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  • Métodos Numéricos – Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 1/14

    Última actualización: 02/09/2019

    Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

    Representación matricial para sistemas de ecuaciones

    • Un número α se dice raíz o cero de la ecuación f(x) si f (α) = 0 .

    • Los métodos numéricos para encontrar una raíz de una ecuación f(x), generarán una sucesión { xn }, n=1,2,3,... tal que: limn→∞ xn = α.

    • El sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones del tipo fi(x1,�,xn), con i=1,�,m.

    F = [f1, f2,... ,fm] X = [x1,x2,...,xm]

    • Un vector Α = [x1,x2,...,xm] se dice solución de un sistema de ecuaciones F(X)

    si F(Α) = 0 .

    • Los métodos numéricos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones F(X) generarán una sucesión {Xn}, n=1,2,3,... tal que: limn→∞Xn = Α.

    Criterios de aproximación para sistemas de ecuaciones

    Criterio 2

    Dada una tolerancia ε2 > 0, podemos

    escoger como aproximación a la raíz

    α a un término xn de la sucesión obtenida, donde n es el menor entero

    positivo que satisface:

    |f(xn) | < ε2

    Criterio 1

    El término xn de la sucesión

    obtenida puede ser considerado

    una aproximación a la raíz, donde

    n es el menor entero positivo que

    cumple la condición.

    |xn – xn-1| < ε1

    ||F(X)|| < ε2 ||Xn – Xn-1|| < ε1

    En sistemas X y F son vectores

    X = [x1,x2,...,xm] F = [f1, f2,... ,fm]

    Para una ecuación

    Hay que considerar normas vectoriales

    Normas vectoriales

    Una norma vectorial es una función

    ||.||: ℜn→ℜ / X →||X||

    ∀X,Y∈ ℜn ,∀α∈ℜ

    i) ||X||≥ 0, ||X||=0 ⇔ X=0

    ii) ||αX|| = |α| ||X||

    iii) ||X+Y|| ≤ ||X||+||Y||

    norm(x) ó norm(x,2)

    norm(x,1)

    norm(x,inf)

    1) Distancia asociada con la norma euclidiana

    2) Distancia asociada con la norma suma

    3) Distancia asociada con la norma del máximo

    Condideramos yi=0

  • Métodos Numéricos – Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 2/14

    Última actualización: 02/09/2019

    Normas matriciales

    Una norma matricial es una función

    ||.||: ℜnxn→ℜ / X →||X||

    ∀A,B∈ ℜnxn ,∀α∈ℜ

    i) ||A||≥ 0, ||A||=0 ⇔ X=0

    ii) ||αA|| = |α| ||A||

    iii) ||A+B|| ≤ ||A||+||B||

    iv) ||A*B|| ≤ ||A||*||B||

    Norma matricial inducida por la

    correspondiente norma vectorial ||.||

    norm(A,1)

    norm(A,inf)

    Sistema de ecuaciones no lineales

    Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, se

    pueden aplicar los métodos abiertos aplicados a la

    resolución de ecuaciones no lineales.

    • Punto fijo

    • Newton-Raphson

    Siendo necesario hacer una transformación a variables

    vectorizadas

    Sistema de ecuaciones no lineales

    Con punto fijo f(x) = 0 , x = g(x)

    Para un sistema de ecuaciones no lineales

    F = [f1, f2, ... ,fn] X = [x1, x2, ..., xn]

    G= [g1, g2, ..., gn] x1 = g1(X), x2 = g2(X), .... xn = gn(X)

    F(X) = 0, X = G(X) ⇒ X(k+1) = G(X(k))

    Condición de convergencia |g’(x)|

  • Métodos Numéricos – Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 3/14

    Última actualización: 02/09/2019

    Ejemplo 1 Si D={(x1, x2,�,xn) ∈ ℜ

    n/ ai ≤ xi ≤ bi i=1,�n} y gi(X) continuas

    G(X) ∈ D para todo X ∈ D entonces G(X) tiene por lo menos un punto fijo en D.

    Ejemplo 1 Punto Fijo

    ∴no converge

    ∴no converge

    b)

    a)

    Ejemplo 1 Punto Fijo

    X2 + y2 -1=0 f1(x,y)= X 2 + y2 -1

    X2 - y2 -1=0 f2(x,y)= X 2 - y2 -1

    dg1/dy = diff('sqrt(-y^2+1)','y')

    dg1/dy = -1/(-y^2+1)^(1/2)*y

    dg1/dx = diff('sqrt(-y^2+1)',‘x')

    dg1/dx = 0

    Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5

    dg1/dy + dg1/dx ∈ℜ n en [-1,1]

    dg1/dy + dg1/dx < 1 en [-0.7,0.7]

    dg2/dx = diff('sqrt(x^2-1)','x')

    dg2/dx = 1/(x^2-1)^(1/2)*x

    dg2/dy = diff('sqrt(x^2-1)',‘y')

    dg2/dy= 0

    Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5

    dg2/dy + dg2/dx ∉ℜ n en [-1,1]

    dg2/dy + dg2/dx > 1 en [-1.5,-1]

    y [1,1.5]

    ∴no converge

    a)

    Ejemplo 1 Punto Fijo (cont.)

    dg1/dx = diff('sqrt(-x^2+1)',‘x')

    dg1/dx = -1/(-x^2+1)^(1/2)*x

    dg1/dy = diff('sqrt(-x^2+1)',‘y')

    dg1/dy = 0

    Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5

    dg1/dy + dg1/dx ∉ℜ n ó >1

    dg2/dy = diff('sqrt(y^2+1)',‘y')

    dg2/dy = 1/(y^2+1)^(1/2)*y

    dg2/dx = diff('sqrt(y^2+1)',‘x')

    dg2/dx= 0

    Analizando en -1.5≤ x,y ≤1.5

    dg2/dy + dg2/dx < 1

    ∴no converge

    b)

    Verificar en un intervalo

    menor, por ej: [-0.7,0.7]

  • Métodos Numéricos – Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 4/14

    Última actualización: 02/09/2019

    Ejemplo 2 Punto Fijo

    Para 0 ≤ x,y ≤1.5

    G(X) ∈ D para todo X ∈ D

    entonces G(X) tiene por lo

    menos un punto fijo en D >> ezplot('x^2-10*x+y^2+8',[-10,10]) >> ezplot('x*y^2-10*y+x+8',[-10,10])

    Ejemplo 2 Punto Fijo (cont.)

    dg1/dx=diff('(x^2+y^2+8)/10','x')

    dg1/dx =1/5*x

    dg1/dy=diff('(x^2+y^2+8)/10','y')

    dg1/dy =1/5*y

    dg2/dx=diff('(x*y^2+x+8)/10','x')

    dg2/dx =1/10*y^2+1/10 =(y^2+1)/10

    dg2/dy=diff('(x*y^2+x+8)/10','y')

    dg2/dy =1/5*x*y

    Máx. para 0 ≤ x,y ≤1.5

    dg1/dx = x/5 = 0.3

    dg1/dy = y/5 = 0.3

    dg2/dx = (y^2+1)/10 = 0.325

    dg2/dy = x*y/5 = 0.45

    ∴ converge

    >> X=[0.5,0.5]

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.8500 0.8625

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9466 0.9482

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9795 0.9798

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9919 0.9920

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9968 0.9968

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9987 0.9987

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9995 0.9995

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9998 0.9998

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 0.9999 0.9999

    >> X=[(X(1)^2+X(2)^2+8)/10, (X(1)*X(2)^2+X(1)+8)/10]

    X = 1.0000 1.0000

    Sistema de ecuaciones no lineales

    Con Newton xk+1 = xk – f(xk) / f’(xk)

    Para un sistema de ecuaciones no lineales

    F(X) = 0, F(X) = [f1(X), f2(X),... ,fn(X)] X = [x1,x2,...,xn]

    Xk+1 = Xk – J -1 (F(xk), xk) * F(xk)

    Con J (F(xk), xk) ≠0

    Como hallar en Matlab el jacobiano

    (toolbox symbolic)

    syms var1 var2 .....

    Jacobian ([f1,f2,...],[var1,var2,.....]):

  • Métodos Numéricos – Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 5/14

    Última actualización: 02/09/2019

    Ejemplo 1 Newton

    X=[x,y]

    f1 (X) = x 2+y2-1

    f2 (X) = x 2-y2-1

    Xk+1 = Xk – J -1 (F(xk), xk) * F(xk)

    syms x y

    J=Jacobian ([‘x^2+y^2-1, x^2-y^2-1’],[x,y])

    Va convergiendo

    Ejemplo 2 Newton

    Método Newton simplificado Ejemplo 2

    Xk+1 = Xk – J -1 (F(xk), xk) * F(xk) ⇒ Xk+1 - Xk = – J

    -1 (F(xk), xk) * F(xk)

    J (F(xk), xk) *(Xk+1 - Xk ) = –F(xk)

    Si Zk+1 = (Xk+1 - Xk ) ⇒ J (F(xk), xk) *Zk+1 = –F(xk) con |Zk+1|< ε

    Se evita invertir el Jacobiano en cada iteración

    syms x y

    >>F=[x^2-10*x+y^2+8;x*y^2-10*y+x+8]

    F =

    x^2-10*x+y^2+8

    x*y^2-10*y+x+8

    >> X=[x;y]

    X =

    x

    y

    >> N=X-jacobian(F)\F % o N=X-F/jacobian(F)‘ con F y X vector fila

    N =

    x-(-40+5*y^2+7*x*y-8*y-10*x^2*y+x^3*y+50*x-5*x^2)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)

    y-1/2*(-88+x^2-20*x*y+100*y+16*x-9*y^2+y^2*x^2-y^4)/(-y^3-y+2*x^2*y-10*x*y-10*x+50)

    >> X=subs(N,[x;y],[0.5;0.5])

    X =

    0.9377

    0.9392

    >> X=subs(N,[x;y],X)

    X =

    0.9987

    0.9984

    >> X=subs(N,[x;y],X)

    X =

    1.0000

    1.0000

    Ejemplo 2 Newton Empleando Matlab

  • Métodos Numéricos – Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 6/14

    Última actualización: 02/09/2019

    Dificultades en la solución de sistemas de ecuaciones no

    lineales

    • No es fácil encontrar buenos valores iniciales.

    Conocer el problema.

    • No es posible graficar superficies multidimensionales (n>2).

    Reducción de ecuaciones.

    Partición del sistema de ecuaciones.

    Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

    Un sistema de n ecuaciones, con coeficientes reales en las

    n-incógnitas x1, x2,...,xn, de la forma:

    ai1, ai2,...,ain y bi constantes ∈ ℜ

    i=1,�,n,

    se dice sistema li