x1 − 4x2 − 4x3 − 2x4,
ϕ2(x) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + x4,
ϕ3(x) = −x1 − 3x2 + 3x3 + x4.
Tarea 6, variante 20 MME, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
0
1
−21
−6
, a2 =
4
4
−13
−2
, a3 =
4
3
1
2
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 20 MME, pagina 3 de 3
Engra
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uı
No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 21 MRCK.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x1 + 2x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 + 2x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 1, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(2) + 2P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 21 MRCK, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, 1
]X
[3
5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 3
−5 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 4
−2 −3
]X
), Y =
[−2 4
−5 −4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
−22
−1
, b2 =
111
, b3 =
121
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − 4x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −3x1 + x2 + x3 − 2x4,
ϕ2(x) = −4x1 + 3x2 + 2x3 − x4,
ϕ3(x) = −x1 + 2x2 + x3 + x4.
Tarea 6, variante 21 MRCK, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
−11
−33
, a2 =
−45
−23
−5
, a3 =
2
−41
0
2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 21 MRCK, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 22 PHJL.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x1 + 4x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −4x1 + x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 4P(−1) + 3P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1− 3t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 22 PHJL, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, 4
]X
[−2−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 −1
−4 3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 −4−1 −2
]X
), Y =
[−2 5
−4 −3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
122
, b2 =
111
, b3 =
−23
2
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −x1 − 4x2 − 2x3 − x4,
ϕ2(x) = x1 + x3 − 4x4,
ϕ3(x) = 2x1 + 4x2 + 3x3 − 3x4.
Tarea 6, variante 22 PHJL, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
−3−5−3−2
, a2 =
−21
2
0
−1
, a3 =
2
1
1
3
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 22 PHJL, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 23 RAJA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1 + x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 4x1 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, −1, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 3P(1) − 2P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1−3t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 23 RAJA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−1, 2
]X
[4
−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−5 −25 −3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([1 −52 5
]X
), Y =
[3 −12 4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
121
, b2 =
132
, b3 =
342
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + x2 + x3 − 4x4,
ϕ2(x) = 3x1 + 3x2 + 4x3 + x4,
ϕ3(x) = 4x1 + 4x2 + 5x3 − 3x4.
Tarea 6, variante 23 RAJA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
1
2
−3−3
, a2 =
−31
3
−23
, a3 =
−22
5
−50
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 23 RAJA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 24 RCE.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 + x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −3x1 − 2x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −2, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −3P(−1) − 2P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −4+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 24 RCE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, −2
]X
[−3−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 3
−1 4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 −2
−4 1
]X
), Y =
[1 3
5 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
114
, b2 =
0
−11
, b3 =
122
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 − 2x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −2x2 − 4x3 − 2x4,
ϕ2(x) = −2x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4,
ϕ3(x) = −2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4.
Tarea 6, variante 24 RCE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
−11
3
−1
, a2 =
1
−22
4
0
, a3 =
−13
−3−5−1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 24 RCE, pagina 3 de 3
Engra
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uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 25 RDIDJ.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x1x2 − 2x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 2, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(1) − 3P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+3t−3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 25 RDIDJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[2, −1
]X
[−31
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 −4
−3 3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 2
1 −5
]X
), Y =
[−1 2
−2 −3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
101
, b2 =
212
, b3 =
112
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1+3x2−3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −x1 + x2 + 3x3 + 4x4,
ϕ2(x) = −3x1 + 2x2 + x3 + x4,
ϕ3(x) = −2x1 + x2 − 2x3 − 3x4.
Tarea 6, variante 25 RDIDJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
−2−32
2
, a2 =
1
1
3
3
−1
, a3 =
2
−10
5
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 25 RDIDJ, pagina 3 de 3
Engra
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uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 26 SRGA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −x1 + 4x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, 3, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −4P(1) + 3P ′(2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2+ 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 26 SRGA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, 2
]X
[1
−3
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 −2
−4 −3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 1
−1 −5
]X
), Y =
[4 2
5 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
221
, b2 =
111
, b3 =
103
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+4x2−x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 + 2x2 + x3 + x4,
ϕ2(x) = x1 − 2x2 + x3 − x4,
ϕ3(x) = −x1 − 4x2 − 2x4.
Tarea 6, variante 26 SRGA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
1
1
−3−1
, a2 =
4
4
3
−32
, a3 =
−1−3−20
−3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 26 SRGA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 27 TMMA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1x2 − x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −3P(1) + 2P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3 − t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 27 TMMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, −1
]X
[2
5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−4 −14 −5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 3
1 −4
]X
), Y =
[−3 2
−5 −4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
212
, b2 =
112
, b3 =
−20
1
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −3x1 + x2 + 3x3 + 2x4,
ϕ2(x) = x1 + x2 − 2x3 + x4,
ϕ3(x) = −2x1 + 2x2 + x3 + 3x4.
Tarea 6, variante 27 TMMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
−67
5
−3
, a2 =
4
−43
2
0
, a3 =
−3−24
3
−3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 27 TMMA, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 28 TELD.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x21 − x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 3x1 + 2x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −1, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(2) + 3P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 + 3t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 28 TELD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−5, −1
]X
[−21
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 −1
−4 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 2
−2 −1
]X
), Y =
[−1 4
−3 −2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
121
, b3 =
1
−12
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 4x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4,
ϕ2(x) = 2x1 − x2 + x3 − 4x4,
ϕ3(x) = 5x1 − 3x2 + 2x3 − 2x4.
Tarea 6, variante 28 TELD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
−21
0
−3
, a2 =
3
−61
4
−2
, a3 =
1
2
1
−4−4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 28 TELD, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 29 UTAV.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 + x2 + 4.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 + 2x2 − x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 2, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(2) − 2P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3 + t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 29 UTAV, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−4, −5
]X
[5
−2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−3 −4−5 3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([2 5
−4 −5
]X
), Y =
[−4 2
−5 1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
312
, b2 =
201
, b3 =
121
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+x2+4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −3x1 + 3x2 + x3 + 2x4,
ϕ2(x) = −4x1 + x3 + x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 6x2 − x3 − 3x4.
Tarea 6, variante 29 UTAV, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
2
4
4
−2
, a2 =
4
3
5
0
−2
, a3 =
−5−4−64
2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 29 UTAV, pagina 3 de 3
Engra
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 30 VNDI.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x1x2 + 2x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −3x1 + 3x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 1, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−1) + P ′(4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+3t−2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 30 VNDI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−1, 4
]X
[1
2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 1
−5 −3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([4 −4
−5 1
]X
), Y =
[3 4
−1 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
343
, b2 =
334
, b3 =
102
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 + 3x2 − 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 4x1 − 4x2 − 5x3 − 3x4,
ϕ2(x) = −4x1 + 2x3 + x4,
ϕ3(x) = 4x1 + 4x2 + x3 + x4.
Tarea 6, variante 30 VNDI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−1−24
3
2
, a2 =
5
5
−41
1
, a3 =
4
3
0
4
3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 30 VNDI, pagina 3 de 3
Engra
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 31 VHA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1 + 3x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 4x2 − x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(1) − 3P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 − t − 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 31 VHA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−4, 3
]X
[−3−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−3 4
−1 2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 −11 −2
]X
), Y =
[1 −15 2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
121
, b2 =
231
, b3 =
142
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 4x2 − 2x3 + x4,
ϕ2(x) = 3x1 + 5x2 − 2x3 + x4,
ϕ3(x) = 3x1 − 3x2 + 2x3 − x4.
Tarea 6, variante 31 VHA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
2
0
2
−1
, a2 =
1
4
−21
4
, a3 =
2
6
−23
3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 31 VHA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 32 VMJJ.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1 + 3x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − 2x2 − x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 1, −4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(1) − 2P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − t − 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 32 VMJJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, −1
]X
[−2−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−5 5
−1 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 −5−3 1
]X
), Y =
[−3 5
−4 −2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
3
2
−1
, b2 =
111
, b3 =
112
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1−x2+4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4,
ϕ2(x) = 4x2 + 5x3 + 5x4,
ϕ3(x) = −3x1 + x2 + x3 + x4.
Tarea 6, variante 32 VMJJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
3
1
2
3
, a2 =
−31
0
1
1
, a3 =
−14
1
3
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 32 VMJJ, pagina 3 de 3
Engra
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 33 GMOA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1x2 − 3x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[4, −1, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(1) − 3P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2+ 2t− 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 33 GMOA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, −4
]X
[−54
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−3 5
2 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 5
−3 −5
]X
), Y =
[−3 −11 −4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
210
, b2 =
−13
2
, b3 =
121
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1−4x2+x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 − 3x2 + x4,
ϕ2(x) = −3x1 + 5x2 − 4x3 − 2x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 2x2 + 4x3 + x4.
Tarea 6, variante 33 GMOA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
−30
2
5
, a2 =
−14
−11
2
, a3 =
3
−71
1
3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 33 GMOA, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 34 VALA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x1 + x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −3x1 − 3x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 3, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(2) − P ′(1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t + 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 34 VALA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, 4
]X
[−1−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−4 3
−5 −3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 1
−1 −3
]X
), Y =
[2 1
5 3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
−22
−1
, b2 =
111
, b3 =
121
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + 3x2 − x3,
ϕ2(x) = 4x1 − x2 − 2x3 + x4,
ϕ3(x) = 3x1 − 4x2 − x3 + x4.
Tarea 6, variante 34 VALA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−4−22
1
3
, a2 =
4
4
1
0
2
, a3 =
−4−6−4−1−7
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 34 VALA, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 35 ZPJ.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1 + 2x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − 2x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 3, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) − P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+ 3t− t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 35 ZPJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−4, 3
]X
[−52
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−4 2
1 −5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 1
4 3
]X
), Y =
[−4 −1−5 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
133
, b2 =
011
, b3 =
134
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 3x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 − 4x2 − 4x3 + x4,
ϕ2(x) = 5x1 − x2 + 2x4,
ϕ3(x) = 3x1 + 3x2 + 4x3 + x4.
Tarea 6, variante 35 ZPJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
2
2
1
3
, a2 =
3
3
2
−34
, a3 =
1
1
0
−41
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 35 ZPJ, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 36 BRMF.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1 − 3x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 + x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 1, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(1) + 3P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1−2t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 36 BRMF, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, −5
]X
[5
2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 −12 −5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 1
2 −3
]X
), Y =
[−5 2
−2 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
233
, b3 =
223
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 3x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 + 2x2 − x3 + 3x4,
ϕ2(x) = x2 + 4x3 + x4,
ϕ3(x) = −2x1 − 3x2 − 3x3 − 4x4.
Tarea 6, variante 36 BRMF, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−1−32
−25
, a2 =
−51
0
2
1
, a3 =
2
−21
−22
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 36 BRMF, pagina 3 de 3
Engra
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 37 RMIA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1 − 3x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 − 2x2 + 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, 4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) + P ′(−4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+ 4t− t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 37 RMIA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[1, −4
]X
[−23
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 −11 −2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 1
2 −5
]X
), Y =
[1 4
5 −2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
3
−10
, b2 =
211
, b3 =
111
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 − 3x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 + 4x2 − x3 − 3x4,
ϕ2(x) = x1 + x2 − 4x4,
ϕ3(x) = 2x1 + 3x2 − x3 + x4.
Tarea 6, variante 37 RMIA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
1
3
3
1
, a2 =
0
2
5
5
5
, a3 =
−31
2
2
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 37 RMIA, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 38 MRHA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, 2, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) + P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −4+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 38 MRHA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, 1
]X
[5
2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 −3
−5 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 5
2 −4
]X
), Y =
[−5 −41 3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
114
, b2 =
0
−11
, b3 =
122
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 3x2 − 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4,
ϕ2(x) = −2x1 + 4x2 + x3 + x4,
ϕ3(x) = x1 − 2x2 − 4x3 − 5x4.
Tarea 6, variante 38 MRHA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−2−51
3
1
, a2 =
−1−40
5
2
, a3 =
1
1
−12
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 38 MRHA, pagina 3 de 3
Engra
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uı
No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 39 AVMA.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x1 − 4x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −4x1 + x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −2, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(1) + 2P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3+ 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 39 AVMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[2, 3
]X
[5
4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[3 −5
−3 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([1 −3
−1 3
]X
), Y =
[2 −21 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
322
, b2 =
111
, b3 =
012
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1+2x2−3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 + x4,
ϕ2(x) = −4x1 + 2x2 + 3x3 + x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 3x2 − 2x4.
Tarea 6, variante 39 AVMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
4
0
−31
3
, a2 =
−14
5
−2−7
, a3 =
−3−4−21
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 39 AVMA, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 40 MCCO.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x1 − 4x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 4x1 − x2 − x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(−2) + 3P ′(−4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1− 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 40 MCCO, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, −5
]X
[−4−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 3
−2 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 −4
−2 −1
]X
), Y =
[4 −5
−4 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
1
0
−3
, b2 =
111
, b3 =
112
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + 4x2 − 4x4,
ϕ2(x) = x1 + 5x2 + 3x3 − 4x4,
ϕ3(x) = −x1 − 3x2 + 3x3 + 4x4.
Tarea 6, variante 40 MCCO, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−45
3
−3−2
, a2 =
3
−31
2
−2
, a3 =
1
−2−41
4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 40 MCCO, pagina 3 de 3
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 41.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −x1 − 4x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + 3x2 − x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−1) − P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+ t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 41, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, 2
]X
[−45
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 −11 −3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 2
5 −4
]X
), Y =
[5 −13 1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
423
, b2 =
313
, b3 =
101
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1−3x2+x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 + x3 + 3x4,
ϕ2(x) = 2x1 − x2 + 3x3 − x4,
ϕ3(x) = x1 − x2 + 2x3 − 4x4.
Tarea 6, variante 41, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−43
−44
2
, a2 =
−72
−50
1
, a3 =
3
1
1
4
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 41, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 42.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 + 4x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 4x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −1, 4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−3) + 2P ′(−4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 42, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[1, 3
]X
[4
−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 4
−1 −5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 −4
−5 −1
]X
), Y =
[−4 −35 4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
423
, b2 =
313
, b3 =
101
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 + x2 − 4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 + x2 + x3 − 4x4,
ϕ2(x) = −x1 − 4x2 − 3x3 + 4x4,
ϕ3(x) = −x1 + 3x2 + 2x3.
Tarea 6, variante 42, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
5
−5−11
0
, a2 =
3
−1−42
1
, a3 =
−24
−31
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 42, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 43.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x1 − x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + 3x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 2, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(2) + 2P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+ 4t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 43, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, −2
]X
[−32
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 −1−4 2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 −4−2 3
]X
), Y =
[−5 −25 −3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
322
, b2 =
212
, b3 =
101
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −3x1 + 2x2 + 3x3 − x4,
ϕ2(x) = x1 − x2 − 2x3 + 3x4,
ϕ3(x) = −2x1 + x2 + x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 43, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
−32
2
1
, a2 =
−66
−4−4−2
, a3 =
4
−3−4−11
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 43, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 44.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x21 − 2x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −4P(−1) − 3P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 44, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−5, 1
]X
[2
5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 −51 4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 2
−5 −4
]X
), Y =
[−3 4
−2 2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
214
, b2 =
101
, b3 =
124
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 + 2x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 5x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4,
ϕ2(x) = 3x1 + 6x2 + x3 + 5x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 4x2 + x3 − 2x4.
Tarea 6, variante 44, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
4
5
0
3
, a2 =
3
1
1
1
1
, a3 =
−32
3
−21
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 44, pagina 3 de 3
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 45.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x1 + 4x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − 4x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −2, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(−1) + P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −4− 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 45, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, 3
]X
[−2−3
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−1 −32 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 −4
−5 −1
]X
), Y =
[−2 4
5 −3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
−12
1
, b3 =
−22
1
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 4x1 − x2 + x3 + x4,
ϕ2(x) = −3x1 − 3x2 + 3x3 + 2x4,
ϕ3(x) = x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4.
Tarea 6, variante 45, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
−23
2
3
, a2 =
0
5
−12
−4
, a3 =
1
3
2
4
−1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 45, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 46.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1x2 − 2x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x2 + 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −3P(1) + 2P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 46, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−1, −2
]X
[5
−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 5
1 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([1 −5
−1 −3
]X
), Y =
[−4 −2−3 4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
210
, b2 =
−13
2
, b3 =
121
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 7x1 − 4x2 + 3x3 + 2x4,
ϕ2(x) = 5x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 2x2 + x3.
Tarea 6, variante 46, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
−44
3
−4
, a2 =
−44
0
−54
, a3 =
3
−42
4
−4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 46, pagina 3 de 3
Engra
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 47.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1 + 3x2 + 3.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 3x1 − x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, 1, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−1) − 2P ′(1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3+ 3t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 47, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[1, −4
]X
[4
−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−1 5
2 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([5 −4
−5 −1
]X
), Y =
[−3 −54 1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
134
, b2 =
111
, b3 =
034
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 + 4x2 − 4x3 + 3x4,
ϕ2(x) = 4x1 + x2 − 3x3 + x4,
ϕ3(x) = −2x1 + 3x2 − x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 47, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
1
7
−1−2
, a2 =
1
−12
−4−2
, a3 =
2
2
5
3
0
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 47, pagina 3 de 3
Engra
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 48.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1 + 2x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 − x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) − P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 + 2t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 48, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, −3
]X
[1
−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 4
−5 −4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 −1−2 2
]X
), Y =
[−4 4
2 3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
233
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −2x1 + 2x2 + 5x3 − 2x4,
ϕ2(x) = 3x1 + x2 + 2x3 + 2x4,
ϕ3(x) = −5x1 + x2 + 3x3 − 4x4.
Tarea 6, variante 48, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−34
0
3
−4
, a2 =
−11
−21
−1
, a3 =
−23
2
2
−3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 48, pagina 3 de 3
Engra
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 49.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −x21 + 2x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − 3x2 + 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 3, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−3) + 4P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 4t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 49, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, −2
]X
[4
−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[3 −3
−2 −4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 2
4 5
]X
), Y =
[2 4
−2 −3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
1
1
−2
, b2 =
014
, b3 =
123
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1 + x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 4x2 + 3x3 + 4x4,
ϕ2(x) = 4x1 + 4x2 + 5x3 + 7x4,
ϕ3(x) = −4x1 + 4x2 + x3 + x4.
Tarea 6, variante 49, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−7−3−1−1−5
, a2 =
3
0
4
4
2
, a3 =
4
3
−3−33
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 49, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 50.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −x1 + 4x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − x2 − 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, −2, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−1) − P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 50, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, 3
]X
[−45
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−4 4
3 2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 3
4 1
]X
), Y =
[−5 −15 2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
1
−23
, b2 =
120
, b3 =
111
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 − 2x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 − 7x2 − 5x3 − 3x4,
ϕ2(x) = −4x1 + 2x2 + 4x3 + x4,
ϕ3(x) = 3x1 + 5x2 + x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 50, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
5
−21
0
, a2 =
1
−44
1
2
, a3 =
3
1
2
2
2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 50, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 51.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x1 − 2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−2) + P ′(2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 4t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 51, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[1, −1
]X
[3
−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 3
4 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 −3
−1 −5
]X
), Y =
[−3 2
5 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
101
, b2 =
212
, b3 =
112
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 + x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −2x1 − x2 − 2x4,
ϕ2(x) = 3x1 + 2x2 + x3 + x4,
ϕ3(x) = x1 + x2 + x3 − x4.
Tarea 6, variante 51, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
3
0
4
−1
, a2 =
−4−21
−12
, a3 =
−11
1
3
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 51, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 52.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1 − 3x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 − 2x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, −1, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−2) + P ′(2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+2t−3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 52, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, 1
]X
[−23
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 −1
−4 2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([4 −3
−4 5
]X
), Y =
[4 2
−2 −3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
114
, b2 =
0
−11
, b3 =
122
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x1 − x2 − x3 + x4,
ϕ2(x) = −2x1 + 2x2 + 3x3 − 3x4,
ϕ3(x) = −x1 + x2 + 2x3 − 2x4.
Tarea 6, variante 52, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−12
3
3
2
, a2 =
1
1
2
2
4
, a3 =
2
−1−1−12
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 52, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 53.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1 − 4x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 + 4x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(1) + 2P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ t− 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 53, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−1, −4
]X
[−25
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 5
−4 4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 4
1 5
]X
), Y =
[5 3
−4 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
233
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 − 3x2 + 3x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = x2 + x3 + x4,
ϕ2(x) = 4x1 − 3x2 − 4x3 − 4x4,
ϕ3(x) = −4x1 + x2 + 2x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 53, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
2
3
4
2
6
, a2 =
2
1
0
1
−3
, a3 =
4
4
4
3
3
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 53, pagina 3 de 3
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 54.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x21 − x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + 3x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −3, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(1) + 3P ′(2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1−2t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 54, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[4, −3
]X
[1
5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 −12 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−4 4
−2 1
]X
), Y =
[4 2
1 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
1
1
−2
, b2 =
014
, b3 =
123
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 5x1 + 2x2 + 4x3 − 4x4,
ϕ2(x) = −6x1 − 2x2 + 6x3 + 6x4,
ϕ3(x) = 3x1 + x2 − 3x3 − 3x4.
Tarea 6, variante 54, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−2−31
3
−3
, a2 =
4
−21
4
2
, a3 =
6
1
0
1
5
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 54, pagina 3 de 3
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dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 55.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x22.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, −1, −2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(2) − P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2+ 3t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 55, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[1, −5
]X
[−43
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 −3
−2 3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([2 −55 1
]X
), Y =
[−3 −11 −2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
322
, b2 =
212
, b3 =
101
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 + 2x2 − 3x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 + 2x2 + x3 + x4,
ϕ2(x) = x1 + 3x2 + x3 + x4,
ϕ3(x) = −x1 + 4x2 + x3 + x4.
Tarea 6, variante 55, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
3
−35
−2
, a2 =
−42
3
3
−4
, a3 =
7
1
−62
2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 55, pagina 3 de 3
Engra
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 56.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −x1 + x1x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + x2 + 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 3, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) − P ′(4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+2t−2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 56, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, 2
]X
[−41
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−5 −2−3 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 −21 −3
]X
), Y =
[5 −4
−5 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
430
, b2 =
331
, b3 =
221
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1+ 3x2+ 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x2 + 4x3 − 3x4,
ϕ2(x) = 4x1 + x2 + x3 − 4x4,
ϕ3(x) = −4x1 + 2x2 + 3x3 + x4.
Tarea 6, variante 56, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
0
3
2
5
2
, a2 =
−31
1
3
4
, a3 =
3
2
1
2
−2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 56, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 57.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x1 − 3x2 + 4.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 2, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−1) − 3P ′(1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 57, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−4, 1
]X
[−32
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 −31 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 −33 −4
]X
), Y =
[3 5
−1 −2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
110
, b2 =
342
, b3 =
221
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 + x2 + x3 + 3x4,
ϕ2(x) = 4x1 + 4x2 + x3 − 2x4,
ϕ3(x) = x1 + 3x2 − 5x4.
Tarea 6, variante 57, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−1−5−2−1−1
, a2 =
2
3
3
4
−3
, a3 =
1
−21
3
−4
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 57, pagina 3 de 3
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 58.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 2x1x2 − 4x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −3x1 + x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −4, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−1) − 3P ′(1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 58, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, −2
]X
[−51
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[2 −5
−1 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 4
2 −2
]X
), Y =
[−1 2
3 1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
144
, b2 =
223
, b3 =
133
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 − 3x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 4x1 − 4x2 + 3x3 + x4,
ϕ2(x) = −x1 + 2x3 + x4,
ϕ3(x) = −3x1 + 4x2 − 5x3 − 2x4.
Tarea 6, variante 58, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−23
1
2
−1
, a2 =
4
4
3
3
4
, a3 =
−46
2
4
−2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 58, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 59.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x1 + x2 − 5.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 − 2x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −2, 3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = P(−2) + 3P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2− 3t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 59, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[5, 1
]X
[−1−3
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−4 4
−5 −3
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−5 −31 −1
]X
), Y =
[−1 1
5 −5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
301
, b2 =
311
, b3 =
2
−11
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+x2+2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −x1 − 3x2 − 4x3 − x4,
ϕ2(x) = 3x1 + 2x2 + 3x3 − 3x4,
ϕ3(x) = −2x1 + x2 + x3 + 4x4.
Tarea 6, variante 59, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
4
−4−31
1
, a2 =
2
2
1
3
2
, a3 =
−26
4
2
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 59, pagina 3 de 3
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 60.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = x1x2 + 3x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −3x1 + x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 1, −4
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−1) − 2P ′(1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 60, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, 1
]X
[3
−5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−5 −3−1 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−3 4
1 −1
]X
), Y =
[3 −42 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
101
, b2 =
212
, b3 =
213
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 3x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 4x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4,
ϕ2(x) = 4x2 + 5x3 + 7x4,
ϕ3(x) = −4x1 + x2 + x3 + 3x4.
Tarea 6, variante 60, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−11
−4−32
, a2 =
3
1
0
4
3
, a3 =
−2−24
−1−5
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 60, pagina 3 de 3
Engra
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dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 61.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −x1x2 + 3x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −1, −3
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 3P(1) − 2P ′(2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t − 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 61, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−5, −2
]X
[1
−4
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−2 3
−1 2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([4 −5
−3 5
]X
), Y =
[−2 −51 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
312
, b2 =
201
, b3 =
121
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −2x1 − 4x2 − 4x3 − 4x4,
ϕ2(x) = 2x1 − 4x2 + 3x3,
ϕ3(x) = x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 61, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−13
1
4
−3
, a2 =
0
2
4
3
−1
, a3 =
1
−13
−12
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 61, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 62.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 + 3x2 + 4.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −2P(1) + P ′(3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 − t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 62, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, −1
]X
[3
2
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 1
2 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−4 −32 −2
]X
), Y =
[−1 −55 −3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
110
, b2 =
342
, b3 =
221
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 + 4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 − 3x2 + 5x3 + 2x4,
ϕ2(x) = −3x1 + 2x2 + 2x3 + x4,
ϕ3(x) = 6x1 − 5x2 + 3x3 + x4.
Tarea 6, variante 62, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−2−41
2
1
, a2 =
−1−42
5
−4
, a3 =
1
0
1
3
−5
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 62, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 63.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −4x21 + x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 2, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) − P ′(−2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1+ 2t+ 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 63, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, 1
]X
[5
3
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−3 3
2 −1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−1 −5−4 1
]X
), Y =
[−4 −3−1 3
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
423
, b2 =
111
, b3 =
323
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1− 3x2+ 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 2x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4,
ϕ2(x) = x1 − 2x2 + x3 + 2x4,
ϕ3(x) = −3x1 + 4x2 − 4x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 63, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
3
2
−43
3
, a2 =
1
1
3
3
−4
, a3 =
−4−31
−61
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 63, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 64.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 − x2 − 2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 2x1 − x2 − 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(1) + P ′(−4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+ t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 64, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−3, 5
]X
[−21
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−5 −15 −2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([4 −1
−5 −4
]X
), Y =
[−5 −15 −4
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
121
, b2 =
021
, b3 =
−13
2
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −7x1 + x2 − 5x3 − x4,
ϕ2(x) = 3x1 − 4x2 + 2x3 − x4,
ϕ3(x) = 4x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 64, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−3−21
1
4
, a2 =
5
6
−5−4−2
, a3 =
−2−44
3
−2
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 64, pagina 3 de 3
Engra
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 65.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 3x21 + 3x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −x1 + 3x2 + 2x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, −2, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(2) − 2P ′(−1).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − 3t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 65, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, 2
]X
[−31
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[5 1
4 −4
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([3 2
5 4
]X
), Y =
[−3 −23 2
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
142
, b2 =
131
, b3 =
032
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = −x1 − x2 + 4x3 + 3x4,
ϕ2(x) = −2x1 + 4x2 − 2x3 − 2x4,
ϕ3(x) = −2x1 + x2 + 3x3 + 2x4.
Tarea 6, variante 65, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−22
2
1
3
, a2 =
−32
−3−24
, a3 =
1
0
5
3
−1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 65, pagina 3 de 3
Engra
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 66.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −3x1 − x2 − 5.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = 3x1 − x2 − 3x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, 2
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 2P(−1) + P ′(−4).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3+ 3t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 66, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, −4
]X
[4
5
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[−1 −25 1
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 3
−1 −3
]X
), Y =
[−1 4
2 −5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
1
2
−1
, b2 =
1
3
−2
, b3 =
221
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + 2x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 − 2x2 − 2x3 + x4,
ϕ2(x) = x1 − 4x2 + 4x3 + x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 3x2 + x3 + x4.
Tarea 6, variante 66, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−34
1
4
2
, a2 =
6
−4−2−7−3
, a3 =
−30
1
3
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 66, pagina 3 de 3
Engra
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Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 67.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = −2x1 + x2 + 3.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = x1 − 4x2 + x3.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −3, 1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = 3P(−1) + 2P ′(−3).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+3t+2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 67, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[3, 1
]X
[−3−1
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[4 5
1 −2
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([−2 1
−1 −4
]X
), Y =
[−5 −3−4 −1
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
423
, b2 =
111
, b3 =
122
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+x2+3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 3x1 − 4x2 + x3 + 3x4,
ϕ2(x) = −4x1 + 3x2 + x3 + 2x4,
ϕ3(x) = −x1 − x2 + 2x3 + 5x4.
Tarea 6, variante 67, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
1
4
−33
1
, a2 =
3
−2−1−62
, a3 =
4
2
−4−33
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 67, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 68.
Funcionales lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) = 4x1x2 − x2.
Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,
ϕ(x) = −2x1 + x2.
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.
III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, 2, −1
]>, de dos maneras diferentes:
primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .
Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,
ϕ(P) = −P(−1) + 2P ′(2).
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1+ 3t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .
Tarea 6, variante 68, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,
ϕ(X) =[−2, −3
]X
[−13
].
I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.
II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).
III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .
Y =
[1 −2
−4 5
].
Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.
ϕ(X) = tr
([1 −12 5
]X
), Y =
[−4 −14 5
].
Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde
b1 =
111
, b2 =
211
, b3 =
2
−1−2
.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.
II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.
III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+x2−3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.
Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:
ϕ1(x) = 7x1 + 3x3 − 5x4,
ϕ2(x) = 5x1 + 4x2 + 2x3 − 4x4,
ϕ3(x) = 2x1 − 4x2 + x3 − x4.
Tarea 6, variante 68, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
a1 =
−25
−24
3
, a2 =
1
3
2
1
2
, a3 =
−32
−43
1
.
Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.
Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.
Tarea 6, variante 68, pagina 3 de 3