Funcionales lineales. 2%. R - Egor...

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Engrape aqu´ ı No doble ´ Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante α. Funcionales lineales. Nombre: Calificaci´ on ( %): Esta tarea vale 15 % de la calificaci´ on parcial. Ejercicio 1. 2 %. Demuestre que la funci´on f : R 2 R definida mediante la siguiente f´ ormula no es lineal. Para hacerlo, indique cu´al condici´ on no se cumple y d´ e un contraejemplo concreto. f(x)= 4x 2 1 + x 2 . Ejercicio 2. 2 %. Sea ϕ : R 3 R, ϕ(x)= x 1 - 2x 2 + 3x 3 . I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal. II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ =(γ 1 2 3 ), donde Γ es la base dual a la base can´ onica E del espacio R 3 . III. Para comprobaci´ on calcule ϕ(y), donde y = 1, 1, -2 > , de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ ormula ϕ(y)= ϕ > Γ y E . Ejercicio 3. 2 %. Sea ϕ : P 2 (R) R, ϕ(P)=-P(1)- 2P 0 (-1). I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal. II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ =(γ 0 1 2 ), donde Γ es la base dual a la base can´ onica E =(1, t, t 2 ) del espacio P 2 (R). III. Para comprobaci´on calcule ϕ(Q), donde Q(t)= 2 + 4t - t 2 , de dos maneras diferentes: primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la f´ ormula ϕ(Q)= ϕ > Γ Q E . Tarea 6, variante α, p´agina 1 de 3

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Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante α.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x21 + x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − 2x2 + 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 1, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(1) − 2P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + 4t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante α, pagina 1 de 3

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Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, −1

]X

[−53

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 −45 3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 −42 −5

]X

), Y =

[5 4

−1 3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

241

, b2 =

131

, b3 =

121

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1+ 2x2− 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + x2 + x4,

ϕ2(x) = 2x1 + x2 + x3 − 2x4,

ϕ3(x) = 3x1 + 2x2 + x3 − x4.

Tarea 6, variante α, pagina 2 de 3

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Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−42

0

5

2

, a2 =

2

1

−12

−2

, a3 =

−4−22

−44

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante α, pagina 3 de 3

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Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante β.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x1 − 4x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 4x1 − x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, −3, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−1) − 3P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − 2t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante β, pagina 1 de 3

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Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, −5

]X

[−4−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 −4

−2 −5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−4 −13 2

]X

), Y =

[−3 5

−2 4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

433

, b3 =

−11

0

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+2x2−x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 4x1 + x2 − 4x3 + 2x4,

ϕ2(x) = −3x1 + x2 − 3x3 + 3x4,

ϕ3(x) = −6x1 + 2x2 − 6x3 + 6x4.

Tarea 6, variante β, pagina 2 de 3

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Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

4

3

4

3

, a2 =

2

1

1

−20

, a3 =

−4−5−4−2−3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante β, pagina 3 de 3

Page 7: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 1 AJAS.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x21 + x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 + 2x2 − 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) − P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2− 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 1 AJAS, pagina 1 de 3

Page 8: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, −2

]X

[−34

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 −5

−3 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 −1−5 3

]X

), Y =

[−2 5

−1 −5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

144

, b2 =

223

, b3 =

133

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+x2+2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + 4x2 + x4,

ϕ2(x) = x1 + 2x2 − 4x3 − 3x4,

ϕ3(x) = x1 + 3x2 − 2x3 − x4.

Tarea 6, variante 1 AJAS, pagina 2 de 3

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Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−41

3

0

2

, a2 =

1

1

3

−31

, a3 =

2

2

6

−62

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 1 AJAS, pagina 3 de 3

Page 10: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 2 BTCF.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x21.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 + x2 − 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 3, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−1) + P ′(4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + t + 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 2 BTCF, pagina 1 de 3

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Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−5, −1

]X

[5

−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 −33 4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 4

−1 −2

]X

), Y =

[−3 2

1 −2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

322

, b2 =

111

, b3 =

012

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 − x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −x1 + x2 + x3 + x4,

ϕ2(x) = −3x1 + x2 − 3x3 + 3x4,

ϕ3(x) = −2x1 + x2 − x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 2 BTCF, pagina 2 de 3

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Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

4

2

−10

, a2 =

1

1

1

−31

, a3 =

2

3

1

2

−1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 2 BTCF, pagina 3 de 3

Page 13: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 3 CSA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x21 − 3x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 3, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) − 3P ′(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+2t−2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 3 CSA, pagina 1 de 3

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Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, 2

]X

[1

−3

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 1

2 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−4 4

5 1

]X

), Y =

[−5 −2−3 2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

214

, b2 =

112

, b3 =

011

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1+x2−2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + 4x2 + x3 + 2x4,

ϕ2(x) = 2x1 + 4x2 + x3 − x4,

ϕ3(x) = 3x1 + 4x2 + x3 − 4x4.

Tarea 6, variante 3 CSA, pagina 2 de 3

Page 15: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

4

3

−4−3−2

, a2 =

−43

−25

4

, a3 =

0

3

−31

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 3 CSA, pagina 3 de 3

Page 16: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 4 CNKM.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x21 − 4x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − 3x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−2) − 3P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 4 CNKM, pagina 1 de 3

Page 17: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, −4

]X

[1

−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 5

−3 −2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 2

4 5

]X

), Y =

[1 −52 −4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

102

, b2 =

213

, b3 =

214

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 + x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −2x1 + x2 + 2x3 + 2x4,

ϕ2(x) = 4x1 − 2x2 − 4x3 − 4x4,

ϕ3(x) = 4x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4.

Tarea 6, variante 4 CNKM, pagina 2 de 3

Page 18: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−4−22

1

−2

, a2 =

0

2

3

2

4

, a3 =

4

4

1

1

6

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 4 CNKM, pagina 3 de 3

Page 19: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 5 CNLE.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x1x2 − 4x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −4x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(1) − 2P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 5 CNLE, pagina 1 de 3

Page 20: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[1, −2

]X

[2

−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 −5−4 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 2

1 −5

]X

), Y =

[3 4

2 −5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

1

2

−1

, b2 =

1

3

−2

, b3 =

221

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x2 − 4x3 − 4x4,

ϕ2(x) = x1 + 2x2 + x3 − 2x4,

ϕ3(x) = x1 + 3x2 − x3 − 4x4.

Tarea 6, variante 5 CNLE, pagina 2 de 3

Page 21: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

−13

−31

, a2 =

−22

−66

−2

, a3 =

2

−1−4−33

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 5 CNLE, pagina 3 de 3

Page 22: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 6 DPE.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1x2 − 2x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 3x1 − x2 − 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 3, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) + P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+2t+2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 6 DPE, pagina 1 de 3

Page 23: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, −5

]X

[−1−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[3 2

4 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 −44 2

]X

), Y =

[2 5

1 4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

3

2

−1

, b2 =

111

, b3 =

112

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1− 3x2− 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + 4x2 − 2x3 + 2x4,

ϕ2(x) = 2x1 + 3x2 − 2x3 + 3x4,

ϕ3(x) = x1 − x2 + x4.

Tarea 6, variante 6 DPE, pagina 2 de 3

Page 24: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

−33

1

−2

, a2 =

6

−63

5

−6

, a3 =

4

0

−33

−2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 6 DPE, pagina 3 de 3

Page 25: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 7 DEER.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 + 3x2 + 3.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −3x1 + x2 + 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(1) + P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 7 DEER, pagina 1 de 3

Page 26: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, −5

]X

[5

−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[3 −44 −5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([4 3

−3 2

]X

), Y =

[−1 3

−2 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

121

, b2 =

132

, b3 =

342

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1−2x2+x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −4x1 + x2 − 2x3 + 2x4,

ϕ2(x) = 4x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4,

ϕ3(x) = −3x2 + 6x3 − 5x4.

Tarea 6, variante 7 DEER, pagina 2 de 3

Page 27: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−14

3

2

5

, a2 =

0

1

4

1

2

, a3 =

1

−31

−1−3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 7 DEER, pagina 3 de 3

Page 28: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 8 DLRTH.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x1x2 + x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − 3x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −2, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−3) + 4P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 8 DLRTH, pagina 1 de 3

Page 29: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[2, 3

]X

[−4−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 3

−3 −2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−4 4

5 1

]X

), Y =

[1 −1

−2 4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

1

−12

, b2 =

1

4

−1

, b3 =

111

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 + x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 + x4,

ϕ2(x) = −x1 − 3x2 + x3,

ϕ3(x) = x1 − 2x2 − 2x3 + x4.

Tarea 6, variante 8 DLRTH, pagina 2 de 3

Page 30: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

3

1

3

1

, a2 =

−1−1−3−5−2

, a3 =

0

−22

2

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 8 DLRTH, pagina 3 de 3

Page 31: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 9 DGGI.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1 + 3x2 + 4.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −4x1 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 3, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) + 2P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 9 DGGI, pagina 1 de 3

Page 32: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, −1

]X

[−3−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[3 5

−4 −5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 2

1 −2

]X

), Y =

[−4 2

1 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

131

, b2 =

141

, b3 =

132

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1−x2+3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 − 3x4,

ϕ2(x) = −3x1 − 2x2 + 2x3 − x4,

ϕ3(x) = x1 + x2 + x3 + 4x4.

Tarea 6, variante 9 DGGI, pagina 2 de 3

Page 33: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

−43

2

1

, a2 =

1

4

4

3

−3

, a3 =

−20

−7−52

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 9 DGGI, pagina 3 de 3

Page 34: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 10 DJRA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −4x1 + 4x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 + x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, −2, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(1) − P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 10 DJRA, pagina 1 de 3

Page 35: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, −5

]X

[1

−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 3

−5 2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 −3−1 3

]X

), Y =

[5 3

−1 1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

−11

1

, b2 =

213

, b3 =

023

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 2x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 + x2 − x3 + x4,

ϕ2(x) = 2x1 + x2 + 3x4,

ϕ3(x) = −4x1 − x2 + 2x3 + x4.

Tarea 6, variante 10 DJRA, pagina 2 de 3

Page 36: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

4

3

−4−2

, a2 =

2

6

4

6

4

, a3 =

1

3

2

3

2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 10 DJRA, pagina 3 de 3

Page 37: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 11 FMFD.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1x2 + 3x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −1, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−1) + P ′(4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 11 FMFD, pagina 1 de 3

Page 38: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−5, 4

]X

[1

−2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 3

2 −4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([1 −22 3

]X

), Y =

[4 2

−5 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

211

, b3 =

2

−1−2

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1−x2+2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + 6x2 + x3 − 4x4,

ϕ2(x) = 2x1 + 3x2 + 3x3,

ϕ3(x) = x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4.

Tarea 6, variante 11 FMFD, pagina 2 de 3

Page 39: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−23

−34

4

, a2 =

−42

−31

3

, a3 =

2

1

0

3

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 11 FMFD, pagina 3 de 3

Page 40: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 12 GDLD.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x1 − 2x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 + x2 − 4x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 1, 4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(1) + P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 + 3t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 12 GDLD, pagina 1 de 3

Page 41: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, −1

]X

[−5−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−5 −1−2 3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([1 −12 −2

]X

), Y =

[−1 −3−5 1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

323

, b2 =

0

2

−1

, b3 =

111

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −x1 + 4x2 + 2x3 + 3x4,

ϕ2(x) = −3x1 − 5x2 − 4x4,

ϕ3(x) = 4x1 + x2 − 2x3 + x4.

Tarea 6, variante 12 GDLD, pagina 2 de 3

Page 42: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−31

0

1

4

, a2 =

−12

−21

4

, a3 =

1

3

−41

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 12 GDLD, pagina 3 de 3

Page 43: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 13 GLMA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + 4x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 4, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) + P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+2t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 13 GLMA, pagina 1 de 3

Page 44: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, 3

]X

[−1−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−5 4

1 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 4

1 −4

]X

), Y =

[−3 1

−5 2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

101

, b2 =

214

, b3 =

−11

2

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 2x2 − 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 − 4x2 + 2x3 + 2x4,

ϕ2(x) = −2x1 − 2x2 − 4x3 − 2x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 3x2 + 4x3 + 3x4.

Tarea 6, variante 13 GLMA, pagina 2 de 3

Page 45: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

−30

2

3

, a2 =

−1−3−11

1

, a3 =

−2−6−22

2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 13 GLMA, pagina 3 de 3

Page 46: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 14 GSLE.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 − x2 + 3.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 3, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) + P ′(2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 + t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 14 GSLE, pagina 1 de 3

Page 47: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, 5

]X

[−4−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 −3

−1 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 2

3 1

]X

), Y =

[−5 −33 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

121

, b3 =

1

−12

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 + 2x2 + 3x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −3x1 + 2x2 − 2x3 + 4x4,

ϕ2(x) = 4x1 + x2 + 3x3 − 4x4,

ϕ3(x) = x1 + 3x2 + x3.

Tarea 6, variante 14 GSLE, pagina 2 de 3

Page 48: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

2

−2−43

, a2 =

2

5

1

−47

, a3 =

1

3

3

0

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 14 GSLE, pagina 3 de 3

Page 49: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 15 KSJG.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x1 − x2 − 2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 + 3x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 2, −3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(2) + 2P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2 + t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 15 KSJG, pagina 1 de 3

Page 50: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, −2

]X

[1

−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 2

−3 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 4

−4 5

]X

), Y =

[−5 1

4 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

343

, b2 =

334

, b3 =

102

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+2x2−x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −x1 − 3x3 − 2x4,

ϕ2(x) = 5x1 + x2 − x3 + 4x4,

ϕ3(x) = 4x1 + x2 − 4x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 15 KSJG, pagina 2 de 3

Page 51: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−31

−41

−3

, a2 =

−33

−24

1

, a3 =

0

2

2

3

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 15 KSJG, pagina 3 de 3

Page 52: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 16 LSS.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x21 − 4x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 2, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(−1) − P ′(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 16 LSS, pagina 1 de 3

Page 53: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−1, 3

]X

[1

2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 −45 3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 −3−5 3

]X

), Y =

[−1 5

3 −4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

322

, b2 =

221

, b3 =

1

−12

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 − 3x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −3x1 − x2 − 2x3 − 2x4,

ϕ2(x) = 2x1 + x2 + 2x3 − 3x4,

ϕ3(x) = 5x1 + 2x2 + 4x3 − x4.

Tarea 6, variante 16 LSS, pagina 2 de 3

Page 54: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−2−2−22

1

, a2 =

−1−2−13

2

, a3 =

1

0

1

1

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 16 LSS, pagina 3 de 3

Page 55: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 17 LPS.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x21 + 4x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 3x1 − x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, 2, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(1) + 2P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 17 LPS, pagina 1 de 3

Page 56: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, 5

]X

[2

3

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−1 4

5 2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 −2

−4 −5

]X

), Y =

[−2 4

2 −5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

110

, b3 =

233

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 − 4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 + x2 + x3 + x4,

ϕ2(x) = −x1 − x2 + 3x3 + 4x4,

ϕ3(x) = −4x1 − 2x2 + 2x3 + 3x4.

Tarea 6, variante 17 LPS, pagina 2 de 3

Page 57: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

3

−42

0

, a2 =

−2−4−2−2−2

, a3 =

1

2

1

1

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 17 LPS, pagina 3 de 3

Page 58: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 18 MPDD.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 − 3x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + 3x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 2, −3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(−1) + P ′(4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 + t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 18 MPDD, pagina 1 de 3

Page 59: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[1, 5

]X

[3

−2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 2

−4 −3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 3

2 1

]X

), Y =

[−4 2

3 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

343

, b2 =

334

, b3 =

102

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 3x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + 2x2 − 3x3 + x4,

ϕ2(x) = 3x1 + 4x2 − x3 + 4x4,

ϕ3(x) = −2x1 − 2x2 − 2x3 − 3x4.

Tarea 6, variante 18 MPDD, pagina 2 de 3

Page 60: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−14

3

2

3

, a2 =

4

−2−2−1−5

, a3 =

3

2

1

1

−2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 18 MPDD, pagina 3 de 3

Page 61: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 19 MHF.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −3x1 + 2x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, −1, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(1) − P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 + t − 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 19 MHF, pagina 1 de 3

Page 62: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, −2

]X

[1

3

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 −3

−4 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 −1

−4 2

]X

), Y =

[−1 3

1 −2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

433

, b3 =

−11

0

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − 4x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 + x2 + x3 − 3x4,

ϕ2(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + 4x4,

ϕ3(x) = −5x1 − 2x2 − 3x3 − x4.

Tarea 6, variante 19 MHF, pagina 2 de 3

Page 63: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

1

3

2

1

, a2 =

2

−31

−3−4

, a3 =

−42

−41

3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 19 MHF, pagina 3 de 3

Page 64: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 20 MME.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −x21 − 3x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 + 3x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −1, −3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −3P(1) + P ′(4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t− 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 20 MME, pagina 1 de 3

Page 65: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−4, 3

]X

[−31

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−3 −21 4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 2

−1 3

]X

), Y =

[3 2

4 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

112

, b2 =

012

, b3 =

−21

3

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −4x1 − 4x2 − 4x3 − 2x4,

ϕ2(x) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + x4,

ϕ3(x) = −x1 − 3x2 + 3x3 + x4.

Tarea 6, variante 20 MME, pagina 2 de 3

Page 66: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

0

1

−21

−6

, a2 =

4

4

−13

−2

, a3 =

4

3

1

2

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 20 MME, pagina 3 de 3

Page 67: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 21 MRCK.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x1 + 2x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 + 2x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 1, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(2) + 2P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 21 MRCK, pagina 1 de 3

Page 68: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, 1

]X

[3

5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 3

−5 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 4

−2 −3

]X

), Y =

[−2 4

−5 −4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

−22

−1

, b2 =

111

, b3 =

121

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − 4x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −3x1 + x2 + x3 − 2x4,

ϕ2(x) = −4x1 + 3x2 + 2x3 − x4,

ϕ3(x) = −x1 + 2x2 + x3 + x4.

Tarea 6, variante 21 MRCK, pagina 2 de 3

Page 69: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

−11

−33

, a2 =

−45

−23

−5

, a3 =

2

−41

0

2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 21 MRCK, pagina 3 de 3

Page 70: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 22 PHJL.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x1 + 4x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −4x1 + x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 4P(−1) + 3P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1− 3t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 22 PHJL, pagina 1 de 3

Page 71: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, 4

]X

[−2−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 −1

−4 3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 −4−1 −2

]X

), Y =

[−2 5

−4 −3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

122

, b2 =

111

, b3 =

−23

2

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −x1 − 4x2 − 2x3 − x4,

ϕ2(x) = x1 + x3 − 4x4,

ϕ3(x) = 2x1 + 4x2 + 3x3 − 3x4.

Tarea 6, variante 22 PHJL, pagina 2 de 3

Page 72: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

−3−5−3−2

, a2 =

−21

2

0

−1

, a3 =

2

1

1

3

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 22 PHJL, pagina 3 de 3

Page 73: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 23 RAJA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1 + x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 4x1 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, −1, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 3P(1) − 2P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1−3t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 23 RAJA, pagina 1 de 3

Page 74: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−1, 2

]X

[4

−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−5 −25 −3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([1 −52 5

]X

), Y =

[3 −12 4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

121

, b2 =

132

, b3 =

342

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + x2 + x3 − 4x4,

ϕ2(x) = 3x1 + 3x2 + 4x3 + x4,

ϕ3(x) = 4x1 + 4x2 + 5x3 − 3x4.

Tarea 6, variante 23 RAJA, pagina 2 de 3

Page 75: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

1

2

−3−3

, a2 =

−31

3

−23

, a3 =

−22

5

−50

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 23 RAJA, pagina 3 de 3

Page 76: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 24 RCE.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 + x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −3x1 − 2x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −2, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −3P(−1) − 2P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −4+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 24 RCE, pagina 1 de 3

Page 77: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, −2

]X

[−3−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 3

−1 4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 −2

−4 1

]X

), Y =

[1 3

5 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

114

, b2 =

0

−11

, b3 =

122

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 − 2x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −2x2 − 4x3 − 2x4,

ϕ2(x) = −2x1 + 4x2 + 4x3 + 5x4,

ϕ3(x) = −2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4.

Tarea 6, variante 24 RCE, pagina 2 de 3

Page 78: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

−11

3

−1

, a2 =

1

−22

4

0

, a3 =

−13

−3−5−1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 24 RCE, pagina 3 de 3

Page 79: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 25 RDIDJ.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x1x2 − 2x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 2, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(1) − 3P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+3t−3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 25 RDIDJ, pagina 1 de 3

Page 80: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[2, −1

]X

[−31

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 −4

−3 3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 2

1 −5

]X

), Y =

[−1 2

−2 −3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

101

, b2 =

212

, b3 =

112

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1+3x2−3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −x1 + x2 + 3x3 + 4x4,

ϕ2(x) = −3x1 + 2x2 + x3 + x4,

ϕ3(x) = −2x1 + x2 − 2x3 − 3x4.

Tarea 6, variante 25 RDIDJ, pagina 2 de 3

Page 81: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

−2−32

2

, a2 =

1

1

3

3

−1

, a3 =

2

−10

5

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 25 RDIDJ, pagina 3 de 3

Page 82: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 26 SRGA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −x1 + 4x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, 3, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −4P(1) + 3P ′(2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2+ 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 26 SRGA, pagina 1 de 3

Page 83: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, 2

]X

[1

−3

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 −2

−4 −3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 1

−1 −5

]X

), Y =

[4 2

5 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

221

, b2 =

111

, b3 =

103

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+4x2−x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 + 2x2 + x3 + x4,

ϕ2(x) = x1 − 2x2 + x3 − x4,

ϕ3(x) = −x1 − 4x2 − 2x4.

Tarea 6, variante 26 SRGA, pagina 2 de 3

Page 84: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

1

1

−3−1

, a2 =

4

4

3

−32

, a3 =

−1−3−20

−3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 26 SRGA, pagina 3 de 3

Page 85: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 27 TMMA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1x2 − x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −3P(1) + 2P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3 − t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 27 TMMA, pagina 1 de 3

Page 86: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, −1

]X

[2

5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−4 −14 −5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 3

1 −4

]X

), Y =

[−3 2

−5 −4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

212

, b2 =

112

, b3 =

−20

1

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −3x1 + x2 + 3x3 + 2x4,

ϕ2(x) = x1 + x2 − 2x3 + x4,

ϕ3(x) = −2x1 + 2x2 + x3 + 3x4.

Tarea 6, variante 27 TMMA, pagina 2 de 3

Page 87: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

−67

5

−3

, a2 =

4

−43

2

0

, a3 =

−3−24

3

−3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 27 TMMA, pagina 3 de 3

Page 88: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 28 TELD.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x21 − x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 3x1 + 2x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −1, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(2) + 3P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 + 3t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 28 TELD, pagina 1 de 3

Page 89: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−5, −1

]X

[−21

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 −1

−4 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 2

−2 −1

]X

), Y =

[−1 4

−3 −2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

121

, b3 =

1

−12

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 4x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4,

ϕ2(x) = 2x1 − x2 + x3 − 4x4,

ϕ3(x) = 5x1 − 3x2 + 2x3 − 2x4.

Tarea 6, variante 28 TELD, pagina 2 de 3

Page 90: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

−21

0

−3

, a2 =

3

−61

4

−2

, a3 =

1

2

1

−4−4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 28 TELD, pagina 3 de 3

Page 91: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 29 UTAV.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 + x2 + 4.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 + 2x2 − x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 2, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(2) − 2P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3 + t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 29 UTAV, pagina 1 de 3

Page 92: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−4, −5

]X

[5

−2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−3 −4−5 3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([2 5

−4 −5

]X

), Y =

[−4 2

−5 1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

312

, b2 =

201

, b3 =

121

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+x2+4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −3x1 + 3x2 + x3 + 2x4,

ϕ2(x) = −4x1 + x3 + x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 6x2 − x3 − 3x4.

Tarea 6, variante 29 UTAV, pagina 2 de 3

Page 93: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

2

4

4

−2

, a2 =

4

3

5

0

−2

, a3 =

−5−4−64

2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 29 UTAV, pagina 3 de 3

Page 94: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 30 VNDI.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x1x2 + 2x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −3x1 + 3x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 1, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) + P ′(4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+3t−2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 30 VNDI, pagina 1 de 3

Page 95: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−1, 4

]X

[1

2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 1

−5 −3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([4 −4

−5 1

]X

), Y =

[3 4

−1 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

343

, b2 =

334

, b3 =

102

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 + 3x2 − 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 4x1 − 4x2 − 5x3 − 3x4,

ϕ2(x) = −4x1 + 2x3 + x4,

ϕ3(x) = 4x1 + 4x2 + x3 + x4.

Tarea 6, variante 30 VNDI, pagina 2 de 3

Page 96: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−1−24

3

2

, a2 =

5

5

−41

1

, a3 =

4

3

0

4

3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 30 VNDI, pagina 3 de 3

Page 97: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 31 VHA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1 + 3x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 4x2 − x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(1) − 3P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 − t − 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 31 VHA, pagina 1 de 3

Page 98: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−4, 3

]X

[−3−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−3 4

−1 2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 −11 −2

]X

), Y =

[1 −15 2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

121

, b2 =

231

, b3 =

142

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 4x2 − 2x3 + x4,

ϕ2(x) = 3x1 + 5x2 − 2x3 + x4,

ϕ3(x) = 3x1 − 3x2 + 2x3 − x4.

Tarea 6, variante 31 VHA, pagina 2 de 3

Page 99: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

2

0

2

−1

, a2 =

1

4

−21

4

, a3 =

2

6

−23

3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 31 VHA, pagina 3 de 3

Page 100: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 32 VMJJ.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1 + 3x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − 2x2 − x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 1, −4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(1) − 2P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1 − t − 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 32 VMJJ, pagina 1 de 3

Page 101: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, −1

]X

[−2−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−5 5

−1 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 −5−3 1

]X

), Y =

[−3 5

−4 −2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

3

2

−1

, b2 =

111

, b3 =

112

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1−x2+4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4,

ϕ2(x) = 4x2 + 5x3 + 5x4,

ϕ3(x) = −3x1 + x2 + x3 + x4.

Tarea 6, variante 32 VMJJ, pagina 2 de 3

Page 102: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

3

1

2

3

, a2 =

−31

0

1

1

, a3 =

−14

1

3

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 32 VMJJ, pagina 3 de 3

Page 103: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 33 GMOA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1x2 − 3x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[4, −1, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(1) − 3P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2+ 2t− 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 33 GMOA, pagina 1 de 3

Page 104: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, −4

]X

[−54

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−3 5

2 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 5

−3 −5

]X

), Y =

[−3 −11 −4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

210

, b2 =

−13

2

, b3 =

121

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1−4x2+x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 − 3x2 + x4,

ϕ2(x) = −3x1 + 5x2 − 4x3 − 2x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 2x2 + 4x3 + x4.

Tarea 6, variante 33 GMOA, pagina 2 de 3

Page 105: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

−30

2

5

, a2 =

−14

−11

2

, a3 =

3

−71

1

3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 33 GMOA, pagina 3 de 3

Page 106: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 34 VALA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x1 + x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −3x1 − 3x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 3, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(2) − P ′(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t + 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 34 VALA, pagina 1 de 3

Page 107: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, 4

]X

[−1−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−4 3

−5 −3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 1

−1 −3

]X

), Y =

[2 1

5 3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

−22

−1

, b2 =

111

, b3 =

121

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + 3x2 − x3,

ϕ2(x) = 4x1 − x2 − 2x3 + x4,

ϕ3(x) = 3x1 − 4x2 − x3 + x4.

Tarea 6, variante 34 VALA, pagina 2 de 3

Page 108: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−4−22

1

3

, a2 =

4

4

1

0

2

, a3 =

−4−6−4−1−7

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 34 VALA, pagina 3 de 3

Page 109: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 35 ZPJ.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1 + 2x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − 2x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 3, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) − P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+ 3t− t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 35 ZPJ, pagina 1 de 3

Page 110: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−4, 3

]X

[−52

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−4 2

1 −5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 1

4 3

]X

), Y =

[−4 −1−5 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

133

, b2 =

011

, b3 =

134

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 3x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 − 4x2 − 4x3 + x4,

ϕ2(x) = 5x1 − x2 + 2x4,

ϕ3(x) = 3x1 + 3x2 + 4x3 + x4.

Tarea 6, variante 35 ZPJ, pagina 2 de 3

Page 111: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

2

2

1

3

, a2 =

3

3

2

−34

, a3 =

1

1

0

−41

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 35 ZPJ, pagina 3 de 3

Page 112: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 36 BRMF.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1 − 3x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 + x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, 1, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(1) + 3P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1−2t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 36 BRMF, pagina 1 de 3

Page 113: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, −5

]X

[5

2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 −12 −5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 1

2 −3

]X

), Y =

[−5 2

−2 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

233

, b3 =

223

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 3x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 + 2x2 − x3 + 3x4,

ϕ2(x) = x2 + 4x3 + x4,

ϕ3(x) = −2x1 − 3x2 − 3x3 − 4x4.

Tarea 6, variante 36 BRMF, pagina 2 de 3

Page 114: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−1−32

−25

, a2 =

−51

0

2

1

, a3 =

2

−21

−22

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 36 BRMF, pagina 3 de 3

Page 115: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 37 RMIA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1 − 3x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 − 2x2 + 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, 4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) + P ′(−4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+ 4t− t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 37 RMIA, pagina 1 de 3

Page 116: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[1, −4

]X

[−23

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 −11 −2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 1

2 −5

]X

), Y =

[1 4

5 −2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

3

−10

, b2 =

211

, b3 =

111

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 − 3x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 + 4x2 − x3 − 3x4,

ϕ2(x) = x1 + x2 − 4x4,

ϕ3(x) = 2x1 + 3x2 − x3 + x4.

Tarea 6, variante 37 RMIA, pagina 2 de 3

Page 117: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

1

3

3

1

, a2 =

0

2

5

5

5

, a3 =

−31

2

2

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 37 RMIA, pagina 3 de 3

Page 118: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 38 MRHA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, 2, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) + P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −4+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 38 MRHA, pagina 1 de 3

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Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, 1

]X

[5

2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 −3

−5 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 5

2 −4

]X

), Y =

[−5 −41 3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

114

, b2 =

0

−11

, b3 =

122

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − 3x2 − 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4,

ϕ2(x) = −2x1 + 4x2 + x3 + x4,

ϕ3(x) = x1 − 2x2 − 4x3 − 5x4.

Tarea 6, variante 38 MRHA, pagina 2 de 3

Page 120: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−2−51

3

1

, a2 =

−1−40

5

2

, a3 =

1

1

−12

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 38 MRHA, pagina 3 de 3

Page 121: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 39 AVMA.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x1 − 4x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −4x1 + x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −2, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(1) + 2P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3+ 2t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 39 AVMA, pagina 1 de 3

Page 122: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[2, 3

]X

[5

4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[3 −5

−3 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([1 −3

−1 3

]X

), Y =

[2 −21 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

322

, b2 =

111

, b3 =

012

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1+2x2−3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 + x4,

ϕ2(x) = −4x1 + 2x2 + 3x3 + x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 3x2 − 2x4.

Tarea 6, variante 39 AVMA, pagina 2 de 3

Page 123: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

4

0

−31

3

, a2 =

−14

5

−2−7

, a3 =

−3−4−21

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 39 AVMA, pagina 3 de 3

Page 124: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 40 MCCO.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x1 − 4x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 4x1 − x2 − x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(−2) + 3P ′(−4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1− 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 40 MCCO, pagina 1 de 3

Page 125: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, −5

]X

[−4−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 3

−2 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 −4

−2 −1

]X

), Y =

[4 −5

−4 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

1

0

−3

, b2 =

111

, b3 =

112

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + 4x2 − 4x4,

ϕ2(x) = x1 + 5x2 + 3x3 − 4x4,

ϕ3(x) = −x1 − 3x2 + 3x3 + 4x4.

Tarea 6, variante 40 MCCO, pagina 2 de 3

Page 126: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−45

3

−3−2

, a2 =

3

−31

2

−2

, a3 =

1

−2−41

4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 40 MCCO, pagina 3 de 3

Page 127: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 41.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −x1 − 4x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + 3x2 − x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) − P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+ t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 41, pagina 1 de 3

Page 128: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, 2

]X

[−45

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 −11 −3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 2

5 −4

]X

), Y =

[5 −13 1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

423

, b2 =

313

, b3 =

101

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1−3x2+x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 + x3 + 3x4,

ϕ2(x) = 2x1 − x2 + 3x3 − x4,

ϕ3(x) = x1 − x2 + 2x3 − 4x4.

Tarea 6, variante 41, pagina 2 de 3

Page 129: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−43

−44

2

, a2 =

−72

−50

1

, a3 =

3

1

1

4

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 41, pagina 3 de 3

Page 130: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 42.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 + 4x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 4x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −1, 4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−3) + 2P ′(−4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 42, pagina 1 de 3

Page 131: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[1, 3

]X

[4

−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 4

−1 −5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 −4

−5 −1

]X

), Y =

[−4 −35 4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

423

, b2 =

313

, b3 =

101

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 + x2 − 4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 + x2 + x3 − 4x4,

ϕ2(x) = −x1 − 4x2 − 3x3 + 4x4,

ϕ3(x) = −x1 + 3x2 + 2x3.

Tarea 6, variante 42, pagina 2 de 3

Page 132: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

5

−5−11

0

, a2 =

3

−1−42

1

, a3 =

−24

−31

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 42, pagina 3 de 3

Page 133: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 43.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x1 − x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + 3x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 2, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(2) + 2P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+ 4t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 43, pagina 1 de 3

Page 134: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, −2

]X

[−32

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 −1−4 2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 −4−2 3

]X

), Y =

[−5 −25 −3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

322

, b2 =

212

, b3 =

101

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −3x1 + 2x2 + 3x3 − x4,

ϕ2(x) = x1 − x2 − 2x3 + 3x4,

ϕ3(x) = −2x1 + x2 + x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 43, pagina 2 de 3

Page 135: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

−32

2

1

, a2 =

−66

−4−4−2

, a3 =

4

−3−4−11

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 43, pagina 3 de 3

Page 136: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 44.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x21 − 2x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 1, −4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −4P(−1) − 3P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1− 2t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 44, pagina 1 de 3

Page 137: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−5, 1

]X

[2

5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 −51 4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 2

−5 −4

]X

), Y =

[−3 4

−2 2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

214

, b2 =

101

, b3 =

124

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 + 2x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 5x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4,

ϕ2(x) = 3x1 + 6x2 + x3 + 5x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 4x2 + x3 − 2x4.

Tarea 6, variante 44, pagina 2 de 3

Page 138: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

4

5

0

3

, a2 =

3

1

1

1

1

, a3 =

−32

3

−21

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 44, pagina 3 de 3

Page 139: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 45.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x1 + 4x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − 4x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, −2, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(−1) + P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −4− 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 45, pagina 1 de 3

Page 140: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, 3

]X

[−2−3

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−1 −32 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 −4

−5 −1

]X

), Y =

[−2 4

5 −3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

−12

1

, b3 =

−22

1

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 4x1 − x2 + x3 + x4,

ϕ2(x) = −3x1 − 3x2 + 3x3 + 2x4,

ϕ3(x) = x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4.

Tarea 6, variante 45, pagina 2 de 3

Page 141: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

−23

2

3

, a2 =

0

5

−12

−4

, a3 =

1

3

2

4

−1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 45, pagina 3 de 3

Page 142: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 46.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1x2 − 2x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x2 + 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −3P(1) + 2P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 + t + 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 46, pagina 1 de 3

Page 143: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−1, −2

]X

[5

−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 5

1 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([1 −5

−1 −3

]X

), Y =

[−4 −2−3 4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

210

, b2 =

−13

2

, b3 =

121

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 − x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 7x1 − 4x2 + 3x3 + 2x4,

ϕ2(x) = 5x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 2x2 + x3.

Tarea 6, variante 46, pagina 2 de 3

Page 144: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

−44

3

−4

, a2 =

−44

0

−54

, a3 =

3

−42

4

−4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 46, pagina 3 de 3

Page 145: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 47.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1 + 3x2 + 3.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 3x1 − x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[3, 1, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) − 2P ′(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3+ 3t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 47, pagina 1 de 3

Page 146: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[1, −4

]X

[4

−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−1 5

2 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([5 −4

−5 −1

]X

), Y =

[−3 −54 1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

134

, b2 =

111

, b3 =

034

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 + 4x2 − 4x3 + 3x4,

ϕ2(x) = 4x1 + x2 − 3x3 + x4,

ϕ3(x) = −2x1 + 3x2 − x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 47, pagina 2 de 3

Page 147: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

1

7

−1−2

, a2 =

1

−12

−4−2

, a3 =

2

2

5

3

0

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 47, pagina 3 de 3

Page 148: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 48.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1 + 2x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 − x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) − P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 + 2t − t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 48, pagina 1 de 3

Page 149: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, −3

]X

[1

−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 4

−5 −4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 −1−2 2

]X

), Y =

[−4 4

2 3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

110

, b3 =

233

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −2x1 + 2x2 + 5x3 − 2x4,

ϕ2(x) = 3x1 + x2 + 2x3 + 2x4,

ϕ3(x) = −5x1 + x2 + 3x3 − 4x4.

Tarea 6, variante 48, pagina 2 de 3

Page 150: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−34

0

3

−4

, a2 =

−11

−21

−1

, a3 =

−23

2

2

−3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 48, pagina 3 de 3

Page 151: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 49.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −x21 + 2x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − 3x2 + 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, 3, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−3) + 4P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 4t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 49, pagina 1 de 3

Page 152: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, −2

]X

[4

−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[3 −3

−2 −4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 2

4 5

]X

), Y =

[2 4

−2 −3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

1

1

−2

, b2 =

014

, b3 =

123

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −4x1 + x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 4x2 + 3x3 + 4x4,

ϕ2(x) = 4x1 + 4x2 + 5x3 + 7x4,

ϕ3(x) = −4x1 + 4x2 + x3 + x4.

Tarea 6, variante 49, pagina 2 de 3

Page 153: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−7−3−1−1−5

, a2 =

3

0

4

4

2

, a3 =

4

3

−3−33

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 49, pagina 3 de 3

Page 154: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 50.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −x1 + 4x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − x2 − 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, −2, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) − P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 50, pagina 1 de 3

Page 155: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, 3

]X

[−45

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−4 4

3 2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 3

4 1

]X

), Y =

[−5 −15 2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

1

−23

, b2 =

120

, b3 =

111

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1 − 2x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 − 7x2 − 5x3 − 3x4,

ϕ2(x) = −4x1 + 2x2 + 4x3 + x4,

ϕ3(x) = 3x1 + 5x2 + x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 50, pagina 2 de 3

Page 156: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

5

−21

0

, a2 =

1

−44

1

2

, a3 =

3

1

2

2

2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 50, pagina 3 de 3

Page 157: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 51.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x1 − 2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−2) + P ′(2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 4t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 51, pagina 1 de 3

Page 158: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[1, −1

]X

[3

−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 3

4 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 −3

−1 −5

]X

), Y =

[−3 2

5 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

101

, b2 =

212

, b3 =

112

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −x1 + x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −2x1 − x2 − 2x4,

ϕ2(x) = 3x1 + 2x2 + x3 + x4,

ϕ3(x) = x1 + x2 + x3 − x4.

Tarea 6, variante 51, pagina 2 de 3

Page 159: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

3

0

4

−1

, a2 =

−4−21

−12

, a3 =

−11

1

3

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 51, pagina 3 de 3

Page 160: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 52.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1 − 3x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 − 2x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−3, −1, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−2) + P ′(2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1+2t−3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 52, pagina 1 de 3

Page 161: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, 1

]X

[−23

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 −1

−4 2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([4 −3

−4 5

]X

), Y =

[4 2

−2 −3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

114

, b2 =

0

−11

, b3 =

122

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 − 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x1 − x2 − x3 + x4,

ϕ2(x) = −2x1 + 2x2 + 3x3 − 3x4,

ϕ3(x) = −x1 + x2 + 2x3 − 2x4.

Tarea 6, variante 52, pagina 2 de 3

Page 162: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−12

3

3

2

, a2 =

1

1

2

2

4

, a3 =

2

−1−1−12

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 52, pagina 3 de 3

Page 163: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 53.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1 − 4x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 + 4x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 2, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(1) + 2P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ t− 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 53, pagina 1 de 3

Page 164: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−1, −4

]X

[−25

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 5

−4 4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 4

1 5

]X

), Y =

[5 3

−4 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

110

, b3 =

233

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 − 3x2 + 3x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = x2 + x3 + x4,

ϕ2(x) = 4x1 − 3x2 − 4x3 − 4x4,

ϕ3(x) = −4x1 + x2 + 2x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 53, pagina 2 de 3

Page 165: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

2

3

4

2

6

, a2 =

2

1

0

1

−3

, a3 =

4

4

4

3

3

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 53, pagina 3 de 3

Page 166: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 54.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x21 − x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + 3x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −3, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(1) + 3P ′(2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −1−2t+3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 54, pagina 1 de 3

Page 167: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[4, −3

]X

[1

5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 −12 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−4 4

−2 1

]X

), Y =

[4 2

1 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

1

1

−2

, b2 =

014

, b3 =

123

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 5x1 + 2x2 + 4x3 − 4x4,

ϕ2(x) = −6x1 − 2x2 + 6x3 + 6x4,

ϕ3(x) = 3x1 + x2 − 3x3 − 3x4.

Tarea 6, variante 54, pagina 2 de 3

Page 168: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−2−31

3

−3

, a2 =

4

−21

4

2

, a3 =

6

1

0

1

5

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 54, pagina 3 de 3

Page 169: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 55.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x22.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[2, −1, −2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(2) − P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2+ 3t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 55, pagina 1 de 3

Page 170: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[1, −5

]X

[−43

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 −3

−2 3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([2 −55 1

]X

), Y =

[−3 −11 −2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

322

, b2 =

212

, b3 =

101

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 + 2x2 − 3x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 + 2x2 + x3 + x4,

ϕ2(x) = x1 + 3x2 + x3 + x4,

ϕ3(x) = −x1 + 4x2 + x3 + x4.

Tarea 6, variante 55, pagina 2 de 3

Page 171: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

3

−35

−2

, a2 =

−42

3

3

−4

, a3 =

7

1

−62

2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 55, pagina 3 de 3

Page 172: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 56.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −x1 + x1x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + x2 + 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 3, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) − P ′(4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+2t−2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 56, pagina 1 de 3

Page 173: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, 2

]X

[−41

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−5 −2−3 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 −21 −3

]X

), Y =

[5 −4

−5 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

430

, b2 =

331

, b3 =

221

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1+ 3x2+ 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x2 + 4x3 − 3x4,

ϕ2(x) = 4x1 + x2 + x3 − 4x4,

ϕ3(x) = −4x1 + 2x2 + 3x3 + x4.

Tarea 6, variante 56, pagina 2 de 3

Page 174: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

0

3

2

5

2

, a2 =

−31

1

3

4

, a3 =

3

2

1

2

−2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 56, pagina 3 de 3

Page 175: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 57.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x1 − 3x2 + 4.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, 2, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) − 3P ′(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 57, pagina 1 de 3

Page 176: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−4, 1

]X

[−32

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 −31 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 −33 −4

]X

), Y =

[3 5

−1 −2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

110

, b2 =

342

, b3 =

221

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 + x2 + x3 + 3x4,

ϕ2(x) = 4x1 + 4x2 + x3 − 2x4,

ϕ3(x) = x1 + 3x2 − 5x4.

Tarea 6, variante 57, pagina 2 de 3

Page 177: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−1−5−2−1−1

, a2 =

2

3

3

4

−3

, a3 =

1

−21

3

−4

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 57, pagina 3 de 3

Page 178: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 58.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 2x1x2 − 4x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −3x1 + x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −4, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−1) − 3P ′(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t − 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 58, pagina 1 de 3

Page 179: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, −2

]X

[−51

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[2 −5

−1 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 4

2 −2

]X

), Y =

[−1 2

3 1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

144

, b2 =

223

, b3 =

133

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1 − 3x2 + 2x3 respecto a la base Ψ yhaga la comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 4x1 − 4x2 + 3x3 + x4,

ϕ2(x) = −x1 + 2x3 + x4,

ϕ3(x) = −3x1 + 4x2 − 5x3 − 2x4.

Tarea 6, variante 58, pagina 2 de 3

Page 180: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−23

1

2

−1

, a2 =

4

4

3

3

4

, a3 =

−46

2

4

−2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 58, pagina 3 de 3

Page 181: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 59.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x1 + x2 − 5.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 − 2x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −2, 3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = P(−2) + 3P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2− 3t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 59, pagina 1 de 3

Page 182: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[5, 1

]X

[−1−3

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−4 4

−5 −3

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−5 −31 −1

]X

), Y =

[−1 1

5 −5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

301

, b2 =

311

, b3 =

2

−11

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+x2+2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −x1 − 3x2 − 4x3 − x4,

ϕ2(x) = 3x1 + 2x2 + 3x3 − 3x4,

ϕ3(x) = −2x1 + x2 + x3 + 4x4.

Tarea 6, variante 59, pagina 2 de 3

Page 183: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

4

−4−31

1

, a2 =

2

2

1

3

2

, a3 =

−26

4

2

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 59, pagina 3 de 3

Page 184: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 60.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = x1x2 + 3x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −3x1 + x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, 1, −4

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) − 2P ′(1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −2+ 2t+ t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 60, pagina 1 de 3

Page 185: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, 1

]X

[3

−5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−5 −3−1 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−3 4

1 −1

]X

), Y =

[3 −42 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

101

, b2 =

212

, b3 =

213

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = x1 + 3x2 + 3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 4x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4,

ϕ2(x) = 4x2 + 5x3 + 7x4,

ϕ3(x) = −4x1 + x2 + x3 + 3x4.

Tarea 6, variante 60, pagina 2 de 3

Page 186: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−11

−4−32

, a2 =

3

1

0

4

3

, a3 =

−2−24

−1−5

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 60, pagina 3 de 3

Page 187: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 61.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −x1x2 + 3x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −1, −3

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 3P(1) − 2P ′(2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 2 − t − 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 61, pagina 1 de 3

Page 188: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−5, −2

]X

[1

−4

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−2 3

−1 2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([4 −5

−3 5

]X

), Y =

[−2 −51 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

312

, b2 =

201

, b3 =

121

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + 2x2 + x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −2x1 − 4x2 − 4x3 − 4x4,

ϕ2(x) = 2x1 − 4x2 + 3x3,

ϕ3(x) = x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 61, pagina 2 de 3

Page 189: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−13

1

4

−3

, a2 =

0

2

4

3

−1

, a3 =

1

−13

−12

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 61, pagina 3 de 3

Page 190: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 62.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 + 3x2 + 4.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −2P(1) + P ′(3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 4 − t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 62, pagina 1 de 3

Page 191: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, −1

]X

[3

2

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 1

2 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−4 −32 −2

]X

), Y =

[−1 −55 −3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

110

, b2 =

342

, b3 =

221

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 2x1 − x2 + 4x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 − 3x2 + 5x3 + 2x4,

ϕ2(x) = −3x1 + 2x2 + 2x3 + x4,

ϕ3(x) = 6x1 − 5x2 + 3x3 + x4.

Tarea 6, variante 62, pagina 2 de 3

Page 192: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−2−41

2

1

, a2 =

−1−42

5

−4

, a3 =

1

0

1

3

−5

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 62, pagina 3 de 3

Page 193: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 63.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −4x21 + x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 2, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) − P ′(−2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1+ 2t+ 4t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 63, pagina 1 de 3

Page 194: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, 1

]X

[5

3

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−3 3

2 −1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−1 −5−4 1

]X

), Y =

[−4 −3−1 3

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

423

, b2 =

111

, b3 =

323

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1− 3x2+ 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 2x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4,

ϕ2(x) = x1 − 2x2 + x3 + 2x4,

ϕ3(x) = −3x1 + 4x2 − 4x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 63, pagina 2 de 3

Page 195: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

3

2

−43

3

, a2 =

1

1

3

3

−4

, a3 =

−4−31

−61

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 63, pagina 3 de 3

Page 196: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 64.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 − x2 − 2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 2x1 − x2 − 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[1, −3, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(1) + P ′(−4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+ t+ 3t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 64, pagina 1 de 3

Page 197: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−3, 5

]X

[−21

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−5 −15 −2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([4 −1

−5 −4

]X

), Y =

[−5 −15 −4

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

121

, b2 =

021

, b3 =

−13

2

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −7x1 + x2 − 5x3 − x4,

ϕ2(x) = 3x1 − 4x2 + 2x3 − x4,

ϕ3(x) = 4x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 64, pagina 2 de 3

Page 198: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−3−21

1

4

, a2 =

5

6

−5−4−2

, a3 =

−2−44

3

−2

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 64, pagina 3 de 3

Page 199: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 65.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 3x21 + 3x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −x1 + 3x2 + 2x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, −2, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(2) − 2P ′(−1).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3 − 3t + t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 65, pagina 1 de 3

Page 200: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, 2

]X

[−31

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[5 1

4 −4

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([3 2

5 4

]X

), Y =

[−3 −23 2

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

142

, b2 =

131

, b3 =

032

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 3x1 + x2 + 2x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = −x1 − x2 + 4x3 + 3x4,

ϕ2(x) = −2x1 + 4x2 − 2x3 − 2x4,

ϕ3(x) = −2x1 + x2 + 3x3 + 2x4.

Tarea 6, variante 65, pagina 2 de 3

Page 201: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−22

2

1

3

, a2 =

−32

−3−24

, a3 =

1

0

5

3

−1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 65, pagina 3 de 3

Page 202: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 66.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −3x1 − x2 − 5.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = 3x1 − x2 − 3x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−1, 3, 2

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 2P(−1) + P ′(−4).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 3+ 3t− 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 66, pagina 1 de 3

Page 203: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, −4

]X

[4

5

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[−1 −25 1

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 3

−1 −3

]X

), Y =

[−1 4

2 −5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

1

2

−1

, b2 =

1

3

−2

, b3 =

221

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = 4x1 + 2x2 − x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 − 2x2 − 2x3 + x4,

ϕ2(x) = x1 − 4x2 + 4x3 + x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 3x2 + x3 + x4.

Tarea 6, variante 66, pagina 2 de 3

Page 204: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−34

1

4

2

, a2 =

6

−4−2−7−3

, a3 =

−30

1

3

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 66, pagina 3 de 3

Page 205: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 67.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = −2x1 + x2 + 3.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = x1 − 4x2 + x3.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−2, −3, 1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = 3P(−1) + 2P ′(−3).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = −3+3t+2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 67, pagina 1 de 3

Page 206: Funcionales lineales. 2%. R - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/linalg/task_linfunctionals_es.pdf · Ejercicio 8. 1%. Construya una base del anulador de A = (a 1;a 2;a 3) y haga

Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[3, 1

]X

[−3−1

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[4 5

1 −2

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([−2 1

−1 −4

]X

), Y =

[−5 −3−4 −1

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

423

, b2 =

111

, b3 =

122

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −3x1+x2+3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 3x1 − 4x2 + x3 + 3x4,

ϕ2(x) = −4x1 + 3x2 + x3 + 2x4,

ϕ3(x) = −x1 − x2 + 2x3 + 5x4.

Tarea 6, variante 67, pagina 2 de 3

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Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

1

4

−33

1

, a2 =

3

−2−1−62

, a3 =

4

2

−4−33

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 67, pagina 3 de 3

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Engra

peaq

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 6. Variante 68.

Funcionales lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 15 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 2%.Demuestre que la funcion f : R2 → R definida mediante la siguiente formula no es lineal. Parahacerlo, indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) = 4x1x2 − x2.

Ejercicio 2. 2%.Sea ϕ : R3 → R,

ϕ(x) = −2x1 + x2.

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3), donde Γ es la base duala la base canonica E del espacio R3.

III. Para comprobacion calcule ϕ(y), donde y =[−4, 2, −1

]>, de dos maneras diferentes:

primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(y) = ϕ>Γ yE .

Ejercicio 3. 2%.Sea ϕ : P2(R) → R,

ϕ(P) = −P(−1) + 2P ′(2).

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ0, γ1, γ2), donde Γ es la base duala la base canonica E = (1, t, t2) del espacio P2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Q), donde Q(t) = 1+ 3t+ 2t2, de dos maneras diferentes:primero, por la regla de correspondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Q) = ϕ>Γ QE .

Tarea 6, variante 68, pagina 1 de 3

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Ejercicio 4. 2%.Sea ϕ : M2(R) → R,

ϕ(X) =[−2, −3

]X

[−13

].

I. Demuestre que ϕ es un funcional lineal.

II. Calcule las coordenadas de ϕ respecto a la base Γ = (γ1, γ2, γ3, γ4), donde Γ es la basedual a la base canonica E = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) del espacio M2(R).

III. Para comprobacion calcule ϕ(Y) de dos maneras diferentes: primero, por la regla decorrespondencia de ϕ; luego, por la formula ϕ(Y) = ϕ>Γ YE .

Y =

[1 −2

−4 5

].

Ejercicio 5. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior sin demostracion de la linealidad para el siguiente funcionallineal ϕ : M2(R) → R y haga la comprobacion con la siguiente matriz Y.

ϕ(X) = tr

([1 −12 5

]X

), Y =

[−4 −14 5

].

Ejercicio 6. 2%.Sea Γ = (γ1, γ2, γ3) la base dual a la base canonica E = (e1, e2, e3) de R3 y sea Ψ = (ψ1, ψ2, ψ3)la base dual a la base B = (b1, b2, b3) de R3, donde

b1 =

111

, b2 =

211

, b3 =

2

−1−2

.I. Calcule las matrices de transicion PE ,B, PΨ,Γ y PΓ,Ψ.

II. Escriba los funcionales ψ1, ψ2, ψ3 en forma explıcita y compruebe que ψi(bj) = δi,j.

III. Calcule las coordenadas del funcional ϕ(x) = −2x1+x2−3x3 respecto a la base Ψ y hagala comprobacion.

Ejercicio 7. 1%.Construya una base del anulador de Φ = {ϕ1, ϕ2, ϕ3} y haga la comprobacion. Aquı los fun-cionales lineales ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ (R4)∗ estan definidos mediante las siguientes formulas:

ϕ1(x) = 7x1 + 3x3 − 5x4,

ϕ2(x) = 5x1 + 4x2 + 2x3 − 4x4,

ϕ3(x) = 2x1 − 4x2 + x3 − x4.

Tarea 6, variante 68, pagina 2 de 3

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Ejercicio 8. 1%.Construya una base Ψ del anulador de A = (a1, a2, a3) y haga la comprobacion. Describa elsubespacio `(A) con un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.

a1 =

−25

−24

3

, a2 =

1

3

2

1

2

, a3 =

−32

−43

1

.

Ejercicio 9. 1%.Sea Ψ la respuesta del ejercicio anterior. Calcule una base B del anulador de Ψ y haga lacomprobacion. En este ejercicio esta prohibido utilizar los vectores a1, a2, a3.

Ejercicio 10. 1%.Sean A y B sistemas de vectores de los dos ejercicios anteriores. Escriba cada vector de A comouna combinacion lineal de los vectores de B y viceversa.

Tarea 6, variante 68, pagina 3 de 3