Apuntes transformaciones lineales - UTFSM

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Transformaciones Lineales (MAT023)Primer semestre de 2012

Verónica Gruenberg Stern

DEFINICIONSean U, V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K y sea T : U −→ V una función. Diremos

que T es una transformación lineal ssi satisface las siguientes dos condiciones:

1. T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) ∀ u1,u2 ∈ U .

2. T (α · u) = α · T (u) ∀ α ∈ K, ∀ u ∈ U .

OBSERVACIÓNLa primera condición dice que la función T transforma la suma de dos vectores en U en la

suma de las imágenes de estos dos vectores en V . Del mismo modo, la segunda condición indicaque T transforma el producto por escalar de un vector en U en el producto del mismo escalar porla imagen del vector en V .

TEOREMASean U, V espacios vectoriales sobre el cuerpo K; entonces T : U −→ V es una transformación

lineal ssiT (α · u1 + β · u2) = α · T (u1) + β · T (u2) ∀ α, β ∈ K, ∀ u1,u2 ∈ U

Dem.Debemos probar que T satisface las condiciones 1. y 2. de la definición si y solamente siT (α · u1 + β · u2) = α · T (u1) + β · T (u2) ∀ α, β ∈ K, ∀ u1,u2 ∈ U .

⇐ Para la condición 1. basta tomar α = β = 1, y para la condición 2., basta tomar β = 0.

⇒ Sean α, β ∈ K, u1,u2 ∈ U . Luego:

T (α · u1 + β · u2) = T (α · u1) + T (β · u2) condición 1. aplicada a αu1, βu2 ∈ U .= α · T (u1) + β · T (u2), por la condición 2.

EJEMPLOS

1. Considere la función T : R −→ R tal que T (x) = 5x. Veamos si T es o no una transformaciónlineal.

a) Sean x, y ∈ R. Entonces, T (x+ y) = 5(x+ y) = 5x+ 5y = T (x) + T (y).

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Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática

b) Sea x ∈ R, (espacio vectorial), y sea α ∈ R (cuerpo). Entonces,T (αx) = 5αx = α5x = αT (x).Así, hemos probado que T (x) = 5x es una transformación lineal. Notar que de la mismamanera podríamos haber probado que T (x) = k · x es una transformación lineal, paracualquier constante real k.

2. Considere la función T : R −→ R tal que T (x) = 5x+ 9. Veamos si T es o no una transfor-mación lineal.

a) Sean x, y ∈ R. Entonces, T (x+ y) = 5(x+ y) + 9 = 5x+ 5y + 9

Claramente, esta última expresión es diferente a T (x) + T (y). Luego, esta función noes una transformación lineal. Como antes, vemos queT (x) = k · x+ n nunca es una transformación lineal, salvo que n = 0.

3. Análogamente, podemos probar que funciones f : R −→ R, definidas por expresiones comof(x) = x2 ó f(x) = senx ó f(x) = cos x ó f(x) = ax etc. no son lineales.

4. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x + y, x− y). Veamos si T eso no una transformación lineal.

a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2. Entonces,T ((x, y) + (u, v)) = T ((x+ u, y + v)) = (x+ u+ y + v, x+ u− y − v)

= (x+ y, x− y) + (u+ v, u− v) = T (x, y) + T (u, v)

b) Sea (x, y) ∈ R2 y sea α ∈ R. Entonces,T (α(x, y)) = T (αx, αy) = (αx+ αy, αx− αy) = α(x+ y, x− y) = αT (x, y)

Así, hemos probado que T (x, y) = (x+ y, x− y) es una transformación lineal.

5. Considere la función T : R2 −→ R3 tal que T (x, y) = (x+ y, x− y, 2x+ 3y). Análogamente,probaremos que T es lineal:

a) Sean (x, y), (u, v) ∈ R2. Entonces,T ((x, y) + (u, v)) = T ((x+ u, y + v))

= (x+ u+ y + v, x+ u− y − v, 2x+ 2u+ 3y + 3v)= (x+ y, x− y, 2x+ 3y) + (u+ v, u− v, 2u+ 3v)= T (x, y) + T (u, v)

b) Sea (x, y) ∈ R2 y sea α ∈ R. Entonces,T (α(x, y)) = T (αx, αy)

= (αx+ αy, αx− αy, 2αx+ 3αy)= α(x+ y, x− y, 2x+ 3y) = α T (x, y)

6. Considere la función T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x + y,−1). Veamos si T es o no unatransformación lineal.

Sean (x, y), (u, v) ∈ R2. Entonces, T ((x, y) + (u, v)) = T ((x+ u, y + v)) =(x+ u+ y + v,−1) = (x+ y,−1) + (u+ v, 0), (por ejemplo).

Esta última expresión no es igual a T (x, y) + T (u, v). Luego, T no es una transformaciónlineal.

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7. Si U y V son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, la función que a cada elementode U le asigna el elemento 0 de V , que denotamos σ : U −→ V , σ(u) = 0V , es unatransformación lineal, que llamamos nula.

8. Si U es un espacio vectorial, siempre es posible definir una aplicación del espacio en sí mismo,que a cada elemento le asigna el mismo elemento, que denotamos id: U −→ U, id(u) = uy que es una transformación lineal, llamada identidad.

9. Sea A ∈ Mm×n(R), y definamos TA : Rn −→ Rm con T (u) = Au donde u ∈ Rn seconsidera como vector columna. Entonces, T es una transformación lineal. En efecto:sean u, v ∈ Rn, α, β ∈ R. Entonces:TA(αu+ βv) = A(αu+ βv)

= αAu+ βAv= αTA(u) + βTA(v)

Hemos probado así que para cada matriz A ∈Mm×n(R) podemos construir una transforma-ción lineal de Rn en Rm.

10. Sea Tr :Mn×n(R) −→ R definida por Tr(A) =n∑

i=1

aii.

Como Tr(αA + βB) = αn∑

i=1

aii + βn∑

i=1

bii ∀α, β ∈ R,∀A,B ∈ Mn×n(R), es claro que

Tr es lineal. Tr(A) se llama la traza de A.

11. Considere D : C1[a, b] −→ C[a, b], D(f) =df

dx. Como ∀α, β ∈ R:

d

dx

(αf(x) + βg(x)

)= α

df

dx(x) + β

dg

dx(x), se tiene que D es una transformación lineal.

12. Considere Dn : Cn[a, b] −→ C[a, b], Dn(f) =dnf

dxn. Análogamente al ejemplo anterior, Dn

es una transformación lineal.

13. Considere I : C[a, b] −→ R, con I(f) =

∫ b

a

f(x) dx.

Como∫ b

a

(αf(x) + βg(x)) dx = α

∫ b

a

f(x) dx + β

∫ b

a

g(x) dx, se tiene que I es una

transformación lineal.

14. Para cada x ∈ [a, b], considere Ix : C[a, b] −→ C1[a, b], definida por:

Ix(f) =

∫ x

a

f(t) dt. Análogamente, Ix es una transformación lineal.

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PROPIEDADESSea T : U −→ V una transformación lineal. Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

1. T (0U) = 0V . Es decir, toda transformación lineal lleva al vector nulo de U en el vector nulode V .

2. Sean u1,u2, · · · ,us ∈ U, α1, α2, · · · , αs ∈ K; entoncesT (α1 · u1 + α2 · u2 + · · ·+ αs · us) = α1 · T (u1) + α2 · T (u2) + · · ·+ αs · T (us).

3. T (−u) = −T (u), ∀u ∈ U. Es decir, toda transformación lineal lleva al inverso aditivo deun vector en el inverso aditivo de la imagen del vector.

4. Si u1,u2, · · · ,us son vectores l.d., entonces T (u1), T (u2), · · · , T (us) son l.d. Es decir, todatransformación lineal conserva la condición de dependencia lineal.

Dem.

1. ∀ u ∈ U : T (u) = T (u+ 0U) = T (u) + T (0U)⇒ T (0U) = 0V .

2. Es clara, por inducción.

3. ∀ u ∈ U : T (−u) = T (−1 · u) = −1 · T (u) = −T (u).

4. Como u1,u2, · · · ,us son vectores l.d., existen escalares α1, α2, · · · , αs ∈ K no todos nulos tal

ques∑

i=1

αi · ui = 0U . Por lo tanto, si aplicamos T a ambos lados de la ecuación:

T( s∑

i=1

αi · ui

)= T (0U) =⇒

s∑i=1

αi · T (ui) = 0V

Como no todos los αi son nulos, hemos probado que el conjunto formado por los s vectoresT (ui) del espacio vectorial V es l.d.

EJERCICIOSDetermine si las siguientes son o no transformaciones lineales:

1. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (x+ y, 0)

2. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (2x− 3y, 4x− y).

3. T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (ax+ by, cx− dy), donde a, b, c, d son números realescualquiera.

4. ev0 : Rn[x] −→ R, tal que ev0(x) = p(0).

5. T : Rn[x] −→ Rn+1[x], tal que T (p) = D(p) + Ix(p).

6. T : R2 −→ R, tal que T (x, y) = x2 + y2.

7. T : R2 −→ R3, tal que T (x, y) = (x, y, xy).

8. Si A ∈Mm×n(R), u0 ∈ Rn fijos, estudie TA : Rn −→ Rm con TA(u) = Au+ u0.

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A continuación, veremos un teorema que establece que una transformación lineal de un espaciovectorial de dimensión finita en otro espacio vectorial queda completamente determinada si seconoce las imágenes de todos los elementos de una base.

TEOREMASean U, V espacios vectoriales sobre K, B = {u1,u2, · · · ,un} una base de U , y sean

v1,v2, · · · ,vn ∈ V arbitrarios. Entonces,

∃ ! T : U −→ V lineal, tal que T (ui) = vi, ∀i = 1, · · · , n.

Dem. Debemos probar existencia y unicidad de la transformación lineal.

Existencia: Sea u ∈ U . Escribimos u como una combinación lineal de los elementos de la baseB, es decir, determinamos los escalares α1, α2, · · · , αn tal que :

u = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

y luego aplicamos la transformación lineal T :

T (u) = T(α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

)= α1T (u1) + α2T (u2) + · · ·+ αnT (un)

T (u) = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn ya que para cada i = 1, · · · , n conocemos T (ui).

Así, hemos probado la existencia de esta transformación lineal.

La unicidad se obtiene del hecho que los escalares que permiten escribir u como combinaciónlineal de los elementos de la base B son únicos.

A continuación, veremos ejemplos de este teorema.

EJEMPLOS

1. Sea T : R2 −→ R3 una transformación lineal tal que:

T (1, 0) = (1,−2, 3), T (0, 1) = (−1, 1,−1)

Determine T (x, y), ∀(x, y) ∈ R2.

Solución:

Para determinar explícitamente la transformación lineal, escribimos un vector genérico comocombinación lineal de los elementos de la base: dado (x, y) ∈ R2:

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

Aplicando T a ambos lados de la ecuación:

T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1)) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(1,−2, 3) + y(−1, 1,−1)

Luego, T (x, y) = (x− y,−2x+ y, 3x− y).

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2. Sea T : R2 −→ R3 una transformación lineal tal que:

T (1, 2) = (2, 3, 4), T (1, 3) = (6, 7, 8)

Determine T (x, y), ∀(x, y) ∈ R2.

Solución:

Para determinar explícitamente la transformación lineal, escribimos un vector genérico comocombinación lineal de los elementos de la base: dado (x, y) ∈ R2:

(x, y) = α(1, 2) + β(1, 3) =⇒ x = α + βy = 2α + 3β

∴α = 3x− y,β = y − 2x

Así: (x, y) = (3x− y)(1, 2)+ (y− 2x)(1, 3) Aplicando T a ambos lados de la ecuación:

T (x, y) = (3x− y)T (1, 2) + (y − 2x)T (1, 3) = (3x− y)(2, 3, 4) + (y − 2x)(6, 7, 8)

de donde T (x, y) = (−6x+ 4y,−5x+ 4y,−4x+ 4y)

3. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal tal que

T (1, 0, 1) = (1,−1), T (1, 1, 0) = (1, 2), T (0, 1, 1) = (−1, 2)

Hallar T (x, y, z) , para cualquier (x, y, z) ∈ R3.

Solución:

Como {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} es L.I, es una base para R3. Escribimos entonces un vector(x, y, z) ∈ R3 cualquiera como combinación lineal de los elementos de la base:

(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(1, 1, 0) + γ(0, 1, 1)

donde α, β, γ son números reales. Obtenemos el sistema:x = α + βy = β + γz = α + γ

de donde α =x− y + z

2, β =

x+ y − z2

, γ =−x+ y + z

2.

Aplicamos T a la ecuación y usamos la linealidad de T obteniendo:

T (x, y, z) =x− y + z

2T (1, 0, 1) +

x+ y − z2

T (1, 1, 0) +−x+ y + z

2T (0, 1, 1)

T (x, y, z) =x− y + z

2(1,−1) + x+ y − z

2(1, 2) +

−x+ y + z

2(−1, 2)

Luego, la transformación buscada es

T (x, y, z) =1

2(3x− y − z,−x+ 5y − z)

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4. Sea T : R2[x] −→M2×3(R) una transformación lineal tal que:

T (1 + x) =

(2 3 46 7 8

), T (1 + x2) =

(2 3 40 0 0

), T (x+ x2) =

(0 0 06 7 8

),

Determine T (a+ bx+ cx2), ∀ a+ bx+ cx2 ∈ R2[x].

Solución:

Para determinar explícitamente la transformación lineal, escribimos un polinomio genéricocomo combinación lineal de los elementos de la base:

a+ bx+ cx2 = α(1 + x) + β(1 + x2) + γ(x+ x2)

Luego,a = α + βb = α + γc = β + γ

de dondeα =

a+ b− c2

, β =a− b+ c

2,

γ =−a+ b− c

2

Así: a+ bx+ cx2 =a+ b− c

2(1 + x) +

a− b+ c

2(1 + x2) +

−a+ b− c2

(x+ x2)

de donde:

T (a+ bx+ cx2) =a+ b− c

2T (1 + x) +

a− b+ c

2T (1 + x2) +

−a+ b− c2

T (x+ x2)

=a+ b− c

2

(2 3 46 7 8

)+a− b+ c

2

(2 3 40 0 0

)+−a+ b− c

2

(0 0 06 7 8

)

∴ T (a+ bx+ cx2) =

(2a 3a 4a

6b− 6c 7(b−c)2

8b− 8c

)

EJERCICIOS

1. Sea T : R3 −→M2×3(R) una transformación lineal tal que:

T (1, 0, 0) =

(1 2 30 −1 −4

), T (1, 1, 0) =

(0 1 00 0 −1

), T (1, 1, 1) =

(1 1 10 0 0

)Determinar T (3, 4,−5) y T (a, b, c).

2. Determine una transformación lineal S : R2[x] −→ R3 tal que

S(1) = (1, −1, 1) ∧ S(x2) = (2, 1, 0)

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DEFINICIONSea T : U −→ V una transformación lineal. Definimos

1. el kernel ó núcleo de T como el conjunto

Ker(T ) = {u ∈ U : T (u) = 0V }

es decir, al conjunto de todos los elementos de U que tienen como imagen al 0V .

2. la imagen de T como el conjunto

Im(T ) = {v ∈ V : ∃u ∈ U con T (u) = v}

es decir, es el conjunto de todos los elementos de V que son imágenes de elementos de U .

TEOREMASea T : U −→ V una transformación lineal. Entonces KerT ≤ U .

Dem. Debemos probar que:

1. KerT 6= ∅, lo cual es claro pues T (0U) = 0V , de donde 0U ∈ KerT .

2. u1,u2 ∈ KerT ⇒ u1+u2 ∈ KerT . En efecto: T (u1+u2) = T (u1)+T (u2) = 0V +0V = 0V

3. u ∈ KerT, α ∈ K ⇒ αu ∈ KerT . En efecto: T (αu) = αT (u) = α0V = 0V .

TEOREMASea T : U −→ V una transformación lineal. Entonces ImT ≤ V .

Dem.Debemos probar que:

1. ImT 6= ∅, lo cual es claro pues T (0U) = 0V , de donde 0V ∈ ImT .

2. v1,v2 ∈ ImT ⇒ v1 + v2 ∈ ImT . En efecto: v1,v2 ∈ ImT =⇒ ∃u1,u2 ∈ U :T (u1) = v1, T (u2) = v2 . Por lo tanto, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) = v1 + v2. Luegov1 + v2 ∈ Im T .

3. v ∈ ImT, α ∈ K ⇒ αv ∈ ImT . En efecto: como v ∈ ImT,∃u ∈ U : T (u) = v. Luego,T (αu) = αT (u) = αv, de donde αv ∈ ImT .

EJEMPLOS

1. σ : U −→ V ⇒ Ker σ = U , Im σ = {0V }.

2. id : U −→ U ⇒ Ker id= {0U}, Im id =U .

3. D : Rn[x] −→ Rn[x] ⇒ KerD = {p(x) : p(x) = cte.}, ImD = Rn−1[x].

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4. T : R3 −→ R2, T (x, y, z) = (x + y, y + z). Entonces, (x, y, z) ∈ KerT ⇐⇒T (x, y, z) = (0, 0) ⇐⇒ x+ y = 0 ∧ y + z = 0. Así, x = z = −y, de donde

KerT = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z = −y} = {(−y, y,−y), y ∈ R}= { y · (−1, 1,−1), y ∈ R} = 〈 (−1, 1,−1) 〉

Luego, también hemos encontrado una base para el KerT y dim KerT = 1.

Para encontrar Im T ⊆ R2, hay varios métodos.

Método1 : Usando la definición: buscamos todos los (u, v) ∈ R2 :∃ (x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = (u, v). Ello es así, si: x+y = u ∧ y+z = v. Como este es unsistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, fijamos una de ellas, digamos y = 0 y tenemosque x = u, z = v, de donde

T (x, 0, z) = T (u, 0, v) = (u+ 0, 0 + v) = (u, v).

Luego, ∀(u, v) ∈ R2 podemos encontrar un elemento (x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = (u, v).Así, Im T = R2.

Método2 : Notamos que los elementos que pertenecen a ImT son de la forma

(x+ y, y + z) = x(1, 0) + y(1, 1) + z(0, 1)

es decir, factorizamos por los escalares correspondientes.

Así, ImT = 〈(1, 0), (1, 1), (0, 1)〉 = 〈(1, 0), (0, 1)〉 = R2.

Método3 : Usamos el teorema que afirma que una transformación lineal está completa-mente determinada por las imágenes de una base, por ejemplo, de la base canónica:

T (1, 0, 0) = (1, 0)T (0, 1, 0) = (1, 1)T (0, 0, 1) = (0, 1)

⇒ ImT = 〈(1, 0), (1, 1), (0, 1)〉 = R2

5. T : R3 −→ R, T (x, y, z) = x+ y + z.

Análogamente, (x, y, z) ∈ KerT ⇐⇒ T (x, y, z) = 0 ⇐⇒ x+y+z = 0 ⇐⇒ z = −x−y,de dondeKer T = {(x, y, z) ∈ R3 : z = −x− y}

= {(x, y,−x− y), x, y ∈ R}= {(x, 0,−x) + (0, y,−y), x, y ∈ R}= {x(1, 0,−1) + y(0, 1,−1) : x, y ∈ R}= 〈 (1, 0,−1), (0, 1,−1) 〉

Así, hemos encontrado una base para el KerT y por lo tanto, dim KerT = 2.

Como cualquier u ∈ R puede ser obtenido como suma de tres números reales, ImT ≤ R ydimR = 1, una base para ImT puede ser C = {1}.

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6. T : R3 −→ R5, T (x, y, z) = (x+ y, y + z, x+ 2y + z, x+ y, 0)

(x, y, z) ∈ KerT ⇐⇒ T (x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0) ⇐⇒

x+ y = 0y + z = 0

x+ 2y + z = 0x+ y = 0

=⇒ x = −yz = −y Por lo tanto,

KerT = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −y, z = −y } = { (−y, y,−y), y ∈ R} = 〈(−1, 1,−1)〉Para determinar ImT , notamos que:

(x+ y, y + z, x+ 2y + z, x+ y, 0) = x(1, 0, 1, 1, 0) + y(1, 1, 2, 1, 0) + z(0, 1, 1, 0, 0)

Así, ImT = 〈(1, 0, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0)〉.Es fácil ver que estos 3 vectores son l.d. en R5, por lo que escogemos 2 de ellos, y obtenemosque

ImT = 〈(1, 0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0)〉

Luego, dimKerT=1 y dimImT=2.

7. Sea T :M2×2(R) −→ R2[x], con T

(a bc d

)= (a+ b)x2 + (b+ c)x+ d

Determinar una base para KerT y para ImT .

Ker T =

{(a bc d

)∈M2×2(R) : T

(a bc d

)= 0

}=

{(a bc d

)∈M2×2(R) : (a+ b)x2 + (b+ c)x+ d = 0

}=

{(a bc d

)∈M2×2(R) : a+ b = 0, b+ c = 0, d = 0

}=

{(a −aa 0

)∈M2×2(R) : a ∈ R

}=

⟨(1 −11 0

)⟩

ImT =

{αx2 + βx+ γ ∈ R2[x] : ∃

(a bc d

)∈M2×2(R) con T

(a bc d

)= αx2 + βx+ γ

}ImT = {αx2 + βx+ γ ∈ R2[x] : (a+ b)x2 + (b+ c)x+ d = αx2 + βx+ γ}

Debemos resolver el sistema de 3 ecuaciones y 4 incógnitas:a+ b = αb+ c = β

d = γ

Claramente, si por ejemplo, a = α, b = 0, c = β, d = γ entonces

T

(α 0β γ

)= αx2 + βx+ γ. Así, vemos que todos los polinomios de R2[x] pertenecen a

ImT . Luego, ImT = R2[x] = 〈1, x, x2〉.

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Otro camino, es notar que:

(a+ b)x2 + (b+ c)x+ d = ax2 + b(x2 + x) + cx+ d

Luego, ImT = 〈x2, x2 + x, x, 1〉 = 〈x2, x, 1〉 = R2[x].

8. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal tal que

T (1, 0, 1) = (1,−1), T (1, 1, 0) = (1, 2), T (0, 1, 1) = (−1, 2)

Hallar Ker(T ) y una base del Ker(T ) .

Solución:

Como vimos antes,

T (x, y, z) =1

2(3x− y − z,−x+ 5y − z)

Luego, para determinar el KerT :Ker(T ) = {(x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = (0, 0)}

= {(x, y, z) ∈ R3 : 3x− y − z = 0 ∧ −x+ 5y − z = 0}

=

{(x,

2

3x,

7

3x

): x ∈ R

}Por lo tanto, una base para Ker(T) es {(3, 2, 7)} y dim KerT=1.

EJERCICIOS

1. Sea T : R2[x] −→M2×2(R) una transformación lineal tal que:

T (1 + x) =

(1 −11 0

), T (x+ x2) =

(0 −1−1 1

), T (1 + x2) =

(1 −20 1

)Determinar T (a+ bx+ cx2), KerT e ImT .

2. Sea L : R2[x] −→ R2[x], L(p(x)) = p(x− 1).

a) Demuestre que es lineal.

b) Determine KerL e ImL.

TEOREMASea T : U −→ V una transformación lineal; entonces, T es 1-1 ⇐⇒ Ker T = {0U}.

Dem.⇒ Sea x ∈ KerT . Entonces T (x) = 0V = T (0U). Como T es inyectiva, T (x) = T (0U) ⇒x = 0U . Por lo tanto, KerT = {0U}.

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⇐ Sean x, y ∈ U : T (x) = T (y). Luego, T (x)−T (y) = 0⇒ T (x−y) = 0 ∴ x−y ∈ KerT .Ahora, KerT = {0U} ⇒ x− y = 0U , de donde x = y, por lo que T es inyectiva.

EJEMPLOSea T : R4[x] −→ R3, definida por T (a+ bx+ cx2 + dx3 + ex4) = (a+ b, c+ d, e). Pruebe que

T es lineal, determine dim KerT , dim ImT y encuentre una base para ellos. ¿Es T inyectiva?

1. Dejamos como ejercicio probar que T es lineal.

2. p(x) ∈ KerT ⇐⇒ T (p(x)) = (0, 0, 0)⇐⇒

a+ b = 0

c+ d = 0

e = 0

Esto implica que b = −a, d = −c. Luego:

p(x) ∈ KerT ⇐⇒ p(x) = a− ax+ cx2 − cx3

lo cual implica que p(x) = a(1−x)+c(x2−x3). Una base para KerT es {(1−x), (x2−x3)}.Por tanto, dim KerT = 2, por lo que T no es inyectiva.

3. Consideremos la base canónica de R4[x]. Tenemos que: T (1) = (1, 0, 0),T (x) = (1, 0, 0), T (x2) = (0, 1, 0), T (x3) = (0, 1, 0), T (x4) = (0, 0, 1). Claramente, los3 vectores linealmente independientes que encontramos (vectores de la base canónica de R3)forman la base de ImT . Por lo tanto, dim ImT = 3.

4. Notar que dimR(KerT ) + dimR(ImT ) = 2 + 3 = 5 = dimR4[x]

Si revisamos la relación anterior en todos los ejemplos que hemos desarrollado, veremos que secumple siempre. Esta relación es un hecho general, y tenemos el siguiente

TEOREMASea T : U −→ V lineal, tal que dimKU = n. Entonces

dimK(KerT ) + dimK(ImT ) = n

Dem. Sea {u1,u2, · · · ,um} una base de KerT . Completamos esta base a una base de U , esdecir, consideramos los vectores um+1, · · · ,un ∈ U : {u1, · · · ,um,um+1, · · · ,un} sea una base deU . Debemos probar, entonces, que las imágenes de los vectores que hemos agregado, forman unabase de ImT , es decir, que {T (um+1), · · · , T (un)} es base de ImT .

Sea u un vector cualquiera en U . Expresamos u como combinación lineal de los elementos dela base:

u = α1u1 + · · ·+ αmum + αm+1um+1 + · · ·+ αnun

Aplicamos T a la relación:

T (u) = α1T (u1) + · · ·+ αmT (um) + αm+1T (um+1) + · · ·+ αnT (un)

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Como T (ui) = 0, ∀ i = 1, · · · ,m, se tiene que:

T (u) = αm+1T (um+1) + · · ·+ αnT (un)

Luego, como u es un vector cualquiera, es claro que T (um+1), · · · , T (un) es un conjunto generadorde ImT .

Probemos ahora que este conjunto es l.i.: sean αm+1, · · · , αn escalares tal que

αm+1T (um+1) + · · ·+ αnT (un) = 0

Por lo tanto, usando la linealidad de T :

T(αm+1um+1 + · · ·+ αnun

)= 0 por lo que αm+1um+1 + · · ·+ αnun ∈ KerT

Luego, podemos escribir este vector como combinación lineal de los elementos de la base de KerT :

αm+1um+1 + · · ·+ αnun = α1u1 + · · ·+ αmum

ó equivalentemente

α1u1 + · · ·+ αmum − αm+1um+1 − · · · − αnun = 0

Como {u1 + · · ·+ um,um+1 + · · ·+ un} es base de U , αi = 0, ∀ i = 1, · · · , n.

Por lo tanto, el conjunto {T (um+1), · · · , T (un)}} es una base de ImT , y queda demostrado elteorema.

EJERCICIO Sea T :M2×2(R) −→ R3[x] definida por

T

(a bc d

)= (a+ b) + (c+ d)x+ (a+ b+ c+ d)x2 + ax3

Demuestre que T es lineal, y determine base de Ker(T ) y dim Im(T ).

Dejamos como ejercicio probar que T es lineal. Determinemos la dimensión del Kernel:

KerT = {A ∈M2×2(R) : T(a bc d

)= 0}

=

{(a bc d

): a+ b = 0, c+ d = 0, a+ b+ c+ d = 0, a = 0

}

=

{(a bc d

): a = b = 0, d = −c

}

=

{(0 0c −c

): c ∈ R

}=

⟨(0 01 −1

)⟩

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Por lo tanto, dim Ker T = 1. Aplicamos el teorema para determinar la dimensión de Im T :

1 + dim Im(T ) = 4 = dimM2×2(R) =⇒ dim Im(T ) = 3

TEOREMASea T : U −→ V lineal e inyectiva. Si {u1, · · · ,un} es l.i., entonces {T (u1), · · · , T (un)} es l.i.

Dem.Formamos α1T (u1) + · · ·+ αnT (un) = 0. Como T es lineal, es equivalente aT(α1u1+· · ·+αnun

)= 0 Luego, α1u1+· · ·+αnun ∈ KerT. ∴ α1u1+· · ·+αnun = 0

Como {u1, · · · ,un} es l.i, los escalares αi = 0, ∀i = 1, · · · , n. ∴ {T (u1), · · · , T (un)} es l.i.

Estudiaremos a continuación qué propiedades se traspasan al resultado de operar con transfor-maciones lineales.

TEOREMASean U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, y sea α ∈ K.Sean T, S : U −→ V transformaciones lineales. Entonces:

1. T + S es una transformación lineal.

2. α · T es una transformación lineal .

Dem.

1. Debemos probar que T + S es una transformación lineal. Para ello, seanu1,u2 ∈ U, λ1, λ2 ∈ K. Formamos

(T + S)(λ1u1 + λ2u2) = T (λ1u1 + λ2u2) + S(λ1u1 + λ2u2) (suma de funciones)

= λ1T (u1) + λ2T (u2) + λ1S(u1) + λ2S(u2) (linealidad de T y S)

= λ1T (u1) + λ1S(u1) + λ2T (u2) + λ2S(u2)

= λ1(T + S)(u1) + λ2(T + S)(u2). (suma de funciones)Por lo tanto, T + S es una transformación lineal.

2. Ahora debemos probar que α · T es una transformación lineal. Como antes, sean u1,u2 ∈U, λ1, λ2 ∈ K. Formamos(αT )(λ1u1 + λ2u2) = αT (λ1u1 + λ2u2). Por la linealidad de T :

= α(λ1T (u1) + λ2T (u2)) = λ1(αT (u1)) + λ2(αT (u2)).Por lo tanto, αT es una transformación lineal.

Observación:Si U y V son 2 espacios vectoriales, es posible considerar el conjunto

L(U, V ) = {T : U → V tal que T es lineal}

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Claramente, la transformación lineal nula pertenece a este conjunto, de donde L(U, V ) 6= ∅. Juntoal Teorema anterior, esto prueba que L(U, V ) ≤ F(U, V ).

TEOREMASean U, V,W espacios vectoriales sobre K y sean T ∈ L(U, V ), S ∈ L(V,W ). Entonces, la

composición de las transformaciones lineales también es lineal, es decir, S ◦ T ∈ L(U,W ).

Dem. Sean α, β ∈ K, x, y ∈ U. Entonces

(S ◦ T )(αx+ βy) = S(T (αx+ βy)) = S((αT (x) + βT (y)) = (αS(T (x)) + βS(T (y)))= α(S ◦ T )(x) + β(S ◦ T )(y).

TEOREMASea T : U −→ V lineal e inyectiva. Entonces la inversa de T , que denotamos por T−1 :

ImT −→ U también es una transformación lineal.

Dem. Sean v1,v2 ∈ ImT =⇒ ∃u1,u2 ∈ U :T−1(v1) = u1, T−1(v2) = u2. Luego, T (u1) = v1, T (u2) = v2. Por lo tanto,v1 + v2 = T (u1 + u2) =⇒ u1 + u2 = T−1(v1 + v2) =⇒T−1(v1 + v2) = T−1(v1) + T−1(v2).

De la misma manera, se prueba que T−1(αv) = αT−1(v). Así, T−1 es lineal.

DEFINICIONSea T : U −→ V lineal. Diremos que T es un isomorfismo si y sólo si T es inyectiva e

ImT = V . En este caso, diremos que U y V son isomorfos, y escribimos U ∼= V .

OBSERVACIONSi T : U −→ V es un isomorfismo, entonces T−1 : V −→ U también es un isomorfismo.

EJEMPLOS

1. Sea V un espacio vectorial sobre R, tal que dimRV = n. Sea B = {u1,u2, · · · ,un} una baseordenada de V , de modo que si v ∈ V , entonces formamos la matriz de coordenadas de v enla base B:

[v]B =

α1

α2

. . .αn

Definimos la función ϕ : V −→ Rn, con ϕ(v) = (α1, α2, · · · , αn).

Dejamos como ejercicio demostrar que ϕ es lineal, inyectiva y epiyectiva. Por lo tanto, ϕ esun isomorfismo.

De este modo, se ha probado que si dimV = n, entonces, V ∼= Rn.

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2. Encuentre un isomorfismo entre el espacio de los polinomios R3[x] y el espacio de las matricesM2×2(R).

3. Sean U, V espacios vectoriales sobre R, y considere el conjuntoL(U, V ) = {T : U −→ V, T lineal}

a) Pruebe que L(U, V ) es un espacio vectorial sobre R.b) Demuestre que, si dimU = n y dimV = m, entonces L(U, V ) ∼=Mm×n(R).c) Determine una base para L(R2[x],R2).

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL

Como hemos hecho hasta ahora, consideraremos en esta sección espacios vectoriales de dimen-sión finita.

Sean U, V espacios vectoriales sobre un cuerpo K, tal que dimKU = n y dimKV = m. SeanB1 = {u1,u2, · · · ,un}, B2 = {v1,v2, · · · ,vm} bases ordenadas de U y V , respectivamente.

Sea T : U −→ V una transformación lineal. Sabemos que existen escalares αij únicos(i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · , n):

T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·αm1vm

T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·αm2vm... =

...T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·αmnvm

La matriz de m filas y n columnas (αij)m×n se llama matriz asociada a la transformaciónlineal T , con respecto a las bases B1 y B2.

Denotamos esta matriz por

[T ]B2B1

=

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n...

... · · · ...αm1 αm2 · · · αmn

EJEMPLOS

1. Considere la función T : R2[x] −→ R3, definida por T (p(x)) = (p(0), p(1), p(2)).Sean B = {1, x, x2} y D = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} bases de R2[x] y R3 respectivamente.

a) Pruebe que T es lineal.

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b) Determine el Ker T y [T ]DB

c) ¿Es T un isomorfismo?

Solución:

a) Sean p(x) , q(x) ∈ R2[x] y α ∈ R . Entonces

T (αp(x) + βq(x)) = (αp(0) + βq(0) , αp(1) + βq(1) , αp(2) + βq(2) )

= α(p(0) , p(1) , p(2)) + β(q(0) , q(1) , q(2))

= αT (p(x)) + β T (q(x))

Por lo tanto T es lineal.

b) Sea p(x) = ax2+ bx+ c ∈ Ker(T ) , entonces (p(0) , p(1) , p(2)) = (0, 0, 0) , y esto ocurresi y solo si:

c = 0a+ b+ c = 0

4a+ 2b+ c = 0⇒

a = 0b = 0c = 0

Por lo tanto Ker(T ) = { 0 } , de donde además T es inyectiva.

Determinemos ahora la matriz asociada a esta transformación lineal:

T (1) = (1, 1, 1) = 1 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 1 · (0, 0, 1)T (x) = (0, 1, 2) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 2 · (0, 0, 1)T (x2) = (0, 1, 4) = 0 · (1, 0, 0) + 1 · (0, 1, 0) + 4 · (0, 0, 1)

Luego, la matriz asociada buscada es

[T ]DB =

1 0 01 1 11 2 4

c) Por el teorema de la dimensión, dim R2[x] = dim KerT + dim ImT .

Como dim R2[x] = 3, y dim KerT = 0 , tenemos que dim ImT = 3 = dim R3. Así,ImT = R3, y por lo tanto, T es epiyectiva.Luego, T es lineal y biyectiva de donde T es un isomorfismo.

2. Sea T ∈ L(R3,R2), dado por T (x, y, z) = (x− 2y + 3z, 4x− y − z).

a) Si B1 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y B2 = {(1, 2), (1,−1)} son bases ordenadas de R3

y R2 respectivamente, encuentre [T ]B2B1.

Para encontrar la matriz asociada a la transformación lineal con respecto a estas bases,escribimos:

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T (1, 1, 0) = (−1, 3) = α11(1, 2) + α21(1,−1)T (1, 0, 1) = (4, 3) = α12(1, 2) + α22(1,−1)T (0, 1, 1) = (1,−2) = α13(1, 2) + α23((1,−1)

Resolviendo los tres sistemas de ecuaciones, obtenemos:

[T ]B2B1

=

(2/3 7/3 −1/3−5/3 5/3 4/3

)b) Sea u = (1, 2, 3). Encuentre [u]B1 , [T (u)]B2 , y [T ]B2

B1· [u]B1 .

Escribimos (1, 2, 3) = α(1, 1, 0) + β(1, 0, 1) + γ(0, 1, 1), de donde

[u]B1 =

012

Para encontrar [T (u)]B2 , primero calculamos T (1, 2, 3) = (6,−1).Ahora, (6,−1) = α(1, 2) + β(1,−1), de donde

[T(u)]B2 =

(5/313/3

)Calculamos ahora

[T ]B2B1· [u]B1 =

(2/3 7/3 −1/3−5/3 5/3 4/3

)·

012

=

(5/313/3

)= [T(u)]B2 .

Esta última propiedad es general, vale decir,

TEOREMASea T : U → V lineal, B1 base de U , B2 base de V . Entonces,

[T ]B2B1· [u]B1 = [T(u)]B2

EJERCICIOS

1. Sea T : R2[x] −→M2×2(R), definida por

T (a+ bx+ cx2) =

(a+ b 2b+ 3c3c+ a −a+ b+ 3c

)Sean B1 = {1, 1 + x, 1 + x+ x2 } base de R2[x] y B2 = C, la base canónica de lasmatrices de orden 2× 2.

Determine:

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a) [T ]B2B1

b) Si p(x) = 7− 2x+ x2, determine [p]B1 , [T (p)]B2 , y [T ]B2B1· [p]B1 .

2. Sea T : R2[x] −→ R2, definida por T (a+ bx+ cx2) = (a+ b+ c, c− b).Sean B1 = {1, 1 + x, 1 + x+ x2 } base de R2[x] y B2 = {(1,−1), (1, 2)} base de R2.

Determine:

a) [T ]B2B1

b) Si p(x) = 5− x+ 8x2, determine [p]B1 , [T (p)]B2 , y [T ]B2B1· [p]B1 .

MATRIZ CAMBIO DE BASE

Consideremos ahora la transformación lineal identidad de un espacio vectorial U en sí mismo,donde dimRU = n. En el dominio U , consideremos la base B1 = {u1,u2, · · · ,un}, y en elrecorrido U , consideremos la base B2 = {v1,v2, · · · ,vn}.

Sabemos que existen escalares αij únicos:

id(u1) = (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·αm1vm

id(u2) = (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·αm2vm...

......

id(un) = (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·αmnvm

Por lo tanto, la matriz asociada a la transformación lineal identidad, [ id ]B2B1, posee la siguiente

propiedad: w ∈ U =⇒ [id(w)]B2 = [ id ]B2B1· [w]B1 , de donde

[w]B2 = [ id ]B2B1· [w]B1

Como la identidad es un isomorfismo, la matriz asociada es invertible, y se tiene que

([ id ]B2B1)−1[w]B2 = [w]B1

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EJEMPLOS:

1. Considere la aplicación identidad en R2, con B1 = {(1, 2), (1, 3)} en el dominio yB2 = {(1, 1), (1, 0)} en la imagen.

Determine: [id]B2B1. Además, si u = (5,−3), determine además [u]B1 , [ id(u)]B2 , y

[ id ]B2B1· [u]B1 .

2. Sean B1 = {u1, u2}, B2 = {v1, v2} dos bases del espacio vectorial U , tal que

u1 = 3v1 − 4v2 y u2 = v1 + 2v2

Determine:

a) la matriz cambio de bace de B2 a B1.

b) Si [v]B2 =

(17

), determine [v]B1

Soluciones:

1. Ejercicio.

2. Como u1 = 3v1− 4v2, tenemos que [u1]B2 =

(3−4

)y como u2 = v1+2v2 tenemos

que [u2]B2 =

(12

).

Por lo tanto, la matriz cambio de base de B1 a B2 es [id]B2B1

=

(3 1−4 2

)

Luego, la matriz cambio de base de B2 a B1 es([id]B2

B1

)−1=

15−110

25

310

.

Para determinar [v]B1 , basta calcular:

15−110

25

310

· [v]B2 =

15−110

25

310

· ( 17

)

∴ [v]B1 =

−12

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RELACION ENTREOPERACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES Y

OPERACIONES ENTRE MATRICES

Consideremos, como antes, los espacios vectoriales U, V sobre un cuerpo K, tal que dimKU = n,y dimKV = m. Sean B1 = {u1,u2, · · · ,un}, B2 = {v1,v2, · · · ,vm} bases ordenadas de Uy V , respectivamente. Sean T, S ∈ L(U, V ). Entonces:

1. [T + S ]B2B1

= [T ]B2B1

+ [S ]B2B1, es decir, la matriz asociada a la suma de transformaciones

lineales es la suma de las matrices asociadas a cada transformación lineal.

2. [αT ]B2B1

= α[T ]B2B1, ∀ α ∈ K, es decir, la matriz asociada al producto por escalar de una

transformación lineal es el escalar multiplicado por la matriz asociada a la transformaciónlineal.

3. SeaW un espacio vectorial sobre K, B3 = {w1,w2, · · · ,wp} una base ordenada deW . SeaL ∈ L(V,W ) y supongamos que la composición de funciones L ◦ T está definida. Entonces,[L ◦ T ]B3

B1= [L ]B3

B2· [T ]B2

B1, es decir, la matriz asociada a la composición de transfor-

maciones lineales es el producto de las matrices asociadas a cada transformación lineal, enel orden correspondiente.

4. Supongamos que T es un isomorfismo entre U y V . Sabemos que ∃ T−1 : V −→ U quetambién es un isomorfismo. Entonces, [T−1 ]B1

B2= ([T ]B2

B1)−1, es decir, la matriz asociada a

la inversa de una transformación lineal es la inversa de la matriz asociada a la transformaciónlineal.

EJEMPLOS

1. Consideremos las transformaciones linealesS, T : R2 −→ R2 con T (x, y) = (x+ y, x− y), S(x, y) = (2x− 3y, 4x− 5y)L : R2 −→ R2[x] con L(a, b) = a+ bx+ (a+ b)x2. Las matrices asociadas a estas transfor-maciones lineales en las respectivas bases canónicas son:

[T ]CC =

(1 11 −1

)[S ]CC =

(2 −34 −5

)

[L ]CC =

1 00 11 1

Luego:

a) [T + S ]CC =

(1 11 −1

)+

(2 −34 −5

)=

(3 −25 −6

)b) [−5T ]CC = −5 ·

(1 11 −1

)=

(−5 −5−5 5

)MAT023 (1◦ 2012) 21

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c) [L ◦ S ]CC =

1 00 11 1

· ( 2 −34 −5

)=

2 −34 −56 −8

2. Sean U, V como arriba, y considere la función ζ : L(U, V ) −→Mm×n(R) tal queζ(T ) = [T ]B2

B1. Pruebe que es un isomorfismo y que, por lo tanto,

dimKL(U, V ) = dimKMm×n(R) = m · n

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EJERCICIOS

1. Determine cual de las siguientes funciones son transformaciones lineales.

a) T : R3 → R2, con T (x, y, z) = (x, z)

b) T : R4 → R4 , con T (x, y, z, w) = (−x,−y,−z, w)c) T : R3 → R3 con T (x, y, z) = (x, y, z) + (0,−1, 0)d) T : R2 → R2, con T (x, y) = (2x, y − x)e) T : R2[x]→ R1[x], con T (ax2 + bx+ c) = 2ax+ b

2. Sea T : R2 → R2 lineal tal que T (3, 1) = (1, 2) y T (−1, 0) = (1, 1). Encuentre una expresiónpara T y calcule T (1, 0) y T (0, 1)

3. Sea T : R3 → R1[x] una transformación lineal. Encontrar T tal queT (1, 0,−1) = 2− x , T (0, 2, 1) = 1 + x y T (1, 3, 1) = 3x− 2

4. ¿Existe una transformación lineal T : R2[x]→ R definida por T (1) = 1 ,T (1− x) = 2 , T (1− x2) = 3 tal que T (2x2 − 5x− 2) = −1?

5. Sea T : R2[x]→ R3[x] definida por

T (p(x)) = x3p′(0) + x2p(0)

¿ Es T una transformación lineal?

6. Sea T :M3×1(R)→M3×1(R) definida por

T

xyz

=

x+ 12yz

¿ Es T una transformación lineal?

7. Sea T : R4 → R3 una transformación lineal definida por

T (x, y, z, w) = (x− y + z + w, x+ 2z − w, x+ y + 3z − 3w).Encuentre una base y la dimensión del Ker T y de Im T.

8. Sea T :M1×4(R)→M1×3(R) una transformación lineal definida por

T ([a1 a2 a3 a4]) = [a1 + a2 a3 + a4 a1 + a3]

a) Hallar una base para el Ker T. ¿Cuál es su dimensión?b) Hallar una base para Im T. ¿Cuál es su dimensión?

9. Sea T : R2[t]→ R una transformación lineal definida por

T (at2 + bt+ c) =

∫ 1

0

(at2 + bt+ c) dt

Encuentre una base para el Ker T y para Im T.

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Univ

ersi

dad

Técnic

aFederic

oSanta

María

� ��

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10. Sea T : R2[t]→ R3[t] una transformación lineal definida por T (p(t)) = t2p′(t) donde

p′(t) =dp

dt(t). Encuentre base para Ker T y para Im T.

11. Sea W =

{(a bc d

)∈M2(R) : a+ 5c = 0

}. Demuestre que W es isomorfo a R3.

12. Sea V el espacio vectorial generado por el conjunto {ex, e−x}, ∀ x ∈ R. Demuestre que V esisomorfo a R2.

13. Sea T :M2×3(R)→M3×3(R) una transformación lineal definida por

T (A) =

2 −11 23 1

·A, para toda matriz A ∈M2×3(R). Hallar la dimensión del KerT y de

ImT .

14. Sea T : R2[x]→ R3[x] tal que

T (x) = x2 − xT (x− 1) = x− 2T (x2 − 1) = x3 − x− 1

a) Hallar T (ax2 + bx+ c).

b) Hallar generadores del Ker(T ).

c) Hallar Im(T ).

15. Sea T : R2[t] → R1[t] una transformación lineal definida por T (p(t)) = p′(t) y considere lasbases S = {t2, t, 1} y R = {t + 1, t − 1} para R2[t] y R1[t] respectivamente. Encuentre lamatriz asociada a la transformación T respecto a estas bases.

16. Sea V el espacio vectorial con base B = {1, t, et, tet} y sea T : V → V una transformaciónlineal definida por T (f(t)) = f ′(t). Hallar la representación matricial de T respecto de B.

17. Sea T : R2 → R2 lineal definida por T (x, y) = (x + y,−2x + 4y). Encuentre la matriz de Trespecto a la base {(1, 1), (1, 2)}

18. Sea T : R2[x]→ R3 dada por la matriz

[T ]CB =

1 2 10 1 1−1 3 4

donde B = { 1, x − 1, x2 − 1 } es base de R2[x] y C = { (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) } esuna base de R3.

Hallar Ker(T ) y dim Ker(T )

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ersi

dad

Técnic

aFederic

oSanta

María

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25


19. Sea p(x) ∈ R2[x] considerar

f(p) =

∫ 1

0

p(x) dx

g(p) =

∫ 0

−1p(x) dx

Se define T : R2[x]→ R2 tal que T (p(x)) = (f(p), g(p)).

a) Calcule el KerT y escríbalo usando el concepto de generador.

b) Encuentre una base del Ker T y calcule la dim(Im(T ).

c) Calcule [T ]B∗B , donde B y B∗ son las bases canónicas de R2[x] y R2 respectivamente.

20. Sea T : R3[x]→ R2[x], tal que

T [p(x)] = p′′(x) +

∫ 1

0

p(x) dx

a) Pruebe que T es una transformación lineal.

b) SeanB1 = { 1, x− 1, (x− 1)2, (x− 1)3 }B2 = { 1, x, x(x− 1) }

bases de R3[x] y R2[x] respectivamente. Determine [T ]B2B1

y use esta matriz para obtenerel núcleo de T .

21. Probar que la matriz cambio de base siempre es invertible.

22. Encuentre la matriz cambio de base de S a R y la de R a S para:

a) S = {(1, 0), (0, 1)} , R = {(2,−3), (−2, 4)}b) S = {1, x, x2} , R = {x2 + x+ 1, x2 − x− 2, x2 + x− 1}

23. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal cuya representación matricial respecto a las

bases S = {(1, 0,−1), (0, 2, 0), (1, 2, 3)} y R = {(1,−1), (2, 0)} es(

2 −1 33 1 0

). Hallar la

representación matricial de T respecto de las bases canónicas.

24. Sea T : R3 → R2 una transformación lineal definida por(

1 −1 11 0 2

). Hallar una expresión

para T respecto a

a) Las bases canónicas

b) Las bases S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} y R = {(1, 2), (1, 3)}

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Apuntes transformaciones lineales - UTFSM

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