1.3. El grupo de Lorentz -...

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1.3. El grupo de Lorentz 19 1.3. El grupo de Lorentz 1.3.1. Generalidades Definici´ on 1.3.1 Llamaremos el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski al espacio vectorial lorentziano L n =(R n , , ·i),n 2 donde , ·i denota en adelante el producto escalar , ·i 1 del Ejemplo 1.1.9. Sea B 0 =(e 1 ,...,e n ) la base usual de R n . Denotemos: η = M B0 (, ·i)= -1 0 0 I n-1 Definici´ on 1.3.2 Se define el grupo de las transformaciones de Lorentz como: Iso(L n )= {f : L n -→ L n | f es una isometr´ ıa vectorial}, y el Grupo de Lorentz como 6 : O 1 (n)= {A ∈M n (R) /A t ηA = η}. Fijada cualquier base ortonormal B de L n , se puede construir el isomorfismo de grupos Iso(L n ) -→ O 1 (n) que a cada transformaci´on de Lorentz f le hace corresponder su matriz, f M (f,B). En particular fijando B = B 0 (base usual de R n ) se tiene: Φ : Iso(L n ) -→ O 1 (n) Φ(f )= A f = M (f,B 0 ). Denotaremos f A -1 (A). Todo ello es an´alogo al caso eucl´ ıdeo entre Iso(R n )y O(n). Observaci´ on 1.3.3 Como A t ηA = η se tiene: (det A) 2 =1 det f A = ±1. Definici´ on 1.3.4 Diremos que una transformaci´on de Lorentz, f , es propia si det f (= det A f )= 1,e impropia en caso contrario 7 . Al subgrupo de las transformaciones de Lorentz propias las notaremos por Iso + (L n ) (resp. ), y al subgrupo isomorfo Φ(Iso + (L n )) por O + 1 (n) (an´alogamente para las impropias Iso - (L n ),O - 1 (n)). 6 Si consideramos a L n como un espacio af´ ın lorentziano (an´alogo a un espacio af´ ın eucl´ ıdeo, pero dotado con un producto escalar lorentziano), al grupo de las afinidades que preservan el producto escalar lorentziano se le llama Grupo de las Transformaciones de Poincar´ e, y al correspondiente grupo matricial grupo de Poincar´ e. 7 Recordemos que los automorfismos de un espacio vectorial con determinante positivo se corresponden son aqu´ ellos que respetan la orientaci´on de las bases (ordenadas); as´ ı, si f Aut R V , equivalen: (1) det f> 0, (2) existe una base ordenada B tal que f*(B) tiene igual orientaci´on que B, (det(M(I V ,B f*(B)) > 0), y (3) para toda base ordenada B, se tiene que la orientaci´on de f*(B) es igual que la de B.

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1.3. El grupo de Lorentz 19

1.3. El grupo de Lorentz

1.3.1. Generalidades

Definicion 1.3.1 Llamaremos el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski al espacio vectoriallorentziano Ln = (Rn, 〈·, ·〉), n ≥ 2 donde 〈·, ·〉 denota en adelante el producto escalar 〈·, ·〉1 delEjemplo 1.1.9.

Sea B0 = (e1, . . . , en) la base usual de Rn. Denotemos:

η = MB0(〈·, ·〉) =( −1 0

0 In−1

)

Definicion 1.3.2 Se define el grupo de las transformaciones de Lorentz como:

Iso(Ln) = {f : Ln −→ Ln | f es una isometrıa vectorial},y el Grupo de Lorentz como6:

O1(n) = {A ∈Mn(R) / AtηA = η}.Fijada cualquier base ortonormal B de Ln, se puede construir el isomorfismo de grupos Iso(Ln) −→O1(n) que a cada transformacion de Lorentz f le hace corresponder su matriz, f → M(f,B). Enparticular fijando B = B0 (base usual de Rn) se tiene:

Φ : Iso(Ln) −→ O1(n)

Φ(f) = Af = M(f, B0).

Denotaremos fA = Φ−1(A). Todo ello es analogo al caso euclıdeo entre Iso(Rn) y O(n).

Observacion 1.3.3 Como AtηA = η se tiene:

(det A)2 = 1 ⇒ det fA = ±1.

Definicion 1.3.4 Diremos que una transformacion de Lorentz, f , es propia si det f(= detAf ) =1, e impropia en caso contrario7.

Al subgrupo de las transformaciones de Lorentz propias las notaremos por Iso+(Ln) (resp. ), yal subgrupo isomorfo Φ(Iso+(Ln)) por O+

1 (n) (analogamente para las impropias Iso−(Ln), O−1 (n)).

6Si consideramos a Ln como un espacio afın lorentziano (analogo a un espacio afın euclıdeo, pero dotado con unproducto escalar lorentziano), al grupo de las afinidades que preservan el producto escalar lorentziano se le llamaGrupo de las Transformaciones de Poincare, y al correspondiente grupo matricial grupo de Poincare.

7Recordemos que los automorfismos de un espacio vectorial con determinante positivo se corresponden sonaquellos que respetan la orientacion de las bases (ordenadas); ası, si f ∈AutRV , equivalen: (1) det f > 0, (2) existeuna base ordenada B tal que f∗(B) tiene igual orientacion que B, (det(M(IV , B ← f∗(B)) > 0), y (3) para todabase ordenada B, se tiene que la orientacion de f∗(B) es igual que la de B.

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20 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

A partir de la base usual B0 = (e1, . . . , en) de Ln, se fija la orientacion temporal estandar:{

Cono causal futuro C↑ : aquel al que pertenece e1,Cono causal pasado C↓ : aquel al que pertenece − e1.

Observacion 1.3.5 Sea f una transformacion de Lorentz,

Af =

a11 · · · a1n

.... . .

...an1 · · · ann

Observese que:−1 = 〈f(e1), f(e1)〉 = −a2

11 + a221 + . . . + a2

n1,

luego |a11| ≥ 1. Como 〈e1, f(e1)〉 = −a11, entonces:

a11 ≥ 1 ⇔ f(e1) ∈ C↑ ⇔ f(C↑) = C↑ ⇔ f(C↓) = C↓,

ya11 ≤ −1 ⇔ f(e1) ∈ C↓ ⇔ f(C↑) = C↓ ⇔ f(C↓) = C↑.

Definicion 1.3.6 Sea f una transformacion de Lorentz, diremos que f es ortocrona si f(C↑) =C↑. Denotaremos por Iso↑(Ln) al subgrupo de las transformaciones ortocronas y O↑1(n) = Φ(Iso↑(n)).

Analogamente, denotaremos al conjunto de las transformaciones no ortocronas como Iso↓(Ln),y O↓

1(n) = Φ(Iso↓(Ln)).

Combinaremos la notacion de manera obvia para las transformaciones propias ortocronas (O+↓1 (n),

etc.)

Proposicion 1.3.7 Sea f ∈ Iso(Ln), equivalen:

(1) f ∈ Iso↑(Ln),

(2) existe v ∈ Ln causal tal que 〈v, f(v)〉 < 0,

(3) ∀v ∈ Ln temporal se verifica 〈v, f(v)〉 < 0,

(4) en cualquier base ortonormal el elemento (1, 1) de la matriz de f es mayor que cero (y, dehecho, mayor o igual que 1).

Demostracion : Es consecuencia del Ejercicio 1.2.8 y de la Observacion 1.3.5. Q.E.D.

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1.3. El grupo de Lorentz 21

Ejemplos 1.3.8

1 00 1 0

0 In−2

∈ O+↑

1 (n)

−1 00 1 0

0 In−2

∈ O−↓1 (n)

−1 00 −1 0

0 In−2

∈ O+↓

1 (n)

1 00 −1 0

0 In−2

∈ O−↑1 (n)

A la vista de estos cuatro ejemplos, resulta claro que O1(n) tiene al menos cuatro partes conexas.De hecho existen solo cuatro. La demostracion de esto se puede ver en [1, Lemma 9.6].

1.3.2. El grupo de Lorentz en dimension 2

El grupo O1(2) puede ser estudiado de manera analoga al grupo de isometrıas del espacioeuclıdeo. Sin embargo, para apreciar mejor las peculiaridades del caso lorentziano, nosotros loestudiaremos a partir de una base de vectores luminosos.

Sea B0 = (e1, e2) la base canonica de R2, consideramos la base de vectores luminosos B = (u, v)donde u = (1/

√2)(e1 + e2), v = (1/

√2)(e1 − e2), que claramente verifica:

〈u, v〉 = −1, 〈u, u〉 = 〈v, v〉 = 0,

esto es:

MB(〈·, ·〉) =(

0 −1−1 0

)

(en particular u y v caen en distinto cono causal). Sean:

P = M(IR2 , B0 ← B) =1√2

(1 −11 1

),

P−1 = M(IR2 , B ← B0) =1√2

(1 1

−1 1

).

Para cada f ∈ Iso(L2), busquemos su matriz primero en la base B y luego en la base B0, con lo quedeterminaremos explıcitamente O1(2). Recordemos que, con nuestros convenios para las matricesM(f, B0) = PM(f, B)P−1.

Si f(u) = au + bv, se verifica que:

0 = 〈u, u〉 = 〈f(u), f(u)〉 = −2ab,

con lo que f estara en alguno de estos dos casos:

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22 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

Caso I: f(u) = λu (λ 6= 0). Teniendo en cuenta que f ∈ Iso(L2) y, en particular, 〈u, v〉 =〈f(u), f(v)〉 se deduce que f(v) = 1

λv, con lo cual:

M(f, B) =(

λ 00 1/λ

).

De aquı se sigue que f ∈ Iso+(L2), (det f = 1), y f ∈ Iso↑(L2) si y solo si λ > 0.

Caso II: f(u) = λv. Analogamente al caso anterior, se deduce ahora f(v) = 1λu, con lo cual:

M(f, B) =(

0 1/λλ 0

).

Luego f ∈ Iso−(L2), y f ∈ Iso↓(L2) si y solo si λ > 0. En cualquier caso, la matriz esdiagonalizable y admite una base ortonormal de vectores propios.

Por tanto, es inmediato que, si f ∈ Aut(L2), entonces:

Af ∈ O+↑1 (2) ⇔ M(f,B) =

(λ 00 1/λ

)para algun λ > 0 ⇔

⇔ M(f,B0) = PM(f, B)P−1 =12

(λ + 1/λ λ− 1/λλ− 1/λ λ + 1/λ

)para λ > 0 ⇔

⇔ M(f, B0) =(

cosh θ senh θsenh θ cosh θ

)(1.1)

donde θ = ln λ ∈ R. Con las otras tres partes conexas de O1(2) se puede razonar de modo semejante(o componer/multiplicar con las matrices del Ejemplo 1.3.8); en resumen, se obtiene:

Isometrıas con determinante 1: todas admiten una base de vectores propios luminosos y:

O+↑1 (2) =

{(cosh θ senh θsenh θ cosh θ

): θ ∈ R

}; O+↓

1 (2) ={−A : A ∈ O+↑

1 (2)}

.

Isometrıas con determinante -1: todas admiten una base ortonormal de vectores propios y:

O−↑1 (2) ={(

cosh θ senh θ−senh θ − cosh θ

): θ ∈ R

}; O−↓1 (2) =

{−A : A ∈ O−↑1 (2)

}.

Remarquemos que, a diferencia del caso euclıdeo, todas estas matrices son diagonalizables. A lastransformaciones de Lorentz propias ortocronas en dimension 2 se les suele llamar puras o, en lajerga usual de Relatividad, “boosts”. Como veremos, cualquier transformacion de Lorentz ortocronaen dimension 4 puede esencialmente escribirse como composicion de un transformacion de Lorentzpura y una isometrıa euclıdea tridimensional. Ello hace que, para las interpretaciones de los efectosrelativistas, los “boosts” resulten paradigmaticos.

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1.3. El grupo de Lorentz 23

Observacion 1.3.9 (Interpretacion de θ). Sean v, w dos vectores temporales en el mismo cono.En el caso lorentziano definimos el angulo hiperbolico ϕ ≥ 0 entre ambos a partir de la desigualdadde Cauchy-Schwarz invertida. Ello resulta analogo a lo que sucede en el caso euclıdeo, donde sedefine el angulo ϕ ∈ [0, π] entre cualesquiera dos vectores no nulos.

Tanto en el caso lorentziano como en el euclıdeo, si el espacio vectorial esta orientado (y esbidimensional) se puede dotar de un signo a ϕ. Ası, ϕ se considera negativo si y solo si el par (v, w)forma una base ordenada negativamente orientada. Se obtiene ası un angulo hiperbolico orientadoϕ(v, w) ∈ R (en el caso euclıdeo se tiene ϕ(v, w) ∈ (−π, π], aunque algunos autores consideranmodificaciones obvias, de modo que ϕ(v, w) ∈ [0, 2π)). Como ejercicio, se dan dos caracterizacionesde ϕ(v, w), tambien analogas a las euclıdeas.

Ejercicio 1.3.10 Sea (V, g) un e.v. lorentziano bidimensional orientado . Demuestrese:

(A) Existe un unico tensor 2-covariante antisimetrico det que verifica: det(u, u′) es el determinantede la matriz cuyas columas son, ordenadamente, las coordenadas de u y u′ en cualquer baseortonormal positivamente orientada (para todo u, u′ ∈ V ).

(B) Sean v, w dos vectores temporales unitarios en el mismo cono. Entonces:(B1) senh(ϕ(v, w)) = det(v, w).(B2) Si se consideran las unicas bases positivamente orientadas Bv = (v, v2), Bw = (w, w2)

obtenidas respectivamente de v y w, entonces ϕ(v, w) coincide con el unico valor de θ (segun laforma explıcita de O+↑

1 (2) demostrada arriba) determinado por la matriz M(IV , Bv ← Bw).

(C) Sean v, w dos vectores temporales en el mismo cono. Entonces ϕ(v, w) es el unico numero realque verifica:

det(v, w) = |v||w| senh(ϕ(v, w)), −g(v, w) = |v||w| cosh(ϕ(v, w)).

1.3.3. Algunas propiedades del grupo de Lorentz en dimension superior

Lema 1.3.11 Sea A ∈ O1(n). Entonces:

(1) Los posibles vectores propios no luminosos de A tienen como valores propios +1 o −1.

(2) El producto de los autovalores de dos vectores propios luminosos independientes es 1.

(3) Si U es un subespacio propio de A que contiene un autovector no luminoso, entonces cualquierotro subespacio propio es ortogonal a U .

(4) Si U es un subespacio invariante por A, entonces U⊥ es invariante por A.

Demostracion : (1) Sea v un vector propio no luminoso de A, Av = av, entonces:

〈v, v〉 = 〈Av, Av〉 = a2〈v, v〉 ⇒ a = ±1.

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24 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

(2) Sean v, w dos vectores propios luminosos linealmente independientes, Av = av, Aw = bw. Porla proposicion 1.2.7:

0 6= 〈v, w〉 = 〈Av,Aw〉 = ab〈v, w〉 ⇒ ab = 1.

(3) Sea z ∈ U un vector propio no luminoso de A. Por el punto (1) de este lema: Az = εz, ε = ±1.Sea w un vector propio de un valor propio λ distinto de ε. Para cada u ∈ U :

〈u,w〉 = 〈Au,Aw〉 = λε〈u, w〉Con lo cual,

o bien 〈u,w〉 = 0, lo que concluye la prueba,o bien λε = 1 ⇒ λ = ε, que contradice nuestra hipotesis sobre w.

(4) El subespacio U es invariante por A, A(U) ⊂ U , y como A es una isometrıa, A(U) = U .Ademas, A−1(U) = U . Sea w ∈ U⊥ entonces:

〈Aw, u〉 = 〈w, A−1u〉 = 0, ∀u ∈ U,

Q.E.D.

Lema 1.3.12 Sea A ∈ O1(n), n ≥ 2. Entonces A admite un vector propio no espacial.

Demostracion : Sera probado por induccion sobre n. Para n = 2 se deduce del estudio de O1(2),hecho antes.

Supongamos que es cierto para cualquier natural menor que n, y veamoslo para n. Sea a ∈ Cun valor propio complejo de A, distinguimos casos:

Si a ∈ R, sea z un vector propio (real) para a y supongamos que es espacial, (si no lo fuerahabrıamos terminado). Gracias a la propiedad (4) del anterior Lema se puede aplicar lahipotesis de induccion al espacio de dimension n− 1, z⊥, y encontrar ası un vector propio noespacial.

Si a 6∈ R, sea z un vector propio para a. Observese que a es otro valor propio con vectorpropio z. Definimos:

x = (z + z)/2, parte real,

y = (z − z)/2i, parte imaginaria.

Se tiene que los subespacios complejos generados tanto por x, y como por z, z son el mismo:

< x, y >C=< z, z >C .

Luego x e y son independientes tanto para C como para R y, al ser A una matriz real, el planoreal Π =< x, y >R es invariante por A. Necesariamente, una de las siguientes alternativas escierta:

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1.3. El grupo de Lorentz 25

• Π es temporal: Se termina deduciendo la existencia de un vector propio no espacialgracias a nuestro estudio en dimension 2 para A|Π.

• Π es espacial: Tambien se termina en este caso aplicando la hipotesis de inducccion alsubespacio, invariante por A, Π⊥. (Notese que si, en el proceso inductivo, dimΠ⊥ = 1,entonces el resultado se sigue trivialmente).

• Π es luminoso. Sea v un generador del radical Π ∩Π⊥. Por la proposicion 1.3.11 (4) setiene A(v) ∈ Π ∩Π⊥, y v es un vector propio luminoso.

Q.E.D.

Lema 1.3.13 Supongamos que A admite un vector propio luminoso v, con valor propio λ 6= ±1.Entonces A deja invariante un plano temporal Π, v ∈ Π.

Demostracion : Este resultado sera demostrado por induccion sobre n. Para n = 2 se tienetrivialmente, Π = L2.

Supongamoslo cierto para naturales menores que n, y veamoslo para n: sean λ1, . . . , λn ∈ C lasraıces del polinomio caracterıstico de A, y escojamos λ1 = λ.

Supongamos que todas ellas son reales, entonces como det Af = ±1 se tiene que:

λ1 · · ·λn = ±1

Por tanto exite un valor propio λi 6= ±1, i ∈ {2, . . . n}, que por ser distinto de ±1 correspondera aun vector propio, w, luminoso no proporcional a v, (λi 6= λ1). De esto se deduce que el planogenerado por v y w, que es invariante por A, es temporal.

Por otro lado, si suponemos que no todos los valores propios son reales, podemos razonar comoen la demostracion del lema anterior, con la ayuda de una raız compleja no real a, la existencia deun plano Π, invariante por A, tal que Π∩ < v >R= 0. Distinguimos casos:

Π es temporal: No podrıa darse esta situacion, pues la restriccion de A a Π serıa diagonali-zable, con lo que a serıa real.

Π es espacial: Tambien se termina en este caso, aplicando la hipotesis de induccion al subes-pacio, invariante por A, Π⊥ .

Π es luminoso: Razonando de nuevo como en la demostracion del lema anterior, se tiene que elradical de A|Π es de dimension 1, y queda invariante por A. Es decir, existe w ∈ Π luminosotal que A(w) = ηw. Con lo cual existen dos vectores propios luminosos v, w linealmenteindependientes (recuerdese que Π∩ < v >R= 0), luego el plano < v, w >R es un subespacioinvariante por A, y es temporal (Proposicion 1.2.11).

Q.E.D.

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26 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

Teorema 1.3.14 Sea A ∈ O1(n), y fA ∈ Iso(Ln) su correspondiente transformacion de Lorentz.Entonces se tiene uno de los siguientes tres casos excluyentes:

(1) A admite un vector propio temporal, (⇒ ∃B base ortonormal tal que M(fA, B) ∈ {±1}×O(n−1)). Si A ∈ O+↑

1 (n) se dice que fA es una rotacion espacial pura (en el hiperplano ortogonalal vector propio).

(2) A admite un vector propio luminoso con autovalor λ 6= ±1, (⇒ ∃B base ortonormal tal queM(fA, B) ∈ O1(2)×O(n−2)). En este caso fA es una transformacion de Lorentz bidimensionalen un plano temporal π compuesto con una isometrıa euclıdea en el ortogonal π⊥.

(3) A admite un unico vector propio luminoso independiente de autovalores +1 o −1.

Demostracion : Razonando por induccion, para n = 2 se sigue del estudio de O1(2) hecho ante-riormente y, de hecho, solo son posibles los casos (1) y (2).

Supuesto que el teorema es cierto para n− 1, razonemos para n. Por el lema 1.3.12, existe unvector propio v no espacial, Av = λv. Distinguimos los casos:

Si v es temporal se tiene (1) (vease tambien el lema 1.3.11(4)).

Si v es luminoso, puede ocurrir:

• Si λ 6∈ {±1} se tiene (2) por el lema 1.3.13.

• En cambio, si λ ∈ {±1}, y suponemos que no se da la posibilidad (3), es decir que elvector v no es unico, veamos que se da la opcion (1): Sea w otro vector propio luminosolinealmente independiente de v, como por (2) del lema 1.3.11, los valores propios de wy v son iguales, se sigue que o bien u + w, o u− w es un vector propio temporal.

Veamos, para terminar la prueba, que los casos son excluyentes. Por (2) del lema 1.3.11, lasposibilidades (2) y (3) son excluyentes. Si suponemos que se da (1), sea v un vector propio temporalAv = av, a = ±1, y comprobemos que no son posibles los casos (2) ni (3). Si w es un vector propioluminoso Aw = bw necesariamente a = b = ±1 (pues 0 6= 〈v, w〉 = 〈fAv, fAw〉 = ab〈v, w〉), lo queexcluye la posibilidad (2). Pero entonces el plano temporal < v, w >R esta formado por vectorespropios de autovalor a, lo que excluye (3). Q.E.D.

El ejercicio mas abajo muestra explıcitamente que la posibilidad (3) puede darse. Pese a ello,en dimension 4 tambien se verifica que toda transformacion de Lorentz puede escribirse comocomposicion de una isometrıa para un plano temporal π1 (que deja invariante π⊥1 ) y una isometrıaen un plano espacial π2 (que deja invariante π⊥2 ) no necesariamente ortogonal a π1. En Relatividad,se alude frecuentemente a este resultado diciendo que las transformaciones de Lorentz (propias,ortocronas) son composiciones de “boosts” y rotaciones. La demostracion puede llevarse a cabo

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1.3. El grupo de Lorentz 27

mostrando previamente que el recubridor universal de O+↑1 es el grupo Sl(2,C) de las matrices

complejas 2× 2 de determinante 1, y usando la descomposicion polar de estas matrices8.

Ejercicio 1.3.15 Sea,

A =

1 + 12λ2 λ − 1

2λ2

λ 1 −λ12λ2 λ 1− 1

2λ2

, λ ∈ R\{0}.

Pruebese:

(1) A admite un unico vector propio luminoso independiente.

(2) A ∈ O1(3), y es semejante a una matriz triangular superior.

8Vease, p. ej., la seccion 6.1 del libro: D. Bleecker, Gauge theory and variational principles, Addison Wesley1981.

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28 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

1.4. Relatividad Especial

1.4.1. Fundamentos fısicos

El hecho fundamental por el que se introdujo la Teorıa de la Relatividad es el siguiente: la veloci-dad de la luz tiene que ser independiente del sistema de referencia inercial considerado para medirlo.A esta velocidad constante la denotaremos por c, y es igual aproximadamente a 300.000 km./seg.Siempre se puede suponer, como haremos usualmente, que se adopta un sistema de unidades en elque c = 1.

Argumento teorico sobre la constancia de la velocidad de la luz. Se apoya en los siguien-tes hechos, bien conocidos por los fısicos del siglo XIX:

La velocidad de propagacion de una onda depende del medio en que se propaga.

Ello debiera cumplirse para la luz, que es una onda electromagnetica. De hecho, en Elec-tromagnetismo las ecuaciones de Maxwell permiten deducir la velocidad de propagacionde la luz respecto al medio en que se propaga.

Pero el medio en el que se propaga la luz es el vacıo, el cual se supone que es “el mismo”para todos los “observadores inerciales”.

Argumento experimental sobre la constancia de la velocidad de la luz. Experimento deMichelson-Morley: Esencialmente, se midio la misma velocidad de la luz proveniente del Solsobre un punto de la Tierra, cuando este tiende a acercarse a aquel con su movimiento derotacion y cuando tiende a alejarse.

Implicaciones. La constancia de la velocidad de la luz implica que no se verifique la “regla habitualde suma de velocidades”, lo que conlleva sorprendentes consecuencias para quien este habituado alas ideas newtonianas clasicas de “tiempo” y “longitud”, como el siguiente ‘experimento pensado’sugiere.

El experimento consiste en observar un rayo de luz que parte del suelo y rebota en un espejoA, desde dos sistemas de referencia O y O′ “inerciales” a velocidad constante v 6= 0; el espejo semueve solidariamente con el observador O′ a la velocidad v respecto a O (ver figura).

La expresion del tiempo transcurrido en cada sistema de referencia es:

T ′ =2a′

cT =

2b

c

donde b =√(

L2

)2+ a2, L es la distancia que mide O entre el punto del que parte el rayo y el

punto al que llega, y c es la velocidad de la luz. Por la simetrıa clasica entre derecha e izquierda

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1.4. Relatividad Especial 29

supondremos9 a′ = a. Tenemos entonces:

T =2b

c=

2c

√(L

2

)2

+ a2 =2c

√(vT

2

)2

+(

cT ′

2

)2

ya que L = vT . Por tanto, T 2 = (v2T 2/c2) + T ′2 y, finalmente:

T =T ′√

1− v2

c2

.

Esto es, abstrayendo la situacion: cuando O′ observa un primer suceso y, tras un tiempo T ′, unsegundo suceso, que sucede en el mismo punto del espacio para O′ que el primer suceso, entoncescualquier otro sistema de referencia inercial O que se mueve a velocidad constante v respecto aO′ debe medir que, entre los dos sucesos, transcurre un tiempo superior T = (1 − v2/c2)−1/2T ′

(“dilatacion del tiempo” –para el observador O que percibe los sucesos en puntos distintos delespacio, por lo que se mueve respecto a ellos).

Mas aun. Podemos preguntarnos por la distancia L′ que el observador O′ mide entre los puntosen que O ve salir y llegar al rayo. Estos dos puntos se pueden considerar fijos a una distancia Lpara O. Pero para O′ los puntos se mueven hacia el, con lo que O′ ve pasar al primero con una

9La unica diferencia entre los dos observadores es que, para uno de ellos, el otro se mueve hacia la derecha,mientras que para el otro, el primero se mueve hacia la izquierda; no parece que esto deba influir en la medicion deuna longitud perpendicular a la direccion del movimiento relativo entre ambos.

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30 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

velocidad −v y, un tiempo T ′ despues, al segundo con esa misma velocidad10. Tendremos entonces:

L′ = vT ′ = vT

√1− v2

c2= L

√1− v2

c2.

Esto es: cuando el observador O mide la distancia L entre dos puntos en reposo respecto a el(o la longitud de un cuerpo en reposo para el), cualquier observador O′ que se mueve a unavelocidad constante v en la direccion determinada por esos dos puntos mide una distancia inferiorL′ = (1− v2/c2)1/2L entre ellos (“contraccion de la longitud” –para el observador O′ que se mueverespecto a la distancia que se esta midiendo).

A continuacion presentaremos un modelo matematico en el que, como comprobaremos a poste-riori, estas y otras consideraciones quedan recogidas. No obstante, es posible dar argumentos quepermiten, esencialmente, mostrar la unicidad de este modelo, y llegar a el de un modo deductivo(vease la subseccion 3.1.3).

1.4.2. Modelo matematico

Postulados fısicos, o definiciones matematicas

Definicion 1.4.1 Un espacio-tiempo fısico en ausencia de gravedad o espaciotiempo en Relativi-dad Especial es un espacio afın lorentziano, (A, V, g), de dimension 4 orientado temporalmente.

A es el conjunto de puntos o ‘sucesos’ (o ‘eventos’) del espacio afın, V el espacio vectorialdirector, y g la metrica de Lorentz, para la cual supondremos implıcitamente que se ha prefijadouna orientacion temporal.

En el resto de la presente seccion un espaciotiempo sera siempre un espaciotiempo en RelatividadEspecial (A, V, g).

Definicion 1.4.2 Un observador instantaneo es un par (P, e0), donde P ∈ A, y e0 ∈ V es unvector temporal unitario futuro.

La trayectoria de un observador no acelerado (o en caıda libre) es la recta afın {P +se0 : s ∈ R},generada por cualquier observador instantaneo (P, e0).

Un sistema de referencia inercial O es el par formado por un observador instantaneo (P, e0)y una base ortonormal {e1, e2, e3} de e⊥0 (o, equivalentemente, una referencia ortonormal afın de(A, V, g)).

Definicion 1.4.3 Una trayectoria luminosa es una recta afın del tipo L = {P + su : s ∈ R},donde u es un vector luminoso futuro, y P ∈ A.

10Piensese, p. ej., que el observador O podrıa dejar una varilla rıgida fija entre los dos puntos, la cual se moverıa avelocidad −v para O′. (Observese tambien que, implıcitamente, suponemos de nuevo por simetrıa que si la velocidadde O′ respecto a O es v, la de O respecto a O′ es −v).

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1.4. Relatividad Especial 31

Se sabe que, fijado un punto P0 ∈ A se tiene la identificacion natural entre A y V :

A → V

Q 7→ −−→P0Q.

En adelante, el punto P0 siempre se supone siempre prefijado.Por O y O′ representaremos dos sistemas de referencia inerciales y, en general, supondremos

por simplicidad que sus rectas afines pasan siempre por el punto comun P0, por lo que ambosobservadores identifican del mismo modo A y V . Dado el vector de V , v = te0 +x1e1 +x2e2 +x3e3

(identificado con el punto P0+v ∈ A) llamaremos a (t, x1, x2, x3) las coordenadas respecto a O de v(o indistintamente del punto P0 +v ∈ A). Analogamente, (t′, (x1)′, (x2)′, (x3)′) son las coordenadasrespecto a O′ del vector t′e′0 + (x1)′e′1 + (x2)′e′2 + (x3)′e′3 ∈ V ≡ A. Con este convenio, la siguientedefinicion tiene un significado inequıvoco.

Definicion 1.4.4 El espacio en reposo del sistema de referencia inercial O en el instante t0 es elhiperplano afın de A de ecuacion t ≡ t0 en las coordenadas introducidas por O.

Definimos a continuacion la trayectoria que mide O de O′. Para ello, se supone que fısicamenteO reparametriza con su coordenada temporal al observador no acelerado {se′0|s ∈ R}. Con masprecision: al tomar las coordenadas de e′0 en O tenemos:

e′0 = Te0 + X1e1 + X2e2 + X3e3 = T

(e0 +

X1

Te1 +

X2

Te2 +

X3

Te3

).

La trayectoria que mide O del observador O′ es la curva en 〈e1, e2, e3〉R = e⊥0 < V :

t 7→ t

(X1

Te1 +

X2

Te2 +

X3

Te3

),

y la tri-velocidad que mide O del observador O′ es su derivada:

→v =

X1

Te1 +

X2

Te2 +

X3

Te3.

Como e′0 es temporal unitario futuro, se tiene que −1 = −T 2 +∑3

i=1(Xi)2, con lo cual T ≥ 1, y

por tanto:

| →v |2 =3∑

i=1

(Xi

T

)2

= 1− 1T 2

< 1.

Observese ademas que, escribiendo→v = vxe1 +vye2 +vze3 y v2 = | →v |2, se tiene en las coordenadas

de O:e′0 ≡ (

1√1− v2

,vx√

1− v2,

vy√1− v2

,vz√

1− v2).

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32 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

Ejercicio 1.4.5 Dar definiciones analogas para la trayectoria y la velocidad que un observadormide de una trayectoria de luz, comprobando que la norma de la velocidad es igual a 1.

Transformaciones de Lorentz clasicas

Notese que los dos sistemas de referencia inerciales O y O′ a velocidad constante no nula generanel plano temporal 〈e0, e

′0〉R. Supondremos a continuacion, por simplicidad, que e1 y e′1 se hallan

en este plano y, ademas e2 = e′2 y e3 = e′3. Prescindiremos entonces de las coordenadas en e2

y en e3, ya que son las mismas para los dos observadores, y podremos describir la velocidad→v

mediante un numero real v. Veamos a continuacion la relacion entre las coordenadas de O y las deO′, suponiendo ademas que las bases inducidas B y B′ tienen la misma orientacion:

O −→ B = (e0, e1)O′ −→ B′ = (e′0, e

′1)

Puesto que la matriz de cambio de base pertenece a O+↑1 (2), existe un θ ∈ R tal que:

M(Id, B ← B′) =(

cosh(θ) senh(θ)senh(θ) cosh(θ)

)

donde→v =

senh(θ)cosh(θ)

e1, v = tgh(θ) ∈]− 1, 1[.

Como cosh2(θ)− senh2(θ) = 1, 1− tgh2(θ) = 1/ cosh2(θ), se sigue:

cosh2(θ) =1

1− v2⇒ cosh(θ) =

1√1− v2

⇒ senh(θ) =v√

1− v2

Por tanto:

M(Id, B ← B′) =1√

1− v2

(1 vv 1

)

Con lo cual, si (t, x) son las coordenadas en O y (t′, x′) son las coordenadas en O′, tenemos lasrelaciones conocidas como las transformaciones de Lorentz bidimensionales :

t =1√

1− v2(t′ + vx′) ≡ 1√

1− v2/c2(t′ +

v

c2x′)

x =1√

1− v2(vt′ + x′) ≡ 1√

1− v2/c2(vt′ + x′).

Estas transformaciones contrastan con las de Galileo clasicas (en analoga situacion fısica, t =t′, x = x′ + vt′), que se pueden considerar como una aproximacion a las de Lorentz cuando v ¿ c.

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1.4. Relatividad Especial 33

1.4.3. Reinterpretacion de fenomenos fısicos

Dilatacion del tiempo

Consideremos dos sistemas de referencia inerciales O y O′ con los convenios anteriores, sea Sla recta descrita por el observador no acelerado asociado a O′, y sea P un ‘suceso’ a lo largo deesta recta (vease fig.)

Las coordenadas de P para O son (T, L) y para O′ son (T ′, 0). Usando las transformaciones deLorentz, es claro que estan relacionadas por:

T =1√

1− v2T ′ L =

1√1− v2

vT ′

La primera de las igualdades es la dilatacion del tiempo que ya habıamos anunciado. Notese quepara O′, el suceso P ocurre en el mismo punto del espacio que el cruce entre los observadores(el suceso P0 descrito por las coordenadas (0, 0)); por esta razon, los fısicos llaman a T ′ tiempopropio entre esos dos sucesos. Para O, estos dos sucesos ocurren en sitios distintos del espacio. Porla relacion entre T y T ′, el sistema de referencia inercial O que mide una coordenada temporaldistinta al tiempo propio, aprecia una dilatacion del tiempo respecto al tiempo propio medido porO′.

Contraccion de la longitud

Consideremos de nuevo los sistemas de referencia inerciales O y O′ y las bases (e0, e1) y (e′0, e′1)

asociadas, respectivamente. Supongamos que, para el observador O hay una varilla rıgida en reposode longitud L, a cuyos extremos, en t = 0, le asigna las coordenadas (0, 0) y (0, L) (y, por tanto,en cualquier otro instante t les asigna (t, 0) y (t, L)). Para el observador O′, la varilla se mueve avelocidad constante −v, y el percibe en su espacio en reposo t′ = 0 que los extremos de la varilla son

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34 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

P0 ≡ (0, 0) y un nuevo suceso P , en la interseccion de su espacio en reposo con la recta t −→ (t, L)(vease fig.)

Ası, si el suceso P tiene coordenadas (T, L) para O, y (0, L′) para O′, estaran relacionadas por:

T =1√

1− v2vL′, L =

1√1− v2

L′.

Luego L′ =√

1− v2L; lo que nos indica que O′ observara una contraccion de la longitud en ladireccion del movimiento (respecto a las longitudes “en reposo” medidas por O).

Paradoja de los gemelos

Este fenomeno es una consecuencia directa de la desigualdad triangular lorentziana. Consider-emos tres sistemas de referencia inerciales O, O′ y O′′ con vectores temporales futuros e0, e

′0, e

′′0

respectivamente, que no sean colineales. Supongamos que las rectas afines de estos tres observadoresse cortan en los sucesos P, Q, R (vease fig.)

Sabemos por la Proposicion 1.2.6:

|PR| > |PQ|+ |QR|.Supongamos ahora que dos gemelos, que se encuentran inicialmente en el suceso P , se separan

hasta volverse a encontrar en el suceso R. El primero de ellos lo hace siguiendo una recta afın quese identifica con el observador O. El segundo pasa por Q, identificandose hasta ese suceso con O′

y, a partir de el, con O′′. El primer gemelo mide entre los dos encuentros el tiempo propio |PR|.En cambio, el segundo gemelo mide la suma de tiempos propios |PQ|+ |QR|, que es inferior.

En definitiva, al comparar las medidas tomadas por cada uno de los gemelos, para el primeroha transcurrido mas tiempo entre los dos encuentros que para el segundo. Ello vale tambien parasus “relojes biologicos”: el primer gemelo ha envejecido mas que el segundo.

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1.4. Relatividad Especial 35

Visto ası, este fenomeno no es paradojico sino perfectamente legıtimo; de hecho, se tienenmuchas evidencias experimentales de el. La aparente paradoja proviene al pensar que en un sistemade referencia (¡no inercial!) generado por el segundo gemelo, es el primer gemelo quien “se va yvuelve”.

Como veremos mas adelante, la extrema idealizacion que supone la trayectoria no diferenciableen el punto Q no desempena un papel relevante.

Ley de adicion de las velocidades

Sean O1, O2, O3 tres observadores, y B1, B2, B3 sus bases ortonormales correspondientes (todascon la misma orientacion). Denotaremos:

v12 la velocidad que mide O1 de O2,

v23 la velocidad que mide O2 de O3,

v13 la velocidad que mide O1 de O3,

Nos planteamos el problema: conocidas v12 y v23, ¿cual es el valor de v13?Sabemos que

v12 = tgh(θ12), v23 = tgh(θ23), v13 = tgh(θ13),

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36 Capıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial

donde:

M(Id, B1 ← B2) =(

cosh(θ12) senh(θ12)senh(θ12) cosh(θ12)

)

M(Id, B2 ← B3) =(

cosh(θ23) senh(θ23)senh(θ23) cosh(θ23)

)

M(Id,B1 ← B3) =(

cosh(θ13) senh(θ13)senh(θ13) cosh(θ13)

).

Por tanto:

M(Id, B1 ← B3) = M(Id,B1 ← B2) ·M(Id, B2 ← B3) =(

cosh(θ12 + θ23) senh(θ12 + θ23)senh(θ12 + θ23) cosh(θ12 + θ23)

)

(la ultima igualdad por calculo directo). Luego θ13 = θ12 + θ23 y

v13 = tgh(θ13) = tgh(θ12 + θ23) =tgh(θ12) + tgh(θ23)

1 + tgh(θ12) tgh(θ13)=

v12 + v23

1 + v12v23

Ejercicio 1.4.6 (1) Demuestrese directamente de la igualdad anterior: |v13| < 1

(2) ∗ : ]− 1, 1[× ]− 1, 1[−→ ]− 1, 1[ definida como v ∗ v′ = v+v′1+vv′ dota a ]− 1, 1[ de estructura de

grupo conmutativo.

(3) tgh : R −→]− 1, 1[ es un isomorfismo entre (R,+) y ( ]− 1, 1[, ∗)