Estudio de dos ecuaciones parabolicas lineales con metodos

de energıa:

Notas para la I Semana Multidisciplinar

Javier Gomez Serrano1,3 y Rafael Granero Belinchon2,3

http://www.icmat.es/seminarios/SM/es/

Resumen

En este texto estudiaremos las ecuaciones ∂tu = ∂2

xu y ∂tu = −Λαu (donde Λ = (−∆)1/2)

con metodos de energıa. Daremos un apendice con los resultados mas utiles en este tipo decalculos.

Palabras clave: Metodo de la energıa, ecuacion del calor, ecuaciones no-locales, interfase.

Indice

1. Introduccion 1

2. Motivacion y modelizacion 2

2.1. La ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. La ecuacion ∂tu = −Λu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. La ecuacion de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. La ecuacion Korteweg-de Vries (o KdV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. La ecuacion del calor ∂tu = ∂2xu. 6

4. La ecuacion ∂tu = −Λαu. 12

A. El operador Λ y otros Operadores Integrales Singulares 13

A.1. El operador Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.2. Integrales singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

B. Los espacios Lp(Ω) y W k,p(Ω) 16

B.1. Desigualdades imprescindibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

C. Metodos numericos 19

1. Introduccion

En este texto estudiaremos dos ejemplos de ecuaciones parabolicas lineales con el metodo de laenergıa. Daremos un apendice con los resultados mas utiles cuando se quiere aplicar este metodo.

1Email: javier.gomez@icmat.es2Email: r.granero@icmat.es3Instituto de Ciencias Matematicas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)

C/Nicolas Cabrera, 13-15,Campus de Cantoblanco,28049 - Madrid

1

El metodo de la energıa parte del hecho fısico de que hay una cantidad, la ’energıa’, que en lossistemas disipativos decae y en los conservativos se conserva. En cualquier caso, si no hay fuerzasexternas, no puede aumentar. La idea es conseguir cotas para las distintas ’energıas’ relevantes enla ecuacion, por ejemplo la norma L2 de la velocidad del fluido, de manera que podamos afirmarque, al menos hasta un tiempo T , no se produce una explosion de esta cantidad.

El estudiante que quiera aplicar estos metodos debe conocer los rudimentos de la teorıa dela medida (espacios Lp, teoremas de convergencia), y del analisis funcional (espacios de Sobolev,inmersion de Sobolev, desigualdad de Poincare). Recomendamos como lecturas basicas los libros[Ev-08], [B], [GT] o [LSU]. Para que el texto sea lo mas autocontenido posible adjuntamos unapendice con las definiciones y resultados utilizados.

Por su versatilidad a la hora de tratar con las ecuaciones no-lineales esta tecnica es de las masusadas a la hora de obtener que un determinado problema esta bien puesto en cierto espacio defunciones.

2. Motivacion y modelizacion

En esta seccion obtendremos las ecuaciones que nos interesan partiendo de premisas fısicas lomas basicas posibles.

2.1. La ecuacion del calor

Consideremos una sustancia en un cierto dominio espacial Ω ⊂ Rd con frontera regular y sean su normal hacia afuera. En este dominio una sustancia se difunde. Podemos pensar en que laincognita u es una concentracion de alguna sustancia, o de calor (por lo que u serıa la temperatura).Si ni se crea ni se destruye sustancia (o energıa en el caso del calor) el cambio en la concentracion alo largo del tiempo tiene que venir de la cantidad que salga o entre en el dominio. Sea Q el campovectorial que nos indica como se mueve la sustancia y supongamos cierta la Ley de Fourier (queafirma que el flujo es proporcional al gradiente): tenemos la ecuacion

∂t

∫

Ω

udx = −∫

∂Ω

Q · n = D

∫

∂Ω

∇u · n = D

∫

Ω

∆udx.

En la ecuacion anterior hemos usado la Ley de Fourier Q = −D∇u. Observamos que aparece unsigno menos en la tasa de cambio −

∫

∂ΩQ · n debido a que si Q y n estan alineados (es decir,

la sustancia sale) la integral es positiva y queremos que sea negativa para el caso en el que lasustancia sale. Ahora razonamos que como debe ser valido para cualquier Ω los integrandos debenser iguales en todo punto (aquı hay una hipotesis de continuidad de las derivadas de u) y concluımosla ecuacion

∂tu = D∆u.

Observamos que la constante D es fısicamente relevante y no es adimensional (tiene unidades

[D] = L2

τ , donde L es la dimension espacial y τ es la dimension temporal).Esta ecuacion aparece en la fısica estadıstica y la termodinamica relacionada con el movimiento

de una partıcula clasica (si es cuantica aparece la ecuacion de Schrodinger). Consideremos ahorauna malla en dos dimensiones (una asociada al espacio y otra al tiempo) (ndx, mdt), m, n ∈ Zcon incrementos dx y dt. Consideremos una partıcula que esta en tiempo 0 en la posicion x = 0.Esta partıcula tiene una probabilidad 1/2 de moverse hacia la derecha o hacia la izquierda, a lavez que automaticamente subira en la malla al ser el eje vertical el eje temporal. Tal y como hemosdicho anteriormente nuestro modelo quiere reflejar la situacion de una partıcula que se mueve ’alazar’ por estar sometida a choques aleatorios.

Sea p(n, m) la probabilidad de que esta partıcula este en la posicion ndx en tiempo mdt.Usando probabilidades condicionadas, se tiene que

p(n, m + 1) =1

2(p(n − 1, m) + p(n + 1, m))

y por lo tanto,

p(n, m + 1) − p(n, m) =1

2(p(n − 1, m) − 2p(n, m) + p(n + 1, m))

2

Figura 1: La evolucion de u.

−4 −2 0 2 4−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 200 400 600 8000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Figura 2: a) La evolucion de u. b) La evolucion de maxx u(x, t).

−4 −2 0 2 4−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 200 400 600 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 3: a) La evolucion de u. b) La evolucion de maxx u(x, t).

3

Si ahora suponemos que(dx)2

dt= D > 0 (1)

podemos escribir

p(n, m + 1) − p(n, m)

dt=

D

2

(p(n − 1, m) − 2p(n, m) + p(n + 1, m))

dx2

La condicion en el cociente que hemos establecido en (1) es necesaria para obtener una ecuacionparabolica, si considerasemos otra distinta el lımite resultante no tendrıa sentido.

Formalmente, asumiendo que los lımites que tomamos a continuacion existen, haciendo dx, dt →0 pero guardando (1) y escribiendo ndx = x, mdt = t, resulta que nuestra probabilidad discretaconverge a una densidad,

p(n, m) → f(x, t)

y obtenemos que la densidad verifica la ecuacion del calor con parametro D/2

∂tf(x, t) =D

2∆f(x, t), f(x, 0) = δ0(x) (2)

La hipotesis (1) es clave y nos garantiza que la ecuacion que obtenemos es la de difusion, comopor otra parte debe ser dado el modelo que hemos considerado. Nuestra constante D sera igual ala unidad en el movimiento browniano estandar.

Estos calculos son puramente formales, pues entre otras cosas, el paso al lımite anterior no esriguroso. Sin embargo se puede formalizar de manera rigurosa por medio del teorema del lımitecentral, el cual nos confirma que la probabilidad del proceso definido anteriormente viene dada poruna distribucion normal N(0, Dt). Todos estos calculos se encuentran, convenientemente justifica-dos, en [Ev]. Einstein en [E] aborda este problema. Nuestros argumentos formales nos empiezan aensenar que puede haber una conexion entre la probabilidad y las EDP.

2.2. La ecuacion ∂tu = −Λu

Consideremos ahora una partıcula que, a diferencia de la anterior, no se mueva a los lugaresadyacentes sino que ’salte’ entre ellos. Entendemos que saltar quiere decir moverse mas de dxunidades en el eje horizontal, por ejemplo poder pasar en un intervalo temporal de n = 0 an = 128. Una partıcula con estas caracterısticas sigue (exactamente igual que la de la seccionanterior) un proceso de Markov. Sin embargo dicho proceso de Markov sera no-local. Ası, si hemosvisto que el movimiento browniano estandar (que es la difusion lımite de la partıcula de la seccionanterior) genera el operador diferencial 1

2∆, nuestro proceso con saltos nos dara un operadorintegral difusivo. En otras palabras, lo que se suele llamar un operador pseudo-diferencial. Unejemplo de tales operadores lo encontramos en las potencias fraccionarias del laplaciano (−∆)α/2

(ver apendice).Llegados a este punto nos surge la pregunta de si esto es un mero artificio matematico o

verdaderamente tenemos que estudiarlos con un fin practico. Consideremos una partıcula que semueve a velocidades relativistas. La mecanica clasica no sirve en este regimen de velocidades (oenergıas). Tenemos que considerar la relatividad especial de Einstein. En esta teorıa la materıase puede transformar en energıa y viceversa. Ası nuestra partıcula puede desaparecer y volvera aparecer (quiza no la misma partıcula) tras un tiempo. Ası si consideramos la posicion en elespacio-tiempo de dicha partıcula tenemos un salto como los comentados anteriormente. Queremosremarcar que el hamiltoniano relativista es el operador no-local

√

−∆ + c1(c, m), con c la velocidadde la luz y m la masa (el concepto de masa tambien es delicado en este regimen) de la partıcula.

Veamos otro ejemplo donde nos aparece de manera sencilla un operador no-local. Consideremosuna disolucion tal que las partıculas presentes sean las del fluido (muy pequenas), partıculas de tipo1 (pequenas) y partıculas de tipo 2 (tamano grande con respecto a los otros dos tipos). Ası tenemosque las partıculas inmersas en el fluido estan sometidas a choques constantes y aleatorios i.e. lafuerza tiene una componente browniana. Ahora supongamos que una de las partıculas de tipo 2choca con una partıculas de tipo 1; por el abrumadoramente mayor tamano y masa de la partıculade tipo 2 el choque desplazara a la partıcula mas pequena de manera notable. Ası, si medimoslas posiciones cada dt tiempo el dibujo completo puede estar bien aproximado por un proceso con

4

saltos, pues aunque los movimientos son continuos a suficiente numero de partıculas los choquesson muy numerosos y perdemos la posibilidad de seguir a cada partıcula individualmente.

2.3. La ecuacion de Burgers

Las ecuaciones principales de los fluidos son las ecuaciones de Navier-Stokes y de Euler. Paraun fluido incompresible con temperatura constante y densidad 1 las ecuaciones de Navier-Stokesse pueden escribir

∂tu + (u · ∇)u = −∇p +1

Re∆u,

∇ · u = 0.

Mientras que las de Euler son

∂tu + (u · ∇)u = −∇p,

∇ · u = 0.

Observamos que son d + 1 ecuaciones pues u = (u1, ...ud), d = 2, 3.Si queremos modelizar un escalar que es transportado (si hay difusion se anade un termino

laplaciano o similar en el miembro de la derecha) por el fluido la ecuacion es

∂tθ + u · ∇θ = 0, (3)

Tambien hemos de tener, para cerrar la evolucion que u = u(θ). Tıpicamente recuperaremos u pormedio de una integral singular con un nucleo que preserve el caracter incompresible del campo develocidades,

u = P.V.

∫

Rd

θ(y)K(x, y)dy.

Un θ que cumple lo anterior se llama escalar activo.Sin embargo, en el caso unidimensional (donde no hay choques que preserven cantidad de

movimiento ni hay por lo tanto condicion de incompresibilidad) podemos suponer que la velocidadse conserva. Dicho de otra manera, el fluido transporta su propia velocidad. Entonces la ecuacion(3) es la ecuacion de Burgers

∂tu + u∂xu = 0 (4)

o, si le anadimos un operador de difusion que sea una potencia fraccionaria del laplaciano,

∂tu + u∂xu = −νΛαu. (5)

Ası (4) y (5) modelizan un fluido unidimensional sin y con difusion respectivamente.Veamos otro caso donde aparece la ecuacion de Burgers. Consideremos el caso de una ola. Una

ola se puede ver como la interfase entre dos fluidos dos dimensionales, el agua del mar y el aire.Sea ζ(x, t) la interfase, que suponemos que es un grafo, entonces verifica la ecuacion

∂tζ = n · v|y=ζ = −∂xζv1 + v2.

Supongamos que la velocidad en la direccion y de la ola sea cero (i.e. la ola ni aumenta ni disminuyesu maximo o su mınimo). Hagamos ademas la hipotesis de que la velocidad en la direccion x esproporcional a la altura de la interfase. Entonces la ecuacion final es, si cambiamos las variablesadecuadamente, (4).

Comentario 1 El restringir la velocidad a la interfase es algo muy delicado. Estas cuentas sonsolo formales.

Si por el contrario suponemos que la velocidad en la direccion y no es cero, sino que consideramosque la partıculas del agua tienen rozamiento, entonces hemos de anadir un termino difusivo quetıpicamente sera una potencia fraccionaria del laplaciano. Si hacemos esto obtenemos la ecuacion(5).

5

h

a

λ

Figura 4: Una ola y sus parametros caracterısticos

2.4. La ecuacion Korteweg-de Vries (o KdV)

Queremos estudiar una ola. Para ello consideramos que el agua bajo la superfie tiene un flujoirrotacional, i.e. u = ∇φ para cierta funcion escalar φ. Si suponemos validas las ecuaciones deEuler para el agua bajo la superficie tenemos que φ sigue la ley

∂tφ +1

2|∇φ|2 + p + gy = 0.

Como antes, si y = ζ(x, t) es la superficie del agua (que suponemos un grafo) entonces la ecuacionde la interfase es

∂tζ = −∂xζv1 + v2,

donde las velocidades se recuperan de los valores en la frontera (la traza) de ∇φ. Ademas, por laincompresibilidad se tiene ∆φ = 0.

La coordenada y se distingue de la x en que actua la gravedad, por lo tanto parece naturalhacer un desarrollo de φ en potencias de y, φ =

∑

∞

n=0 ynφn(x, t). Si consideramos olas pequenasen amplitud con respecto a la longitud de onda, entonces tenemos que despreciar los terminos deorden grande en y en nuestra expresion para φ.

Si ademas suponemos que ∂xφ0 ≈ ζ podemos concluir la ecuacion

∂tζ + ∂xζζ = ∂3xζ. (6)

Comentario 2 La hipotesis ∂xφ0 ≈ ζ se consigue haciendo las ecuaciones adimensionales yobservando semejanzas entre las ecuaciones resultantes a nivel lineal. De aquı puede obtenerse (enun regimen distinto del que nos da KdV (6)) la ecuacion de ondas lineal.

Observamos que la hipotesis para obtener la ecuacion de Korteveg-de Vries es menos restrictivaque para obtener la ecuacion de Burgers, pues exclusivamente suponemos que ∂xφ0(x, t) = ζ(x, t)no que ∂xφ(x, f(x, t), t) = v1(x, f(x, t), t) = ζ(x, t). Consideramos por lo tanto discrepancias en losordenes mayores.

Tambien se estudian otras generalizaciones de KdV como la ecuacion Korteveg-de Vries no-local(nlKdV)

∂tζ + ∂xζζ = ∂2xΛζ, (7)

o la ecuacion de Burgers-Korteveg-de Vries

∂tζ + ∂xζζ = ∂3xζ + ∂2

xζ. (8)

Queremos hacer notar que KdV es un sistema hamiltoniano (¿sabrıas escribir el hamiltoniano?).Tambien se puede escribir (¡demuestralo!) como una ecuacion de Euler-Lagrange para el lagrangiano

L =1

2∂xφ∂tφ + (∂xφ)3 − 1

2(∂2

xφ)2, A =

∫ t

t0

∫

Ω

Ldxdt.

3. La ecuacion del calor ∂tu = ∂2xu.

Consideremos la siguiente ecuacion, a la que hay que anadir condiciones de borde,

∂tu = ∂2xu, u(0, x) = f(x), en Ω, (9)

6

con Ω un abierto de R y f(x) ∈ L1(Ω)∩Cb(Ω) (y por la desigualdad de Holder entonces f ∈ Lp(Ω)para todo 1 ≤ p ≤ ∞).

Comentario 3 Observamos que segun sea de regular u el concepto de solucion cambia. Siu(t, x) ∈ C1,2((0,∞)×Ω) la solucion es solucion clasica, sin embargo en el caso de u ∈ C1([0,∞), H1(Ω))se dice que u es solucion debil si se cumple

∫

Ω

∂tuv = −∫

Ω

∂xu∂xv, ∀v ∈ H1(Ω)

Recomendamos al lector el libro [B]. La descripcion del espacio H1 se encuentra en el apendice.Tambien hacemos notar que ∂tu ∈ (H1)∗, con (H1)∗ el espacio dual de H1.

Las cantidades relevantes para esta ecuacion son Masa(t) =∫

Ω u, ||u||Hs(t) con 0 ≤ s ≤ 2(el espacio H0(Ω) es L2(Ω)), M(t) = maxx∈Ω u(t, x) y m(t) = mınx∈Ω u(t, x). Observamos que sif > 0 las cotas de Masa(t) y de ||u||L∞(t) nos dan cotas de la normas Lp para los p intermediospor interpolacion. Ademas el conocer M(t) y m(t) nos da la norma L∞ de u.

Comenzamos obteniendo un resultado de conservacion de la masa. Siendo esta ecuacion elmodelo tıpico de difusion isotropa es de esperar que la cantidad total que se difunde se conserve.Por ejemplo, si u modela la temperatura de un alambre en un determinado punto x en un tiempot, de principios fısicos basicos como es la ’conservacion de la energıa’ obtenemos que el calor (lacantidad total de temperatura) se conserva. En este caso el calor es nuestra Masa(t).

Lema 1 (Conservacion de la masa). Sea Ω = R u Ω = T1 = [−π, π] (con condiciones de bordeperiodicas). Entonces para la ecuacion (9) la masa total se conserva, i.e:

d

dtMasa(t) =

d

dt

∫

Ω

u = 0.

Demostracion. Observamos que ddtMasa(t) = d

dt

∫

Ω u =∫

Ω ∂tu =∫

Ω ∂2xu. Como ∂2

x es una diferen-cial exacta, el teorema fundamental del calculo junto con las condiciones de borde periodicas ode decaimiento suficientemente rapido en el infinito (condicion necesaria para que u este en Lp)nos dan el resultado. En el caso de Ω = R podemos evaluar esta integral como la evaluacion de latransformada de Fourier en el cero. Dado que el laplaciano es un operador de multiplicacion por|k|2, al evaluar en cero, la integral es nula.

Comentario 4 Observamos que la masa de las sucesivas derivadas de u tambien se conserva.Hacemos notar que por este resultado podemos restringirnos a datos iniciales de masa cero.

Lema 2 (Comportamiento de la norma L2 de u). Sea Ω = R u Ω = T1 = [−π, π] (con condicionesde borde periodicas) y T > 0.

d

dt||u||L2(t) ≤ 0.

Es mas, en el caso periodico se tiene

||u||2L2(t) ≤ ||f ||2L2e−2ct. (10)

siendo c > 0 la constante de la desigualdad de Poincare. En ambos casos se cumple la siguientecota:

supt∈[0,T ]

||u||2L2(t) ≤ ||f ||2L2 (11)

Demostracion. Multiplicamos la ecuacion (9) por u e integramos en Ω. Obtenemos

1

2

d

dt||u||2L2 =

∫

Ω

∂2xuudx,

si ahora integramos por partes, aplicando las condiciones de borde periodicas o de decaimiento enel infinito suficientemente rapido, tenemos

1

2

d

dt||u||2L2 =

∫

Ω

∂2xuudx = −

∫

Ω

(∂xu)2dx ≤ 0. (12)

7

Si ahora aplicamos la desigualdad de Poincare (ver apendice), valida en el caso Ω = T, obtenemos

1

2

d

dt||u||2L2 = −

∫

Ω

(∂xu)2dx ≤ −c

∫

Ω

|u|2dx = −c||u||2L2(t).

Por lo tanto, en el caso periodico concluımos que u es siempre una funcion de L2 (observamos queinicialmente lo era).

En el caso de Ω = R, por la desigualdad anterior (ecuacion (12)), u es siempre una funcion deL2, pues se tiene la cota

||u||2L2(t) ≤ ||f ||2L2.

Vamos a querer demostrar que existe una unica solucion que cumple u ∈ Hs para cierto s porlo menos hasta un tiempo T (posiblemente infinito). Eso es que el problema este bien puesto enHs.

Lema 3 (Comportamiento de la norma L2 de ∂nx u). Sea n ∈ N y T > 0. La norma L2 de ∂n

x ucumple que

d

dt||∂n

x u||2L2 ≤ 0, (13)

por lo tantosup

t∈[0,T ]

||∂nx u||2L2(t) ≤ ||∂n

x f ||2L2. (14)

Se concluye que u es al menos tan regular como el dato inicial y esta propiedad se conserva paratodo tiempo 0 ≤ t ≤ T .

Demostracion. Comenzamos derivando la ecuacion n veces respecto a x, multiplicamos por ∂nx u e

integramos en espacio, obteniendo

1

2

d

dt||∂n

x u||2L2 =

∫

Ω

∂n+2x u∂n

xu.

Integramos por partes utilizando que no hay termino de borde y logramos

1

2

d

dt||∂n

x u||2L2 = −∫

Ω

(∂n+1x u)2 ≤ 0

Integrando en tiempo, llegamos a que:

‖∂nx u||2L2 ≤ |∂n

x f ||2L2

Comentario 5 Hacemos notar que gracias a la inmersion de Sobolev si s ≥ 3 se tiene que ues solucion clasica. Ahora consideramos la regularizacion siguiente: para todo ǫ > 0 definimos lasuavizacion

Jǫuǫ(x) =

∫

R

uǫ(x − y)Jǫ(y)dy

donde J es una aproximacion infinitamente diferenciable de la delta de Dirac cuando ǫ → 0. Paramas informacion se pueden consultar [Ev-08] o [Ma].

De que Jǫ ∈ C∞

c concluımos que Jǫuǫ(x) ∈ C∞.

La idea es aproximar el problema considerando una suavizacion del mismo y demostrar usandoel teorema de Picard (ver [Ma]) en espacios de Banach de dimension cualquiera que para todo ǫ > 0tenemos una solucion clasica suave del problema suavizado. Si conseguimos una cota uniforme enǫ y vemos que la sucesion de soluciones de los problemas aproximados es de Cauchy entoncespodemos pasar al lımite consiguiendo una solucion del problema completo.

Teorema 1. (Bien propuesto en Hn) Sea f ∈ Hn con n ≥ 3. Entonces existe una unica u ∈C1([0,∞), Hn(Ω)) solucion de (9).

8

Demostracion. Consideramos el problema suavizado

∂tuǫ(x, t) = Jǫ∆Jǫu

ǫ(x), uǫ(0, x) = f(x). (15)

Este problema lo podemos resolver usando el teorema de Picard. Necesitamos ver que

F ǫ(u) = Jǫ∆Jǫu(x)

lleva Hn en Hn y es Lipschitz con respecto a esa norma. Que lleva Hn en Hn se sigue de quepodemos derivar al suavizador (mollifier en ingles) en lugar de a u, y por lo tanto no perdemosderivadas. Ademas las normas del suavizador no explotan.

Falta ver que es Lipschitz:

||F ǫ(u) − F ǫ(v)||Hn = ||Jǫ∆Jǫu − Jǫ∆Jǫv||Hn = ||Jǫ∆Jǫ(u − v)||Hn ≤ c

ǫ2||u − v||Hn ,

de nuevo derivando al suavizador. Por lo tanto, usando el teorema de Picard se concluye que existeuna unica solucion clasica del problema suavizado uǫ ∈ C1([0, T ǫ], Hn).

En realidad T ǫ = ∞. Vamos a razonar por contradiccion: si no existe solucion del problemaaproximado para todo tiempo entonces la norma Hn explota. Por el lema 3 eso no puede ocurriry concluımos que T ǫ = ∞.

Por el lema 2 y el lema 3 tenemos unas cotas uniformes en ǫ para las normas Hn. Si demostramosque la sucesion uǫ de soluciones aproximadas es de Cauchy en la norma correcta podremos concluirque convergen a u solucion del problema completo en un cierto sentido.

Sean ǫ y δ dos numeros positivos. Consideramos la norma L2 de uǫ − uδ:

1

2

d

dt||uǫ − uδ||L2 =

∫

Ω

(Jǫ∆Jǫuǫ − Jδ∆Jδu

δ)(uǫ − uδ)dx

=

∫

Ω

((Jǫ∆Jǫ − Jδ∆Jδ)uǫ)(uǫ − uδ)dx +

∫

Ω

((Jδ∆Jδ(uǫ − uδ)(uǫ − uδ)dx

≤∫

Ω

((Jǫ∆Jǫ−Jδ∆Jδ)uǫ)(uǫ−uδ)dx ≤ c max(ǫ, δ)||uǫ||H3 ||uǫ−uδ||L2 ≤ c(||f ||H3 )max(ǫ, δ)||uǫ−uδ||L2 .

Concluımos que es Cauchy en C([0,∞), L2) y usando interpolacion en espacios de Sobolev ([Ma],pagina 108) y la cota uniforme en Hn podemos inferir que existe u = lımǫ→0 uǫ ∈ C([0,∞), Hn).

Recordamos que la norma en este espacio se define como

||u||C([0,T ],Hn(Ω)) = supt∈[0,T ]

||u||Hn .

Observamos que

u(t, x) = f(x) +

∫ t

0

∆u(s, x)ds,

pero entonces u ∈ C([0,∞)) ⇒ u ∈ C1([0,∞]) y concluımos (gracias a la inmersion de Sobolev)que u es solucion clasica de la ecuacion del calor.

La unicidad es una consecuencia de que en el caso de existir dos soluciones la diferencia deambas cumple la ecuacion (11) con f ≡ 0, y por tanto ambas soluciones son iguales.

Lema 4 (Principio del maximo). Consideremos un dato inicial que cumpla∫

Ωfdx = 0 y su-

pongamos que para dicho dato inicial la solucion clasica existe. Entonces la funcion M(t) =maxx∈Ω u(t, x) decae en el tiempo, mientras que la funcion m(t) = mınx∈Ω u(t, x) crece en eltiempo.

Demostracion. Observamos que la funcion M(t) es Lipschitz. En efecto, podemos suponer que elmaximo no es negativo y el mınimo no es positivo ya que la masa se conserva y el dato inicial esde masa cero. Por tanto:

maxx

u(t1, x) = maxx

(u(t1, x) − u(t2, x) + u(t2, x)) ≤ maxx

(u(t1, x) − u(t2, x)) + maxx

u(t2, x),

9

de donde

|maxx

u(t1, x) − maxx

u(t2, x)| ≤ maxx

(u(t1, x) − u(t2, x)) = maxx

(∂tu(s, x)(t1 − t2))

≤ maxs∈(t2,t1)

maxx

(∂tu(s, x)(t1 − t2). (16)

Para concluir que la funcion es Lipschitz observamos que debemos restringirnos a un intervalotemporal [0, T ] con T > 0 fijo. Ahora nos aseguramos de que (t1, t2) ⊂ [0, T ] y obtenemos

|maxx

u(t1, x) − maxx

u(t2, x)| ≤ maxs∈[0,T ]

maxx

(∂tu(s, x))(t1 − t2) = C(t1 − t2).

Usamos ahora el teorema de Rademacher (que nos asegura que una funcion Lipschitz es diferen-ciable en casi todo punto) (ver [Ev-08]) en uno de los puntos t de derivabilidad. Ası tenemos quela derivada de M(t) = maxx u(t, x) = u(t, xM (t)) viene dada por

M ′(t) = lımh→0

u(t + h, xM (t + h)) − u(t, xM (t))

h=

lımh→0

u(t + h, xM (t + h)) − u(t + h, xM (t)) + u(t + h, xM (t)) − u(t, xM (t))

h

= ∂tu(t, xM )

y por lo tantoM ′(t) = ∂tu(t, xM ) = ∂2

xu(t, xM ) < 0. (17)

De manera analoga se comprueba que

m′(t) = ∂tu(t, xm) = ∂2xu(t, xm) > 0. (18)

Hemos demostrado que la norma L∞(Ω) decae conforme avanza el tiempo.

Comentario 6 Observamos que para el caso periodico podıamos haber conseguido la existenciay las demas propiedades del metodo de la separacion de variables (series de Fourier). En el caso deΩ = R podıamos haber aplicado separacion de variables (que en este caso es aplicar la transformadaintegral de Fourier) tambien. La gran ventaja de este metodo es que es aplicable igualmente aecuaciones no-lineales.

Otro tema importante es la irreversibilidad de la ecuacion del calor (y demas ecuaciones de tipoparabolico). La irreversibilidad esta relacionada con el propio modelo fısico-estadıstico. Matemati-camente el efecto regularizante obliga a que hacia atras el problema este mal puesto.

Consideremos las ecuaciones del calor hacia atras

− ∂tu = ∂2xu, u(T, x) = f(x), (19)

y− ∂tu = ∂2

xu, u(0, x) = f(x). (20)

Hagamos el cambio v(t, x) = u(T − t, x) en la ecuacion (19). Entonces ∂tv = −∂tu y ∂2xv = ∂2

xu. Eldato final ahora es inicial, f(x) = u(T, x) = v(0, x), y hemos demostrado anteriormente (teorema1) que la ecuacion resultante para v en el caso de cumplir u la ecuacion (19) esta bien puesta.

Hagamos ahora el cambio de variables v(T − t, x) = u(t, x) en la ecuacion (20). Entonces−∂tv = ∂tu y ∂2

xv = ∂2xu. El dato inicial pasa a ser final, f(x) = u(0, x) = v(T, x) (entonces para

v tenemos la ecuacion del calor normal (9) con un dato final). Se tiene el siguiente resultado

Lema 5 (Irreversibilidad). Consideremos la ecuacion (20). Sea f(x) una funcion Hs(Ω) pero noHs+1(Ω). Entonces el problema (20) esta mal puesto en Hs(Ω).

Demostracion. Consideremos s = 1. El caso general se hace igual. Las estimaciones de energıaanteriores ahora no nos dan un decaimiento, sino que dan un aumento. En efecto, se tienen

1

2

d

dt||u||2L2 =

∫

Ω

(∂xu)2dx ≥ 0,

10

1

2

d

dt||∂xu||2L2 =

∫

Ω

(∂2xu)2dx ≥ 0,

1

2

d

dt||∂2

xu||2L2 =

∫

Ω

(∂3xu)2dx ≥ 0,

pero 12 ||∂2

xu||2L2(0) = 12 ||∂2

xf ||2L2 = ∞, por lo tanto 12 ||∂2

xu||2L2(t) = ∞ para todo tiempo t ∈ (0, T ).Ahora bien, esto implica que

1

2

d

dt||∂xu||2L2 =

∫

Ω

(∂2xu)2dx = ∞,

para todo tiempo. Razonamos igual para la norma L2 de u y concluimos que el problema esta malpuesto en H1(Ω).

Comentario 7 La mayor parte de estos resultados se apoyan en las condiciones de borde (quenos dejen integrar por partes sin terminos de frontera) y en la dimension d del espacio ambiente.Por lo tanto son facilmente generalizables a otros dominios en dimensiones mayores.

Proposicion 1 (Comportamiento con datos Dirichlet). Sea Ω ⊂ R un intervalo acotado. Y sea elproblema (9) con condiciones de borde Dirichlet y dato inicial positivo en todo punto. Entonces setiene:

La masa∫

Ωudx decae.

Las cotas de los lemas 2 y 3 siguen siendo validas.

El principio del maximo (lema 4) sigue siendo valido.

Proposicion 2 (Comportamiento con datos Neumann). Sea Ω ⊂ R un intervalo acotado. Y seael problema (9) con condiciones de borde Dirichlet y dato inicial cumpliendo

∫

Ωfdx = 0. Entonces

se tiene

La masa∫

Ωudx se conserva.

Las cotas de los lemas 2 y 3 siguen siendo validas.

El principio del maximo (lema 4) sigue siendo valido.

Comentario 8 Si f tiene un signo, por ejemplo f ≥ 0, el resultado de la proposicion 2 cambiabastante. Tenemos entonces una consevacion de la norma L1 en un dominio acotado. Esto fuerzaa que las normas Lp se estabilicen en un valor distinto de cero. Podemos llegar a esta conclusionutilizando el principio del maximo. Si el maximo baja y el mınimo sube tienen que tender a unvalor distinto de cero. Pero ahora usamos la interpolacion en los espacios Lp y concluimos quetodas las normas se estabilizan.

Ejercicio 1. Demuestra el comentario 2.

Ejercicio 2 (Importante). Utiliza los lemas 1 y 4 para demostrar que si f > 0 entonces se tieneun decaimiento de todas las normas Lp(Ω) con p > 1. Observacion: la hipotesis del lema 4

de que∫

Rf0 = 0 NO es realmente necesaria.

Ejercicio 3. Demuestra que las normas ||∂nx u||L∞ decaen.

Ejercicio 4. Razona las cotas de decaimiento de ||f ||L∞ utilizando el espectro (autovalores) dellaplaciano en el toro.

11

4. La ecuacion ∂tu = −Λαu.

Consideremos la siguiente ecuacion, a la que hay que anadir condiciones de borde,

∂tu = −Λαu, u(0, x) = f(x), en Ω, Λα = (−∆)α/2 0 < α < 2 (21)

con Ω = R o Ω = T y f(x) ∈ L1(Ω) ∩ Cb(Ω). De nuevo por la desigualdad de Holder f ∈ Lp(Ω)para todo 1 ≤ p ≤ ∞.

Las cantidades relevantes para esta ecuacion son las mismas que para (9): Masa(t) =∫

Ωu,

||u||Hs(t) con 0 ≤ s ≤ 2 (el espacio H0(Ω) es L2(Ω)), M(t) = maxx∈Ω u(t, x) y m(t) = mınx∈Ω u(t, x).Observamos que si f > 0 las cotas de Masa(t) y de ||u||L∞(t) nos dan cotas de la normas Lp paralos p intermedios por interpolacion. Ademas el conocer M(t) y m(t) nos da la norma L∞ de u.

Comenzamos obteniendo un resultado de conservacion de la masa. Siendo esta ecuacion elmodelo tıpico de difusion isotropa y anomala es de esperar que la cantidad total que se difunde seconserve.

Lema 6 (Conservacion de la masa). Sea Ω = R u Ω = T1 = [−π, π] (con condiciones de bordeperiodicas). Entonces para la ecuacion (21) la masa total se conserva, i.e:

d

dtMasa(t) =

d

dt

∫

Ω

u = 0.

Demostracion. Observamos que ddtMasa(t) = d

dt

∫

Ω u =∫

Ω ∂tu =∫

Ω −Λαu. Usamos ahora laspropiedades de la transformada de Fourier, pues se tiene que

F(Λαu)(k) = |k|αF(u)(k),

y ademas∫

R

g(x)dx = F(g)(0).

Lema 7 (Comportamiento de la norma L2 de u). Sea Ω = R u Ω = T1 = [−π, π] (con condicionesde borde periodicas) y T > 0.

d

dt||u||L2(t) ≤ 0.

Por lo tanto u ∈ L2(Ω) para todo 0 ≤ t ≤ T .

Demostracion. Multiplicamos la ecuacion (21) por u e integramos en Ω. Obtenemos

1

2

d

dt||u||2L2 =

∫

Ω

−Λαuudx.

Estos operadores no tienen una formula de integrar por partes como tal. Sin embargo, por el teoremade Plancherel (o Parseval) podemos concluir que Λα es autoadjunto. Por lo tanto podemos escribir

1

2

d

dt||u||2L2 = −

∫

Ω

F(Λαu)(k)F(u)(k)dk = −∫

Ω

|k|α(F(u)(k))2dk = −∫

Ω

(Λα/2u)2dx ≤ 0. (22)

De aquı inferimos que u es siempre una funcion de L2 si inicialmente lo es, pues se tiene la cota

||u||2L2(t) ≤ ||f ||2L2.

Comentario 9 Observamos que el teorema anterior y la linealidad de la ecuacion nos permitenconcluir la unicidad de solucion en L2.

Como en la seccion anterior, vamos a querer demostrar que existe una unica solucion quecumple u ∈ Hs para cierto s por lo menos hasta un tiempo T (posiblemente infinito). Eso es queel problema este bien puesto en Hs.

12

Lema 8 (Comportamiento de la norma L2 de Λsu). Sea s ∈ R y T > 0. La norma L2 de Λsucumple que

d

dt||Λsu||2L2 ≤ 0, (23)

por lo tantosup

t∈[0,T ]

||Λsu||2L2(t) ≤ ||Λsf ||2L2 . (24)

Se concluye que u es al menos tan regular como el dato inicial y esta propiedad se conserva paratodo tiempo 0 ≤ t ≤ T .

Demostracion. Comenzamos aplicando Λs a la ecuacion. Despues multiplicamos por Λsu e inte-gramos en x, obteniendo

1

2

d

dt||Λsu||2L2 = −

∫

Ω

ΛsuΛs+αu.

Integramos por partes utilizando las propiedades de los multiplicadores y de la transformada deFourier y logramos

1

2

d

dt||Λsu||2L2 = −

∫

Ω

(Λs+α/2u)2 ≤ 0

Integrando, se obtiene que la norma L2 al cuadrado de la derivada s-esima decae.

Mediante el metodo de la energıa expuesto en la seccion anterior podemos demostrar (de maneraanaloga) el siguiente teorema:

Teorema 2. (Bien propuesto en Hs) Sea f ∈ Hs con s ∈ R, s ≥ α+1. Entonces existe una unicau ∈ C1([0,∞), Hs(Ω)) solucion de (21).

De nuevo, al igual que para la ecuacion del calor, podemos garantizar que el maximo de lafuncion decae y que el mınimo crece.

Lema 9. (Principio del Maximo) Sea f un dato inicial tal que∫

Ωfdx = 0. Entonces M(t) es

decreciente y m(t) es creciente.

Demostracion. Procedemos de la misma forma que en el lema 4. La demostracion de que M(t)es Lipschitz es valida en este caso tambien. Aplicando el Teorema de Rademacher, calculemos laderivada de M(t):

M ′(t) = −Λαu(xM , t) = P.V

∫

Ω

u(y, t) − u(xM , t)

|x − y|d+αdy < 0

puesto que u es maxima en xM . Analogamente, se puede demostrar que el mınimo es creciente yaque

P.V.

∫

Ω

u(y, t) − u(xm, t)

|x − y|d+αdy > 0.

A. El operador Λ y otros Operadores Integrales Singulares

A.1. El operador Λ

Consideremos el operador Laplaciano ∆ =

n∑

i=1

∂2

∂x2i

cuya transformada de Fourier al aplicarlo

sobre una funcion f suficientemente regular y que decae en el infinito viene dada por:

F(−∆f)(k) = |k|2F(f)(k)

Podemos generalizar esta definicion a potencias fraccionarias del Laplaciano, es decir, sustitu-yendo el exponente 2 por α y realizar la antitransformada de Fourier. Esto resulta en la siguientefamilia de operadores:

F((−∆)α/2f)(k) = |k|αF(f)(k), 0 ≤ α ≤ 2

Por otro lado, si el exponente α es negativo, tenemos la siguiente familia de operadores:

13

Definicion 1. Un potencial de Riesz es el operador integral que viene dado por la siguienteconvolucion:

Iαf(x) =1

γαP.V.

∫

Rn

f(y)

|x − y|d−αdx, 0 < α < d

y la constante γα viene dada por:

γα = πd2−α Γ

(

α2

)

Γ(

d−α2

)

Proposicion 3. Los potenciales de Riesz satisfacen la siguiente igualdad en sentido distribucional:

F(Iαf)(k) = |k|−αF(f)(k)

Demostracion. Usando propiedades de la transformada de Fourier, tenemos que:

F(|x|−α) =πα−

d2 Γ

(

d−α2

)

Γ(

α2

) |k|α−d

Por tanto:

F(Iαf)(k) =1

γαF(|x|−(d−α) ∗ f) =

1

γαF(|x|−(d−α))F(f)(k) = |k|−αF(f)(k)

Notemos que tambien podemos escribir el resultado de aplicar el laplaciano fraccionario comola siguiente convolucion:

(Λαf)(x) = β(α, d)P.V.

∫

Rd

f(x) − f(y)

|x − y|d+αdy

donde β(α, d) es una constante de normalizacion.

A.2. Integrales singulares

En esta subseccion nos basaremos en el libro de Duoandikoetxea [Duo]. En la actualidad, unade las integrales singulares mas utilizadas es la transformada de Hilbert que viene dada por lasiguiente convolucion:

H(f)(x) = P.V.1

πx∗ f(x) = P.V.

1

π

∫

R

f(y)

x − ydy

Ademas de presentar numerosas aplicaciones en el campo del tratamiento de la senal (filtros,moduladores, demoduladores, etc), en mecanica de fluidos sirve, entre otras cosas, para presentarmodelos unidimensionales de caracterısticas similares a las ecuaciones de Euler (ver [Ma]). Por otrolado, una de sus propiedades en analisis complejo es la siguiente:

Proposicion 4. Sea f(z) una funcion analıtica en el semiplano superior. Entonces, si u(t) =ℜf(t), t ∈ R ℑf(t) = H(u)(t) + C, t ∈ R. Esto es, podemos recuperar la parte imaginaria de lafuncion sobre la frontera salvo una constante, conociendo su parte real.

Corolario 1. Bajo las mismas hipotesis que en la proposicion anterior, conociendo ℑf(t), sabemosrecuperar ℜf(t) salvo una constante aditiva.

Demostracion. Basta notar que H(H(f)) = −f y aplicar la proposicion anterior.

Comentario 10 Notemos que 1πx no es localmente integrable en 0 y por tanto no podemos

definir su convolucion como tal. Para ello tendremos que usar el valor principal sobre S′ y ver quecoincide sobre S para ası extenderlo primero a L2(Rd) y despues a Lp(Rd). Para un tratamientomas detallado de este aspecto, ver [Duo].

Por ultimo, notemos la siguiente conexion entre la transformada de Hilbert y el Laplaciano- 12 :

14

H(fx)(x) =1

πP.V.

∫

R

f(x) − f(y)

(x − y)2dy = (−∆)

12 (f)(x)

Intentamos generalizar ahora el concepto de Transformada de Hilbert a Rd. Para ello utilizare-mos las transformadas de Riesz, definidas de la siguiente manera:

F(Rj)(f) = −ikj

|k|F(f)(k)

o bien mediante el valor principal:

Rj(f)(x) = P.V.

∫

Rd

Rj(x − y)f(y)dy

donde Rj viene dado por el siguiente nucleo singular:

Rj(x) = cdxj

|x|d+1

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de Rj verifica que:

F(Rj)(k) = −ikj

|k| .

Esto implica que la constante cd =Γ( d+1

2 )

πd+12

. Veamoslo. Para ello, necesitaremos el siguiente

lema:

Lema 10.

F(|x|−a) =πa− d

2 Γ(

d−a2

)

Γ(

a2

) |k|a−d ∀ 0 < a < d

Continuando con la demostracion, tenemos que, en sentido distribucional:

∂

∂xj|x|1−d = (1 − d)P.V.

xj

|x|d+1

Por tanto:

F(

(

P.V.xj

|x|d+1

)

) =1

1 − dF(

(

∂

∂xj|x|−d+1

)

) =2πikj

1 − d|x|−d+1.

Usando el lema anterior:

2πikj

1 − dF(|x|−d+1) =

2πikj

1 − d

πd2−1Γ

(

12

)

Γ(

d−12

)

1

|k| .

Por ultimo, usando las relaciones:

Γ

(

1

2

)

=√

π, Γ

(

d + 1

2

)

= Γ

(

d − 1

2

)

d − 1

2

obtenemos que:

F(

xj

|x|d+1

)

= −iπ

d+12

Γ(

d+12

)

kj

|k| ⇒ cd =Γ

(

d+12

)

πd+12

.

Por ultimo, veamos una utilidad de las transformadas de Riesz: podemos recuperar los valoresde cualquier derivada segunda conociendo unicamente el Laplaciano. En terminos matriciales estosignifica que conociendo la diagonal de la Hessiana podemos recuperar la matriz entera. Tenemosla siguiente identidad, cuya demostracion aparece en el libro [St]:

Proposicion 5.∂2f

∂xi∂xj= RiRj(−∆)(f), ∀ 1 ≤ i, j ≤ d

15

Demostracion. Demostraremos esta identidad viendo que las transformadas de Fourier son iguales.Tenemos que:

F(

∂2f

∂xi∂xj

)

= (iki)(ikj)f =

(

−iki

|k|

) (

−ikj

|k|

)

(|k|)2f) = F (Ri(Rj(−∆f))) .

Tambien, podemos relacionar la transformada de Riesz con el Laplaciano- 12 de la siguiente

manera (ver [Ad]):

Proposicion 6.∂f

∂xi= −Ri(−∆)

12 (f), ∀ 1 ≤ i ≤ d

Demostracion. De nuevo, por Fourier:

F(∂f

∂xi) = (iki)F(f) =

(

−iki

|k|

)

(−(|k|)1)F(f) = −F(Ri((−∆)12 f).

Ademas, tenemos el siguiente corolario:

Corolario 2.∂

∂xi(−∆)−

12 (f) = −Ri(f), ∀ 1 ≤ i ≤ d

B. Los espacios Lp(Ω) y W k,p(Ω)

En esta seccion se suponen conocidos los resultados basicos de teorıa de la medida, por lo quesi el lector no esta familiarizado recomendamos la lectura de [CK].

Sea Ω un dominio en Rd. Se definen los espacios Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞, con respecto a la medidade Lebesgue como el conjunto de los representantes de las clases de equivalencia con respecto a lacondicion ser igual en casi todo punto que cumplen que

∫

Ω

|f |pdx < ∞.

Podemos pensar en este espacio como el del conjunto de las funciones cuya potencia p es integrablesiempre que recordemos que podemos redefinirlas en un conjunto de medida nula sin alterar lafuncion (ambas seran representantes de la misma clase de equivalencia).

L∞(Ω) es el conjunto de los representantes de las clases de equivalencia con respecto a lacondicion ser igual en casi todo punto que cumplen que ess supx|f | < ∞. Es decir, que estanacotadas salvo en un conjunto de medida nula.

Estos espacios son espacios de Banach (completos y normados) con respecto a las normas

||f ||pLp =

∫

Ω

|f |pdx, ||f ||L∞ = supx∈Ω

|f |. (25)

Ademas el espacio L2(Ω) es un espacio de Hilbert con respecto al producto escalar

〈f, g〉 =

∫

Ω

f gdx,

que en el caso de f, g tomando valores reales es

〈f, g〉 =

∫

Ω

fgdx.

16

Se define el espacio de Sobolev W 1,p como

W 1,p(Ω) =

u ∈ Lp(Ω)

∣

∣

∣

∣

∃g1, g2, ...gd ∈ Lp(Ω) tales que

∫

Ω

u∂φ

∂xi= −

∫

Ω

giφ, ∀φ ∈ C∞

c (Ω), ∀i = 1, ...d

(26)

donde C∞

c (Ω) es el conjunto de las funciones infinitamente derivables y que ademas tienensoporte (la clausura del conjunto de los puntos donde la funcion es distinta de cero) compacto.Observemos que gi = ∂u

∂xien el sentido de las derivadas debiles. Esta claro que si u posee derivadas

fuertes estas seran las gi, basta aplicar integracion por partes y reparar en que φ|∂Ω = 0 por elsoporte compacto. A las φ las llamaremos funciones test. En el caso en el que p = 2 lo denotaremospor H1(Ω). W k,p(Ω) se define igual pero con hasta k derivadas. Escribiremos Hk(Ω) = W k,2(Ω).

Los espacios de Sobolev Hs(R) son espacios de Banach (en realidad son de Hilbert) con respectoa la norma

||f ||2Hs =

∫

Rd

(1 + |k|2)s|F(f)(k)|2dk. (27)

Tambien se usa la norma equivalente

||f ||2Hs =

∫

Rd

(1 + |k|s)2|F(f)(k)|2dk. (28)

Podemos observar la conexion con la norma del operador Λs notando que:

‖Λsf‖2L2 = ‖F(Λsf)‖2

L2 = ‖|k|sF(f)(k)‖2L2 =

∫

Rd

|k|2s|F(f)(k)|2dk

lo que demuestra que podemos acotar la norma en Hs, con s ∈ N, de la siguiente manera:

||f ||2Hs =

∫

Rd

(1 + |k|2)s|F(f)(k)|2dk ≤ C

s∑

i=0

‖Λif‖2L2

Ejercicio 5. Escribe cuidadosamente la definicion de W k,p(Ω). Escribe las normas naturales enestos espacios para el caso general (no uses en ningun caso la transformada de Fourier) y ladefinicion de producto escalar para el caso de Hs(Ω). Demuestra que efectivamente son normas.

Ejercicio 6. Escribe la definicion del espacio Ck(Ω). Escribe la norma natural para este espacio.

B.1. Desigualdades imprescindibles

Estos espacios tienen unas propiedades muy importantes y utiles. La principal de ellas es queuna cota L2 de una derivada nos da una cota uniforme de la funcion sin derivar. O dicho de otramanera:

Teorema 3 (Sobolev). El espacio Hs+k(Rd) esta contenido con inmersion continua en el espacioCk(Rd) siempre que s > d/2 y k ≥ 0. La continuidad de la inmersion significa que

||f ||Ck ≤ c||f ||Hs+k ∀f ∈ Hs+k.

Teorema 4 (Algebra de Banach). Sea s > d/2. Entonces existe una constante c tal que para todopar de funciones u, v de Hs(Rd) se cumple

||uv||Hs ≤ c||u||Hs ||v||Hs . (29)

Proposicion 7 (Interpolacion en espacios Lp). Sea Ω un dominio acotado, y sean p, q, r tales que1 ≤ p ≤ q ≤ r ≤ ∞. Si f(x) ∈ Lp(Ω) ∩ Lr(Ω), entonces se tiene que f ∈ Lq(Ω).

17

Demostracion. Supongamos que r = ∞. Entonces tenemos que:

‖f‖qq =

∫

Ω

|f(x)|qdx =

∫

Ω

|f(x)|p|f(x)|q−pdx ≤ ‖f‖q−pL∞

∫

Ω

|f(x)|pdx = ‖f‖q−pL∞ ‖f‖p

p < ∞

Por otro lado, si r 6= ∞:

‖f‖qq =

∫

Ω

|f(x)|qdx =

∫

Ω

|f(x)|r(q−p)(r−p) |f(x)|p

(r−q)(r−p) dx

Aplicando la desigualdad de Holder a los exponentes conjugados α = r−pq−p , α′ = r−p

r−q , tenemosque:

‖f‖qq ≤ ‖|f | r

α ‖α‖|f |p

α′ ‖α′ = ‖f‖rαr ‖f‖

p

α′

p < ∞

Teorema 5 (Desigualdad de Poincare, version 1). Sea Ω un abierto conexo y acotado de Rd, confrontera suave. Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces existe una constante C(d, p, Ω) tal que para toda funcionu ∈ W 1,p se tiene que:

‖u − (u)Ω‖Lp ≤ C‖∇u‖Lp, (u)Ω =1

|Ω|

∫

Ω

u(y)dy

Demostracion. Razonamos por contradiccion. Supongamos que para todo n existe una un ∈W 1,p(Ω) tal que:

‖un − (un)Ω‖Lp > n‖∇un‖Lp

Renormalizando las un, obtenemos la sucesion de:

vn =un − (un)Ω

‖un − (un)Ω‖Lp(Ω)

Es evidente que ahora (vn)Ω = 0, ‖vn‖Lp(Ω) = 1, y por tanto:

‖∇vn‖Lp(Ω) <1

n

Por el teorema de Rellich-Kondrachov, existe una subsucesion, la cual por aligerar la notaciondenotaremos como vn tal que vn converge a una funcion v ∈ Lp(Ω) en Lp(Ω). Tenemos que v esde media 0 y de norma 1. Por otro lado, para toda funcion ϕ ∈ C∞

c (Ω):

∫

Ω

vϕxi= lım

n→∞

∫

Ω

vnϕxi= − lım

n→∞

∫

Ω

vn,xiϕ = 0

Por tanto, v ∈ W 1,p y ∇v = 0 en casi todo punto, lo que implica que v es constante. Al ser demedia 0, necesariamente v = 0 y por tanto su norma deberıa ser igual a 0. Contradiccion.

Veamos otra version del la Desigualdad de Poincare.

Teorema 6 (Desigualdad de Poincare, version 2). Sea Ω ⊂ Rd un conjunto acotado con fronteraregular. Entonces para toda funcion u ∈ H1

0 (Ω) se verifica la siguiente desigualdad

||u||L2 ≤ c(Ω)||∇u||L2 .

Demostracion. Consideremos el problema

−∆u = λu; u|∂Ω = 0.

Si multiplicamos por u e integramos por partes (observando que el termino de frontera lo cual esvalido en H1

0 ) concluımos

λ

∫

Ω

u2 =

∫

Ω

|∇u|2,

18

El espectro del laplaciano es bien conocido. Se sabe que hay un autovalor mınimo λ1 > 0. Por lotanto

∫

Ω

u2 =1

λ

∫

Ω

|∇u|2 ≤ 1

λ1

∫

Ω

|∇u|2.

De donde se concluye el resultado. Observamos que ademas conocemos explıcitamente la forma dela constante optima.

Teorema 7 (Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg). Sea u ∈ Lq(Rd). Entonces existe una constanteC dependiente de d, m, j, q, r, α tal que:

‖Λju‖Lp ≤ C‖Λmu‖αLr‖u‖1−α

Lq

para todo p, q, r, j, m, α tales que:

1

p=

j

d+

(

1

r− m

n

)

α +1 − α

q,

j

m≤ α ≤ 1, 0 < j < m

Ejercicio 7 (Importante). Lee la seccion 5.6.1 de [Ev-08]. En concreto el teorema 1 y la motivacionpreliminar.

C. Metodos numericos

En esta seccion veremos como aproximar con un metodo espectral la solucion del problema (9)en el toro. La idea es utilizar las series de Fourier. Ası tenemos que si f(x) es el dato inicial yF(f)(k) es su coeficiente k−esimo de Fourier, la solucion del problema (9) es

u(t, x) =

∞∑

k=−∞

F(u)(k, t)eikx, (30)

donde la EDO que verifica cada coeficiente de Fourier es

d

dtF(u)(k, t) = −k2F(u)(k, t), F(u)(k, 0) = F(f)(k).

Ası el metodo basicamente es aproximar las EDOs anteriores para cada k y despues invertir latransformada de Fourier, recuperando u.

function [x,u,mx]=heatff(F,N,dt,m,K)

%%%

%Funcion que utiliza un metodo expectral para resolver

%la ecuacion del calor con difusion K en el toro.

%N es el numero de nodos temporales,

%dt es el paso temporal

%m es el numero de iteraciones

%F es una funcion con el dato inicial

%%%

%Rafael Granero Belinchon r(dot)granero(at)icmat.es

x=-pi:2*pi/N:pi*(N-1)/N;

uo=feval(F,x);

for k=1:N/2

L(k)=(k-1)*(k-1);

L(k+N/2)=(N/2-k+1)*(N/2-k+1);

L/(N*N);

end

u(:,1)=uo’;

for l=1:m

u(:,l+1)=ifft(exp(-L*K*dt*l).*fft(uo))’;

19

plot(x,u(:,end));

axis([-pi,pi,-1,1]);

drawnow;

mx(l+1)=max(u(:,l+1));

end

figure;

subplot(1,2,1); plot(x,u);

subplot(1,2,2); plot(mx(2:end))

function [f,x,t,time,mx]=lambda(f0,N,M,T,nu,alpha)

%%%

%Funcion que me aproxima la solucion de la ecuacion

%pat f=-nu*(Lambda)^alpha f en el intervalo de tiempo

%[0,T] con dato inicial f0. N es el numero de nodos espaciales y

%M el de temporales.

%%%

%Rafael Granero Belinchon r(dot)granero(at)icmat.es

tic

dt=T/M;

dx=2*pi/N;

x=-pi:dx:pi;

t=0:dt:T;

U=zeros(N+1,M+1);%la matriz solucion de la edo para las transformadas de f

f=zeros(N+1,M+1);

L=zeros(N+1,1);

mx=max(f0)*ones(1,M+1);

for k=1:(N+1)/2+1

L(k)=(abs((k-1)))^alpha;

end

for k=(N+1)/2+2:N+1

L(k)=abs(N+2-k)^alpha;

end

%L=L/((N+1)^alpha);%el operador Lambda^alpha

U(:,1)=fft(f0’);

f(:,1)=f0’;

for l=1:M-1 %RK4

K1=-nu*L.*U(:,l);

K2=-nu*L.*(U(:,l)+dt*K1/2);

K3=-nu*L.*(U(:,l)+dt*K2/2);

K4=-nu*L.*(U(:,l)+dt*K3);

U(:,l+1)=U(:,l)+dt*(K1/6+K2/3+K3/3+K4/6);

end

%for l=1:M

% U(:,l+1)=U(:,l)+dt*(-nu*L.*U(:,l));%Euler forward

%end

for j=1:M+1

f(:,j)=real(ifft(U(:,j)));%las f

mx(j)=max(f(:,j));

plot(x,f(:,j));

axis([-pi,pi,-1,1]);%Cambiar segun el dato inicial

drawnow;

end

%for l=1:M

% f(:,l+1)=ifft(exp(-nu*L*dt*l).*fft(f0’));%Solucion exacta

% plot(x,f(:,l+1));

% axis([-pi,pi,-1,1]);

% drawnow;

20

% mx(l+1)=max(f(:,l+1));

%end

figure;

subplot(1,2,1);plot(x,f);

subplot(1,2,2);plot(t,mx);

time=toc;

Como F podemos usar el codigo

function uo=F(x)

for j=1:length(x)

if (x(j)>= -pi)&(x(j)<-pi/2);

uo(j)=-(pi+x(j))/pi;

elseif (x(j)>=-pi/2)&(x(j)<pi/2);

uo(j)=x(j)/pi;

else (x(j)>pi/2)&(x(j)<pi);

uo(j)=(pi-x(j))/pi;

end

end

o simplemente

function s=b(x)

s=sin(x);

Por otra parte, presentamos tambien el codigo para simular numericamente la ecuacion

∂tf = − ν

1 + (∂xf)2Λf.

En lugar de simular la ecuacion tal cual, para evitar singularidades dividimos nuestro operador dela siguiente forma:

− 1

1 + ∂xf2Λf = −Λf +

∂xf2

1 + ∂xf2Λf.

Utilizamos un integrador Runge-Kutta de orden 4 para integrar en tiempo, antitransformandopara hacer la multiplicacion en espacio, y luego volver a transformar.

function [f,x,t,Ttot]=babymuskat(f0,T,nu,N,M)

%Funcion que me aproxima la solucion de

%\pat f=-nu*1/(1+paxf^2)\Lambda f con dato

%inicial f0. El tiempo final es T, N es el

%numero de nodos espaciales en el toro.

%M es le numero de nodos temporales.

%%%

%Observacion:nu debe ser mayor que cero

%para tener que es un problema bien

%propuesto.

%%%

%Rafael Granero Belinchon

%r.granero(at)icmat(dot)es

tic

dt=T/M;

dx=2*pi/N;

dxx=2*pi/(N+1);

x=-pi:dx:pi;

t=0:dt:T;

U=zeros(N+1,M+1);%la matriz solucion de la edo para las transformadas de f

21

f=zeros(N+1,M+1);

L=zeros(N+1,1);%el operador lambda

mx=max(abs(f0))*ones(1,M+1); %norma infinito de f

for k=1:(N+1)/2+1

L(k)=(abs((k-1)));

end

for k=(N+1)/2+2:N+1

L(k)=abs(N+2-k);

end

U(:,1)=fft(f0’);

f(:,1)=f0’;

for l=1:M-1 %RK4

K1=-nu*(L.*U(:,l))+nu*fft(((diffper(ifft(U(:,l)),N+1,dxx).^2)./...

(1+diffper(ifft(U(:,l)),N+1,dxx).^2)).*ifft(L.*U(:,l)));

K2=-nu*(L.*(U(:,l))+dt*K1/2)+nu*fft(((diffper(ifft((U(:,l)+dt*K1/2)),N+1,dxx).^2)./...

(1+diffper(ifft((U(:,l)+dt*K1/2)),N+1,dxx).^2)).*ifft(L.*(U(:,l)+dt*K1/2)));

K3=-nu*(L.*(U(:,l))+dt*K2/2)+nu*fft(((diffper(ifft((U(:,l)+dt*K2/2)),N+1,dxx).^2)./...

(1+diffper(ifft((U(:,l)+dt*K2/2)),N+1,dxx).^2)).*ifft(L.*(U(:,l)+dt*K2/2)));

K4=-nu*(L.*(U(:,l))+dt*K3)+nu*fft(((diffper(ifft((U(:,l)+dt*K3)),N+1,dxx).^2)./...

(1+diffper(ifft((U(:,l)+dt*K3)),N+1,dxx).^2)).*ifft(L.*(U(:,l)+dt*K3)));

U(:,l+1)=U(:,l)+dt*(K1/6+K2/3+K3/3+K4/6);

end

for j=1:M+1

f(:,j)=real(ifft(U(:,j)));%las f

mx(j)=max(f(:,j));

plot(x,f(:,j));

axis([-pi,pi,-1,1]);%Cambiar segun el dato inicial

drawnow;

end

figure;

subplot(1,2,1);plot(x,f);

subplot(1,2,2);plot(t,mx);

Ttot=toc;

function [ux]=diffper(u,N,dx)

%Funcion que me calcula la primera derivada espacial por medio

%de diferencias finitas para una funcion 2pi-periodica con N nodos

%espaciales. dx=2pi/N.

for i=1:N-1

ux(i)=(u(i+1)-u(i))/(dx);

end

ux(end+1)=(u(1)-u(N))/(dx);

ux=ux’;

Referencias

[Ad] Adams, D.R. y Hedberg, L.I., Function spaces and potential theory, Springer, 1996.

[B] H. Brezis, Analisis funcional, teorıa y aplicaciones, Alianza editorial, 1984.

[CH] Courant, R. y Hilbert, D. Methods of mathematical physics, vol 1., John Wiley &Sons.

[CK] Capinski, M. y Kopp, P.E. Measure, integral and probability, Springer Verlag.

22

[DG] Doering, C.R. y Gibbon, J.D. Applied Analysis of the Navier-Stokes Equations, Cam-bridge text in applied mathematics.

[Duo] Duoandikoetxea, J. y Cruz-Uribe, D. Fourier analysis, American Mathematical So-ciety Providence, RI, USA, 2001.

[E] A.Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, ed. por R.Forth,Dover, 1956.

[Ev] L.C.Evans, Stochastic Differential Equations, http://math.berkeley.edu/evans.

[Ev-08] L.C.Evans, Partial Diferential Equations, AMS, 2008.

[GT] D.Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order,Springer-Verlag, 1970.

[K] Kreyszig, E. Introductory functional analysis with applications., John Wiley & Sons.

[LSU] O. Ladyzenskaya, V.Solonnikov, N.Uralceva, Linear an quasilinear equations ofparabolic type, American Mathematical Society, 1968.

[Ma] Majda, A.J y Bertozzi, A.L, Vorticity and incompressible flow, Cambridge Texts inApplied Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

[Mo] Mora, X. ’The Navier-Stokes equations. A challenge to newtonian determinism’, Bol. Soc.Esp. Mat. Apl. 43 (2008).

[Pe] Peral,I. Primer curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales.

[St] Stein, E. M. Singular integrals and differentiability properties of functions, PrincetonUniversity Press, 1970.

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