-1-

Ramiro J. Saltos

Transformaciones Lineales Definicin: Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea WVT : una funcin que asigna a todo vector Vv un nico vector WvTw = )( . Se dice que T es una transformacin lineal si:

1. Vwv , )()()( wTvTwvT +=+ 2. R Vv )()( vTvT =

Teorema 1

Sea WVT : una transformacin lineal. Entonces:

1. WV OOT =)( 2. Vv [ ]')()'( vTvT = 3. )(...)()()()...( 332211332211 nnnn vTvTvTvTvvvvT ++++=++++

Ncleo de una Transformacin Lineal

Definicin: Sea WVT : una transformacin lineal. El ncleo de T , denotado por )(TNu o

)(TKer , se define como: { }WOvTVvTNu == )(/)(

Recorrido de una Transformacin Lineal

Definicin: Sea WVT : una transformacin lineal. El recorrido o imagen de T , denotado por

)Re(T o )Im(T , se define como: { }VvwvTWwT == ;)(/)Re(

Teorema 2

Sea WVT : una transformacin lineal. Entonces se cumple que: 1. El ncleo de T es un subespacio de V 2. El recorrido de T es un subespacio de W

Nulidad y Rango de una Transformacin Lineal

Definicin: Sea WVT : una transformacin lineal. La nulidad de T , denotada por )(Tv , se define como:

)(dim)( TNuTv = El rango de T , denotado por )(T , se define como:

)Re(dim)( TT =

-2-

Ramiro J. Saltos

Teorema de la Dimensin para Transformaciones Lineales Sea WVT : una transformacin lineal donde V es un espacio vectorial de dimensin finita. Entonces se cumple que:

VTTv dim)()( =+

Transformacin Lineal Inyectiva Definicin: Sea WVT : una transformacin lineal. Se dice que T es inyectiva si:

Vwv , [ ] )()()( wvwTvT ==

Transformacin Lineal Sobreyectiva

Definicin: Sea WVT : una transformacin lineal. Se dice que T es sobreyectiva si todo vector de W es la imagen de por lo menos un vector de V . Es decir:

Ww Vv )(vTw = Dicho de otra manera, T es sobreyectiva si WT =)Re(

Teorema 3 Una transformacin lineal WVT : es inyectiva, si y slo si, { }VOTNu =)(

Isomorfismo Definicin: Sea WVT : una transformacin lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es inyectiva y T es sobreyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si T es biyectiva.

Espacios Vectoriales Isomorfos Definicin: Sean V y W dos espacios vectoriales. Se dice que V y W son espacios vectoriales isomorfos, denotado por WV , si existe un isomorfismo WVT : entre ellos.

Teorema 4 Sea WVT : una transformacin lineal definida entre espacios vectoriales de dimensin finita, tales que WV dimdim = , entonces:

1. Si T es inyectiva, T es sobreyectiva. 2. Si T es sobreyectiva, T es inyectiva.

Teorema 5

Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensin finita. Sea WVT : una transformacin lineal. Entonces:

1. Si WV dimdim > , T no es inyectiva. 2. Si WV dimdim < , T no es sobreyectiva.

Lo que quiere decir, que si WV dimdim , T no es un isomorfismo

-3-

Ramiro J. Saltos

Teorema 6 Sea WVT : una transformacin lineal, se cumple que:

1. Si T es inyectiva y { }nvvvvS ,...,,, 321= es linealmente independiente en V , entonces { })(),...,(),(),(' 321 nvTvTvTvTS = es linealmente independiente en W

2. Si T es sobreyectiva y { }nvvvvG ,...,,, 321= genera a V , entonces { })(),...,(),(),(' 321 nvTvTvTvTG = genera a W

3. Si T es un isomorfismo y { }nvvvvB ,...,,, 321= es una base de V , entonces { })(),...,(),(),(' 321 nvTvTvTvTB = es una base de W

Operaciones con Transformaciones Lineales

Suma: Sean WVT :1 y WVT :2 dos transformaciones lineales. La suma entre 1T y 2T , denotada por WVTT + :21 , se define como:

Vv )()())(( 2121 vTvTvTT +=+ Multiplicacin por escalar: Sea R . Sea WVT : una transformacin lineal. Se define la multiplicacin de por T , denotada por WVT : como:

Vv )())(( vTvT = Composicin: Sean UVT :1 y WUT :2 dos transformaciones lineales. La composicin entre

1T y 2T , denotada por WVTT :12 , se define como: Vv ))(())(( 1212 vTTvTT =

Transformacin Lineal Inversa

Definicin: Sea WVT : una transformacin lineal. Se dice que T es inversible si existe una transformacin lineal VWS : , tal que:

1. WIdWWST =: 2. VIdVVTS =:

Si tal es el caso, se llama a S la inversa de T y se denota 1= TS

Teorema 7

La transformacin lineal WVT : es inversible, si y slo si, T es un isomorfismo.

-4-

Ramiro J. Saltos

Representacin Matricial de una Transformacin Lineal

Teorema 8 Sea WVT : una transformacin lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensin finita. Supngase que nV =dim y mW =dim . Sean { }nvvvvB ,...,,, 3211 = y

{ }mwwwwB ,...,,, 3212 = dos bases de V y W respectivamente. La representacin matricial de T respecto de las bases 1B y 2B respectivamente est dada por:

[ ] [ ] [ ] [ ]mxn

BnBBBT vTvTvTvTA

= 2232221 )()()()(

Teorema 9

Sea WVT : una transformacin lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensin finita. Sea TA la representacin matricial de T respecto a las bases 1B y 2B de V y W respectivamente. Entonces:

Vv [ ] [ ] 12)( BTB vAvT =

Teorema 10 Sea WVT : una transformacin lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensin finita. Sea TA la representacin matricial de T respecto a las bases 1B y 2B de V y W respectivamente. T es un isomorfismo si y slo si 0)det( TA

-5-

Ramiro J. Saltos

Tema 1 Sea RMT nxn : una funcin con regla de correspondencia:

)det()( AAT = Donde nxnMA . Determine si T es una transformacin lineal 1. Vwv , )()()( wTvTwvT +=+ Sean Av = y nxnMBw =

)det()det()det()()()(

BABABTATBAT

+=++=+

Esto no siempre se cumple

T no es una transformacin lineal Revisemos un ejemplo particular:

Sea 22xMV = y sean

=

1001

A y

=

2002

B V

)()()( BTATBAT +=+

59419

2002

det1001

det3003

det

2002

1001

3003

=+=

+

=

+

=

TTT

Y como vemos no se satisface la igualdad

-6-

Ramiro J. Saltos

Tema 2 Sea RMT nxn : una funcin con regla de correspondencia:

)()( AtrazaAT = Donde nxnMA . Determine si T es una transformacin lineal 1. Vwv , )()()( wTvTwvT +=+ Sean Av = y nxnMBw =

)()()()()()()(

)()()(

BtrazaAtrazaBtrazaAtrazaBtrazaAtrazaBAtraza

BTATBAT

+=++=+

+=+

Se cumple el primer criterio de linealidad 2. R Vv )()( vTvT = Sea R . Sea nxnMAv =

)()()()(

)()(

AtrazaAtrazaAtrazaAtraza

ATAT

==

=

Se cumple el segundo criterio de linealidad

T es una transformacin lineal

-7-

Ramiro J. Saltos

Tema 3 Sea A una matriz cuadrada de orden n . Considere la transformacin nxnnxn MMT : dada por BAABAT =)( ( B es una matriz fija de orden n ). Demuestre que T es una transformacin lineal. 1. Vwv , )()()( wTvTwvT +=+ Sean 1Av = y nxnMAw = 2

( ) ( ) ( )2121 ATATAAT +=+ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21212121

21212121

22112121

AABBAAAABBAABABABABAAABBAABABABABAAABBAA

++=++++=+++=++

Se cumple el primer criterio de linealidad 2. R Vv )()( vTvT = Sea R . Sea nxnMAv =

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )BAABBAAB

BAABABBAATAT

==

=

Se cumple el segundo criterio de linealidad

T es una transformacin lineal Cuando los ejercicios para determinar si una funcin es una transformacin lineal estn basados en operaciones con matrices se recomienda trabajarlos de manera general como se lo ha hecho en los problemas planteados hasta el momento

-8-

Ramiro J. Saltos

Tema 4 Sea 22: RRT la funcin que transforma cada punto del plano en su simtrico respecto del eje y . Encontrar la regla de correspondencia de T y demuestre que es una transformacin lineal. Determinar la regla de correspondencia de T es sencillo ya que el punto simtrico en el plano respecto al eje y es el punto en el plano cuya coordenada en x cambia de signo. Entonces:

=

yx

yx

T

Ahora hay que verificar si se cumplen los criterios de linealidad 1) Vwv , )()()( wTvTwvT +=+

Sea

=

ba

v y 2Rdc

w

=

+

=

+

+

=

++

+

=

+

dbca

dbca

dc

ba

dbca

T

dc

Tba

Tdc

ba

T

Se cumple el primer criterio de linealidad 2) R Vv )()( vTvT =

Sea R . Sea 2Ryx

v

=

=

=

=

yx

yx

yx

yx

T

yx

Tyx

T

Se cumple el segundo criterio de linealidad

T es una transformacin lineal

-9-

Ramiro J. Saltos

Tema 5 Determine el rango y la nulidad de la siguiente transformacin lineal

+=

bba

a

ba

T

a) Por definicin sabemos que:

{ }WOvTVvTNu == )(/)( Aplicando la definicin al problema nos queda:

=

=

000

/)( 2ba

TRba

TNu

Entonces para hallar el ncleo de la transformacin lineal igualamos la regla de correspondencia de la misma, con el vector nulo de 3R

=

+=

000

bba

a

ba

T

==+

=

00

0

bba

a

De donde concluimos que:

=

00

)(TNu 0)( =Tv

b) Para el recorrido sabemos que:

{ }VvwvTWwT == ;)(/)Re( Y aplicada al problema nos queda:

=

=

zyx

ba

TRzyx

T /)Re( 3

Para hallar las condiciones del recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector tpico de la imagen, luego planteamos la matriz aumentada y la reducimos, si es posible, hasta obtener la mayor cantidad de filas llenas de ceros.

==+

=

zbyba

xa

zzxy

xA

zxy

xA

zyx

100001

)1(101001

)1(101101

3221 zxyzxy

+== 0

+

=

+=

110

011

zxz

zxx

zyx

=

110

,011

)Re(TB 2)( =T

-10-

Ramiro J. Saltos

Tema 6 Dada la aplicacin lineal 22

3: xMRT definida por:

=

cbbbba

cba

T

a) Halle la representacin matricial de T respecto a las bases cannicas. b) Encuentre )(),(),Im(),( TTTTKer

a) Para hallar la representacin matricial de T debemos encontrar las coordenadas de las transformadas de los vectores de la base del espacio de partida respecto a la base del espacio de llegada

Sean

=

100

,010

,001

1B y

=

1000

,0100

,0010

,0001

2B las bases cannicas de 3R y

22xM respectivamente

+

+

+

=

=

1000

)0(0100

)0(0010

)0(0001

)1(0001

001

T

=

0001

001

T

+

+

+

=

=

1000

)1(0100

)1(0010

)1(0001

)1(1111

010

T

=

1111

010

T

+

+

+

=

=

1000

)1(0100

)0(0010

)0(0001

)0(10

00

100

T

=

1000

100

T

Estas coordenadas representan las columnas de la matriz asociada a T , es decir:

=

222100

010

001

BBB

T TTTA

=

110010010011

TA

-11-

Ramiro J. Saltos

b)

=

=

0000

/)( 3

cba

TRcba

TNu

Igualamos la regla de correspondencia de la transformacin lineal con el vector nulo del espacio de llegada

====

==

0000

00

ccbbb

aba

De donde obtenemos:

=

000

)(TNu 0)( = Tv

=

=

zyxw

cba

TMzyxw

T x /)Im( 22

Para hallar la imagen igualamos la regla de correspondencia de la transformacin lineal con el vector tpico de la imagen, planteamos el sistema de ecuaciones y reducimos la matriz aumentada, si es posible, hasta obtener la mayor cantidad de filas posibles llenas de ceros

====

zcbybxb

wba

zxy

xw

A

zyxw

110000010011

)1(

110010010011

23 yxxy

== 0

Ahora reemplazamos esta condicin en el vector caracterstico y extraemos la base

+

+

=

=

1000

0110

0001

zxwzxxw

zyxw

=

1000

,0110

,0001

)Re(TB 3)( = T

Revisamos el teorema de la dimensin:

33330

dim)()(

==+

=+ VTTv

-12-

Ramiro J. Saltos

Tema 7 Sea 222: xMPT una aplicacin definida por:

( )

=++

cabc

cbxaxT12112

a) Obtenga )(),(),Im(),( TTTTKer b) Hallar la matriz asociada a T con respecto a las bases

{ }1,1,1 21 += xxxB

=

0011

,0011

,0111

,1111

2B

Primero debemos simplificar la regla de correspondencia de la transformacin lineal, para ello realizamos las operaciones especificadas

++

=

cbaccbac

cabc

221211

( )

++

=++cbaccbac

cbxaxT22

2

a)

( )

=++++=

0000

/)( 222 cbxaxTPcbxaxTNu

Como ya sabemos hay que igualar la regla de correspondencia de la transformacin lineal con el vector nulo del espacio de llegada, con lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

( )

=

++

=++0000

222

cbaccbac

cbxaxT

=+==+=+

====

0200202

00

cbcccac

cbcbacac

0=== cba

{ }000)( 2 ++= xxTNu 0)( =Tv

( )

=++

=

zyxw

cbxaxTMzyxw

T x2

22 /)Re(

Igualamos la regla de correspondencia de la transformacin lineal con el vector tpico de la imagen, es decir:

( )

=

++

=++zyxw

cbaccbac

cbxaxT22

2

-13-

Ramiro J. Saltos

Con lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

=+=+==

zcbyac

xcbwac

22

)1(

2300300110

101

)2(

120300110

101

)1(

120201110

101

432413

+

+

A

xzwy

xw

A

zwy

xw

A

zyxw

++

xzzxwy

xw

23002000

110101

xwyzzxwy

202

++==++

Reemplazamos la condicin en el vector tpico

+

+

=

++

=

1100

2010

1001

2yxw

xwyyxw

zyxw

=

1100

,2010

,1001

)Re(TB 3)( =T

b) Para hallar la matriz asociada a T debemos encontrar las coordenadas de las transformadas de los vectores de la base del espacio de partida respecto a la base del espacio de llegada

=1221

)1(xT

=+

3201

)1(xT ( )

=

1112

12xT

=222

1112

3201

1221

BBB

TA

Planteando la combinacin lineal:

+

+++++=

+

+

+

=

121

432143214321 00

110011

0111

1111

)(

vT

2

1221

B

=

+

+++++1221

121

43214321

-14-

Ramiro J. Saltos

===+

==++=+=+++

132

4211

1

221

434321

434321

[ ]

=

2

3

252

31

)1( BxT

( )

23

25

212

321

212 1001

)1(10

111320111

)1(411111

AMA 2

34

25

3

==

2

3201

B

=

+

+++++3201

121

43214321

===+

==++=+=+++

312

2011

1

221

434321

434321

[ ]

=+

21

232

13

)1( BxT

( )

21

23

212

121

212 1001

)1(10

111120111

)1(211111

AMA 2

14

23

3

==

2

1112

B

=

+

+++++11

12

121

43214321

===+

==++=+=+++

101

2112

1

221

434321

434321

[ ]

=

2

3

212

2 01

)1( BxT

( )

23

21

212

321

212 1001

)1(10

111320111

)1(211111

AMA 2

34

21

3

==

Reemplazando en la matriz:

=

23

21

23

21

23

25

013131

TA

-15-

Ramiro J. Saltos

Tema 8 Sea 33: RRT una transformacin lineal, tal que:

=

201

111

T ,

=

110

101

T y

=

101

110

T

Encuentre la regla de correspondencia de T Para resolver este tipo de ejercicios debemos obtener una base del espacio de partida con la caracterstica de que conocemos en que vector del espacio de llegada se transforman los vectores de dicha base. Por lo general los vectores que nos dan como datos son linealmente independientes y constituyen una base del espacio de partida. Seleccionamos un vector tpico o representativo del espacio de partida, en este caso 3R y lo escribimos como combinacin lineal de la base formada. Luego procedemos a expresar los escalares en funcin de las variables que conforman el vector caracterstico, as:

=

110

,101

,111

B es una base de 3R

Sea 3Rcba

++++

=

+

+

=

321

31

21

321

110

101

111

cba

=++=+=+

cba

321

31

21

+

acbc

cba

AM

accb

b

AA

acab

a

AA

cba

100010001

)1()1(

100010101

)1()1(

100110011

)1()1(

111101011

31

2

32

21

13

12

cba += 1 bc =2 ac =3

En la combinacin lineal planteada al inicio sacamos transformacin lineal a ambos lados, reemplazamos los datos y simplificamos

+

+

=

110

101

111

321 cba

-16-

Ramiro J. Saltos

+

+

=

110

101

111

321 TTTcba

T

+

+

+=

101

)(110

)(201

)( acbccbacba

T

+

+

+

+=

ac

ac

bcbc

cba

cba

cba

T 00

2220

+=

babc

b

cba

T

-17-

Ramiro J. Saltos

Tema 9 Sea 32: RRT una transformacin lineal y suponga que:

=

131

11

T y

=

568

21

T

Calcule

69

T

Primero hallamos la regla de correspondencia de T Sabemos que:

=

21

,11

B es una base de 2R

Sea 2Rba

+

=

+

=

21

2121 22

111

ba

( )

+

310

3201

)1(3

1011

3011

)1(2111

2131

212 ab

ba

Aaba

Mab

aA

ba

3

32

2

1

ab

ba

=

+=

Una vez expresados los escalares en funcin de las variables que conforman el vector tpico, sacamos transformacin lineal a ambos lados de la combinacin lineal, reemplazamos igualdades y simplificamos

+

=

21

11

21 TTba

T

+

+=

568

3131

32 abba

ba

T

+

+=

568

3131

32 abba

ba

T

+

+

+

=

355

366

388

32

336

32

ab

ba

ba

ba

ba

ba

ba

T

+

=

bababa

ba

T2

432

=

214236

69

T

-18-

Ramiro J. Saltos

Tema 10 Sea 22: PPT un operador lineal tal que:

1)( =xT 23)1( xxT +=+ 1)2( 2 = xxT

a) Determine la regla de correspondencia de T b) Respecto al resultado anterior, encuentre )(),(),Im(),( TTTTNu c) Determine la representacin matricial de T respecto a la base cannica de 2P

a) Primero hallamos la regla de correspondencia utilizando el procedimiento ya visto en los ejercicios anteriores Sea { }22,1, xxxB += una base de 2P Sea 22 Pcxbxa ++

232132

2

2321

2

)()()2(

)2()1()(

xxcxbxa

xxxcxbxa

++++=++

+++=++

==+=+

cba

3

21

32 2

+

cca

cab

AA

ca

abA

cab

MP

cba

1002010

2001

)2()2(

100210201

)1(100210011

)1(100

011210

32

3121

3

12

cba 21 += ca 22 += c=3

( ) )2()1()( 23212 xTxTxTcxbxaT +++=++

( ) )1)(()3)(2()1)(2( 22 +++++=++ xcxcacbacxbxaT

( ) 22 )2()()52( xcaxccbacxbxaT +++++=++

b)

{ }2222 000)(/)( xxcxbxaTPcxbxaTNu ++=++++=

==+==

==++

00200

0052

acacc

bcba 0=== cba

{ }000)( 2 ++= xxTNu 0)( =Tv

-19-

Ramiro J. Saltos

Para hallar el recorrido utilizamos el teorema que dice que si WV dimdim = y T es inyectiva, entonces T es sobreyectiva. T es inyectiva porque { }VOTNu =)(

2)Re( PT = 3)( =T c) La base cannica de 2P es { }2,,1 xxB =

[ ] [ ] [ ]

= BBBT xTxTTA )()()1(

2

))(1())(0()1)(2(2)1( 22 xxxT +++= [ ]

=

102

)1( BT

))(0())(0()1)(1(1)( 2xxxT ++= [ ]

=

001

)( BxT

))(2())(1()1)(5(25)( 222 xxxxxT +++= [ ]

=21

5)( 2 BxT

=201100

512

TA

-20-

Ramiro J. Saltos

Tema 11 Construya, de ser posible, una transformacin lineal 2

3: PRT que cumpla con las siguientes condiciones:

===

= Rttctbta

cba

TNu ,2,,/)(

{ }bacPcbxaxT +=++= /)Im( 22

2231

0xxT ++=

y 21

111

xT +=

Primero debemos encontrar una base y la dimensin tanto del ncleo como del recorrido de la transformacin y verificar si se cumple el teorema de las dimensiones. Si este no se cumple, entonces no existe una transformacin lineal que cumpla las condiciones que del problema

Sea )(TNucba

=

=

211

2t

ttt

cba

=

211

)(TNuB 1)( =Tv

Sea )Re(2 Tcbxax ++

)1()1()( 222 +++=+++=++ xbxababxaxcbxax { }1,12)Re( ++= xxB T 2)( =T

Revisamos el teorema de la dimensin

33321

dim)()(

==+

=+ VTTv

Como se cumple el teorema anterior, ahora debemos formar una base del espacio de partida, en este caso 3R , y la obtenemos con los dos vectores que nos dan en el problema ms el que forma parte de la base del )(TNu . Se recomienda que de preferencia la base del espacio de partida contenga a la base del ncleo

=

211

,31

0,

111

B

Una vez obtenida esta base el procedimiento a seguir es el mismo ya revisado en los ejercicios anteriores

-21-

Ramiro J. Saltos

Sea 3Rcba

+++

=

+

+

=

321

321

31

321

23211

31

0

111

cba

=++=+

=

cb

a

321

321

31

23

( )9132

23

13

12

34900210101

)1()3(

330210101

)1()1(

231111101

Mcba

baa

MA

acab

a

AA

cba

++

++

+

++

++

934100

923010

935001

)2()1(

934100

210101

32

31

cba

cba

cba

AA

cbaba

a

934

923

935

3

2

1

cba

cba

cba

++=

+=

++=

Luego aplicamos transformacin lineal en ambos lados de la combinacin lineal y reemplazamos las igualdades que obtuvimos y las que nos dan en el ejercicio. Hay que recordar que la transformada de todo vector que pertenece al ncleo es igual al vector nulo del espacio de llegada

+

+

=

211

31

0

111

321 TTTcba

T

+++

++

++=

211

934

31

0

923

111

935 TcbaTcbaTcba

cba

T

( ) ( ) ( )0009342

9231

935 222 ++

+++++

+++

++=

xxcbaxxcbaxcba

cba

T

2

923

935

923

9462

935 xcbacbaxcbacbacba

cba

T

++

+++

++

++

++=

2

936

923

9537 xcaxcbacba

cba

T

++

++

+=

-22-

Ramiro J. Saltos

Tema 12 Construya, de ser posible, una transformacin lineal 322: RST x que cumpla con las siguientes condiciones:

=+=

= 02/)( 22 cbcaScb

baTKer x

=

413

2001

T y

=

011

1220

T

=+

= 0/)Im( 3 zyxR

zyx

T

Hallamos las dimensiones del ncleo y del recorrido para verificar si se cumple el teorema de la dimensin

Sea )(TNucbba

=

=

1221

22

ccc

cccbba

=

1221

)(TNuB 1)( =Tv

Sea )Re(Tzyx

+

=

+=

110

011

zxz

zxx

zyx

=

110

,011

)Re(TB 2)( =T

Verificando el teorema

33321

dim)()(

==+

=+ VTTv

Ahora formamos una base del espacio vectorial de partida, hay que recordar que esta base, si es posible, debe contener a la base del ncleo

=

1220

,2001

,1221

B

Sea 22xScbba

-23-

Ramiro J. Saltos

++

+=

+

+

=

32131

3121321 222

2212

202001

1221

cbba

=+=+

=

cb

a

321

31

21

222

)3()1(

130110011

)1(130

2220011

)1()2(

121202011

23

2132

13

12

++

+

AA

accba

aA

acba

a

AA

cba

( )

++

+

++

++++++

++++

4234100

42010

424001

)1()1(

4234100

1102101

234400110

2101

32

314

13

cba

cb

cba

AA

cbacbacba

Mcba

cbacba

424

1cba ++

= 42

2cb +

= 4

2343

cba ++=

Finalmente:

+

+

=

12

202001

1221

321 TTTcbba

T

+++

++

++=

011

4234

413

42

000

424 cbacbcba

cbba

T

++

++

+

+

+

=

404

2344

234

484

42

463

cba

cba

cb

cb

cb

cbba

T

+++

=

cbcba

ca

cbba

T2

-24-

Ramiro J. Saltos

Tema 13 Sea 222: PST x , una transformacin lineal con regla de correspondencia:

2)3()()2( xcbxcbacbacbba

T ++++=

Demuestre que T es inversible y encuentre la regla de correspondencia de 1T Para averiguar si existe la inversa T primero debemos comparar las dimensiones de los espacios donde opera la transformacin; si estas dimensiones son diferentes, entonces T no es inversible, caso contrario debemos proseguir con cualquiera de las siguientes opciones:

1. Encontrar el ncleo y ver si es igual al nulo del espacio vectorial de partida 2. Hallar la matriz asociada a T , calcular su determinante y si ste es diferente de cero,

entonces T es inversible. Nos inclinaremos por la segunda alternativa por ser ms corta. Para ello encontraremos la representacin matricial de T respecto a las bases cannicas para facilitar los clculos

Sea

=

1000

,0110

,0001

S y { }2,,1 xxP = las bases cannicas de 22xS y 2P respectivamente.

2)0()1()1)(1(10001

xxxT ++=

=

01

1

0001

P

T

22 )1()1()1)(2(20110

xxxxT ++++=

=

112

0110

P

T

22 )3()1()1)(1(311000

xxxxT +++=

=

311

1000

P

T

310111121

TA

Ahora calculamos el determinante escogiendo la fila o columna con ms ceros que exista

0)det(3)det(

1613)det(3112

131

111)det(

=

++=

+

=

AAA

A

T es inversible

-25-

Ramiro J. Saltos

Lo siguiente es hallar la inversa de T y para ello igualamos la regla de correspondencia con el vector tpico del espacio de partida, para este problema 22xS

( ) ( )[ ]

=++++

pnnm

xcbxcbacbaT 21 )3(2

Y escalonamos la matriz con la finalidad de expresar a , b y c en funcin de m , n y p

( )3132

23

21

12

300010

2101

)1()1()2(

310010121

)1(310

111121

++

+

M

pnmnmnm

MA

A

pnm

mA

pnm

3100010

374001

)1(

3100010

2101

31pnm

nm

pnm

Apnm

nmnm

Reemplazando:

( )

=++

3

374

21

pnmnm

nmpnm

pxnxmT

-26-

Ramiro J. Saltos

Tema 14 Sea 33: RRT la transformacin lineal definida por:

+

=

zyy

zx

zyx

T

Determine si T es un isomorfismo y en caso de serlo calcule

321

1T

Para determinar si T es inversible debemos calcular el determinante de cualquiera de sus matrices asociadas y si ste es diferente de cero, entonces T ser inversible

Sea

=

100

,010

,001

B la base cannica de 3R

+

+

=

100

)0(010

)0(001

)1(001

001

T

=

001

001

T

+

+

=

100

)1(010

)1(001

)0(110

010

T

=

110

010

T

+

+

=

100

)1(010

)0(001

)1(101

100

T

=

101

100

T

=

110010101

TA

Calculamos su determinante:

011101

1)det( ==TA

T es un isomorfismo

Para calcular la inversa de T igualamos la regla de correspondencia con el vector tpico del espacio de partida y escalonamos el sistema de ecuaciones hasta obtener la matriz identidad, as

-27-

Ramiro J. Saltos

=

+

cba

zyy

zxT 1

El objetivo ser de expresar las variables de la regla de correspondencia de T en funcin de las nuevas variables del vector tpico del espacio de partida

=+==

czy

byazx

+

bcb

cbaA

bcba

Acba

100010001

)1(100010101

)1(110010101

3123

Lo que nos queda del otro lado de la matriz aumentada es la regla de correspondencia de 1T y el paso final nicamente consiste en ir reemplazando cada igualdad adaptndola a los espacios que pertenece, que para 3R es sencillo porque va directo, tal como est, as:

+=

bcb

cba

cba

T 1

Y calculando lo que nos pide el ejercicio:

=

122

321

T

-28-

Ramiro J. Saltos

Tema 15 Sea 21: RPT una transformacin lineal con regla de correspondencia:

++

=+baba

bxaT732

)(

a) Encuentre la representacin matricial de T respecto a las bases { }xxB 23,11 +=

de 1P y

=

51

,52

2B de 2R y la matriz asociada a T respecto a las bases

cannicas { }xB ,13 = de 1P y

=

10

,01

4B de 2R

b) Si T es inversible, encuentre la regla de correspondencia de 1T a) Por teorema sabemos:

[ ] [ ]

+

= 2221 231 BBBB xxA

++

=

+

=

21

2121 55

251

52

)(

vT

Ahora debemos hallar las coordenadas de las transformadas de los vectores de la base 1B respecto a la base 2B

=+

103

)1( xT

=+=+

105532

21

21

( )

110101

)1()1(

110211

)2(312211

1055312

2

2112

12

51

2

MA

AP

M [ ]

=+

11

)1( 2BxT

=51

)23( xT

=+=+

55512

21

21

( )

110001

)1()1(

110111

)2(112111

555112

2

2112

12

51

2

MA

AP

M [ ]

=1

0)23( 2BxT

=11

0121 BB A

Para encontrar la representacin matricial de T respecto a las bases cannicas realizamos el mismo procedimiento, aunque en este caso es ms fcil encontrar las columnas de la matriz.

=

31

)1(T [ ]

=

31

)1( 4BT

-29-

Ramiro J. Saltos

=

72

)(xT [ ]

=

72

)( 4BxT

=

7321

43 BB D

b) Para saber si T es inversible hay que calcular el determinante de cualquiera de las dos representaciones matriciales anteriores

0)det(1)det(

)0)(1()1)(1()det(

=

=

AAA

T es inversible

Y como ya se vio en ejercicios anteriores para encontrar 1T igualamos la regla de correspondencia de T con el vector tpico del espacio de partida, en este caso 2P

nxmbaba

T +=

++

7321

mnnm

Amn

mA

nm

3102701

)2(310

21)3(

7321

2112

Pero como la regla de correspondencia est en trminos de a y b es mejor dejar expresada la respuesta en funcin de las ya mencionadas variables

xbababa

T )3()27(1 ++=

-30-

Ramiro J. Saltos

Tema 16 Sean 331 : RRT y

332 : RRT dos transformaciones lineales definidas por:

+++

=

cbabaca

cba

T 21

++++

=

bacbacba

cba

T3222

Encuentre la transformacin lineal ( ) ( )12121 532 TTTTTL += Encontremos por separado cada transformacin lineal para al final sumar todas

12T Para hallar esta transformacin lineal es suficiente con multiplicar la regla de correspondencia de

1T por dos a ambos lados, es decir:

( )

+++

=

cbabaca

cba

T 222 1 ( )

+++

=

cbabaca

cba

T222

2422

2 1

( )123 TT

Proseguimos de la siguiente manera:

( )

=

cba

Tcba

Tcba

TT 1212 33

Reemplazamos las reglas de correspondencias de las respectivas transformaciones lineales y simplificamos las operaciones:

( )

( )

+

+

++++

=

+++

++++

=

cbabaca

bacbacba

cba

TT

cbabaca

bacbacba

cba

TT

232233

232233

12

12

( )

++

+=

cbacba

cb

cba

TT2

222

33 12

( )

++

=

cbacba

cb

cba

TT363

66363

3 12

-31-

Ramiro J. Saltos

( )125 TT El procedimiento es parecido al realizado anteriormente pero para realizar la composicin es necesario que el espacio de llegada de la transformacin lineal de la derecha sea el mismo espacio de partida de la transformacin lineal de la izquierda, es decir:

WVT :1 UWT :2

Como podemos notar 1T llega a W y 2T parte de W , slo si esto se cumple se puede realizar la composicin. Para el ejercicio no hay problema pues las dos funciones operan dentro del mismo espacio vectorial 3R

( )

=

cba

TTTT 1212 55

Reemplazando la regla de correspondencia:

( )

+++

=cba

baca

TTT 255 212

Luego evaluamos en la regla de correspondencia de 2T donde hay que recalcar que la variable a es ahora ca , b es ba +2 y c es cba ++

( )

+++++++++++

=)2(3)(2

)(2)2()()()2()(

55 12baca

cbabacacbabaca

TT

Simplificando las operaciones:

( )

( )

+++

+=

+++

+=

cbacba

baTT

cbacbaba

TT

101540555

10155

238

2355

12

12

Una vez halladas todas las transformaciones lineales por separado, se procede con realizar la suma de todas ellas

-32-

Ramiro J. Saltos

( )[ ] ( )12121 532 TTTTTcba

L ++=

+++

++

++

+

+++

=

cbacba

ba

cbacba

cb

cbabaca

cba

L101540555

1015

363663

63

2222422

+++

=

cbacbacba

cba

L51139

13128717

-33-

Ramiro J. Saltos

Tema 17 Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.

a) Existe una transformacin lineal 22: RRT tal que

=

64

11

T y

=

01

33

T

Sea 3= y

=

11

v

=

=

11

311

3

)()(

TT

vTvT

=

=

01

1812

33

64

3 T

Falso

b) La funcin 22: RRT definida por

+=

1

baba

T es una transformacin lineal

1) )()()( wTvTwvT +=+

Sea

=

1

1

ba

v y 22

2 Rba

w

=

+++=

+++

++

+=

++

+

=

+

21

11

21212121

2211

21

21

2

2

1

1

2

2

1

1

bbaabbaa

bababbaa

T

ba

Tba

Tba

ba

T

Contraejemplo

Sea

=

11

v y

=

22

w 2R

=+

33

wv

=

+

=

+

=

26

16

14

12

16

22

11

33

TTT

Falso

-34-

Ramiro J. Saltos

c) La funcin 32: RRT definido por

+

=

ababa

ba

T es lineal

1) Vwv , )()()( wTvTwvT +=+

Sean

=

1

1

ba

v y 22

2 Rba

w

=

+++++

=

+++++

+

+

+

=

++++++

+

=

++

21

2121

2121

21

2121

2121

2

22

22

1

11

11

21

2121

2121

2

2

1

1

21

21

)()()()(

aabbaabbaa

aabbaabbaa

ababa

ababa

aabbaabbaa

ba

Tba

Tbbaa

T

2) R Vv )()( vTvT =

Sea 2Rba

v

= . Sea R

+

=

+

+

=

+

=

ababa

ababa

ababa

ababa

ba

Tba

T

Verdadero

d) Si WVT : es una transformacin lineal tal que

=

102230311

TA es la representacin

matricial de T respecto a las bases 1B y 2B , entonces T es un isomorfismo Para saber si T es un isomorfismo bastar con calcular el determinante de la matriz asociada a T

2331

21031

01023

1)det( +=TA

)92(23)det( +=TA 143)det( =TA

11)det( =TA

Verdadero

-35-

Ramiro J. Saltos

e) Sea 22: PRT una transformacin lineal. Si 24

13

xT +=

y xT 2321

+=

, entonces

241055

xxT +=

Sabemos que:

2

1,

13

es una base de 2R , es decir, que todo vector de 2R se puede escribir como

combinacin lineal de los vectores de esta base.

Sea 2Rba

+

=

+

=

21

2121 2

321

13

ba

Para hallar la regla de correspondencia de T debemos expresar los escalares en funcin de a y b . Planteamos la matriz aumentada y reducimos por Gauss

( ) )2(5

31021

35021

)1()3(

1321

2113

2151

21

1212 Aba

bM

bab

MA

ab

Pba

+

+

+

+

5310

5201

ba

ba

53

52

2

1

ba

ba

+=

+=

Ahora volvemos a escribir la combinacin lineal y aplicamos transformacin lineal en ambos lados de la ecuacin

+

=

+

=

21

13

21

13

21

21

Tba

T

ba

Aplicamos las propiedades de las transformaciones lineales

+

=

21

13

21 TTba

T

Reemplazamos los escalares por las igualdades encontradas y las transformadas de los vectores de la base con los datos del problema.

( ) ( )32534

52 2

+++

+=

xbaxba

ba

T

Simplificando nos queda:

+

++

+=

5

555

625

2 2 baxbaxbaba

T

-36-

Ramiro J. Saltos

Y finalmente

10455

52525

53010

5510

55

2

2

+=

+

++

+=

xxT

xxT

Verdadero

f) Sea 222: xSPT una transformacin lineal con regla de correspondencia:

++

=++bccba

cbaccxbxaT

2)( 2

Entonces, T es un isomorfismo y 21 213224

xxT +=

Para saber si T es inversible debemos hallar la matriz asociada a T y calcular su determinante, como no nos dan ninguna base nosotros usamos las bases cannicas.

Sean { }2,,1 xxP = y

=

1000

,0110

,0001

M las bases cannicas de 2P y 22xS

respectivamente.

+

+

=

=

1000

)0(0110

)1(0001

)0(0110

)1(T [ ]

=

010

)1( MT

+

+

=

=1000

)1(0110

)1(0001

)0(11

10)(xT [ ]

=

110

)( MxT

+

+

=

=

1000

)1(0110

)1(0001

)2(1112

)( 2xT [ ]

=11

2)( 2 MxT

=110111

200

TA 21120

1)det( =

=TA 0)det( TA

T es inversible Sabemos que si T es inversible entonces vwTwvT == )()( 1

+

+=+

122112)1(1)2(2

)21( 2xxT

=+

3224

)21( 2xxT

Verdadero

-37-

Ramiro J. Saltos

Espacios con Producto Interno

Producto Interno Definicin: Sea V un espacio vectorial. Sea RVxVf : una funcin que asigna a cada par de vectores Vwv , un nico escalar R . Se dice que f es un producto interno real en V si cumple con las siguientes condiciones:

1. Vv 0),( vvf 2. Vv VOvvvf == 0),( 3. Vwv , ),(),( vwfwvf = 4. R Vwv , ),(),( wvfwvf = 5. Vzwv ,, ),(),(),( zwfzvfzwvf +=+

Notaciones: Sea V un espacio vectorial. Sea RVxVf : un producto interno real en V , las diferentes notaciones que puede tomar f estn dadas por:

1. ),( wvf 2. wv /

Norma de un Vector

Definicin: Sea V un espacio con producto interno f . Sea Vv . La norma o mdulo de v , que se denota v , se define como:

),( vvfv =

Vector unitario Definicin: Al vector Vv se lo llama vector unitario si su norma es igual a 1

Teorema 1 Sea V un espacio con producto interno f . Entonces se cumple que:

1. R Vv vv = 2. Vv 0),( =VOvf

-38-

Ramiro J. Saltos

Conjunto Ortonormal de Vectores Definicin: Sea { }nvvvvS ,...,,, 321= un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno V . Se dice que S es un conjunto ortonormal de vectores si:

1. ji ( ) 0/ =ji vv 2. ji = ( ) 1/ =ji vv

Si el conjunto S satisface nicamente la primera condicin se dice que S es un conjunto ortogonal.

Teorema 2 Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea { }nvvvvS ,...,,, 321= un conjunto de vectores no nulos de V y ortogonal. Entonces, S es linealmente independiente en V

Distancia entre dos Vectores Definicin: Sean v y w dos vectores cualesquiera del espacio con producto interno V . La distancia entre v y w , denotada por ),( wvd , se define como:

wvwvd =),(

Medida del ngulo entre dos Vectores Definicin: Sea V un espacio con producto interno. La medida del ngulo entre dos vectores v y w cualesquiera no nulos de V , se define como:

( )

=

wvwvarcCos /

Complemento Ortogonal

Definicin: Sea W un subespacio del espacio vectorial con producto interno V . El complemento ortogonal de W , denotado por W , se define como:

( ){ }WwwvVvW == ;0//

Proyeccin Ortogonal Definicin: Sea V un espacio vectorial con producto interno y W un subespacio de V . Sea

{ }nuuuuB ,...,,, 321= una base ortonormal de W . Sea Vv . La proyeccin de ortogonal de v sobre W , denotada por vproyW , se define como:

( ) ( ) ( ) ( ) nnW uuvuuvuuvuuvvproy /.../// 332211 ++++=

-39-

Ramiro J. Saltos

Teorema 3 Sea { }nuuuuB ,...,,, 321= una base ortonormal del espacio con producto interno V . Sea Vv , entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) vproyuuvuuvuuvuuvv Vnn =++++= /.../// 332211

Teorema 4 Sea W un subespacio del espacio con producto interno V , entonces se cumple que:

1. W es un subespacio de V 2. { }VOWW = 3. VWW dimdimdim =+

Teorema de Proyeccin Sea V un espacio con producto interno. Sea W un subespacio de V . Sea Vv . Entonces existe un nico vector Wh y Wp , tal que:

phv += Donde:

vproyh W= vproyp

W =

Matriz Ortogonal

Definicin: La matriz invertible Q de nxn se dice que es ortogonal si:

TQQ =1

Teorema 5 Si Q es una matriz ortogonal de nxn , entonces 1)det( =Q o 1)det( =Q

Teorema 6 Una matriz Q invertible de nxn es ortogonal, si y slo si sus columnas forman una base ortonormal para nR con el producto interno cannico.

Teorema de Aproximacin de la Norma Sea V un espacio con producto interno y W un subespacio de V . Sea v un vector cualquiera de V . De todos los vectores que se encuentran en W , el vector ms cercano a v es el vector

vproyW , es decir:

{ }[ ]vproyWw W wvvproyv W

-40-

Ramiro J. Saltos

Tema 1 Sea el espacio vectorial 1PV = donde se ha definido la funcin:

)0()0()()( qpxqxpf = Determine si sta funcin es un producto interno real en 1P Escribamos la regla de correspondencia en funcin de las variables del vector tpico de 1P Sea baxxp +=)( y 1)( Pdcxxq +=

( )( )dcbadcxbaxf ++=++ )0()0( bddcxbaxf =++

1. Vv 0vvf Sea 1Pbaxv +=

2bbbbaxbaxf ==++

2b siempre ser mayor igual a cero Se cumple el primer punto 2. Vv VOvvvf == 0 Sea 1Pbaxv +=

2bbbbaxbaxf ==++ 002 == bb

Entonces la funcin ser cero cuando 0=b , lo que nos dice que la variable Ra y no necesariamente deber ser cero. Veamos un ejemplo: Sea 02 += xv

000)0)(0(

00202

==

=++ xxf

Se cumple la igualdad VOx + 02

f no es un producto interno real en 1P

-41-

Ramiro J. Saltos

Tema 2 Sea el espacio vectorial 1PV = donde se ha definido la funcin:

=

=1

1)()()()(

iiqipxqxpf

Determine si sta funcin es un producto interno real en 1P Desarrollamos la sumatoria:

=

++=1

1

)1()1()0()0()1()1()()(i

qpqpqpiqip

Es decir:

)1()1()0()0()1()1()()( qpqpqpxqxpf ++= Evaluamos de manera general para reducir un poco la regla de correspondencia: Sea baxxp +=)( y 1)( Pdcxxq +=

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

bdacdcxbaxf

bdbcadacbdbdbcadacdcxbaxf

dcbabddcbadcxbaxf

dcbadcbadcbadcxbaxf

32

)1()1()0()0()1()1(

+=++

++++++=++

++++++=++

++++++++=++

1. Vv 0vvf Sea 1Pbaxv +=

0320))((3))((20

22 +

+

++

babbaabaxbaxf

Se cumple el primer punto 2. Vv VOvvvf == 0 Sea 1Pbaxv +=

0320))((3))((20

22 =+

=+

=++

babbaabaxbaxf

La nica solucin posible para que la ecuacin anterior sea cero es que 0== ba , es decir, que

VOxbax =+=+ 00 Se cumple el segundo punto

-42-

Ramiro J. Saltos

3. Vwv , vwfwvf = Sea baxv += y 1Pdcxw +=

bdacbdacdbcabdac

baxdcxfdcxbaxf

32323232

+=++=+

++=++

Se cumple el tercer punto 4. Vzwv ,, zwfzvfzwvf +=+ Sea baxv += , dcxw += y 1Pnmxz +=

ndbmcandbmcadncmbnamnmxdbxcaf

nmxdcxfnmxbaxfnmxdcxbaxf

)(3)(2)(3)(23232)()(

)()(

+++=+++

+++=++++

+++++=++++

Se cumple el cuarto punto 5. R Vwv , vwfwvf = Sea R . Sea baxv += y 1Pdcxw +=

( )( )

( ) ( )bdacbdacbdacdbca

bdacdcxbxaf

dcxbaxfdcxbaxf

323232)(3))((2

32)()(

)(

+=++=+

+=++

++=++

f es un producto interno real en 1P

-43-

Ramiro J. Saltos

Tema 3 En 3R se consideran los siguientes conjuntos:

=

011

,010

genS

=

101

genL

Expresar el vector 3Rzyx

v

= como la suma de dos vectores, uno de S y uno de L

Siempre se aconseja en este tipo de ejercicios escoger la base con menor nmero de vectores puesto que el proceso de ortonormalizacin es ms difcil mientras ms vectores hallan

=

101

LB

=

101

1v

Ahora hay que ortonormalizar la base:

11

11 vv

u =

2

)1)(1()0)(0()1)(1(

101

101

1

1

1

=

++=

=

v

v

v

=

101

21

OLB

Se aconseja dejar la base ortonormal expresada de la manera anterior. Finalmente para hallar esos dos vectores hallamos la proyeccin del vector v sobre el subespacio L y el otro lo obtenemos por diferencia

=

=

=

101

101

21

Pr

11

zyx

l

uuvlvoyl L

Cabe recalcar que los escalares en un producto interno real pueden salir sin ningn problema

-44-

Ramiro J. Saltos

[ ]

+

+

=

+=

++

=

2

02

101

2

101

)1)(()0)(()1)((21

zx

zx

l

zxl

zyxl

Para hallar el otro vector despejamos de:

=

+

+

=

=+=

2

2

2

02

zxy

zx

s

zx

zx

zyx

s

lvsslv

-45-

Ramiro J. Saltos

Tema 4

Sea 3RV = y

=+

= 0623/3 zyxR

zyx

W un subespacio de V

Determine: a) El complemento ortogonal de W

b) La proyeccin de v sobre W si se conoce que

=

413

v

Para calcular el complemente primero necesitamos una base de W

zxyzyx

6320623

+==+

+

=

+=

=

260

032

263

2

222

zxz

zxx

zyx

zyx

=

130

,032

WB

Sea

W

cba

baba

cba

32032

0032

==+

=

bc

cb

cba

303

0130

==+

=

=+=+

= 0332/3 bcbaR

cba

W

Para hallar la proyeccin del vector que nos piden es mejor calcularla sobre W debido a que la base de este subespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla ser ms sencillo.

=

=

=

623

623

222

bb

bb

cba

cba

=

623

WB

-46-

Ramiro J. Saltos

Ahora procedemos a ortonormalizar esta base:

11

11 vv

u =

( )

749

3649

623

623

/

1

1

1

111

==

++=

=

=

v

v

v

vvv

=

623

71*

WB

Vamos a suponer que v se puede escribir como la suma de dos vectores Wh y Wp , hallaremos p y luego contestaremos la pregunta al encontrar pvh =

( ) 11Pr

uuvp

voypW

=

=

( )

=

+

=

=

62

3

4913

623

2429491

623

623

413

491

p

p

p

=

+

=

49248

4975

49186

4952

4926

4939

413

h

h

=

49248

4975

49186

Pr voyW

-47-

Ramiro J. Saltos

Tema 5

Sea

+=

= bacR

cba

H 32/3 un subespacio del espacio euclidiano 3R con

operaciones usuales y producto interno cannico:

a) Encuentre una base y determine la dimensin de H

b) Si 3

211

Rv

= , encuentre dos vectores Hh y Hp tales que phv +=

c) Determine el )cos( , donde es la medida del ngulo formado entre v y p Primero obtenemos la base de H

Sea Hcba

+

=

+=

310

201

32ba

baba

cba

=

310

,2

01

HB 2)dim( =H

Por definicin:

{ }HhhvVvH == ;0/

Sea

H

cba

caca

cba

202

02

01

==

=

cb

cb

cba

303

0310

==+

=

==

= cbcaR

cba

H 32/3

=

=

13

23

2c

cc

c

cba

= 13

2

HB ( ) 1dim =H

-48-

Ramiro J. Saltos

Hay que recordar que por el teorema de proyeccin phv += donde: voyh HPr= y voyp H = Pr

Y que estas proyecciones siempre se realizan sobre bases ortonormales, lo que quiere decir que hay que ortonormalizar las bases ya encontradas. Pero se recomienda ortonormalizar la base del subespacio con menor nmero de vectores para simplificar los clculos y hallar el otro vector despejando de la ecuacin antes mencionada. Para este ejercicio es aconsejable hallar la base ortonormal de H y obviamente el vector p Sea { }11 uB = una base ortonormal de H

11

11 vv

u = donde

=13

2

1v

14

194

)1)(1()3)(3()2)(2(

13

2

13

2

1

1

1

1

=

++=

++=

=

v

v

v

v

=13

2

141

1u

=13

2

141

1B

Se recomienda dejar la multiplicacin expresada pues ms adelante se simplificar

=

=

=

=

13

2

13

2

211

141

13

2

141

13

2

141

211

Pr

11

p

p

uuvp

voyp H

( )

=

+

=

141

143

142

13

2232

141

p

p

Para hallar h despejamos de la ecuacin original, es decir: pvh =

=

141

143

142

211

h

+

=

141

143

142

211

h

=

1427

1417

1412

h

-49-

Ramiro J. Saltos

Finalmente por definicin:

wvwv

Cos

=)(

Hallamos cada parte de fraccin por separado:

[ ]

0

)1)(27()3)(17()2)(12(196

1

13

2

271712

141

141

13

2

141

271712

141

141

143

142

1427

1417

1412

=

++

=

=

=

=

ph

ph

ph

ph

ph

Como el producto interno de h con p sali 0 , un resultado esperado debido a que h y p son ortogonales entre s: Hh y Hp . Por definicin el producto interno de cualquier vector de H con cualquiera de H es cero, entonces la expresin se simplifica a:

90)0(

0)(1

==

=

CosCos

-50-

Ramiro J. Saltos

Tema 6 En el espacio vectorial 1P est definido el siguiente producto interno:

)1()1()0()0()1()1())(/)(( qpqpqpxqxp ++=

a) Encuentre un vector )(xp tal que su norma sea igual a 30 y la medida del ngulo

con el vector xxq += 1)( sea 2 radianes.

b) Sea el subespacio de { }0/:1 =++= babxaWP Cul es el vector de W que est ms cerca de xxr 21)( = ?

a) Para resolver este literal hay que tener en cuenta el polinomio )(xp es una incgnita por ese motivo debemos suponer un )(xp genrico. Sea 1)( Pbxaxp += El ejercicio nos da como informacin que la norma de )(xp es 30 , por tanto:

( ) 30)()()( == xpxpxp ( ) 30=++ bxabxa

30233022

30))(())((

22

22222

2

=+

=+++++

=++++

bababaababababaababa

Y as obtuvimos una primera ecuacin, la otra que nos falta la obtenemos del segundo dato del

literal, el cual nos dice que la medida del ngulo con el vector )(xq es 2

( )

( )

023022

)()()2)(()0)((0

)()(1

)90(

)()()()(

)(

=+=++

+++

=

++=

=

babaa

xqxpbaaba

xqxpxbxa

Cos

xqxpxqxp

Cos

Ahora ya tenemos dos ecuaciones que nos relacionan las variables a y b . Resolviendo el sistema

=+=+

0233023 22

baba

-51-

Ramiro J. Saltos

ba

ba

3223

=

=

39

90109064

302943

302323

2

2

22

22

2

==

=

=+

=+

=+

bb

bbb

bb

bb

2

)3(32

=

=

a

a

Existen dos vectores que cumplen las condiciones especificadas, as que escogemos slo uno de ellos y nos queda:

xxp 32)( += b) Primero necesitamos extraer una base de W , luego debemos ortonormalizarla Sea Wbxa +

)1( xbbxbbxa +=+=+

{ }xBW += 1 Debido a que la base slo tiene un vector, ortonormalizarla consistir nicamente en dividir el vector para su norma

( )51

111

=+

=+

x

xxx ( )

+= xBNW 151

Entonces para hallar el vector cercano debemos calcular su proyeccin sobre W

( ) ( )

( )

[ ]( )

( )xxroy

xxroy

xxxxroy

xxxrxroy

W

W

W

W

+

=

+++

=

++

=

++=

157)(Pr

1)0)(1()1)(1()2)(3(51)(Pr

112151)(Pr

15

115

1)()(Pr

Por lo tanto el vector ms cercano a xxr 21)( = es: x57

57

-52-

Ramiro J. Saltos

Tema 7 Sea 22xMV = , considere el producto interno:

dhcgbfaehgfe

dcba

+++=

22

Sea

= Rca

ccaa

H ,/ un subespacio de V

a) Determine el complemento ortogonal de H

b) Escriba la matriz

=

4321

C como la suma de dos vectores HA y HB tales

que BAC +=

c) Determine la medida del ngulo entre los vectores C e I si se sabe que

=

1001

I

d) Determine la distancia entre los vectores C e I e) Encuentre una base ortonormal de V

a) Para resolver este literal primero debemos encontrar una base de H , como ya tenemos el vector tpico:

+

=

1100

0011

caccaa

=

1100

,0011

HB

Para hallar el complemento ortogonal, el vector tpico de H le aplicamos producto interno con cada uno de los vectores de la base de H y lo igualamos a cero Recuerden utilizar el producto interno definido en el ejercicio durante todo su desarrollo

Sea

H

dcba

02

00011

=+

=

ba

dcba

02

01100

=+

=

cd

dcba

=+=+

= 022/22 cdbaMdc

baH x

Obtenemos su base:

+

=

=

21

000012

22

cbcc

bbdcba

= 21

00,

0012

HB

-53-

Ramiro J. Saltos

b) Debemos hallar la proyeccin de la matriz C sobre el subespacio cuya base tenga el menor nmero de vectores, pero en este caso ambos subespacios tienen dimensin 2 , por lo tanto escogemos cualquiera de las dos bases para ortonormalizarla. Las proyecciones siempre se calculan sobre bases ortonormales Vamos a ortonormalizar HB y a esta nueva base la denotaremos como 1B

=

1100

,0011

HB { }211 ,uuB =

Supngase que

=

0011

1v y

=

1100

2v

Utilizamos el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt

11

11 vv

u =

Recuerden para todo el ejercicio utilizamos el producto interno definido en el planteamiento del problema

( )

3

)0)(0()0)(0(2)1)(1(2)1)(1(

0011

0011

1

1

1

111

=

+++=

=

=

v

v

v

vvv

=

0011

31

1u

''

12

22 vv

u =

( )

[ ]

=

+++

=

=

=

1100

'

0011

)0)(1()0)(1(2)1)(0(2)1)(0(31

1100

'

0011

0011

1100

31

1100

'

'

2

2

2

11222

v

v

v

uuvvv

-54-

Ramiro J. Saltos

( )

3'

)0)(0()0)(0(2)1)(1(2)1)(1('

1100

1100

'

'

2

2

2

222

=

+++=

=

=

v

v

v

vvv

=

1100

31

2u

=

1100

31,

0011

31

1B

Cabe recalcar que no era necesario realizar todo el proceso debido a que los vectores de HB son ortogonales, es decir, ( ) 021 =vv As que para ortonormalizar la base slo era necesario dividir cada vector para su norma, pero realizamos todo el proceso para practicar ms; pero en adelante, de ser posible, nos saltaremos los pasos innecesarios Sabemos que:

CoyA HPr= ( ) ( ) 2211 uuCuuCA +=

+

=

1100

1100

4321

31

0011

0011

4321

31A

[ ] [ ]

+++

+

+++

=

1100

)1)(4()1)(3(209)(2(2)0)(1(31

0011

)0)(4()0)(3(2)1)(2(2)1)(1(31A

+

=

1100

310

0011

35A

=

310

310

35

35

A

Y para obtener la matriz B despejamos de:

ACBBAC

=+=

=

310

310

35

35

4321

B

=

32

31

31

32

B

-55-

Ramiro J. Saltos

c) Para determinar la medida del ngulo nos remitimos a la frmula:

( )ICICCos

=)(

Pero por comodidad de clculo la resolveremos por partes y al final reemplazaremos todos los valores

( )

( )( ) 5

)1)(4()0)(3(2)0)(2(2)1)(1(

1001

4321

=+++=

=

ICIC

IC

( )

43

)4)(4()3)(3(2)2)(2(2)1)(1(

4321

4321

=

+++=

=

=

C

C

C

CCC

( )

2

)1)(1()0)(0(2)0)(0(2)1)(1(

1001

1001

=

+++=

=

=

I

I

I

III

Finalmente reemplazando nos queda:

=

=

865432

5)(

ArcCos

Cos

d) Para hallar la distancia tambin utilizamos una frmula conocida:

( )

( )

( )

( )

( )( ) 35,

)3)(3()3)(3(2)2)(2(2)0)(0(,

3320

3320

,

3320

,

1001

4321

,

,

=

+++=

=

=

=

=

ICd

ICd

ICd

ICd

ICd

ICICd

-56-

Ramiro J. Saltos

e) Para este ltimo literal recordaremos aquel teorema que nos indica que para obtener una base ortonormal de V basta con unir una base ortonormal de un subespacio H cualquiera con la base ortonormal de su complemente ortogonal, es decir, H Como ya tenemos la base ortonormal de H solo falta ortonormalizar la base de H , la cual denotaremos como 2B

= 21

00,

0012

HB { }212 ,uuB =

Supngase que

=

0012

1v y

=21

002v

Pero estos dos vectores ya son ortogonales, solo falta que sean unitarios, as que dividiremos cada uno de ellos para su respectiva norma

( )

6

)0)(0()0)(0(2)1)(1(2)2)(2(

0012

0012

1

1

1

111

=

+++=

=

=

v

v

v

vvv

( )

6

)2)(2()1)(1(2)0)(0(2)0)(0(

2100

2100

2

2

2

222

=

+++=

=

=

v

v

v

vvv

=

2100

61,

0012

61

2B

La base ortonormal de V la denotaremos como 3B , entonces:

213 BBB =

=

2100

61,

0012

61

1100

31,

0011

31

3B

=

2100

61,

0012

61,

1100

31,

0011

31

3B

-57-

Ramiro J. Saltos

Tema 8 Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta a) Sea RxRRf 22: una funcin con regla de correspondencia:

12212

2

1

1 62 bababa

ba

f =

Entonces f es un producto interno real en 2R Para averiguar si la funcin dada es un producto interno habr que averiguar si se cumplen las condiciones del producto interno I) Vv ( ) 0vvf

Sea 2Rba

v

=

004

062

0

abab

abab

ba

ba

No se cumple el primer punto Pero hay que plantear el contraejemplo aunque ya est demostrado formalmente que no es un producto interno

Sea 211

Rv

=

040)1)(1(6)1)(1(2

011

11

f no es un producto interno

Falso

-58-

Ramiro J. Saltos

b) :, Rtr

=)()(

)()(trSentCos

tCostrSenA es ortogonal

Para que la matriz sea ortogonal, el producto interno entre sus columnas debe ser igual a 0 y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma debe ser igual a 1. Entonces, utilizando el producto interno cannico:

000)()()()(

0)(

)()()(

==

=

tCostrSentCostrSen

trSentCos

tCostrSen

[ ] 01)(1)(1)(

1)()(

1)()(

)()(

22

222

222

=

=+

=+

=

rtSentSentSenr

tCostSenr

tCostrSen

tCostrSen

20

0)(0)(2

====

tttSentSen

11

012

2

==

=

rrr

Por lo tanto la igualdad slo se cumple para los valores de r y t encontrados y no para todos los reales. Se igual procedimiento para la segunda columna

Falso c) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean Vvu , dos vectores ortonormales. Si los vectores vu + y vu son ortogonales, entonces =

0)/()/()/()/(0)/()/()/()/(

0)/(

22 =+

=+++=+

vvvuvuuuvvuvvuuu

vuvu

Pero como los vectores u y v son ortonormales, sabemos que: 1)/()/( == vvuu

=

=

=

=

22

22

22

00)/()/( vvuu

Verdadero

-59-

Ramiro J. Saltos

Valores y Vectores Propios Valor y Vector Propio de una Matriz: Sea A una matriz de nxn . Se dice que es un valor propio de A si existe un vector no nulo nRX , tal que XAX = . En tal caso se dice que X es un vector propio de A asociado al valor propio Valor y Vector Propio de una Transformacin Lineal: Sea V un espacio vectorial y VVT : una transformacin lineal. Se dice que es un valor propio de de T , si existe un vector propio no nulo Vv , tal que vvT =)( . En tal caso se dice que v es un vector propio de T asociado al valor propio

Teorema 1 Sea A una matriz de nxn . Entonces es un valor propio de A si y slo si:

0)det()( == IAp

Matriz Semejante Definicin: Las matrices A y B de nxn se dice que son semejantes si existe una matriz invertible C de nxn tal que:

CACB = 1

Teorema 2 Sean A y B dos matrices semejantes de nxn . Entonces se cumple que:

1. )det()det( BA = 2. )()( BA pp =

Y por tanto A y B tienen los mismos valores propios pero no necesariamente los mismos vectores propios

Teorema 3 Sea un valor propio de la matriz A de nxn . Entonces:

{ }XAXCXE n == / Es un subespacio de nC y es llamado espacio propio de A asociado al valor propio

Teorema 4 Sea un valor propio de la transformacin lineal VVT : . Entonces:

{ }vvTVvE == )(/ Es un subespacio de V y es llamado espacio propio de T asociado al valor propio

-60-

Ramiro J. Saltos

Multiplicidad Geomtrica Definicin: Sea E el espacio propio de la matriz A de nxn o de una transformacin lineal

VVT : asociado al valor propio . Se define la multiplicidad geomtrica de , denotada por )(mg , como:

Emg dim)( =

Teorema 5

Sea un valor propio de la matriz A de nxn o de una transformacin lineal VVT : en el espacio de dimensin finita V . Entonces, se cumple que:

)()(1 mamg

Teorema 6 Vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes.

Teorema 7 Sea A una matriz simtrica de nxn con componentes reales. Si es un valor propio de A , entonces es un nmero real

Teorema 8

Sea A una matriz de nxn simtrica. Sea 1X un vector propio de A asociado al valor propio 1 y 2X un vector propio de A asociado al valor propio 2 .

Si 21 , entonces 1X y 2X son ortogonales.

Teorema 9 Sea A una matriz de nxn . Si A tiene exactamente n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable

Matriz Diagonalizable Definicin: Se dice que la matriz A de nxn es diagonalizable si existe una matriz inversible C de nxn tal que:

1D C AC= Es decir, una matriz A de nxn es diagonalizable si existe una matriz diagonal D de nxn tal que A y D son semejantes

Teorema 10 Una matriz de nxn es diagonalizable si tiene n vectores propios linealmente independientes

-61-

Ramiro J. Saltos

Transformacin Lineal Diagonalizable Definicin: La transformacin lineal :T V V , donde V es un espacio vectorial de dimensin finita, se dice que es diagonalizable si existe una base B de V respecto de la cual la representacin matricial de T es una matriz diagonal Teorema 11 Una matriz A de nxn es diagonalizable si cumple que, por cada valor propio de A :

( ) ( )ma mg =

Matriz Diagonalizable Ortogonalmente Definicin: Una matriz A de nxn se dice que es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q de nxn tal que;

TD Q AQ= Donde D es una matriz diagonal semejante a la matriz A

Teorema 11 Una matriz A de nxn es diagonalizable ortogonalmente, si y slo si, A es una matriz simtrica

-62-

Ramiro J. Saltos

Tema 1 Halle los valores y vectores propios de la siguiente matriz:

=211110

101A

Para hallar los valores propios debemos encontrar el polinomio caracterstico y extraer sus races, muchas veces es necesario utilizar la divisin sinttica para poder factorizar la expresin

=

211110

101IA

[ ]

0)34(034

0131301)13)(1(

01)122)(1(0)1)(1(1)2)(1()1(

0)det()(

2

23

232

2

2

=+

=+

=+++

=++

=++

=+==

IAp

01 = 0)1)(3(0342

==+

12 = 33 =

310

3

2

1

===

Finalmente debemos encontrar los vectores propios y para ello debemos hallar una base de los espacios E El procedimiento consiste en reemplazar cada valor propio en la matriz IA y resolver el siguiente sistema homogneo:

=

000

211110

101

cba

Entonces para hallar cada espacio planteamos el sistema mencionado y reducimos la matriz hasta obtener la mayor cantidad de ceros posibles

-63-

Ramiro J. Saltos

1E

000001100101

)1(011001100101

)1(021101100101

002110101001001

2313 AA

De donde extraemos las siguientes igualdades:

caca==+ 0

cbcb

== 0

Reemplazando en el vector tpico

=

=

111

cccc

cba

=

111

1v

2E

001101000000

)1()1(

011101000100

012110111001011

23

21

AA

00

==

cc

baba

== 0

=

=

011

0aa

a

cba

=

011

2v

3E

001101200000

)1()1(

011101200120

)2(011101200102

032110131001031

23

2131 A

AA

bccb

202

==

baba==+ 0

=

=

211

2b

bbb

cba

=

211

3v

-64-

Ramiro J. Saltos

Tema 2 Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:

=234234245

A

El procedimiento para encontrar la matriz C consiste en calcular el determinante de IA e igualarlo a cero para finalmente hallar los valores propios de la matriz, recuerden que en muchos casos es necesario usar divisin sinttica para factorizar.

=

234234245

IA

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

0)34(034

0855082432241632))(5(

0268464846236)5(0)3(2846)2(446)2)(3()5(

0)det(0)(

2

23

232

2

2

=+

=+

=+

=++++

=++++++++

=+++=

=

IA

p

0= 0)1)(3( =

===

310

3

2

1

3= 1= Ahora debemos hallar una base para cada espacio propio asociado con cada uno de los valores propios, recuerden que por lo general los valores propios se los ordena de menor a mayor

0; 11 =E

000002010011

)3(000002340011

)1()1(

023402340245

002340203402405

1223

21 AAA

baba

== 0

ac

ca

21

02=

=+

=

=

2

12

1

11

aa

aa

cba

=

122

1EB

-65-

Ramiro J. Saltos

No hay ningn problema si multiplicamos al vector por cualquier nmero para eliminar la fraccin

1; 22 =E

011001020000

)2(011001220000

)1()1(

013402440244

012340213402415

1223

21 AAA

ca

ca

21

02

=

=

cbcb

== 0

=

=

11

21

21

cccc

cba

=

221

2EB

3; 33 =E

000001100101

)1(055002200121

)2()2(

013402640242

032340233402435

2113

12 AAA

caca

== 0

cbcb

== 0

=

=

111

cccc

cba

=

111

3EB

Finalmente las columnas de la matriz C que diagonaliza a la matriz A estn dadas por los vectores que conforman las bases de cada uno de los espacios propios

=

121122112

C

-66-

Ramiro J. Saltos

Tema 3 Determine los valores caractersticos y base para cada espacio propio de la matriz:

=

aa

aA

111111

=

aa

aIA

111111

[ ] [ ] [ ][ ]

02)(3)(0)(11)(1)()(

0)(111)(11)()(

3

2

2

=+

=++

=+

aaaaaa

aaaa

Ahora realizamos un cambio de variable para facilitar la factorizacin del polinomio

= ax 0233 =+ xx

Aplicando divisin sinttica:

0211211

23011

0)1)(2)(1(0)2)(1( 2

=+=+

xxxxxx

11

1

==

=

aax

22

2

+==

=

aax

Y finalmente hallamos cada espacio propio reemplazando cada en la matriz IA

1=aE

000000111

111111111

cba

cba==++ 0

+

=

=

101

011

cbcb

cb

cba

=

101

,011

EB

2+=aE

101110000

211110000

211330330

211121112

cb

cb=

=+ 0 caca

== 0

=

=

111

cccc

cba

=

111

EB

-67-

Ramiro J. Saltos

Tema 4 Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:

=

400015051

A

Para encontrar la matriz Q realizamos el mismo procedimiento aplicado en los ejercicios anteriores slo que cuando hallemos las bases de los espacios propios debemos ortonormalizarlas, y esas sern las columnas de la matriz en cuestin Hay que recordar que las columnas de esta matriz forman una base ortonormal para 3R

=

400015051

IA

[ ][ ] 025)1()4(

025)1)(1()4(0)det(

0)(

2 =

==

=

IA

p

Cuando se calcula el determinante por medio de cofactores es mejor utilizar la fila o columna con mayor cantidad de ceros presentes en la misma Tambin hay que tener en cuenta que el procedimiento se puede simplificar por la presencia de ciertos artificios, por ejemplo en este caso la expresin dentro del corchete es una diferencia de cuadrados perfectos y su factorizacin es sencilla

404

==

[ ] [ ])6)(4(

05)1(5)1(

=+

004

==

606

==

====

2)(41)(6

22

11

mama

Ahora encontramos las bases de cada espacio propio

6; 11 =E

( )( )

010000000011)1(

0100000550055

0)6(40000)6(15005)6(1

101

3

51

1

12

MMA

baba==+ 0 0=c

-68-

Ramiro J. Saltos

=

=

011

0bb

b

cba

=

011

1EB

Hay que ortonormalizar esta base para obtener la primera columna de la matriz Q , pero como solo es un vector bastar con dividirlo para su norma, en este caso usamos el producto interno cannico

( )

2

)0)(0()1)(1()1)(1(

011

011

=

++=

=

=

v

v

v

vvv

=

02

12

1

1EONB

4; 22 =E

( )

000000000011

)1(

000000550055

044000041500541

51

1

12

MA

baba

==+ 0

Si no aparece la variable c significa que es libre y no hay condicin de la que est sujeta

+

=

=

100

011

cacaa

cba

=

100

,011

2EB

Igualmente debemos ortonormalizar esta base, pero antes hay que notar que estos vectores ya son ortogonales y de paso el segundo ya es unitario, as que bastar con dividir el primer vector para su norma con lo que obtendremos la base buscada y las dos ltimas columnas de nuestra matriz Q

( )

2

)0)(0()1)(1()1)(1(

011

011

1

1

1

111

=

++=

=

=

v

v

v

vvv

=

100

,0

21

21

2EONB

=

10000

21

21

21

21

Q

-69-

Ramiro J. Saltos

Tema 5 Sea A una matriz cuadrada de tamao 22x que representa a una transformacin lineal

22: RRT , respecto a la base cannica de 2R

a) Si 5)( =Atraza y 4)det( =A , cules son los valores propios de T ? b) Encuentre, de ser posible, una base de 2R respecto de la cual la matriz asociada a T

sea una matriz diagonal, si se conoce que

=

26

10

T

a) Sabemos que para cualquier matriz de orden 2 el polinomio caracterstico est dado por:

0)det()()( 2 =+= AAtrazap Entonces:

0)1)(4(0452

=++=++

404

==+

101

==+

Y con esto queda resuelto el primer literal b) Para hallar dicha base necesitamos diagonalizar cualquier matriz asociada a T , pero como no tenemos la regla de correspondencia tendremos que buscar otro camino para encontrar una matriz asociada Para este ejercicio tenemos suficientes datos para hallar la representacin matricial de T respecto a la base cannica. Conocemos su segunda columna por el dato del literal b, as que tenemos:

=

26

yx

AT

Adems conocemos el valor de la traza y del determinante, por lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

===+=+==+

39323462752

yyyxyxxx

=

2367

TA

Y de aqu en adelante el procedimiento es el mismo que en ejercicios anteriores:

=

2367

IA

Pero como ya conocemos los valores propios de esta matriz simplemente hallamos los espacios propios

-70-

Ramiro J. Saltos

4; 11 =E

( )

++

021000)1(

063063

04230647

31

2

21

MA

ba

ba2

02=

=+

=

=

122

bb

bba

=

12

1EB

Al mismo tiempo este vector representa las coordenadas de los vectores propios de la transformacin lineal respecto a la base de donde naci la matriz asociada, es decir, son las coordenadas de los vectores propios del operador lineal respecto a la base cannica de 2R para este caso.

=

12

1v

1; 22 =E

( )

++

011000)2(

033066

01230617

31

2

21

MA

ba

ba==+ 0

=

=

11

bbb

ba

=

11

2EB

=

11

2v

Y estos dos vectores encontrados forman parte una base respecto de la cual la matriz asociada a T es una matriz diagonal

=

11

,12

B

Hay que tener en cuenta que si el espacio donde opera la transformacin lineal es diferente a nR , entonces los vectores de la base tendrn la forma de dicho espacio, ya sean matrices, polinomios, etc.

-71-

Ramiro J. Saltos

Tema 6 Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta a) Si A es una matriz triangular, los valores propios de A son los elementos de su diagonal principal

Sea la matriz

=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaaa

A

000

000

333

22322

1131211

una matriz triangular de nxn . Entonces:

=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaaa

IA

000

000

333

22322

1131211

Cuando se tiene una matriz triangular el determinante de la misma est dado por la multiplicacin de los elementos de la diagonal principal.

0))...()()(()det()( 332211 === nnaaaaIAp De donde obtenemos que:

011 = a 022 = a 033 = a 0= nna 111 =a 222 =a 333 =a nnna =

Por lo tanto iii a= para Nnni = ;,...,3,2,1

Verdadero b) Sea 22xMA . Si 1)det( =A y 1)( =Atraza , entonces los valores propios de A son nmeros reales Sabemos que:

0)det()()( 2 =+= AAtrazap 012 =++

Aplicando el discriminante a la ecuacin determinaremos el tipo de races de la misma

111

===

cba

3

4142

=== acb

El discriminante es menor que cero, por tanto las races son nmeros complejos

Falso

-72-

Ramiro J. Saltos

c) Si es un valor propio de

=10

01A , entonces ( ) AAA 21 =+

Observemos que la matriz A es ortogonal debido a que el producto interno entre sus columnas es cero y al mismo tiempo el producto interno de cada columna consigo misma es uno, entonces:

AAAA T == 11 Tambin como A es una matriz diagonal, sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, es decir:

11=

=

Finalmente:

( )( )

AAAAA

AAA

222

211

1

==+

=+

( )( )

AA

AA

AA

AAA

AAA

21

21

21)()2(

21)2(

2

2

11

1

11

1

=

=

=

=+

=+

Verdadero