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  • 1.3. El grupo de Lorentz 19

    1.3. El grupo de Lorentz

    1.3.1. Generalidades

    Definición 1.3.1 Llamaremos el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski al espacio vectorial lorentziano Ln = (Rn, 〈·, ·〉), n ≥ 2 donde 〈·, ·〉 denota en adelante el producto escalar 〈·, ·〉1 del Ejemplo 1.1.9.

    Sea B0 = (e1, . . . , en) la base usual de Rn. Denotemos:

    η = MB0(〈·, ·〉) = ( −1 0

    0 In−1

    )

    Definición 1.3.2 Se define el grupo de las transformaciones de Lorentz como:

    Iso(Ln) = {f : Ln −→ Ln | f es una isometŕıa vectorial}, y el Grupo de Lorentz como6:

    O1(n) = {A ∈Mn(R) / AtηA = η}. Fijada cualquier base ortonormal B de Ln, se puede construir el isomorfismo de grupos Iso(Ln) −→ O1(n) que a cada transformación de Lorentz f le hace corresponder su matriz, f → M(f,B). En particular fijando B = B0 (base usual de Rn) se tiene:

    Φ : Iso(Ln) −→ O1(n) Φ(f) = Af = M(f, B0).

    Denotaremos fA = Φ−1(A). Todo ello es análogo al caso eucĺıdeo entre Iso(Rn) y O(n).

    Observación 1.3.3 Como AtηA = η se tiene:

    (det A)2 = 1 ⇒ det fA = ±1.

    Definición 1.3.4 Diremos que una transformación de Lorentz, f , es propia si det f(= detAf ) = 1, e impropia en caso contrario7.

    Al subgrupo de las transformaciones de Lorentz propias las notaremos por Iso+(Ln) (resp. ), y al subgrupo isomorfo Φ(Iso+(Ln)) por O+1 (n) (análogamente para las impropias Iso

    −(Ln), O−1 (n)). 6Si consideramos a Ln como un espacio af́ın lorentziano (análogo a un espacio af́ın eucĺıdeo, pero dotado con un

    producto escalar lorentziano), al grupo de las afinidades que preservan el producto escalar lorentziano se le llama Grupo de las Transformaciones de Poincaré, y al correspondiente grupo matricial grupo de Poincaré.

    7Recordemos que los automorfismos de un espacio vectorial con determinante positivo se corresponden son aquéllos que respetan la orientación de las bases (ordenadas); aśı, si f ∈AutRV , equivalen: (1) det f > 0, (2) existe una base ordenada B tal que f∗(B) tiene igual orientación que B, (det(M(IV , B ← f∗(B)) > 0), y (3) para toda base ordenada B, se tiene que la orientación de f∗(B) es igual que la de B.

  • 20 Caṕıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

    A partir de la base usual B0 = (e1, . . . , en) de Ln, se fija la orientación temporal estándar: {

    Cono causal futuro C↑ : aquél al que pertenece e1, Cono causal pasado C↓ : aquél al que pertenece − e1.

    Observación 1.3.5 Sea f una transformación de Lorentz,

    Af =

     

    a11 · · · a1n ...

    . . . ...

    an1 · · · ann

     

    Obsérvese que: −1 = 〈f(e1), f(e1)〉 = −a211 + a221 + . . . + a2n1,

    luego |a11| ≥ 1. Como 〈e1, f(e1)〉 = −a11, entonces:

    a11 ≥ 1 ⇔ f(e1) ∈ C↑ ⇔ f(C↑) = C↑ ⇔ f(C↓) = C↓,

    y a11 ≤ −1 ⇔ f(e1) ∈ C↓ ⇔ f(C↑) = C↓ ⇔ f(C↓) = C↑.

    Definición 1.3.6 Sea f una transformación de Lorentz, diremos que f es ortocrona si f(C↑) = C↑. Denotaremos por Iso↑(Ln) al subgrupo de las transformaciones ortocronas y O↑1(n) = Φ(Iso

    ↑(n)). Análogamente, denotaremos al conjunto de las transformaciones no ortocronas como Iso↓(Ln),

    y O↓1(n) = Φ(Iso ↓(Ln)).

    Combinaremos la notación de manera obvia para las transformaciones propias ortocronas (O+↓1 (n), etc.)

    Proposición 1.3.7 Sea f ∈ Iso(Ln), equivalen: (1) f ∈ Iso↑(Ln), (2) existe v ∈ Ln causal tal que 〈v, f(v)〉 < 0, (3) ∀v ∈ Ln temporal se verifica 〈v, f(v)〉 < 0, (4) en cualquier base ortonormal el elemento (1, 1) de la matriz de f es mayor que cero (y, de

    hecho, mayor o igual que 1).

    Demostración : Es consecuencia del Ejercicio 1.2.8 y de la Observación 1.3.5. Q.E.D.

  • 1.3. El grupo de Lorentz 21

    Ejemplos 1.3.8

     

    1 0 0 1 0

    0 In−2

      ∈ O+↑1 (n)

     

    −1 0 0 1 0

    0 In−2

      ∈ O−↓1 (n)

     

    −1 0 0 −1 0

    0 In−2

      ∈ O+↓1 (n)

     

    1 0 0 −1 0

    0 In−2

      ∈ O−↑1 (n)

    A la vista de estos cuatro ejemplos, resulta claro que O1(n) tiene al menos cuatro partes conexas. De hecho existen solo cuatro. La demostración de esto se puede ver en [1, Lemma 9.6].

    1.3.2. El grupo de Lorentz en dimensión 2

    El grupo O1(2) puede ser estudiado de manera análoga al grupo de isometŕıas del espacio eucĺıdeo. Sin embargo, para apreciar mejor las peculiaridades del caso lorentziano, nosotros lo estudiaremos a partir de una base de vectores luminosos.

    Sea B0 = (e1, e2) la base canónica de R2, consideramos la base de vectores luminosos B = (u, v) donde u = (1/

    √ 2)(e1 + e2), v = (1/

    √ 2)(e1 − e2), que claramente verifica:

    〈u, v〉 = −1, 〈u, u〉 = 〈v, v〉 = 0, esto es:

    MB(〈·, ·〉) = (

    0 −1 −1 0

    )

    (en particular u y v caen en distinto cono causal). Sean:

    P = M(IR2 , B0 ← B) = 1√ 2

    ( 1 −1 1 1

    ) ,

    P−1 = M(IR2 , B ← B0) = 1√ 2

    ( 1 1

    −1 1 )

    .

    Para cada f ∈ Iso(L2), busquemos su matriz primero en la base B y luego en la base B0, con lo que determinaremos expĺıcitamente O1(2). Recordemos que, con nuestros convenios para las matrices M(f, B0) = PM(f, B)P−1.

    Si f(u) = au + bv, se verifica que:

    0 = 〈u, u〉 = 〈f(u), f(u)〉 = −2ab, con lo que f estará en alguno de estos dos casos:

  • 22 Caṕıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

    Caso I: f(u) = λu (λ 6= 0). Teniendo en cuenta que f ∈ Iso(L2) y, en particular, 〈u, v〉 = 〈f(u), f(v)〉 se deduce que f(v) = 1λv, con lo cual:

    M(f, B) = (

    λ 0 0 1/λ

    ) .

    De aqúı se sigue que f ∈ Iso+(L2), (det f = 1), y f ∈ Iso↑(L2) si y sólo si λ > 0. Caso II: f(u) = λv. Análogamente al caso anterior, se deduce ahora f(v) = 1λu, con lo cual:

    M(f, B) = (

    0 1/λ λ 0

    ) .

    Luego f ∈ Iso−(L2), y f ∈ Iso↓(L2) si y sólo si λ > 0. En cualquier caso, la matriz es diagonalizable y admite una base ortonormal de vectores propios.

    Por tanto, es inmediato que, si f ∈ Aut(L2), entonces:

    Af ∈ O+↑1 (2) ⇔ M(f,B) = (

    λ 0 0 1/λ

    ) para algún λ > 0 ⇔

    ⇔ M(f,B0) = PM(f, B)P−1 = 12 (

    λ + 1/λ λ− 1/λ λ− 1/λ λ + 1/λ

    ) para λ > 0 ⇔

    ⇔ M(f, B0) = (

    cosh θ senh θ senh θ cosh θ

    ) (1.1)

    donde θ = ln λ ∈ R. Con las otras tres partes conexas de O1(2) se puede razonar de modo semejante (o componer/multiplicar con las matrices del Ejemplo 1.3.8); en resumen, se obtiene:

    Isometŕıas con determinante 1: todas admiten una base de vectores propios luminosos y:

    O+↑1 (2) = {(

    cosh θ senh θ senh θ cosh θ

    ) : θ ∈ R

    } ; O+↓1 (2) =

    { −A : A ∈ O+↑1 (2)

    } .

    Isometŕıas con determinante -1: todas admiten una base ortonormal de vectores propios y:

    O−↑1 (2) = {(

    cosh θ senh θ −senh θ − cosh θ

    ) : θ ∈ R

    } ; O−↓1 (2) =

    { −A : A ∈ O−↑1 (2)

    } .

    Remarquemos que, a diferencia del caso eucĺıdeo, todas estas matrices son diagonalizables. A las transformaciones de Lorentz propias ortocronas en dimensión 2 se les suele llamar puras o, en la jerga usual de Relatividad, “boosts”. Como veremos, cualquier transformación de Lorentz ortocrona en dimensión 4 puede esencialmente escribirse como composición de un transformación de Lorentz pura y una isometŕıa eucĺıdea tridimensional. Ello hace que, para las interpretaciones de los efectos relativistas, los “boosts” resulten paradigmáticos.

  • 1.3. El grupo de Lorentz 23

    Observación 1.3.9 (Interpretación de θ). Sean v, w dos vectores temporales en el mismo cono. En el caso lorentziano definimos el ángulo hiperbólico ϕ ≥ 0 entre ambos a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz invertida. Ello resulta análogo a lo que sucede en el caso eucĺıdeo, donde se define el ángulo ϕ ∈ [0, π] entre cualesquiera dos vectores no nulos.

    Tanto en el caso lorentziano como en el eucĺıdeo, si el espacio vectorial está orientado (y es bidimensional) se puede dotar de un signo a ϕ. Aśı, ϕ se considera negativo si y sólo si el par (v, w) forma una base ordenada negativamente orientada. Se obtiene aśı un ángulo hiperbólico orientado ϕ(v, w) ∈ R (en el caso eucĺıdeo se tiene ϕ(v, w) ∈ (−π, π], aunque algunos autores consideran modificaciones obvias, de modo que ϕ(v, w) ∈ [0, 2π)). Como ejercicio, se dan dos caracterizaciones de ϕ(v, w), también análogas a las eucĺıdeas.

    Ejercicio 1.3.10 Sea (V, g) un e.v. lorentziano bidimensional orientado . Demuéstrese:

    (A) Existe un único tensor 2-covariante antisimétrico det que verifica: det(u, u′) es el determinante de la matriz cuyas columas son, ordenadamente, las coordenadas de u y u′ en cualquer base ortonormal positivamente orientada (para todo u, u′ ∈ V ). (B) Sean v, w dos vectores temporales unitarios en el mismo cono. Entonces:

    (B1) senh(ϕ(v, w)) = det(v, w). (B2) Si se consideran las únicas bases positivamente orientadas Bv = (v, v2), Bw = (w, w2)

    obtenidas respectivamente de v