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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR Parte 1. Lista de Conceptos del libro base 1. CAPÍTULO V-FORMAS CUADRÁTICAS 1.1. Lección 10: Formas lineales, bilineales y cuadráticas. En tér- minos clásicos un polinomio φ (x 1 ,...,x r ) en las variables x 1 ,...,x r y con coeficientes en un cuerpo K es decir, φ K [x 1 ,...,x r ] se dice que es una forma de grado p si todos los elementos de φ tienen grado p respecto al conjunto de las variables. A las formas de primer grado se las llama for- mas lineales, a las de segundo grado cuadráticas, a las de tercero cúbicas, etc. Una forma de grado define, por sustitución una aplicación de V r (K) en K V r (K) 3 x 1 . . . x r 7φ (x 1 ,...,x r ) K La abstracción de las propiedades de estas aplicaciones permite definir las formas de grado p en particular lineales y cuadráticas como aplicaciones de un espacio vectorial sobre K en K. Supondremos en toda la lección que K es un cuerpo conmutativo con característica distinta de dos y que V es un espacio vectorial sobre K. 1.1.1. Espacio dual. Una forma lineal de V r (K) es una aplicación: V r (K) 3 x 1 . . . x r α 1 x 1 + ··· + ··· α r x r K Por tanto, el concepto de forma lineal de V r (K) coincide con el de aplica- ción lineal de V r (K) en V 1 (K). Definición 1. Forma lineal Una forma lineal de V es una aplicación lineal de V en V 1 (K). 1

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C

XAVIER AZNAR

Parte 1. Lista de Conceptos del libro base

1. CAPÍTULO V - FORMAS CUADRÁTICAS

1.1. Lección 10: Formas lineales, bilineales y cuadráticas. En tér-

minos clásicos un polinomio φ (x1, . . . , xr) en las variables x1, . . . , xr y con

coeficientes en un cuerpo K es decir, φ ∈ K [x1, . . . , xr] se dice que es una

forma de grado p si todos los elementos de φ tienen grado p respecto al

conjunto de las variables. A las formas de primer grado se las llama for-

mas lineales, a las de segundo grado cuadráticas, a las de tercero cúbicas,

etc.

Una forma de grado p φ define, por sustitución una aplicación de Vr (K) en

K

Vr (K) 3

x1

...

xr

7→ φ (x1, . . . , xr) ∈ K

La abstracción de las propiedades de estas aplicaciones permite definir las

formas de grado p en particular lineales y cuadráticas como aplicaciones

de un espacio vectorial sobre K en K. Supondremos en toda la lección que

K es un cuerpo conmutativo con característica distinta de dos y que V es

un espacio vectorial sobre K.

1.1.1. Espacio dual. Una forma lineal de Vr (K) es una aplicación:

Vr (K) 3

x1

...

xr

→ α1x1 + · · ·+ · · ·αrxr ∈ K

Por tanto, el concepto de forma lineal de Vr (K) coincide con el de aplica-

ción lineal de Vr (K) en V1 (K).

Definición 1. Forma lineal Una forma lineal de V es una aplicación lineal

de V en V1 (K).1

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Proposición 2. El conjunto de todas las formas lineales de un espacio vec-torial V tiene estructura de espacio vectorial.

Definición 3. Espacio dual Se denomina espacio dual de V al espacio

vectorial de las formas lineales de V y se denota por V ∗.

Observación 4. Si v ∈ V y x ∈ V ∗ se denotará indistintamente a x (v)

por (x|v) o (v|x). En general, la expresión (a|b) significa que uno de los

elementos a o b pertenece a V y el otro a V ∗ y se evalúa la forma sobre el

vector.

Proposición 5.

1. (a|b) = (b|a)

2. (λa+ µb|c) = λ (a|c) + µ (b|c)3. Supongamos que V tiene dimensión finita n. Si (a|b) = 0 para todo b,

entonces a = 0.

Definición 6. Bases duales Sea V un espacio vectorial de dimensión n.

Dos bases (a1, . . . , an) y (b1, . . . , bn) (una de V y otra de V ∗) se denominan

duales si:

(ai|bj) =

0 i 6= j

1 i = j

Hay que notar que dimV = dimV ∗.

Proposición 7. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n. Si (a1, . . . , an)

es una base de V (o de V ∗ ), existe una única base (b1, . . . , bn) de V ∗ dual dela primera y que verifica para todo a ∈ 〈a1, . . . , an〉 la igualdad:

a = (a|b1) a1 + · · ·+ (a|bn) an

Corolario 8. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y ε = (e1, . . . en)

una base de V . Si ε∗ = (e∗1, . . . , e∗n) es la base dual de ε entonces la aplica-

ción:

x : V 3 v →

(e∗1|v)

...(e∗n|v)

∈ Vn (K)

es el sistema de coordenadas respecto a la base ε.

Definición 9. Ortogonalidad

Sea S un subconjunto del espacio vectorial V (o V ∗). Se llama ortogonalde S, Sω al conjunto de todos los elementos a ∈ V ∗ tales que (a|s) = 0 para

todo elemento s ∈ S.

Propiedades de los subconjuntos ortogonales (L10 prop 1.11 LB p55).2

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1.2. Formas bilineales y cuadráticas. Las formas bilineales nacen al

estudiar polinomios en dos sistemas de variables: x1, . . . xr e y1, . . . , yr. Un

polinomio se llama forma si es homogéneo respecto a cada uno de los

sistemas de variables por separado. Son de nuestro interés las formas

lineales respecto a cad uno de los sistemas de veriables. Estas formas se

llaman bilineales. Las formas bilineales dan lugar a formas cuadráticas

identificando los dos sistemas de variables.

Una forma bilineal Φ define por sustitución una aplicación:

Vr (K)× Vr (K) 3

x1

...

xr

,

y1

...

yr

→ Φ (x1, . . . , xr, y1, . . . , yr) ∈ K

Análogamente al caso de las formas lineales la abstracción de las propie-

dades de esta aplicación permite definir el concepto de forma bilineal en

un espacio vectorial arbitrario.

Forma bilineal (def2.1LBp58). Homomorfismo asociado por la izquierda/derecha

a Φ (def2.3LBp59). Forma bilineal simétrica (def2.5LBp59).

En la introducción del parágrafo observamos que con el concepto de for-

mas bilineales como polinomios en dos sistemas de variables, al identificar

ambos sistemas el resultado era una forma cuadrática. Este hecho nos va

a servir para definir forma cuadrática de un espacio vectorial general.

Si Φ es una forma bilineal de V , podemos construir la aplicación:

q : V 3 v → q (v) = Φ (v, v) ∈ K

y esta aplicación responde a nuestra idea a priori de forma cuadrática. Es

inmediato comprobar que q verifica las dos propiedades siguientes:

1. q (λv) = λ2q (v) para λ ∈ K y v ∈ V .

2. Φ (v1, v2) = 12 (q (v1 + v2)− q (v1)− q (v2)) para v1, v2 ∈ V , si Φ es simé-

trica.

La propiedad (2) permite la reconstrucción de la forma bilineal Φ a partir

de q. Gracias a estas dos propiedades podemos definir forma cuadrática

sin una forma bilineal previa:

Definición 10. Forma cuadrática Una forma cuadrática q de un espa-

cio vectorial V sobre K (cuerpo de característica distinta de dos) es una

aplicación q : V 7→ K que verifica:

1. Para todo v ∈ V, λ ∈ K, q (λv) = λ2q (v).3

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2. La aplicación

Q : V × V ∈ (v1, v2) 7→ 1

2(q (v1 + v2)− q (v1)− q (v2))

es una forma bilineal (simétrica).

La forma bilineal Q se denomina polar de q.

En el caso de formas bilineales y cuadráticas definidas en espacios vecto-

riales de dimensión finita, los métodos de geometría analítica vectorial nos

permiten asociar cada una de dichas formas a una matriz.

Proposición 11. Expresiones analíticas Sea V un espacio vectorial dedimensión finita sobre K y ε = (e1, . . . , en) una base de V cuyo sistema decoordenadas asociado es x : V 7→ Vn (K). Si Φ : V × V 7→ K es una formabilineal denotaremos Mε (Φ) a la matriz de EL (n,K) cuyo elemento en lafila i-ésima y la columna j-ésima es de Φ (ei, ej). Entonces, si v1, v2 ∈ V severifica:

Φ (v1, v2) = x (v1)tMε (Φ)x (v2)

La matriz Mε (Φ) se denomina matriz de la forma bilineal Φ respecto ala base ε .

Si q : V 7→ K es una forma cuadrática cuya forma polar es Q, se designaMε (q) a la matriz Mε (Q). Si v ∈ V se verifica

q (v) = x (v1)tMε (q)x (v)

La matriz Mε (q) se llama matriz de la forma cuadrática q respecto ala base ε.

Corolario 12. Si Φ es una forma bilineal definida sobre un espacio vectorialV de dimensión finita y ε es una base de V , Φ es simétrica si y sólo si Mε (Φ)

es simétrica.

Proposición 13. Sean ε y ε′ dos bases del espacio vectorial de dimensiónfinita V y sea P la matriz de cambio de base ε′ = εP . Si Φ es una formabilineal de V , entonces:

Mε′ (Φ) = P tMε (Φ)P

Análogamente, si q es una forma cuadrática de V , entonces

Mε′ (q) = P tMε (q)P

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Observación 14. Como consecuencia de la proposición 13 dos matrices

A,B ∈ EL (n,K) de una forma bilineal respecto a dos bases distintas veri-

fican la siguiente relación:

A = P tBP con P ∈ GL (n,K)

Dos matrices así relacionadas se dice que son congruentes..

La proposición 15 establece la relación entre la matriz de una forma bili-

neal Mε (Φ) y las de los homomorfismos Φi y Φd:

Proposición 15. Sea Φ una forma bilineal en V , espacio vectorial de di-mensión finita. Si ε es una base de V y ε∗ es su dual, entonces:

Mε (Φ) = Mε,ε′ (Φd) = [Mε,ε∗ (Φi)]t

Una vez se ha obtenido la relación entre matrices y formas bilineales y

cuadráticas se pueden definir algunos conceptos interesantes.

Definición 16. Rango Sea Φ una forma bilineal definida en un espacio

vectorial V de dimensión finita. Se llama rango de Φ al rango de la matriz

de Φ respecto a cualquier base de V .

Definición 17. Forma bilineal no degenerada Sea Φ una forma bilineal

sobre V , espacio vectorial de dimensión finita. Decimos que Φ es no dege-nerada si, para cada v ∈ V que verifique la condición:

Φ (v, v′) = 0 ∀v′ ∈ V

se tiene que v = 0.

Proposición 18. Sea Φ una forma bilineal en V , espacio vectorial de di-mensión n. Entonces Φ es no degenerada si y sólo si el rango de Φ es n (oequivalentemente, cualquier matriz de Φ tiene determinante no nulo).

1.3. Lección 11: Ortogonalidad y clasificación de formas cuadráti-cas. El hecho de considerar una forma cuadrática q en un espacio vecto-

rial V permite la definición de una nueva geometría: aquella cuyo grupo

de transformaciones deja invariante la forma cuadrática. Esta invarianza

enriquece la geometría vectorial con la propiedad clásica de perpendicula-

ridad u ortogonalidad.

Diremos que dos vectores v1, v2 de V son ortogonales respecto a q si Q (v1, v2) =

0 siendo Q la forma bilineal polar de q. De forma natural se extiende la de-

finición de subespacios y subconjuntos ortogonales.5

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Como consecuencia del estudio de la ortogonalidad se establecen criterios

prácticos para determinar si dos formas cuadráticas admiten la misma

expresión analítica. El problema se resuelve completamente cuando el es-

pacio vectorial está definido sobre los cuerpos C o R.

1.3.1. Espacios vectoriales métricos.

Definición 19. Espacio vectorial métrico y producto escalar. Un espa-

cio vectorial métrico es un par E = (V, q) donde V es un espacio vectorial

y q es una forma cuadrática en V . La forma Q polar de q, se denomina

producto escalar de E.

Observación 20. Usualmente identificaremos E con V y escribiremos por

abuso de notación E = (E, q). El producto escalar de dos vectores v, w ∈ Ese denotará por (v|w), es decir, Q (v, w) = (v|w).

Observación 21. El producto escalar es una forma bilineal simétrica.

Definición 22. Rango y Radical. Sea E = (E, q) un espacio vectorial mé-

trico.

1. Diremos que E es no singular si q es no degenerada.

2. Llamaremos rango de E al rango de q.

3. Se llama radical de E al conjunto:

radE = {v ∈ E} | (v|w) = 0 ∀w ∈ E

Proposición 23. Si E = (E, q) es un espacio vectorial métrico, radE = kerQi

Ejemplo 24. Si n, r y s son enteros no negativos y r + s ≤ n se denota por

Enr,s o bien Enr,s (K) al espacio vectorial métrioco formado por Vn (K) con la

forma cuadrática:

q : Vn (K) 3

x1

...

xn

7→ x21 + · · ·+ x2

r − x2r+1 − · · · − x2

r+s ∈ K

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La matriz de q respecto a la canónica (I1, . . . In) de Vn (K) es

1

. . .r)

0 0

1

−1

0. . .

s)

0

−1

0

0 0. . .

0

Por lo tanto, el rango de Enr,s es r + s y radEnr,s=〈Ir+s+1, . . . , In〉.

Si n = r + s se denota Enr,s = Er,s y En,0 = En.

Si K = R a En se le denomina modelo analítico de espacio vectorialeuclídeo y a E0,n espacio vectorial euclídeo negativo de dimensión n.

Todos los espacios vectoriales vectoriales métricos Er,s son no singulares.

Nótese que un espacio singular puede contener subespacios de modo que

al restringir el producto escalar se obtengan espacios no singulares. Re-

cíprocamente un espacio no singular puede contener subespacios que al

restringir la forma cuadrática dan lugar a espacios vectoriales métricos

singulares.

Definición 25. Ortogonalidad Sea E un espacio vectorial métrico. Dos

vectores v, w se dice que son ortogonales si (v|w) = 0 y se escribe v ⊥ w.

Si A y b son subconjuntos de E, se dice que A es ortogonal a B (o que son

ortogonales), A ⊥ B, si para cada par (a|b) ∈ A×B se verifica que a ⊥ b. Si A

es un subconjunto de E, se llama subespacio ortogonal de A al conjunto

A⊥ = {v ∈ E | (v|a) = 0 ∀a ∈ A}.

Propiedades de la ortogonalidad (prop1.1LBp7), etc...

1.3.2. Bases ortogonales. Descomposición ortogonal (def2.1LB(p11)).

Definición 26. Base ortogonal Sea E un espacio vectorial métrico. Di-

remos que una base ε = {e1, . . . , en} de E es ortogonal si para cada par

{i, j} ∈ {1, . . . , n} con i 6= j se verifica (ei|ej) = 0.

Proposición 27. Sea E un espacio vectorial métrico de dimensión finita.Existe una base ortogonal de E.

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Observación 28. La matriz de q respecto a una base ortogonal es diagonal.

La proposición 27 en la página anterior asigura que la matriz de una forma

cuadrática se puede reducir a una forma diagonal mediante un cambio de

base. Tradicionalmente este hecho se expresa diciendo que toda forma

cuadrática puede reducirse a una suma de cuadrados. Sea ε es una base

ortogonal del espacio vectorial métrico (E, q). Si v ∈ E y las coordenadas de

v a ε son x1

...

xn

⇒ q (v) = λ1x1 + · · ·+ λnx2n

donde {λ1, . . . , λn} ⊂ K.

En el caso particular de ser E un espacio vectorial sobre R o sobre C se

puede conseguir que el valor de los números λi sea 1,−1 o 0. Es decir,

existe una base ε de E de modo que en coordenadas respecto a ε se tiene

q (v) = x21 + · · ·+ x2

k − x2k+1 − · · · − x2

k+l

Si el cuerpo es C aún se pueden reducir los valores de los coeficientes a 1

o 0.

Si x : E 7→ Vn (K) es el sistema de coordenadas respecto a ε y Enk,l =

(Vn (K) , q′), entonces

q (v1, v2) = q′ (x (v1) , x (v2)) ∀v1, v2 ∈ E

Esta propiedad permite el estudio de los espacios vectoriales métricos so-

bre R o C mediante los modelos analíticos Enk,l .

Corolario 29. Sea E un espacio vectorial métrico de dimensión finita sobreel cuerpo K.

1. Si K = C existe una base ortogonal

ε = {e1, . . . , er, er+1, . . . , en}

tal que

(ei|ej) = 1 i = 1, . . . , r

(ei|ej) = 0 i = r + 1, . . . , n

siendo r el rango de E.

a) Si K = R existe una base ortogonal

ε ={e+

1 , . . . , e+k , e−1, . . . , e−l , e

01, . . . , e

0m

}8

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tal que (e+i |e

+j

)= 1 i = 1, . . . , k(

e−i |e−j

)= −1 i = 1, . . . , l(

e0i |e0

j

)= 0 i = 1, . . . ,m

donde k + l es el rango de E.

Proposición 30. Teorema de Silvester o Ley de Inercia Sea E un espaciovectorial métrico sobre R de rango r y ε = {e1, . . . , en} , ε′ = {e′1, . . . , e′n} sondos bases ortogonales de E ordenadas de modo que:

(ei|ei) > 0 i = 1, . . . , k (e′i|e′i) > 0 i = 1, . . . , k′

(ei|ei) < 0 i = k + 1, . . . , n− r (e′i|e′i) < 0 i = k′ + 1, . . . , n− r

Entonces, k = k′.

Observación 31. El Teorema de Silvester lo que dice es que si expresamos

los términos de la forma analítica de una forma cuadrática, el número de

términos positivos y negativos es independiente de la base seleccionada.

Esto es importante porque permite clasificar las formas cuadráticas en

espacios vectoriales reales.

Definición 32. Sea (E, q) un espacio vectorial métrico sobre R y sea ε =

(e1, . . . , ek, ek+1, . . . , ek+l, ek+l+1, . . . , en) una base ortogonal de E tal que:

(ei|ei) > 0 si 1 ≤ i ≤ k

(ei|ei) < 0 si k + 1 ≤ i ≤ k + l

(ei|ei) > 0 si k + l + 1 ≤ i ≤ n

El par (k, l) se denomina signatura o índices de inercia del espacio métrico

o simplemente, de la forma cuadrática q .

El número k se denomina índice de positividad y el número l número denegatividad.

Definición 33. Base ortonormal Una base ortogonal ε = (e1, . . . , en) de un

espacio vectorial métrico E se dice que es una base ortonormal si (ei|ei) = 1

para 1 ≤ i ≤ n.

Proposición 34. Sea E un espacio vectorial métrico de dimensión finitasobre K.

1. Si K = C, E admite una base ortonormal si y sólo si el rango y ladimensión coinciden.

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2. Si K = R, E admite una base ortonormal si y sólo si la signatura deE es (dimE, 0).

Definición 35. Formas cuadráticas definidas

Si Enk,l (R) = (Vn (R) , q) se tiene:

si (k, l) = (n, 0), q es definida positiva.

si (k, l) = (0, n), q es definida negativa.

si (k, l) = (k, 0), q es semidefinida positiva.

si (k, l) = (0, l), q es semidefinida negativa.

Proposición 36. Sea (E, q) un espacio vectorial métrico de dimensión n so-bre R con signatura (k, l)

1. q es definida positiva (negativa) si y sólo si k = n (l = n).2. q es semidefinida positiva (negativa) si y sólo si l = 0 (k = 0).

1.3.3. Clasificación lineal de las formas cuadráticas. El problema de la

clasificación de formas cuadráticas surge de la necesidad de establecer

exactamente la relación entre polinomios homogéneos de segundo grado y

las formas cuadráticas. Existen formas cuadráticas distintas que admiten

expresiones polinómicas idénticas, claramente las expresiones polinómi-

cas tienen como variables las coordenadas respecto a bases diferentes.

Este hecho da lugar al establecimiento de una relación de equivalencia

entre formas cuadráticas y al problema de la clasificación.

El primer paso es definir una actuación de GL (V ) sobre el conjunto de

formas cuadráticas de V , de modo que la relación de equivalencia a la que

da lugar verifique que si dos formas son equivalentes admitan expresiones

analíticas iguales y viceversa.

Equivalencia de formas cuadráticas (def3.2LB(p21)).

Proposición 37. Dos formas cuadráticas q, q′ ∈ Q (V ) son linealmente equi-valentes si y sólo si existen ε y ε′ bases de V tales que Mε (q) = Mε′ (q

′).

La proposición 37 nos indica que para resolver el problema de clasificación

de formas cuadráticas tendremos que encontrar expresiones matriciales

lo más sencillas posibles para cada clase de equivalencia. Gracias a las

bases ortogonales, toda forma cuadrática admite una expresión matricial

diagonal.

Proposición 38. Diagonalización Sea q ∈ Q (V ). Existe una base ε de Vtal que Mε (q) es diagonal.

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Proposición 39. Equivalencia lineal de formas cuadráticas en C.

Sea V un espacio vectorial sobre C y q1, q2 ∈ Q (V ). Las formas cuadráticasq1 y q2 son linealmente equivalentes si y sólo si el rango de q1 es igual alrango de q2.

Ejemplo 40. Discriminante Llamamos discriminante de q al signo deldeterminante de la matriz q con respecto a cualquier base de V . El discri-minante es un invariante para la clasificación de formas cuadráticas enespacios vectoriales sobre R.

Proposición 41. Equivalencia lineal de formas cuadráticas en R.SeaV un espacio vectorial sobre R y q1, q2 ∈ Q (V ). Las formas cuadráticas q1 yq2 son linealmente equivalentes si y sólo si la signatura de q1 es igual a lasignatura de q2.

Proposición 42. Método de Gauss o Lagrange Sea q una forma cuadrá-tica definida en un espacio vectorial V de dimensión n sobre el cuerpo Kde característica distinta de dos, sea v ∈ V y sea q (v)) = f (x1, . . . , xn) =∑

1≤i≤j≤n aijxixj una expresión polinómica de q respecto a una base de V .Mediante la repetición un número finito de veces de las dos operaciones quevamos a describir a continuación, se consigue una expresión polinómica deq como suma y/o diferencia de cuadrados:

1. Caso en que existe i ∈ {1, . . . , n} tal que aii 6= 0 . (Supongamos quea11 6= 0)

f (x1, . . . , xn) = a11

(x2

1 +

n∑i=2

a1i

a11x1xi

)+ f2 (x2, . . . , xn)

llamando

x′1 = x1 +

n∑i=1

a1i

2a11xi

tenemos

f (x1, . . . , xn) = a11x′12 + f ′2 (x2, . . . , xn)

y se continúa el proceso con f ′2 (x2, . . . , xn).2. Caso en que para todo i = 1, . . . , n, aii = 0. Si todos los aij = 0 son

nulos el proceso finaliza. Supongamos que algún aij 6= 0 (tomamos11

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a12 6= 0 para facilitar la escritura)

f (x1, . . . , xn) = a12x1x2 +

(n∑i=3

a1ixi

)x1 +

+

(n∑i=3

a2ixi

)x2 +

∑3≤i≤j<n

aijxixj = x1 (x1 + x′2) +

+a−112

(∑i=3

a2ixi

)(x1 + x′2 −

n∑i=3

a1ixi

)+

∑3≤i≤j<n

aijxixj

donde

x′2 = a12x2 +

n∑i=3

a1ixi − x1

Ahora se puede aplicar la operación 1) pues el coeficiente de x21 es no

nulo.

1.3.4. Grupos ortogonales. Dados dos espacios vectoriales métricos (E, q),(E′, q′) la existencia de un isomorfismo f : E 7→ E′ tal que q = q′ · f redu-

ce el estudio de (E, q) al de (E′, q′) y recíprocamente. Así, por ejemplo, si

U1, U2 ∈ L (E) , U1 ⊥ U2 si y sólo si f (U1) ⊥ f (U2) . Un isomorfismo co-

mo f se denomina isometría. Las isometrías de un espacio vectorial en sí

mismo son de especial importancia, pues forman un grupo de GL (E) que

se denomina grupo ortogonal O (E, q) y que define una subgeometría de la

geometría vectorial de E.

Definición 43. Isometría Sean (E, q) y (E′, q′) dos espacios vectoriales

métricos, un isomorfismo f : E 7→ E′ diremos que es isometría si q = q′ · f .

Otra forma equivalente de definir isometrías viene dada por el efecto sobre

los productos escalares de los espacios vectoriales métricos.

Proposición 44. Dados dos espacios vectoriales métricos (E, q) y (E,′ q′),un isomorfismo f : E 7→ E′ es una isometría si y sólo si para cada v1, v2 ∈ E,Q (v1, v2) = Q′ (f (v1) , f (v2)).

Otra caracterización de las isometrías es:

Proposición 45. Sean (E, q) y (E′, q′) dos espacios vectoriales métricos. Unisomorfismo f : E 7→ E′ es una isometría si y sólo si existe una base ε =

(e1, . . . , en) de E tal que Q (ei, ej) = Q′ (f (ei) , f (ej)) para cada i, j ∈ {1, . . . , n}.

Algunas propiedades de las isometrías están descritas en la proposición:

Proposición 46. Sean (E, q) , (E′, q′) y (E′′, q′′) espacios vectoriales métricos:12

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

1. Si f : E 7→ E′ y f ′ : E′ 7→ E′′ son dos isometrías, entonces f ′ · f estambién una isometría.

2. Si f : E 7→ E′ es una isometría, entonces f−1 : E′ 7→ E es también unaisometría.

La proposición 46 permite la definición de grupos ortogonales al conside-

rar las isometrías de un espacio vectorial métrico en sí mismo y establecer

una relación de equivalencia en el conjunto de los espacios vectoriales

métricos.

Definición 47. Grupo ortogonal Dado (E, q) espacio vectorial métrico, el

grupo O (E, q) formado por las isometrías de (E, q) en sí mismo con la ope-

ración composición se denomina grupo ortogonal del espacio vectorialmétrico (E, q).

Definición 48. Grupos vectoriales isométricos Dos espacios vectoriales

métricos (E, q) , (E′, q′) son isométricos si existe una isometría f : E 7→ E′.

La relación ser isométrico a es de equivalencia a causa de la proposición 46

y su importancia radica en que las propiedades geométricas de (E, O (E, q))pueden traducirse a propiedades geométricas para otro espacio vectorial

métrico isométrico. La relación de equivalencia anterior clasifica los es-

pacios vectoriales métricos y en el caso de espacios vectoriales métricos

sobre los cuerpos R o C gracias a la clasificación lineal de formas cua-

dráticas de dichos espacios, podemos describir un sistema completo de

invariantes para la clasificación por isometrías:

Proposición 49.

1. Dos espacios vectoriales métricos sobre C son isométricos si y sólo sitienen el mismo rango.

2. Dos espacios vectoriales métricos sobre R son isométricos si y sólo sitienen la misma signatura.

Definición 50. Simetría ortogonal Dado un espacio vectorial métrico

(E, q) diremos que una simetría vectorial σ : E 7→ E con base B y dirección

D es una simetría ortogonal si B es ortogonal a D. Si además, la base B

es un hiperplano diremos que σ es una simetría hiperplano.

Proposición 51. Sea (E, q) un espacio vectorial métrico, una simetría vec-torial σ : E 7→ E es una isometría si y sólo si es una simetría ortogonal.

13

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Observación 52. Si σ es una simetría vectorial de un espacio vectorial mé-

trico (E, q) no singular con base B, entonces σ tiene por dirección D = B⊥.

Por ser σ simetría ortogonal D ⊂ B⊥ y por ser (E, q) no singular, dimB⊥ =

dimE− dimB = dimD .

1.4. Lección 12: Geometría vectorial euclídea. Un espacio vectorial

euclídeo E es un espacio vectorial métrico real en el que el producto escalar

está inducido por una forma cuadrática definida positiva.

El grupo de isometrías de E, O (E) se denomina grupo ortogonal euclídeo

y es el grupo de transformaciones de la geometría vectorial euclídea. La

clasificación en esta geometría de las transformaciones lineales euclídeas

y la obtención de un sistema generador sencillo para O (E) constituyen los

objetivos principales de la lección.

1.4.1. Preliminares. El Criterio de Silvester es un criterio práctico para

reconocer cuándo una forma cuadrática real es definida positiva.

Proposición 53. Criterio de Silvester Sea V espacio vectorial real dedimensión finita n, q una forma cuadrática en V y A = (aij) la matriz (si-métrica) que representa a q respecto a la base ε = (e1, . . . , en). Entonces severifica la equivalencia:

q es definida positiva ⇐⇒ det

a11 · · · a1k

......

ak1 · · · akk

> 0

Para todo k = 1, . . . , n.

Definición 54. Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial mé-trico real E = (E, q) en el que la forma cuadrática q es definida positiva.

Al producto escalar:

q : E× E 3 (u, v) 7→ (u|v) ∈ R

se le denomina producto escalar euclídeo de E.Si v ∈ E se escribe ‖v‖ =

√(v|v) y la aplicación:

‖ ‖ : E 3 v 7→ ‖v‖ ∈ R+ ∪ {0}

se le denomina norma (euclídea) de E.

Observación 55.14

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

1. En las condiciones de la definición anterior se verifica que:

q = ‖ ‖2

La expresión de la forma polar Q de q dada en la definición 10 de la

sección 1.1 se puede escribir ahora como:

(u|v) =1

2

(‖u+ v‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2

)2. Un espacio vectorial euclídeo puede definirse también como un es-

pacio vectorial real E en el que se ha definido una forma bilineal

simétrica (producto escalar euclídeo) tal que:

(v|v) > 0 ∀v ∈ E

(u|u) = 0⇒ u = 0

En particular, E es un espacio vectorial métrico no degenerado.

3. Un espacio vectorial F del espacio vectorial euclídeo E tiene estruc-

tura natural de espacio euclídeo, si se considera en F el producto

escalar restringido:

F × F 3 (u, v) 7→ (u|v) ∈ R

La norma en F es evidentemente la restricción de F de la norma de

E.

Proposición 56. Desigualdad de Cauchy-Swartz Para todo par de vecto-

res u, v del espacio vectorial euclídeo E se verifica la desigualdad

(1.1) (u|v)2 ≤ (u|u) (v|v)

Además se verifica la igualdad

(1.2) (u|v)2

= (u|u) (v|v)

si y sólo si el sistema (u, v) es linealmente dependiente.

Corolario 57. La norma ‖ ‖ de un espacio vectorial euclídeo E verifica lassiguiente propiedades:

1. ‖v‖ ≥ 0 ∀v ∈ E2. ‖v‖ = 0 ⇐⇒ v = 0.3. ‖λv‖ = |λ| ‖v‖ para todo v ∈ E y todo λ ∈ R.4. Para todo u, v ∈ E se verifica ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.

15

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Observación 58. Forma alternativa de la desigualdad de Cauchy-Swartz

para dos vectores u, v ∈ E:

−1 ≤ (u|v)

‖u‖ ‖v‖≤ 1

Se define entonces el ángulo (no orientado) θ entre los vectores u, v como

el único número θ que verifica

0 ≤ θ ≤ π

cos θ =(u|v)

‖u‖ ‖v‖

De esta forma se recupera la igualdad clásica

(u|v) = ‖u‖ ‖v‖ cos θ

En particular, cuando θ = 12π se tiene que (u|v) = 0 y u es ortogonal a v (y

escribimos u ⊥ v).

Dados dos vectores u, v ∈ E, u 6= 0 existe un único λ ∈ R tal que

(v − λu|u) = 0

ya que

(v − λu|u) = (v|u)− λ (u|u) = 0⇒ λ =(v|u)

(u|u)

Definición 59. Proyección ortogonal Si u, v ∈ E, u 6= 0 se denomina pro-

yección de v sobre u al vector:

proy (v) =(v|u)

(u|u)u

Nótese que proy (v) es el único vector w proporcional a u tal que (v − w) ⊥ uy sólo depende de la recta vectorial 〈u〉.

La existencia de bases ortogonales para un espacio vectorial métrico cual-

quiera ya ha sido probada. En el caso euclídeo, puede refinarse el re-

sultado y pueden construirse bases ortogonales bajo ciertas exigencias

adicionales:

Proposición 60. Método de ortogonalización de Schmitd Sea E un es-pacio vectorial euclídeo y (v1, . . . , vn) una base cualquiera de E. Existe en-tonces una base ortogonal (u1, . . . , un) tal que

(1.3) 〈u1, . . . , uk〉 = 〈v1, . . . , vk〉 ∀k = 1, . . . , n

16

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Proposición 61. Sea (e1, . . . , en) una base ortonormal y

x =

x1

...xn

: E 7→ Vn (R)

el isomorfismo de coordenadas. Entonces, para cada u, v ∈ E se verifica:

(1.4) proyei (u) = xi (u) = (u|ei) ∀i = 1, . . . , n

(1.5) (u|v) =

n∑i=1

xi (u)xi (v)

En particular se tienen las identidades de Parseval:

u =

n∑i=1

(u|ei) ei(1.6)

(u|v) =∑i=1

(u|ei) (v|ei)(1.7)

1.4.2. Transformaciones lineales euclídeas. Teorema de Cartan-Dieudonne.Suponemos fijado un espacio vectorial euclídeo E de dimensión finita n. El

grupo de isometrías de E lo llamaremos grupo de transformaciones linea-

les euclídeas y define la geomtría vectorial euclídea del espacio. En parti-

cular, el grupo de transformaciones lineales euclídeas del modelo analítico

En se identifica con el grupo de matrices

O (n) ={A ∈ EL (n) |AtA = id

}que denominamos matrices ortogonales euclídeas o más simplemente ma-

trices euclídeas.

En una geometría cualquiera, tiene interés encontrar sistemas generado-

res sencillos para el grupo de transformaciones. Así, para verificar si una

propiedad es geométrica, es suficiente comprobar que permanece inva-

riante por la acción del sistema de generadores.

Probaremos que una transformación lineal euclídea cualquiera puede des-

componerse en productos de simetrías ortogonales respecto a hiperplanos.

Prop2.1LB89. Prop2.2Lbp90. Lema de extensión (Lema2.3LBp90).

Lema. 2.4 Sean a, b dos vectores distintos de E tales que ‖a‖ = ‖b‖ 6= 0.

Existe entonces una simetría hiperplano σ de E que verifica σ (a) = b .17

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Proposición 62. Teorema de Cartan-Dieudonné: Cada transformaciónlineal euclídea de E puede descomponerse en un producto de no más den (= dimE) simetrías hiperplano.

Observación 63. Rotaciones y reflexiones Una matriz ortogonal euclídea

A ∈ O (n) verifica AtA = id. Tomando determinantes en ambos miembros,

se ve que:

(detA)2

= 1⇒ detA = ±1

Para una transformación lineal euclídea en E se tiene que

det f = ±1

ya que f se representa por una matriz euclídea respecto a una base orto-

normal.

El conjunto O+ (E) de transformaciones euclídeas con determinante +1

constituye un subgrupo de O (E) denominado grupo de rotaciones.

Se denomina reflexión a una transformación lineal euclídea f con deter-

minante −1.

El conjunto O− (E) de reflexiones no constituye un subgrupo de O (E),

pues debido a las propiedaes de la función determinante se verifica la

clásica regla de los signos para determinar el caracter del producto de dos

transformaciones.

Las simetrías hiperplano son siempre reflexiones, pues su representación

matricial reducida es de la forma:

J =

−1 0 · · · 0

0 1 0...

. . . 0

0 0 0 1

det J = −1

Por tanto, los productos de un número par de simetrías hiperplano dan

lugar a las rotaciones, y en número impar, a las reflexiones.

1.4.3. Clasificación métrica de las transformaciones lineales euclídeas. El

grupo ortogonal O (E) del espacio vectorial euclídeo E actúa sobre sí mismo

por conjugación

O (E)×O (E) 3 (g, f) 7→ g · f · g−1 ∈ O (E)

dando lugar a una relación de equivalencia.

Definición 64. Equivalencia métrica18

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Dos transformaciones lineales euclídeas f y f ′ de E se dicen métricamente

equivalentes cuando existe g ∈ O (E) tal que:

f ′ = g · f · g−1

En particular, la equivalencia métrica implica equivalencia lineal. Así,

los invariantes como polinomio mínimo, polinomio característico, etc. de

EL (E) son invariantes para la clasificación métrica.

Proposición 65. Sea ε una base ortonormal de E. Dos transformacioneslineales euclídeas f y f ′ de E son métricamente equivalentes si y sólo siexiste ε′ base ortonormal de E tal que

Mε (f) = Mε′ (f′)

Proposición 66. Sea f una transformación lineal euclídea en el plano vec-torial euclídeo P . Existe entonces una base ortonormal ε = (u, v) de P talque la matriz J de f respecto a ε es de alguno de los siguientes tipos:

1. J =

(1 0

0 −1

)

2. G (θ) =

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)para algún θ con 0 ≤ θ ≤ π

Observación 67. La matriz G (θ) =

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)tiene por polinomio

característico

χθ (t) = (t− cos θ)2

+ sin2 θ

con raíces λ = cos θ + i sin θ y λ = cos θ − i sin θ.

Por tanto, la representación matricial reducida indicada en la proposición

66 puede deducirse enteramente del polinomio característico de la trans-

formación. Esto prueba que, al menos en dimensión dos, el polinomio

característico es un invariante completo.

Proposición 68. Dada una transformación lineal euclídea en E existe unadescomposición de E en suma directa ortogonal de planos Pj y rectas Ri

invariantes e irreducibles respecto a f de la forma

(1.8) E = R1

⊥⊕ · · ·

⊥⊕ Rp

⊥⊕ P1

⊥⊕ · · ·

⊥⊕ Pk (p ≥ 0, k ≥ 0)

19

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Para establecer el teorema final de clasificación se requiere alguna nota-

ción adicional. Si θ ∈ R y m es un entero positivo, escribimos

G (θ,m) =

G (θ)

. . .

G (θ)

∈ O (2m) donde G (θ) =

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)

Im denota la matriz identidad de orden m.

Si m = 0 se entiende que Im y G (θ,m) carecen de coeficientes y desapare-cen.

Teorema 69. Teorema de Clasificación

1. Sea f una transformación lineal euclídea del espacio E. Existe unabase ortonormal ε de E respecto a la cual la matriz de f es de laforma:

(1.9) J =

Ir

−IsG (θ1,m1)

. . .

G (θk,mk)

Donde r ≥ 0, s ≥ 0, k ≥ 0, 0 < θi < π para i = 1, . . . , k y θi 6= θj parai 6= j.

2. El polinomio característico de f es de la forma(1.10)

χ (t) = (t− 1)r

(t+ 1)s[(t− cos θ1)

2+ sin2 θ1

]m1

· · ·[(t− cos θk)

2+ sin2 θk

]mky tiene todas sus raíces de módulo unidad.

3. Dos transformaciones lineales euclídeas en E son métricamente equi-valentes si y sólo si tienen el mismo módulo característico.

2. CAPÍTULO VI - GEOMETRÍA EUCLÍDEA

2.1. Lección 13 - Formas cuadráticas en un espacio vectorial euclí-deo. Para toda forma cuadrática en un espacio vectorial euclídeo existe

una base ortonormal que la diagonaliza. Esto permite resolver el proble-

ma de la clasificación euclídea de las formas cuadráticas.

2.1.1. Formas cuadráticas y aplicaciones simétricas. A cada forma cua-

drática q de E se le puede asociar canónicamente un endomorfismo f de20

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E que contiene toda la información geométrica de la forma cuadrática de

partida.

Estos endomorfismos f se caracterizan por una cierta condición de si-

metría respecto al producto escalar. Su estudio desde el punto de vista

euclídeo equivale al de las formas cuadráticas de las que provienen.

Observación 70. Notación Dada Q una forma bilineal simétrica en el es-

pacio vectorial euclídeo E denotamos por el mismo nombre a la aplicación

lineal definida por las identidades

(2.1) Q (u, v) = (Q (u) |v) = (u|Q (v))

Definición 71. Endomorfismos simétricos Un endomorfismo f de E se

llama simétrico si verifica la condición

(2.2) (f (u) |v) = (u|f (v)) ∀u, v ∈ E

Denotamos por S (E) al conjunto de todos estos endomorfismos.

2.1.2. Diagonalización. Para todo endomorfismo simétrico existe una ba-

se ortonormal formada por autovectores. Esta base diagonaliza la forma

cuadrática inducida por el endomorfismo.

Lema 72. Todo enfomorfismo simétrico f del espacio vectorial euclídeo Eadmite al menos un autovalor.

Lema 73. Si f es un endomorfismo simétrico de E y U es un subespacioinvariante, entonces U⊥ también es invariante.

Proposición 74. Teorema de diagonalización

Si f es un endomorfismo simétrico en el espacio vectorial euclídeo E existeuna base ortonormal ε = (e1, . . . , en) de E formada por autovectores de f .

Corolario 75. Sea q una forma cuadrática de rango r > 0 en el espaciovectorial euclídeo E. Existe entonces una base ortonormal ε = (e1, . . . , en)

de E tal que en las coordenadas (xi) inducidas, q se escribe de la formaq = λ1x

21 + · · ·+ λrx

2r λi 6= 0, i = 1, . . . , r .

2.1.3. Clasificación métrica de las formas cuadráticas. El grupo de trans-

formaciones lineales euclídeas O (E) actúa por composición de aplicacio-

nes sobre el espacio Q (E) de las formas cuadráticas

Q (E)×Q (E) 3 (q, g) 7→ q · q ∈ Q (E)

Esta actuación induce una relación de equivalencia métrica en Q (E).21

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Definición 76. Equivalencia métrica de formas cuadráticas

Dos formas q, q′ de E son métricamente equivalentes si ∃g ∈ O (E) tal que

q · g = q′, es decir

q (g (v)) = q′ (v) ∀v ∈ E

Definición 77. Equivalencia métrica de endormorfismos simétricos

Si f es un endomorfismo simétrico de E y g ∈ O (E), entonces f ′ = g−1 · f · ges un endomorfismo simétrico. Se dice entonces que f ′ es métricamente

equivalente a f .

Proposición 78. Si q es una forma cuadrática en E y g es una transforma-ción lineal euclídea, entonces

(2.3) (q · g)]

= g,1 · q] · g

En particular, dos formas cuadráticas q y q′ de E son métricamente equiva-lentes si y sólo si los son sus correspondientes endormorfismos simétricosasociados q] y q′] .

Lema 79. Dos endomorfismos simétricos f y f ′ de E′ son métricamenteequivalentes si y sólo si existen bases ortonormales ε y ε′ de E tales queMε (f) = Mε′ (f

′).

Proposición 80. Dos endomorfismos simétricos de un espacio vectorial eu-clídeo son métricamente equivalentes si y sólo si tienen el mismo polinomiocaracterístico.

Corolario 81. Si q es una forma cuadrática en el espacio vectorial euclídeoE el polinomio χq (t) = χA (t) no depende de la representación matricial A deq respecto a una base ortonormal y tiene todas sus raíces reales. Por otraparte, la aplicación

χ : L (E) 3 q 7→ χq (t) ∈ K (t)

es un invariante completo para la clasificación métrica de las formas cua-dráticas, es decir, si q, q′ ∈ Q (E)

χq (t) = χq′ (t) ⇐⇒ q es métricamente equivalente a q′

2.2. Lección 14 - Geometría afín euclídea. Un espacio afín E cuyo es-

pacio vectorial asociado−→E sea euclídeo se denomina espacio afín euclídeo.

La norma de−→E induce una distancia en el espacio afín que denominamos

distancia euclídea. La estructura métrica de E inducida por esta distancia22

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

determina completamente la estructura afín del espacio y el grupo de mo-

vimientos, que es el grupo natural de transformaciones, y subgrupo del

grupo afín.

Determinaremos un sistema generador simple para el grupo de movimien-

tos y resolveremos el problema de su clasificación.

2.2.1. Distancia euclídea. Después de exponer las nociones básicas, pa-

samos a estudiar las propiedades generales y específicas de la distancia

euclídea. Terminaremos estableciendo las bases de la geometría analítica

afín euclídea.

Definición 82. Espacio afín euclídeo

Un espacio afín euclídeo es un espacio afín E que tiene por espacio vecto-

rial asociado un espacio vectorial euclídeo−→E .

Se llama distancia entre los puntos a y b del espacio afín euclídeo E al

número

d (a, b) =∥∥∥−→ab∥∥∥

y a la aplicación d : E × E 7→ R se le denomina distancia euclídea.

Proposición 83. La distancia euclídea definida en 82 verifica para todoa, b, c ∈ E las siguientes propiedades:

1. d (a, b) ≥ 0 y d (a, b) = 0 ⇐⇒ a = b

2. d (a, b) = d (b, a)

3. Propiedad triangular: d (a, b) + d (b, c) ≥ d (a, c)

4. Teorema de Pitágoras Si−→ab ⊥

−→bc entonces d (a, c)

2= d (a, b)

2+d (b, c)

2

Proposición 84. Distancia entre subespacios

Sea E espacio afín euclídeo de dimensión finita n y A y B dos subespaciosno vacíos de E tales que A ∩B = ∅.

Existen entonces puntos a ∈ A y b ∈ B tales que el vector−→ab es ortogonal a

A y a B. Por otra parte, estos puntos verifican:

(2.4) d (a, b) = d (A,B)

Proposición 85. Sean a, b dos puntos distintos del espacio afín euclídeo Ey

[a, b] = {(1− λ) a+ λb | 0 ≤ λ ≤ 1}

el segmento definido por ambos. Sea x un punto de E. Se tiene la equiva-lencia

x ∈ [a, b] ⇐⇒ d (a, b) = d (a, x) + d (x, b)

23

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Observación 86. El resultado expresado en la proposición 85 da un criterio

para determinar las rectas afines en el que sólo interviene la distancia

euclídea.

Recordando que en el caso real la estructura afín viene unívocamente de-

terminada por la familia de rectas, se puede decir ahora que las distancia

euclídea determina la estructura afín del espacio.

Para acabar expondremos las ideas básicas que fundamentan la geometría

analítica afín euclídea.

Para cada entero positivo n, se denota por En al espacio afín euclídeo

E = An (R) obtenido al dotar a−→En =

−→An (R) del producto escalar ordinario:

0

λ1

...

λn

|

0

µ1

...

µn

= λ1µ1 + · · ·+ lnµn

Se denomina a En modelo analítico cartesiano de espacio afín euclídeo de

dimensión n.

La distancia euclídea en En viene expresada por la clásica fórmula pitagó-

rica:

d

0

λ1

...

λn

,

0

µ1

...

µn

=

√√√√ n∑i=1

(µi − λi)2

Establezcamos ahora los sistemas de coordenadas que permiten pasar de

un espacio afín euclídeo abstracto al modelo analítico.

Definición 87. Sistema de referencia euclídeo

Un sistema de referencia cartesiano ε = (e0,−→e1 , · · · ,−→en) en el espacio afín

euclídeo E se denomina sistema de referencia euclídeo si la base (−→e1 , · · · ,−→en)

es ortonormal.

Proposición 88. Sea ε=(e0,−→e1 , · · · ,−→en) un sistema de referencia euclídeo en

E y

x =

(1

x

)=

1

x1

...xn

: E 7→ En

el isomorfismo de coordenadas.24

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

x induce entonces la isometría vectorial(0

x

):−→E 7→

−→En

y se tiene la fórmula pitagórica:

d (a, b) =

√√√√ n∑i=1

(xi (b)− xi (a))2 ∀a, b ∈ E

2.2.2. Isometrías y movientos. Teorema de Cartan-Dieudonne. Una iso-

metría entre dos espacios métricos (E, d) y (E′, d′) es una aplicación sobre-

yectiva f : E 7→ E′ que preserva la distancia, es decir:

d′ (f (a) , f (b)) = d (a, b)

Si los espacios métricos E y E′ son euclídeos, toda isometría entre ellos es

isomorfismo afín.

Las isometrías de un espacio afín euclídeo E en sí mismo se denominan

movimientos y determinan un subgrupo del grupo afín que constituye el

grupo natural de transformaciones. Las simetrías hiperplano constituyen

un sistema generador para este grupo.

Definición 89. Isometría

Una biyección f : E 7→ E′ entre dos espacios afines euclídeos se llama

isometría si verifica la propiedad

d′ (f (a) , f (b)) = d (a, b) ∀a, b ∈ E

Observación 90.

1. La composición de isometrías también es isometría. Si f es isome-

tria, entonces f−1 también lo es.

2. Supóngase que f : E 7→ E′ es aplicación afín tal que−→f :−→E 7→

−→E′ es

isometría vectorial. Entonces f es isometría, ya que:

d′ (f (a) , f (b)) =∥∥∥−−−−−−→f (a) f (b)

∥∥∥ =∥∥∥−→f (−→ab)∥∥∥ =

∥∥∥−→ab∥∥∥ = d (a, b)

3. Por otra parte, un isomorfismo afín f : E 7→ E′ , si es isometría,

su aplicación lineal asociada es isometría vectorial. Estas son las

únicas isometrías posibles entre espacios euclídeos.

4. Si ε = (e0,−→e1 , . . . ,

−→en) es un sistema de referencia euclídeo en E, el

isomorfismo de coordenadas:(1

x

): E 7→ En

25

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

es una isometría.

Proposición 91. Toda isometría f : E 7→ E′ entre espacios afines euclídeoses isomorfismo afín y su aplicación lineal asociada

−→f :−→E 7→

−→E′ es isometría

vectorial.

Definición 92. Movimientos

Se llaman movimientos de un espacio afín euclídeo E a las isometrías de

E en E.

El conjunto OA (E) de los movimientos con estructura natural de grupo

(respecto a la composición de aplicaciones) se denomina grupo de movi-mientos de E y es el grupo de las transformaciones de la geometría afín

euclídea.

De las observaciones 90 y la proposición 91 se deduce

Corolario 93. f : E 7→ E es un movimiento si y sólo si−→f :

−→E 7→

−→E′ es

transformación lineal euclídea.

Definición 94. Simetría afín euclídea

A una simetría σ : E 7→ E que es movimiento se le llama simetría afín

euclídea.

Lema 95. Dados dos puntos distintos a, b de un espacio afín euclídeo E,existe una simetría hiperplano σ : E 7→ E tal que σ (a) = b.

Teorema 96. Teorema de Cartan-Dieudonné

Sea E un espacio afín euclídeo de dimensión n y f : E 7→ E un movimiento.f puede descomponerse entonces en producto de no más de n+ 1 simetríashiperplano.

Observación 97. Movimientos directos e inversos

Un movimiento f del espacio afín euclídeo E (con dimensión finita n) se

llama directo si su transformación lineal asociada es una rotación, es

decir si

det−→f = +1

El conjunto OA+ (E) de movimientos directos forman un grupo. Si f es

una reflexión (det−→f = −1) diremos que f es movimiento inverso y se

denota por OA− (E) al conjunto de estos movimientos. Naturalmente, es

válida la regla de los signos para determinar el caracter de un producto de

movimientos.

Las simetrías hiperplanos son movimientos inversos.26

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

2.2.3. Clasificación de los movimientos.

Definición 98. Dos movimientos f y f ′ de E se dicen métricamente equi-

valentes, cuando existe g ∈ OE (E) tal que:

f ′ = g · f · g−1

En particular, se verifica−→f ′ = −→g ·

−→f ·−−→g−1 y la equivalencia métrica de los

movimientos implica la de sus correspondientes transformaciones lineales

euclídeas asociadas. Las invariantes de la clasificación métrica en O(−→E)

son pues invariantes para la clasificación métrica de los movimientos.

Proposición 99. Sea ε = (e0,−→e1 , . . . ,

−→en, ) un sistema de referencia euclídeoen E, f, f ′ movimientos. Entonces,

1. Mε (f) es una matriz afín euclídea (de OA (n) )2. f y f ′ son métricamente equivalentes si y sólo si existe ε′ sistema de

referencia euclídeo E tal que

Mε (f) = Mε′ (f′)

El teorema de clasificación métrica de transformaciones lineales euclídea

(ver 69 en la página 20) resuelve de forma inmediata el de clasificación

métrica de movimientos con puntos fijos (que determinan una clase inva-

riante de OA (E)).

Proposición 100. Sean f y f ′ movimientos con puntos fijos en el espacioafín euclídeo E. Entonces f es métricamente equivalente a f ′ si y sólo si

−→f

lo es a−→f ′ .

Observación 101. Utilizando ahora el teorema de clasificación 69 se con-

cluye que los movimientos f y f ′ con puntos fijos son métricamente equi-

valentes si y sólo si sus polinomios característicos χ−→f

y χ−→f ′

coinciden. En

este caso ambos admiten una representación matricial respecto a sistemas

de referencia euclídeos ε = (e0,−→e1 , . . . ,

−→en) y ε′ =(e′0,−→e′1 , . . . ,

−→e′n

)adecuada-

mente elegidos del tipo

J =

(1 0

0−→J

)donde

−→J es una matriz diagonal por cajas Ir,−Is, G (θi,mi) como la de la

ecuación 1.9 en la página 20. Los orígenes e0 y e′0 de ε y ε′ son desde luego

puntos fijos para f y f ′ respectivamente.

La clasificación de movimientos sin puntos fijos entraña alguna nueva

dificultad.27

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Si f : E 7→ E es un movimiento sin puntos fijos, es fácil encontrar una

traslación τ : E 7→ E tal que τ · f tenga puntos fijos.

Por otra parte, como veremos, interesa que dicha traslación conmute con

el movimiento f . Esta nueva exigencia restringe de tal modo el campo de

las traslaciones válidas que lo reduce a una traslación única. El siguiente

lema conduce a ete resultado. Sea τ−→v : E 7→ E la traslación de vector −→v

Lema 102. Sea f : E 7→ E un movimiento sin puntos fijos del espacio afíneuclídeo E, −→v un vector de

−→E . Se verifica:

1. τ−→v · f = f · τ−→v si y sólo si−→f (−→v ) = −→v

2.−→E se descompone en la suma directa ortogonal

−→E = ker

(−→f − id

) ⊥⊕ im

(−→f − id

)Proposición 103. Si f : E 7→ E es un movimiento sin puntos fijos, existeuna única traslación τ−→v : E 7→ E tal que f · τ−→v = τ−→v · f es movimiento conpuntos fijos.

Definición 104. Al vector −→v de la proposición anterior se le denomina

vector deslizamiento de f , y a ‖−→v ‖ = µ (f) módulo de deslizamiento.

Si f es movimiento con puntos fijos, se sobreentiende que el módulo del

deslizamiento µ (f) es nulo.

El siguiente lema se utilizará para probar que el módulo de deslizamiento

es un invariante.

Lema 105. Sean f, g movimientos del espacio afín euclídeo E y −→v ∈−→E . Se

verifica entonces

g · (τ−→v · f) · g−1 = τ−→g (−→v ) · g · f · g−1(2.5)

g · (f · τ−→v ) · g−1 = g · f · g−1 · τ−→g (−→v )(2.6)

Teorema 106. Teorema de clasificación

Un sistema completo de invariantes para la clasificación métrica de los mo-vimientos de un espacio afín euclídeo E son:

µ : OA (E) 3 f 7→ µ (f) ∈ R Módulo de deslizamiento

χ : OA (E) 3 f 7→ χf (f) ∈ R [t] Polinomio característico

Corolario 107. Dado un movimiento f en el espacio afín euclídeo E con poli-

nomio característico χf (t) como χ−→f

(t) = (t− 1)r

(t+ 1)s[(t− cos θ1)

2+ sin2 θ1

]m1

· · · [(t− cos θk) + sin θk]mk

28

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

y módulo de deslizamiento µ, existe un sistema de referencia euclídeo ε =

(e0,−→e1 , . . . ,

−→en) respecto al cual la matriz que representa a f es de la forma(1 0

0−→J

)si µ = 0

1 0

µ 1−→J1

si µ 6= 0

donde J y J son las matrices

(2.7) J =

(1 0

0−→J

)con

−→J =

Ir

−IsG (θ1,m1)

. . .

G (θk,mk)

(2.8)

J =

1 0

µ 1−→J1

con−→J1 =

Ir−1

−IsG (θ1,m1)

. . .

G (θk,mk)

2.3. Lección 15 - Geometría afín equiforme. El espacio afín euclídeo

constituye un modelo para representar nuestra idea intuitiva del espacio

ordinario con su distancia usual.

Pero para determinar el concepto de distancia es necesario fijar previa-

mente la unidad de medida, es decir, fijar un segmento y declarar porconvenio que tiene longitud unidad. La longitud de otro segmento se ob-

tiene entonces por comparación con el segmento a través de moviemientos

rígidos. Con la geometría afín somos capaces de comparar (por medio de la

razón simple) longitudes de segmentos paralelos. El grupo de movimien-

tos permite, dados dos segmentos, pasar del primero a otro paralelo al

segundo, y entonces compararlos por medio de la razón simple.

La elección de la unidad de medida es un convenio que no afecta a la

esencia de la geometría euclídea. El efecto que produce un cambio de

unidad es el de multiplicar el producto escalar original por una constante

positiva, y el grupo de movimientos del nuevo espacio es el mismo.29

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Si evitamos elegir a priori una unidad de medida, el grupo de movimientos

aún permite comparar longitudes de segmentos, aunque desconozcamos

cuál es la longitud de cada uno de ellos. En particular, tiene sentido hablar

de segmentos de la misma longitud. El grupo de transformaciones que

preservan la igualdad de longitudes de segmentos es el denominado grupo

de semejanzas y define la geometría afín equiforme, denominada así por

ser la geometría que conserva la forma de las figuras y hace abstracción

de su tamaño. El grupo de movimientos del espacio afín euclídeo original

puede definirse ahora como el grupo de las semejanzas que transforman

cada segmento en otro de la misma longitud.

La lección consiste sólo de dos partes. En la primera, se introducen las

semejanzas en un espacio afín euclídeo y se analizan sus propiedades. En

la segunda se resuelve el problema de su clasificación.

2.3.1. Grupo de semejanzas. Dos puntos a, b ∈ E definen un segmento

S = [a, b] = {(1− λ) a+ λb} |0 ≤ λ ≤ 1 . Se llama longitud del segmento S

al escalar d (a, b). Si dos segmentos S y S′ de E tienen la misma longitud

escribimos SxS′. Esta relación x es de equivalencia sobre el conjunto de

segmentos de E.

Definición 108. Semejanzas

Una biyección f : E 7→ E se denomina semejanza si verifica:

1. f (S) es un segmento para cada segmento S de E.

2. Si S y S′ son segmentos de la misma longitud, entonces f (S) y f (S′)

tienen la misma longitud. En símbolos

SLS′ ⇒ f (S)Lf (S′)

Proposición 109. Toda semejanza de E, es transformación afín, su trans-formación lineal asociada

−→f :−→E 7→

−→E preserva la ortogonalidad, es decir

si−→u ,−→v ∈−→E , (−→u |−→v ) = 0⇒

(−→f (−→u ) |

−→f (−→v )

)= 0

Corolario 110. La transformación lineal asociada−→f :−→E 7→

−→E a una seme-

janza f en E, verifica, si −→ε = (−→e1 , . . . ,−→en) es base ortonormal de

−→E , entonces

−→f (−→ε ) es base ortogonal de

−→E tal que

(2.9)∥∥∥−→f (−→ei )

∥∥∥ =∥∥∥−→f (−→ej )

∥∥∥ = ρ 6= 0 ∀i, j ∈ {1, . . . , n}

Proposición 111. Sea f : E 7→ E una biyección en el espacio afín euclídeoE. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. f es semejanza.30

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2. f es transformación afín y su transformación lineal asociada es se-mejanza vectorial, es decir

∃ρ ∈ R+ tal que∥∥∥−→f (−→v )

∥∥∥ = ρ ‖−→v ‖ ∀−→v ∈−→E

Se denomina a ρ razón de la semejanza vectorial−→f .

3. Existe ρ ∈ R+ tal que

d (f (a) , f (b)) = ρd (a, b) ∀a, b ∈ E

Se denomina a ρ = ρ (f) razón de semejanza.

Ejercicio. Se obtiene una definición equivalente de semejanza eliminado

de la definición dada en 108 la condición 1 y modificando ligeramente la

condición 2, que queda sustituida por:

1. Para todo a, b, c, d ∈ E se tiene la implicación

[a, b]L [c, d]⇒ [f (a) , f (b)]L [f (c) , f (d)]

Ejemplo 112.

1. Un movimiento en E es en realidad una semejanza de razón ρ = 1.

2. Considérese en E la homotecia h de centro c y razón λ 6= 0, su

transformación lineal asociada−→h es la homotecia vectorial de razón

λ, es decir−→h :−→E 3 −→v 7→ λ−→v ∈

−→E

y por lo tanto, para todo a, b ∈ E se tiene

d (h (a) , h (b)) =∥∥∥−−−−−−→h (a)h (b)

∥∥∥ =∥∥∥−→h (−→ab)∥∥∥ =

=∥∥∥λ−→ab∥∥∥ = |λ|

∥∥∥−→ab∥∥∥ = |λ| d (a, b)

Así pues, h es semejanza con razón ρ = |λ|.

Proposición 113. La composición de semejanzas de E es una semejanzacon razón igual al producto de las razones correspondientes.

En particular, el conjunto GOA (E) de las semejanzas en E tiene estructurade grupo respecto a la composición de aplicaciones.

Definición 114. Geometría afín equiforme Se denomina geometría afín

equiforme de E la definida por el grupo GOA (E) de las semejanzas en E.

Observación 115. Existen infinitas maneras de descomponer una seme-

janza f de razón ρ 6= 1 en producto de una homotecia de razón positiva

y un movimiento. De hecho, fijado un punto a ∈ E y la homotecia h de31

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centro a y razón ρ, entonces f · h−1 = g es un movimiento (nótese que h−1

es semejanza de razón 1/ρ) y se tiene que

f = g · h

Sin embargo, si imponemos además que la homotecia conmute con el mo-

vimiento, veremos que la descomposición es única.

Proposición 116. Centro de Semejanza

Una semejanza f de E con razón ρ 6= 1 admite un único punto fijo, quedenominamos centro de semejanza de f .

Proposición 117. Fijada una semejanza f de E con razón ρ 6= 1 existe unúnico movimiento f1 : E 7→ E que verifica la igualdad:

f = f1 · h = h · f1

para alguna homotecia h de razón positiva.

Por otra parte, el centro c de semejanza de f es punto fijo para f1 y para lahomotecia h.

Se denomina a f1 movimiento asociado a la semejanza f .

2.3.2. Clasificación métrica y equiforme de las semejanzas. El grupo G =

GOA (E) de las semejanzas de un espacio afín euclídeo E actúa por con-

jugación sobre sí mismo de la forma:

(2.10) G×GOA (E) 3 (g, f) 7→ g · f · g−1 ∈ GOA (E)

dando lugar a una relación de equivalencia (equiforme) en la familia GOA(E)

de semejanzas.

Por otra parte, el grupo G = GOA (E) de los movimientos de E actúa de

la forma expresada en la ecuación 2.10 sobre GOA (E) dando lugar a otra

relación de equivalencia (métrica) en GOA (E).

Las dos relaciones de equivalencia -uniforme y métrica- inducen sendos

problemas de clasificación cuya solución es el objeto de esta sección final.

Veremos que la equivalencia métrica y la equiforme son la misma sobre

la clase (invariante) de las semejanzas con puntos fijos y el invariante

completo viene dado en este caso por el polinomio característico de la

transformación lineal asociada.

Las semejanzas sin puntos fijos son necesariamente movimientos (ver

116), y para esta clase los dos problemas tienen distinta solución.32

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Definición 118. Equivalencia métrica y equiforme

1. Se dice que f y f ′ son M−equivalentes (o métricamente equivalen-

tes) cuando existe g ∈ OA (E) tal que

(2.11) f ′ = g · f · g−1

2. Si la relación anterior se verifica para alguna g ∈ GOA (E) se dice

entonces que f y f ′ son S−equivalentes (o equiformemente equiva-

lentes).

Observación 119.

1. La M−equivalencia implica, evidentemente, la S−equivalencia, pero

no recíprocamente.

2. Dos semejanzas S o M−equivalentes son en particular, afínmente

equivalentes, por lo que los invariantes afines son también inva-

riantes respecto a la equivalencia métrica y equiforme.

3. La razón de semejanza

ρ : GOA (E) 3 f 7→ ρ (f) ∈ R

Es un invariante equiforme (y por tanto métrico), ya que según 113

es

ρ(g · f · g−1

)= ρ (g) ρ (f) ρ

(g−1

)= ρ (g) r (f) ρ (g)

−1= ρ (f)

El problema de la clasificación métrica de movimientos (semejanza de ra-

zón unidad) ya ha sido resuelto en la lección anterior. Nos concentramos

en las semejanzas de razón ρ 6= 1.

Proposición 120. Dos semejanzas f y f ′ con la misma razón ρ 6= 1 sonM−equivalentes, si y sólo si sus correspondientes movimientos asociadosf1 y f ′1 lo son.

Definición 121. Polinomio característico

Se llama polinomio característico χ1 de una semejanza f al polinomio

característico χ−→f

de su transformación lineal asociada.

La aplicación χ : GOA (E) 3 f 7→ χ−→f∈ R [t] es un invariante para la equiva-

lencia métrica y equiforme de semejanzas.

Lema 122. Sea f semejanza de razón ρ 6= 1 y sea f1 su movimiento asocia-do. Entonces:

χf (t) = ρnχf1 (t|ρ)33

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En particular, todas las raíces reales o complejas de χf (t) tienen móduloigual a ρ.

Proposición 123. Teorema de clasificación

Sean f y f ′ dos semejanzas con puntos fijos. Son equivalentes las siguientesafirmaciones:

1. f es S−equivalente a f ′.2. f y f ′ tienen el mismo polinomio característico.3. f es M−equivalente a f ′.

Observación 124. Matriz reducida de una semejanza con centro

Supóngase que f es una semejanza de razón ρ 6= 0 y centro c ∈ E . Si su

movimiento asociado f1 tiene polinomio característico χ (t) como el de la

ecuación χ−→f

(t) = (t− 1)r

(t+ 1)s[(t− cos θ1)

2+ sin2 θ1

]m1

· · ·[(t− cos θk)

2+ sin2 θk

]mk,

entonces una existe una base ortonormal −→ε de−→E respecto a la cual la ma-

triz de−→f1 es la matriz 2.7 (de la lección 2.2). Tomando ε = (c,−→ε ) se verifica

Mε (f) = Mε (h · f1) = Mε (f)Mε (f1) =

(1 0

0 ρl

)(1 0

0−→J

)=

(1 0

0 ρ−→J

)Siendo h la homotecia de centro c y razón ρ

Finalmente, sólo queda estudiar las semejanzas sin puntos fijos.

Proposición 125. Clasificación equiforme de semejanzas sin puntosfijos Dos semejanzas sin puntos fijos f y f ′ son S−equivalentes si y sólo sitienen el mismo polinomio característico.

Parte 2. Problemas de Álgebra

Una forma cuadrática q en un espacio vectorial V define una métrica en V .

Esta métrica permite definir la longitud o módulo de un vector. La métrica

será euclídea cuando la forma cuadrática q es definida positiva. Aunque

todas las formas cuadráticas positivas son linealmente equivalentes, no

todas son métricamente equivalentes. Por lo tanto debe tenerse en cuenta

cuál es la métrica definida en cada caso a la hora de calcular módulos,

subespacios ortogonales y productos escalares.

En el espacio afín, la métrica euclídea da lugar al espacio afín euclídeo, en

el que está definida la distancia euclídea entre dos puntos. En el espacio

afín euclídeo de dimensión 3 representa la idea intuitiva que tenemos del34

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

espacio, con la noción de perpendicularidad y distancia usual. Los endo-

morfismos afines que preservan la distancia euclídea son los movimientos.

En dimensiones 2 y 3 el análisis de los movimientos en el espacio afín eu-

clídeo debe hacerse intentando comprender su comportamiento geométri-

co, por lo que conviene visualizar su acción con una representación gráfica

de la misma.

Una semejanza es una transformación afín que deforma las distancias

de manera uniforme. Mantiene la forma de los objetos, pero cambia su

tamaño. Antes de estudiar las semejanzas es necesario haber trabajado

con homotecias afines y vectoriales.

3. CAPÍTULO 10 - FORMAS CUADRÁTICAS Y ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO

3.1. Problemas tipo Capítulo 10.

3.1.1. Cálculo de la signatura de una forma cuadrática q.

Método de Gauss. (Descripción del método de Gauss, que permite reducir

una forma cuadrática a suma y diferencia de cuadrados). La signatura es,

en este caso, el número de términos positivos y negativos

⇒ sig (num+, num−)

Método del polinomio característico. Miramos el número de cambios de

signo en los términos contiguos del polinomio característico.

sig (cambios de signo, dim− cambios)

3.1.2. Obtener la representación matricial de una forma cuadrática q apartir de su representación polinómica (y viceversa). Si tenemos una forma

cuadrática q (x) (atención al factor 2 para los términos cruzados) podemos

pasar a la forma matricial Mε (q) y viceversa, teniendo en cuenta que la

matriz Mε (q) es simétrica.

q (x) =∑i

aix2i +

∑i,j

aij (2xixj)↔Mε (q) =

a11 a12 · · · a1i

a21 a22 · · · a2i

......

. . .

ai1 ai2 · · · aii

Ejercicio 126. Determinar si q1 y q2 son linealmente equivalentes para

K = R y para K = C.35

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Demostración. Para resolver este problema debemos recordar que:

q1lin≡ q2(linealmente equivalentes) ⇐⇒

(K = R) sig (q1) = sig (q2)

(K = C) rang (q1) = rang (q2)

Ejercicio 127. Dada una forma q con representación matricial Mε (q), en-

contrar una base ε′ en la que Mε′ (q) sea diagonal.

Demostración. Elegimos un vector cualquiera u1. Ampliamos la base con

u2 = (x, y, z) al que exigimos que (u2|u1) = 0, es decir, que sea ortogonal a

u1. La condición de ser ⊥ impone restricciones sobre los valores que pue-

den tomar x, y, z, lo que nos ayuda a elegir u2. Continuamos el proceso

hasta completar la base, exigiendo para cada nuevo vector ui que sea per-

pendicular a todos los vectores elegidos que forman la base. Por ejemplo,

para u3, exigimos (u3|u2) = 0, (u3|u1) = 0.

Finalmente, la forma diagonal Mε′ (q) es, donde q (ui) = (ui|ui) y que por

ser ortogonal hace que (uj |ui) = 0 ⇐⇒ i 6= j.

Mε′ (q) =

q (u1) 0 0

0 q (u2) 0

0 0 q (u3)

, ε′ = {u1, u2, u3}

Si queremos que la base ε′ sea ortonormal, construimos u′i = ui(ui|ui) , de

manera que los elementos de la diagonal de Mε′ (q) sean 1 ó −1. �

Ejercicio 128. Determinar si E = (V3 (R) , q) espacio vectorial métrico es

espacio vectorial euclídeo (en función de un parámetro λ ∈ R).

Demostración. Un espacio vectorial euclídeo es un espacio en el que la

forma cuadrática q está definida positiva. q está definida positiva si, uti-

lizando el criterio de Silvester, todos los subdeterminantes de Mε (q) son

positivos. Si tenemos un parámetro λ, analizamos para qué valores de λ el

criterio de Silvester determina si q está determinada positiva o no. �

Ejercicio 129. Hallar las ecuaciones respecto a ε′ de un subespacio vec-

torial U tal que(U, q|U

)-la restricción de q sobre U- sea un espacio métrico

singular, es decir, que q|U sea degenerada.

Demostración. ? �36

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Problema. Calcular la signatura sig (q) en función de un parámetro λ ∈ Rde una forma cuadrática q donde q (x) =

∑i aiix

2i +

∑i,j aij2xixj (con aii ó

aij igual a λ) ó Mε (q) =

aij

con algún aij = λ.

Demostración. Calculamos el polinomio característico χq (t) = det (Mε (q)− tId)

y obtenemos la signatura y analizamos los cambios de signo en función de

los valores del parámetro λ. �

3.2. Teoría derivada de la resolución de los ejercicios.

Proposición. 3.5 (Ver problema 130).

Sean q1 y q2 dos formas cuadráticas sobre K = C. q1 y q2 son linealmenteequivalentes si y sólo si tienen el mismo rango, es decir:

K = C : q1 linealmente equivalente a q2 ⇐⇒ rg (q1) = rg (q2)

Proposición. 3.8 (Ver problema 130).

Sean q1 y q2 dos formas cuadráticas sobre K = R. q1 y q2 son linealmenteequivalentes si y sólo si tienen la misma signatura, es decir:

K = R : q1 linealmente equivalente a q2 ⇐⇒ sig (q1) = sig (q2)

Ejercicio 130. En V3 (K) sea ε la base canónica y sean q1 y q2 formas

cuadráticas con matrices:

Mε (q1) =

1 2 0

2 2 1

0 1 3

Mε (q2) =

2 1 1

1 2 2

1 2 1

Determinar si q1 y q2 son linealmente equivalentes para K = C y K = R.

Demostración. Si K = C dos formas cuadráticas son linealmente equiva-

lentes si y sólo si tienen el mismo rango.

rg

1 2 0

2 2 1

0 1 3

= 3 rg

2 1 1

1 2 2

1 2 1

= 3⇒ q1 ≡ q2

En el caso de K = R, dos formas cuadráticas son linealmente equivalentes

si y sólo si tienen la misma signatura. Si −→v ∈ V3 (R) , con coordenadas37 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

respecto a ε

−→v =

x1

x2

x3

De manera que para q1

q1 (−→v ) = (x1, x2, x3)

1 2 0

2 2 1

0 1 3

x1

x2

x3

= (x1, x2, x3)

x1 + 2x2

2x1 + 2x2 + x3

x2 + 3x3

=

= x21 + 2x1x2 + 2x1x2 + 2x2

2 + x2x3 + x2x3 + 3x23 =

= x21 + 4x1x2 + 2x2

2 + 2x2x3 + 3x23

Ahora utilizamos el método de Lagrange para reducir la forma cuadrática.

q1 = x21 + 4x1x2 + 2x2

2 + 2x2x3 + 3x23 =

=(x2

1 + 2 (x1) (2x2) + (2x2)2 − (2x2)

2)

+ 2x22 + 2x2x3 + 3x2

3 =

= (x1 + 2x2)2 − 4x2

2 + 2x22 + 2x2x3 + 3x2

3 =

=(x1 + 2x2

2

)− 2

(x2

2 − 2x2

(x3

2

)+(x3

2

)2

−(x3

2

)2)

+ 3x23 =

=(x1 + 2x2

2

)− 2

((x2 −

x3

2

)2

−(x3

2

)2)

+ 3x23 =

=(x1 + 2x2

2

)− 2

((2x2 − x3

2

)2

− x23

4

)+ 3x2

3 =

=(x1 + 2x2

2

)− 1

2(2x2 − x3)

2+x2

3

2+ 3x2

3 =

=(x1 + 2x2

2

)− 1

2(2x2 − x3)

2+

7

2x2

3 =

= (x′1)2 − 1

2(x′2)

2+

7

2(x′3)

2 ⇒ sig (2, 1)

Repetimos el proceso para obtener la forma cuadrática de q2 (−→v )

q2 (−→v ) = 2x21 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2

2 + 4x2x3 + x23

38 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Y utilizando el método de Lagrange:

q2 =(2x2

1 + 2x1x2 + 2x1x3

)+ 2x2

2 + 4x2x3 + x23 =

= 2(x2

1 + x1 (x2 + x3))

+ 2x22 + 4x2x3 + x2

3 =

= 2

([x2

1 + 2x1(x2 + x3)

2+

1

4(x2 + x3)

2

]− 1

4(x2 + x3)

2

)+ 2x2

2 + 4x2x3 + x23 =

= 2

([x1 +

1

2(x2 + x3)

]2

− 1

4(x2 + x3)

2

)+ 2x2

2 + 4x2x3 + x23 =

=1

2[2x1 + x2 + x3]

2 − 1

2(x2 + x3)

2+ 2x2

2 + 4x2x3 + x23 =

=1

2[2x1 + x2 + x3]

2 − 1

2x2

2 −1

2x2

3 − x2x3 + 2x22 + 4x2x3 + x2

3 =

=1

2[2x1 + x2 + x3]

2+

3

2x2

2 +1

2x2

3 + 3x2x3 =

=1

2(2x1 + x2 + x3)

2+

3

2

([x2

2 + 2x2x3 + x23

]− x2

3

)+

1

2x2

3 =

=1

2(2x1 + x2 + x3)

2+

3

2

((x2 + x3)

2 − x23

)+

1

2x2

3 =

=1

2(2x1 + x2 + x3)

2+

3

2(x2 + x3)

2 − 3

2x2

3 +1

2x2

3 =

=1

2(2x1 + x2 + x3)

2+

3

2(x2 + x3)

2 − x23 =

=1

2(x′1)

2+

3

2(x′2)

2 − (x′3)2 ⇒ sig (2, 1)

Como vemos, las signaturas coinciden, por lo que las formas cuadráticas

q1 y q2 son linealmente equivalentes en V3 (R). �

Ejercicio 131. En V3 (K) sea ε la base canónica y sean q1 y q2 formas

cuadráticas con matrices:

Mε (q1) =

2 1 0

1 1 −1

0 −1 1

Mε (q2) =

−1 0 1

0 0 1

1 1 1

1. Determinar si q1 y q2 son linealmente equivalentes para K = C y

para K = R2. Hallar una base ε′ de V3 (R) tal que Mε′ (q1) sea diagonal.

Demostración. 1) Para demostrar que dos formas cuadráticas son equiva-

lente sobre K = C deben tener el mismo rango.

rg (q1) = 3 = rg (q2)⇒ son linealmente equivalentes

Para K = R dos formas cuadráticas serán linealmente equivalentes si tie-

nen la misma signatura.39 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Empezamos calculando la forma cuadrática q1

q1 (−→v ) = (x1, x2, x3)

2 1 0

1 1 −1

0 −1 1

x1

x2

x3

=

= 2x21 + 2x1x2 + x2

2 − 2x2x3 + x23

Utilizamos el método de Lagrange para calcular la signatura de las formas

cuadráticas.

q1 = 2x21 + 2x1x2 + x2

2 − 2x2x3 + x23 =

= 2(x2

1 + x1x2

)+ x2

2 − 2x2x3 + x23 =

= 2

(x2

1 + 2x1

(x2

2

)+(x2

2

)2

−(x2

2

)2)

+ x22 − 2x2x3 + x2

3 =

=1

2(2x1 + x2)

2 − x22

2+ x2

2 − 2x2x3 + x23 =

=1

2(2x1 + x2)

2+x2

2

2− 2x2x3 + x2

3 =

=1

2(2x1 + x2)

2+

1

2

(x2

2 − 2x22x3 + 4x23 − 4x2

3

)+ x2

3 =

=1

2(2x1 + x2)

2+

1

2(x2 + 2x3)

2 − 2x3 + x23 =

=1

2(2x1 + x2)

2+

1

2(x2 + 2x3)

2 − x3 ⇒ sig (q1) = (2, 1)

Ahora vamos a calcular q2

q2 (−→v ) = (x1, x2, x3)

−1 0 1

0 0 1

1 1 1

x1

x2

x3

=

= −x21 + 2x1x3 + 2x2x3 + x2

3

Y ahora utilizamos el método de Lagrange para calcular la signatura de

las forma cuadrática:

q2 =(−x2

1 + 2x1x3 − x23

)+ x2

3 + 2x2x3 + x3 =

= − (x1 + x3)2

+ 2x23 + 2x3x2 =

= − (x1 + x3)2

+ 2

(x2

3 + x3x2 +(x2

2

)2

−(x2

2

)2)

=

= − (x1 + x3)2

+ 2(x3 +

x2

2

)2

− 2(x2

2

)2

⇒ sig (q2) = (1, 2)

Como vemos, sig (q1) 6= sig (q2), de manera que no son linealmente equiva-

lentes en V3 (K) con K = R. �

40 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Demostración. 2) A continuación buscamos una matriz ε′ tal que Mε′ (q1)

sea diagonal.

Empezamos eligiendo un vector −→v1 cualquiera, por ejemplo,

−→v1 =

1

0

0

q1 (−→v1) = 2

Buscamos un segundo vector de la base que sea ortonormal a −→v1, es decir,

que verifique (−→v2|−→v1) = 0 según q1.

(x, y, z)

2 1 0

1 1 −1

0 −1 1

1

0

0

= (x, y, z)

2

1

0

= 2x+ y = 0

De manera que elegimos z = 1, x = y = 0

−→v2 =

0

0

1

q1 (−→v2) = 1

Ahora sólo tenemos que completar la base ε′ con un vector −→v3 que verifique

(−→v3 |−→v1) = 0 y (−→v3 |−→v1) = 0, de manera que

(x, y, z)

2 1 0

1 1 −1

0 −1 1

1

0

0

= (x, y, z)

2

1

0

= 2x+ y = 0⇒ y = −2x

(x, y, z)

2 1 0

1 1 −1

0 −1 1

0

0

1

= (x, y, z)

0

−1

1

= −y + z = 0⇒ z = y

De manera que si elegimos x = 1, y = −2, z = −2

−→v3 =

1

−2

−2

q1 (−→v3) = −2

En esta base la Mε′ (q1) queda

Mε′ (q1) =

2 0 0

0 1 0

0 0 −2

�41 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Ejercicio 132. Sea E = (V3 (R) , q) el espacio vectorial métrico donde:

Mε (q) =

1 2 1

2 3 1

1 1 −1

para ε una base canónica de V3 (R).

1. Determinar si E = (V3 (R) , q) es un espacio vectorial euclídeo.

2. Hallar una base ortogonal ε′ ={−→e′1 ,−→e′2 ,−→e′3

}de E tal que

q(−→e′i

)= 1,−1 o 0

3. Hallar las ecuaciones respecto a ε′ de un subespacio vectorial U tal

que(U, q|U

)sea un espacio vectorial métrico singular (es decir, que

q|U es degenerada).

Demostración. 1) Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial mé-

trico en el que el producto escalar está inducido por una forma cuadrática

positiva. Pero vemos que∣∣∣∣∣ 1 2

2 3

∣∣∣∣∣ = 3− 4 = −1 < 0⇒ q no es definida positiva

Demostración. 2) Calculamos la signatura de q a partir de su polinomio

característico. Por el teorema de Descartes, para un polinomio Φ con coe-

ficientes reales Φ (t) el número de raíces reales positivas de Φ (t) = antn +

· · ·+ a1t+ a0 coincide con el número de variaciones de signo entre los coe-

ficientes no nulos de Φ = {an, an−1, . . . , a1, a0}. Para la forma cuadrática

q, el polinomio característico χq (t) es un polinomio de coeficientes reales,

que además tiene todas las raíces reales (por ser la matriz de q una ma-

triz simétrica), de forma que podemos aplicar el resultado anterior para

averiguar el índice de positividad de q y con ello su signatura. En nuestro

caso

χq (t) = −t3 + 3t2 + 7t+ 1

que da lugar a la sucesión de signos entre los coeficientes:

− + + +

luego sólo tenemos un cambio de signo y el polinomio χq (t) tiene una

única raíz positiva. Como además, q no es degenerada, pues det (q) 6= 0,42 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

entonces la signatura es

sig (q) = (1, 2)

RELACION ENTRE SIGNATURA Y LA POSIBILIDAD DE ENCONTRAR UNA

BASE ORTOGONAL–> Ver 75 en la página 21

Como sig (1, 2) esto significa que podemos encontrar una base ortogonal ε′

de E tal que Mε′ (q)

Mε′ (q) =

1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

Empezamos eligiendo −→u1 = (1, 0, 0) . De esta manera q (−→u1) = (−→u1|−→u1) =−→ut1Mε (q)−→u1 = 1 �

A continuación buscamos un segundo vector −→v ortogonal a −→u1. Es decir

−→v = (x, y, z) | (−→v |−→u1) = 0 = (x, y, z)

1 2 1

2 3 1

1 1 −1

1

0

0

= (x, y, z)

1

2

1

=

= x+ 2y + z = 0

Si elegimos x = 0, y = 1 entonces z = −2. Como q (−→v ) = −5, pero queremos

una base ortogonal,

−→u2 =−→v√

5=

01√5−2√

5

Finalmente completamos la base buscando otro vector −→w que sea, a la vez,

perpendicular a −→u1 y −→u2 (o a −→v , con el que comparte dirección). Utilizamos

el mismo proceso que hemos utilizado para obtener el vector −→v .

−→w = (x, y, z) tal que (−→w |−→u1) = 0

tal que (−→w |−→u2) = 043 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

(−→w |−→u1) = 0 = (x, y, z)

1 2 1

2 3 1

1 1 −1

1

0

0

= (x, y, z)

1

2

1

=

= x+ 2y + z = 0⇒ −→w =

x

y

−x− 2y

(−→w |−→v ) = 0 = (x, y,−x− 2y)

1 2 1

2 3 1

1 1 −1

0

1

−2

= (x, y,−x− 2y)

0

1

3

=

= = y − 3x− 6y = −3x− 5y = 0

⇒ y = −3

5x

⇒ z =x

5

De manera que si tomamos x = 1, tenemos −→w =(1,− 3

5 ,15

). Como q (−→w ) =

− 15 , de manera que tomamos −→u3 =

√5−→w y queda

−→u3 =

5

− 3√5

1√5

y q (−→u3) = 1. Al final del día, la base ε′ = {−→u1,−→u2,−→u3} =

1

0

0

,

01√5−2√

5

,

5

− 3√5

1√5

Demostración. 3)

Ahora buscamos un subespacio vectorial U tal que la restricción de la

forma cuadrática q a U sea degenerada, es decir, se comporte como la

forma cuadrática nula. Para ello basta encontrar un vector −→v 6= 0 tal que

q (−→v ) = 0 y tomar como subespacio U la recta generada por −→v .

(SIN ACABAR) �

Ejercicio 133.

1. Calcular en función de λ ∈ R la signatura de la forma cuadrática q

cuya matriz respecto a la base canónica ε de V3 (R) es

Mε (q) =

1 0 λ

0 1 1

λ 1 0

44 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

2. Para λ = 0 encontrar una base ε′ de V3 (R) tal que Mε′ (q) sea diago-

nal y calcular Mε′ (q).

Demostración. 1)

En primer lugar averiguamos si la forma cuadrática es degenerada. Para

ello, calculamos su determinante:

det (Mε (q)) =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 λ

0 1 1

λ 1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −λ2 − 1 = λ2 + 1 6= 0 ∀λ ∈ R

Es decir, la forma cuadrática q no es degenerada.

A continuación buscamos el polinomio característico:

χq (t) = det (Mε (q)− tId) =

∣∣∣∣∣∣∣1− t 0 λ

0 1− t 1

λ 1 −t

∣∣∣∣∣∣∣ =

= −t (1− t)2 [−t2 + t+(λ2 + 1

)]= −t3 + 2t+ λ2t−

(λ2 + 1

)Vemos que tenemos la siguiente sucesión de signos

− + +−

O lo que es lo mismo, tenemos dos cambios de signo. Como q no es dege-

nerada, la signatura será

sig (q) = (2, 1)

Demostración. 2)

Ahora buscamos una base ε′ en la que Mε′ (q) sea diagonal. Empezamos

eligiendo el primer vector u1 de la base como u1 = (1, 0, 0). En este caso,

q (u1) = (1, 0, 0)

1 0 0

0 1 1

0 1 0

1

0

0

= 1

45 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Buscamos el segundo vector de la base u2, de manera que u2 ⊥ u1

(x, y, z)

1 0 0

0 1 1

0 1 0

1

0

0

= 0

(x, y, z)

1

0

0

= x = 0(3.1)

De manera que elegimos u2 = (0, 1, 0). En este caso

q (u2) = (0, 1, 0)

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0

1

0

= 1

Completamos la base con u3, que verifique u3 ⊥ u1 y u3 ⊥ u2. De la condi-

ción de perpendicularidad con u1 (que es la misma que 3.1) tenemos que

x = 0. La condición de perpendicularidad con u2 nos lleva a:

(0, y, z)

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0

1

0

= 0

(0, y, z)

0

1

1

= y + z = 0(3.2)

Es decir, que podemos elegir u3 = (0, 1,−1). De manera que, al final del día,

q (u3) = −1 y

Mε′ (q) =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

en la base ε′ = {u1, u2, u3}. �

Ejercicio 134. En V3 (R) se define la siguiente forma cuadrática q respecto

a la base canónica ε:

q

x1

x2

x3

= x21 + 2x2

2 + λx23 + 4x1x2 + 2x2x3

1. Determinar, en función de λ ∈ R, si (V3 (R) , q) es un espacio vectorial

euclídeo.

2. Para λ = 1 encontrar una base ε′ de V3 (R) de forma que Mε′ (q) sea

diagonal y calcular Mε′ (q) .46 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Demostración. 1)

Para demostrar si (V3 (R) , q) es un espacio vectorial euclídeo tenemos que

averiguar si la forma q está definida positiva. Si tuviéramos la forma ma-

tricial de q podríamos utilizar el criterio de Silvester para determinarlo.

Así, el primer paso es obtener la forma matricial de q a partir de la forma

polinómica. Los coeficientes de los términos cuadráticos corresponden a

los elementos de la diagonal, mientras que los elementos cruzados son ele-

mentos fuera de la diagonal. Debemos tener en cuenta, sin embargo, que

estos términos incluyen un factor “2”, que debemos eliminar para obtener

el coeficiente de la matriz (aij ∗ (2xixj)).

q (−→x ) = x21 + 2x2

2 + λx23 + 2 ∗ (2x1x2) + 1 ∗ (2x2x3)⇒

a11 a12 a13

a22 a23

a33

=

1 2 0

2 2 1

0 1 λ

Una vez obtenida la forma matricial, utilizamos el criterio de Silvester.

Para que q esté definida positiva, todos los subdeterminantes deben ser

positivos. En el caso de q, vemos que no es así∣∣∣∣∣ 1 2

2 2

∣∣∣∣∣ = 2− 4 = −2 < 0

De manera que q no está definida positiva y (V3 (R) , q) no es espacio vecto-

rial euclídeo (independientemente del valor de λ). �

Demostración. 2)

En este apartado consideramos que λ = 1, por lo que Mε (q) =

1 2 0

2 2 1

0 1 1

.

Buscamos una base ε′ tal que Mε′ (q) sea diagonal. Para ello empezamos

eligiendo un vector u1 = (1, 0, 0), de manera que q (u1) = 1. El siguiente

vector u2 de la base debe ser perpendicular a u1, de manera que

(3.3)

(u2|u1) = 0 ⇐⇒ (x, y, z)

1 2 0

2 2 1

0 1 1

1

0

0

= (x, y, z)

1

2

0

= x+ 2y = 0

47 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Es decir, que podemos elegir u2 = (0, 0, 1), con q (u2) = 1. Finalmente com-

pletamos la base ε′ con u3, que debe ser perpendicular a u1 y u2

(u3|u1) = 0 ⇐⇒ x+ 2y = 0

(u3|u2) = 0 ⇐⇒ y + z = 0(3.4)

Combinando las dos condiciones,

x = −2y = 2z

y = −z

Con lo que

u3 =

2

−1

1

q (u3) = (2,−1, 1)

1 2 0

2 2 1

0 1 1

2

−1

1

= (2,−1, 1)

0

3

0

= −3

Y la forma de Mε′ (q) en la base formada por ε′ = {u1, u2, u3} es

Mε′ (q) =

1 0 0

0 1 0

0 0 −3

Ejercicio 135. Sea E3 el espacio vectorial real euclídeo y ε base ortonor-

mal. Sean q1 y q2 formas cuadráticas con matrices

Mε (q1) =

2 1 0

1 1 −1

0 −1 3

Mε (q2) =

1 0 −1

0 3 1

−1 1 2

Determinar si q1 y q2 son métricamente equivalentes.

Demostración. En el espacio vectorial euclídeo E dos formas cuadráticas

q1 y q2 son métricamente equivalentes si existe una base ortonormal res-

pecto a la cual las dos representaciones matriciales de las dos formas

cuadráticas coinciden. Como las formas cuadráticas siempre admiten una

representación matricial diagonal, el polinomio característico es un inva-

riante completo para la clasificación métrica de las formas cuadráticas.

De manera que

q1, q2 son métricamente equivalentes ⇐⇒ χq1 (t) = χq2 (t)48 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Así, tenemos que buscar el polinomio característico correspondiente a q1

y q2 para determinar si son métricamente equivalentes. Para la primera

forma cuadrática

Mε (q1) =

2 1 0

1 1 −1

0 −1 3

⇒ χq1 (t) =

∣∣∣∣∣∣∣2− t 1 0

1 1− t −1

0 −1 3− t

∣∣∣∣∣∣∣ =

= (2− t) (1− t) (3− t)− (2− t)− (3− t) =

= −t3 + 6t2 − 11t+ 6− (5 + 2t) =

= −t3 + 6t2 − 9t+ 1

Mε (q2) =

1 0 −1

0 3 1

−1 1 2

⇒ χq1 (t) =

∣∣∣∣∣∣∣1− t 0 −1

0 3− t 1

−1 1 2− t

∣∣∣∣∣∣∣ =

= (2− t) (1− t) (3− t)− (1− t)− (3− t) =

= −t3 + 6t2 − 11t+ 6− (4 + 2t) =

= −t3 + 6t2 − 9t+ 2

Vemos que χq1 (t) 6= χq2 (t) de manera que q1 y q2 no son métricamente

equivalentes.

Si sólo estuviéramos interesados en si son linealmente equivalentes, enton-

ces tendríamos que haber comparado las signaturas de ambos polinomios

caraterísticos. En este caso, tanto para χq1 (t) , χq2 (t) tenemos − + −+, de

manera que sig (q1) = sig (q2) = (3, 0), por lo que q1 y q2 sí son linealmente

equivalenntes, aunque no son métricamente equivalentes. �

4. CAPÍTULO 11 - MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO

4.1. Problemas Tipo Capítulo 11. En este tema tenemos sólo seis pro-

blemas, aunque algunos de ellos tienen varios apartados. En vez de tener

una coincidencia completa entre problemas, tenemos que se repiten pro-

blemas similares a nivel de apartado. Por ello he considerado como pro-

blemas relacionados los problemas 138 en la página 51 (similar al 142 en

la página 65) y el 139 en la página 57 (parecido a 143 en la página 67).

Los dos problemas restantes, 140 en la página 60 y 141 en la página 62

son únicos.

Ejercicio 136. Problema Tipo49 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

En el espacio afín euclídeo E3 se considera el sistema de referencia euclí-

deo ε . Se da un movimiento f que cumple unas determinadas condiciones,

como por ejemplo, dejar fijo un único punto p y una recta R, etc,

1. Hallar la matriz de f respecto a ε.

2. Hallar Jf .

3. Calcular las ecuaciones de los subespacios invariantes de f respec-

to de ε (ó ε′).

4. Determinar el tipo de movimiento al que corresponde f .

(Ver ejercicios 138 en la página siguiente y 142 en la página 65).

Demostración. 1) Para determinar la matriz de f respecto de ε empeza-

mos con una matriz de la forma Mε (f) =

1 0 0 0

α a d g

β b e h

γ c f i

. A partir de

aquí, utilizamos las condiciones que verifica f para determinar progresi-

vamente los coeficientes de la matriz. Por ejemplo, si f tiene puntos fijos,

entonces f (p) = p , donde p es un punto fijo dado en el enunciado. Del mis-

mo modo, si−→f deja invariante una recta vectorial, por ejemplo, entonces

−→f (−→v ) = µ−→v , donde −→v es el vector dirección de la recta. En el ejercicio 138

en la página siguiente, además, tenemos uno de los valores propios del

polinomio característico, lo que nos sirve para acabar de determinar los

coeficientes de la matriz y así obtener Mε (f). �

Demostración. 2) Para obtener la forma de Jordan Jf utilizamos los mé-

todos aprendidos en temas anteriores. El primer paso es determinar si f

tiene puntos fijos o no. A continuación obtenemos el polinomio caracte-

rístico y la multiplicidad de los diferentes autovalores. En este caso, como

f es movimiento, la forma de Jordan sólo puede ser la correspondiente a

una rotación, una simetría o una combinación de ambos, lo que simplifica

las variantes de las formas de Jordan que podemos encontrarnos. �

Demostración. 3) Para encontrar los subespacios invariantes podemos uti-

lizar un método geométrico, en función del tipo de movimiento que repre-

sente f . Si el movimiento es una rotación, la recta correspondiente al eje

de giro será un invariante. Si el movimiento es una simetría, tenemos el

subespacio base de la simetría así como su dirección. Si el movimiento es

una combinación de giro y traslación, es decir, un movimiento helicoidal,

entonces sólo suele dejar invariante el eje de giro de la rotación. En el caso50 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

particular de que el ángulo de giro sea θ = π tenemos además el haz de

planos que contienen el eje de giro (ver 143 en la página 67, apartado 3)).

También podemos utilizar el método general. Primero, determinamos si f

tiene puntos fijos. Después, buscamos subespacios vectoriales invarian-

tes. Si f no tiene puntos fijos, entonces existe un vector desplazamiento−→v = f (p) − p . Según vemos en temas anteriores, un subespacio vectorial

invariante−→X será subespacio afín invariante si −→v ∈

−→R , de manera que

X = p+−→X (donde p es el punto que verifica f (p)− p = −→v ∈

−→X ).

Cuando se piden las ecuaciones de los subespacios afines invariantes con

respecto a ε′ debemos trabajar con Mε′ (f) = Jf . El resto del planteamiento

es el mismo que en el caso de pedir las ecuciones con respecto a ε. �

Demostración. 4) Para determinar el tipo de movimiento descrito por f

podemos utilizar el lema 102 en la página 28. �

Ejercicio 137.

4.2. Problemas.

Ejercicio 138. En el espacio afin euclídeo E3 se considera el sistema de

referencia euclídeo ε = {e0;−→e1 ,−→e2 ,−→e3}. Sea f un movimiento que deja fijo

únicamente el punto p=

1

1

0

0

, su polinomio característico tiene la raíz

√3+i2 y deja invariante la recta R := (x2 = 0, x3 = 0).

1. Hállese la matriz de f respecto a ε.

2. Hállese la matriz canónica de Jordan Jf de f .

3. Calcúlense las ecuaciones respecto a ε de los subespacio afines in-

variantes por f .

4. Si σ′ es una simetría euclídea con base el plano x1 = 0, qué afirma-

ción sobre f ◦ σ′ es correcta:

a) es un movimiento helicoidal

b) es una traslación

c) es una simetría

d) es un giro

Demostración. 1)51 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

La matriz Mε (f) será de la forma

Mε (f) =

1 0 0 0

α a d g

β b e h

γ c f i

−→f =

a d g

b e h

c f i

Para determinar los coeficientes de Mε (f) empezamos utilizando que p es

un punto fijo, de manera que f (p) = p1 0 0 0

α a d g

β b e h

γ c f i

1

1

0

0

=

1

1

0

0

=

1

α− aβ − bγ − c

⇒α = 1− aβ = −bγ = −c

Como la recta afin R := (x2 = 0, x3 = 0) es invariante,−→f (−→v ) = 〈−→v 〉 = R,

donde −→v es el vector director de la recta R.

R := (x2 = 0, x3 = 0) =

⟨ 1

0

0

⟩ = 〈−→e1〉 = µ

1

0

0

−→f (−→e1) =

a d g

b e h

c f i

1

0

0

= µ

1

0

0

⇒ a = µ

b = 0

c = 0

De momento ya hemos averiguado b = 0 = c = β = γ.

Como f es un movimiento,−→f tiene que ser una transformación lineal

euclídea. En este caso, los autovalores de−→f solo pueden ser +1 o −1.

Como −→e1 es autovector, tenemos dos posibilidades:

1.−→f (−→e1) = −→e1

2.−→f (−→e1) = −−→e1

En el primer caso, tenemos:

a d g

0 e h

0 f i

1

0

0

= 1

1

0

0

⇒ a = 1⇒Mε (f) =

1 0 0 0

0 1 d g

0 0 e h

0 0 f i

Es decir, tenemos toda una línea de puntos de puntos fijos. Pero en el

enunciado se afirma que p es el único punto fijo, de manera que µ 6= 1.52 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Ahora, a d g

0 e h

0 f i

1

0

0

= −1

1

0

0

⇒ a = −1⇒Mε (f) =

1 0 0 0

2 −1 d g

0 0 e h

0 0 f i

El siguiente paso es utilizar que el polinomio característico tiene una so-

lución compleja,√

32 + i

2 , por lo que también su compleja-conjugada es

solución. Esto indica que existe un giro de ángulo θ tal que

cos θ =

√3

2sin θ =

1

2⇒ θ = 30

Este giro sólo deja invariante el eje de rotación, por lo que el eje debe ser

la recta R. Así

Mε (f) =

1 0 0 0

2 −1 0 0

0 0√

32 − 1

2

0 0 12

√3

2

Es decir, el movimiento f consiste en un giro de g = 30º compuesto con

una simetría euclídea σ con dirección paralela al eje de giro R y con base

el plano afin Π := (x1 = 0) (ver figura 4.1)

FIGURA 4.1. El movimiento f es la composición de una si-metría σ y un giro g.

53 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Mε (f) =

1 0 0 0

2 −1 0 0

0 0√

32 − 1

2

0 0 12

√3

2

=

1 0 0 0

2 −1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0√

32 − 1

2

0 0 12

√3

2

=

= σ ◦ g (θ = 30)

σ = σ (D = R := (x2 = 0, x3 = 0) , B = Π := (x1 = 0))

(4.1)−→f = −→σ ◦ −→g

En 4.1,−→f ,−→σ ,−→g son transformaciones lineales euclídeas. �

Demostración. 2)

Ahora buscamos la forma de Jordan Jf de f . Como f tiene puntos fijos

(por ejemplo, p), la forma de la matriz de Jordan será

Jf =

1 0 0 0

0

0−→f

0

Si nos fijamos en Mε

(−→f), ya tiene forma de Jordan, de manera que no

hace falta que la calculemos. Es decir, finalmente, la forma de Jordan Jf

es

Jf =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0√

32 − 1

2

0 0 12

√3

2

En este caso, ε′ =

{e′0;−→e′1 ,−→e′2 ,−→e′3

}= {e′0;−→e1 ,

−→e2 ,−→e3}, donde e′0 = (1, 1, 0, 0) (to-

mamos como origen del nuevo sistema de referencia el punto fijo de f . �

Demostración. 3) En este apartado nos concentramos en buscar los subes-

pacios afines invariantes por f . Empezamos buscando los invariantes vec-

toriales por−→f y después examinaremos si alguno de estos invariantes

también es invariante lineal.

Rectas invariantes: Utilizaremos el significado geométrico de−→f pa-

ra determinar los invariantes vectoriales. Recordamos que−→f es la

composición de un giro g de 30º y de una simetría σ. Por un lado

tenemos las rectas invariantes del giro. En este caso, la única recta

invariante por el giro g es la recta que tiene la misma dirección que54 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

el eje−→R . Esta recta tiene vector dirección −→v = (1, 0, 0) = −→e1. Las

ecuaciones de−→R respecto a ε son:

−→R := (x2 = 0, x3 = 0)

Además,−→R = ker

(−→f +

−→id).

Las rectas pertenecientes a la base de la simetría son invariantes respecto

a la simetría, pero no son invariantes con respecto al giro, por lo que no

hay más rectas invariantes.

Si observamos la forma de J−→f

vemos que esta recta está asociada al único

autovalor real de−→f (correspondiente a la simetría). El resto de la matriz

corresponde a los autovalores complejo conjugados λ =√

3±i2 (asociados al

giro).

Como estamos en dimensión 3, los hiperplanos son planos. Utilizando que

el número de hiperplanos invariantes coincide con el número de rectas

invariantes, tenemos que sólo hay un plano vectorial invariante por−→f .

Planos invariantes: Cualquier plano perpendicular a la dirección del

giro quedará invariante por él. Como la dirección de la simetría

coincide con el eje de giro, los planos perpendiculares a la direc-

ción del giro son precisamente los planos paralelos a la base de la

simetría. Estos planos paralelos a la base de la simetría quedan in-

variantes por la simetría σ. Como acabamos de ver, estos planos son

invariantes respecto al giro g y a la simetría σ, por lo que también

lo son con respecto a su composición−→f = −→g ◦ −→σ . Los planos vec-

toriales paralelos a la base de σ son−→Π := (x1 = 0), es decir, tienen

ecuaciones con respecto a ε

−→Π := (x1 = 0) = ker

(−→f2 −

√3−→f +

−→id)

El siguiente paso es comprobar si alguno de estos invariantes vectoriales

también es afín.

Como tenemos un punto fijo, podemos construir los invariantes afines

como la suma del punto fijo y el invariante vectorial. Así, la recta afín55 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

invariante será

R = p+−→R

=

1

1

0

0

+ λ

1

0

0

=

:= (x2 = 0, x3 = 0)

Y del mismo modo, el plano afín invariante Π

Π = p+−→Π

=

1

1

0

0

+ α

0

1

0

+ β

0

0

1

:= (x1 = 0)

Demostración. 4) Para averiguar cuál de las afirmaciones es correcta, cons-

truimos la matriz de la simetría σ′ y la componemos con f .

σ′ =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Si realizamos la composición f ◦ σ′

Mε (f ◦ σ′) =

1 0 0 0

2 −1 0 0

0 0√

32 − 1

2

0 0 12

√3

2

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

1 0 0 0

2 1 0 0

0 0√

32 − 1

2

0 0 12

√3

2

Es decir, que podemos descomponer f ◦ σ′ en

Mε (f ◦ σ′) =

1 0 0 0

2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0√

32 − 1

2

0 0 12

√3

2

=

= τ−→u ◦ g

Tenemos que la composición f ◦ σ′ resulta en una traslación τ−→u , con−→u = (2, 0, 0) y un giro g de 30º alrededor del eje x1 . Si trasladamos un

56 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

punto mientras lo giramos, obtenemos una espiral, o lo que es lo mismo,

un movimiento helicoidal (respuesta a)). �

Ejercicio 139. Sea E el espacio afín euclídeo de dimensión 3 y ε un siste-

ma de referencia euclídeo de E. Sea f el endomorfismo afín de E con:

Mε (f) =1

4

4 0 0 0

4 3 1√

6

4 1 3 −√

6

0 −√

6√

6 2

1. Probar que f es un movimiento.

2. Calcular el vector deslizamiento y la forma reducida de Jordan Jf

de f .

3. Hallar las ecuaciones respecto a ε’ de los subespacios afines inva-

riantes por f , donde ε′ es el sistema de referencia euclídeo de E tal

que Mε′ (f) = Jf .

Demostración. 1) Para demostrar que f es un movimiento, utilizamos la

siguiente cadena de razonamientos. Según la definición de Movimiento

( 92 en la página 26), f tiene que ser una isometría de E en E. Junto con

la proposición 91 en la página 26, toda isometría es isomorfismo afín, y su

aplicación lineal asociada es isometría vectorial. Con lo que, utilizando el

corolario 93 en la página 26, si f es movimiento, basta demostrar que−→f

es transformación lineal euclídea. El movimiento conserva la distancia, es

decir, es una transformación ortogonal, lo que significa que f t = f−1. Así,

basta con demostrar

−→f t·−→f =

−→id =

1

4

3 1 −√

6

1 3√

6√6 −

√6 2

1

4

3 1√

6

1 3 −√

6

−√

6√

6 2

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Demostración. 2) El vector deslizamiento −→v se define en 104 en la pági-

na 28, que hace referencia a la proposición 103 en la página 28, que dice

que si f es un movimiento sin puntos fijos, entonces existe una única

traslación τ−→v tal que τ−→v · f = f · τ−→v es movimiento con puntos fijos. Así,

empezamos comprobando si la f del enunciado tiene puntos fijos o no.57 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

1

4

4 0 0 0

4 3 1√

6

4 1 3 −√

6

0 −√

6√

6 2

1

a

b

c

=

1

a

b

c

=

4− a+ b+√

6c = 0

4 + a− b−√

6c = 0

−√

6a+√

6b− 2c = 0

−a+ b+√

6c = a− b−√

6c⇒ a− b =√

6c

− 2√6c = a− b→ − 2√

6c =√

6c⇒ −2 = 6!!

Vemos que f no tiene puntos fijos. Utilizando la proposición 103 en la pági-

na 28, existe una única transformación τ−→v tal que f = τ−→v ·g = g ·τ−→v , donde

g es un movimiento con puntos fijos. Además, el vector deslizamiento de f

cumple −→v ∈ ker(−→f −

−→id).

f (p) = (τ−→v · g) (p) = τ−→v · g (p) = g (p) +−→v

f (p) = (g · τ−→v ) (p) = g (τ−→v (p)) = g (p+−→v ) = g (p) +−→g (−→v )

De manera que, igualando las ecuaciones anteriores:

−→g (−→v ) = −→v

Pero como la transformación lineal asociada a una traslación es la iden-

tidad, de f = τ−→v · g tenemos−→f = −→τ−→v · −→g =

−→id · −→g = −→g de manera que la

igualdad anterior

(4.2) −→g (−→v ) = −→v =−→f (−→v )⇒

(−→f −

−→id)

(−→v ) = 0⇒ −→v ∈ ker(−→f −

−→id)

Utilizamos la condición 4.2 obtenemos

−→v ∈ ker(−→f −

−→id)⇒(−→f −

−→id)

(−→v ) =1

4

−1√

6

1 −1 −√

6

−√

6√

6 −2

x

y

z

=

0

0

0

−x+ y +√

6z = 0→ −x+ y +√

6

√6

2(x− y) = 0→ 2x = 2y

x− y −√

6z = 0

−√

6x+√

6y − 2z = 0→ z =

√6

2(x− y)⇒ z = 0

x = y

z = 0

58 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

De manera que −→v = (1, 1, 0). Ahora podemos calcular el módulo de despla-

zamiento µ = ‖−→v ‖ =√

2.

Jf =

1 0 0 0

µ

0 J−→f

0

Ahora sólo nos queda calcular J−→

f. Para ello, calculamos el polinomio ca-

racterístico χ−→f

(t).

También podríamos haber calculado el vector deslizamiento eligiendo p un

punto fijo cualquiera de g, de manera que

f (p) = (τ−→v · g) (p) = τ−→v · g (p) = τ−→v (p) = p+−→v ,

de manera que−→v = f (p)− p

que nos habría llevado al mismo resultado.

Vamos ahora a por la forma de J−→f

χ−→f

(t) =

∣∣∣∣∣∣∣34 − t

14

√6

414

34 − t −

√6

4

−√

64

√6

412 − t

∣∣∣∣∣∣∣ = −t3 + 2t2 − 2t+ 1 = − (t− 1)(t2 − t+ 1

)Como vemos, una de los valores propios es λ = 1, mientras que los dos

autovalores restantes son valores complejo conjugados, soluciones de:

λ =1

2±√

3

2i

De manera que la matriz de Jordan Jf queda

Jf =

1 0 0 0√2 1 0 0

0 0 12 −

√3

2

0 0√

32

12

Demostración. 3) En este apartado debemos encontrar las ecuaciones res-

pecto a ε′ de los subespacios invariantes por f , donde ε′ es el sistema de59 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

referencia euclídeo tal que Mε′ (f) = Jf . En este sistema, Jf es

Jf =

1 0 0 0√2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 12 −

√3

2

0 0√

32

12

Vemos que f se puede descomponer en una traslación τ−→v de vector −→v =(√

2, 0, 0)

y un giro g de ángulo π/3 y eje R, donde R es

R =

1

0

0

0

+

⟨ 1

0

0

⟩ := (y = 0, z = 0)

La composición de una rotación y un desplazamiento da lugar a un movi-

miento helicoidal, por lo que el único subespacio invariante es el generado

por la recta R, eje del giro. �

Ejercicio 140. Sea E2 el plano afín euclídeo. Obtener razonadamente la

matriz de Jordan y la descripción geométrica de un movimiento que sea

producto de dos simetrías euclídeas σ1 y σ2, respecto a dos rectas distin-

tas, r1 y r2.

Demostración. Para poder analizar el resultado de la composición de las

simetrías σ1 y σ2 debemos tener en cuenta la posición relativa de las rectas

r1 y r2.

r1 ‖ r2: En el caso de que las dos rectas sean paralelas, como ilustra

la figura 4.2, tenemos que las ecuciones de las rectas son:

r1 = e0 + 〈−→e2〉

r2 = e0 + a−→e1 + 〈−→e2〉

Y las matrices de las simetrías para el sistema de referencia ε =

FIGURA 4.2. Caso: Rectas r1 y r2 paralelas60 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

{e0,−→e1 ,−→e2} serán

Mε (σ1) =

1 0 0

0 −1 0

0 0 1

Mε (σ2) =

1 0 0

a −1 0

0 0 1

En este caso, la composición de las dos simetrías resulta:

Mε (σ2 · σ1) =

1 0 0

a −1 0

0 0 1

1 0 0

0 −1 0

0 0 1

=

1 0 0

a 1 0

0 0 1

Que es una traslación τ−→v con vector deslizamiento −→v =

(a

0

)=

a−→e1. Es decir, la composición de dos simetrías respecto a rectas

paralelas es una traslación en la dirección perpendicular a la de las

rectas.

r1, r2 forman un ángulo θ: En este caso, tenemos la situación repre-

sentada en la figura 4.3. Elegimos un sistema de referencia tal que

el origen es el punto donde se cruzan las dos rectas y uno de los

vectores del sistema de referencia coincide con la dirección de una

de las rectas. La segunda recta resulta de aplicar un giro de ángulo

θ a la primera recta.

FIGURA 4.3. Caso: Rectas r1 y r2 forman un ángul θ

e0 = r1 ∩ r2

r1 = e0 + 〈−→e1〉

r2 = gθ (r1)

donde gθ es el giro de centro e0 y ángulo θ que tiene la matriz

Mε (gθ) =

1 0 0

0 cos θ − sin θ

0 sin θ cos θ

61 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Las matrices para las simetrías son:

Mε (σ1) =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

Mε (σ2) = Mε (gθ) ·Mε (σ1) ·M−1

ε (gθ)

En primer lugar, obtenemos Mε (σ2) a partir de σ11

Mε (σ2) =

1 0 0

0 cos θ − sin θ

0 sin θ cos θ

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

1 0 0

0 cos θ sin θ

0 − sin θ cos θ

=

=

1 0 0

0 cos2 θ − sin2 θ −2 sin θ cos θ

0 2 sin θ cos θ − cos2 θ + sin2 θ

Una vez tenemos la matriz para Mε (σ2), obtenemos ahora la matriz

para la composición de las dos simetrí97as respecto a las rectas r1

y r2

M (σ2 · σ1) =

1 0 0

0 cos2 θ − sin2 θ −2 sin θ cos θ

0 2 sin θ cos θ − cos2 θ + sin2 θ

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

=

=

1 0 0

0 cos2 θ − sin2 θ −2 sin θ cos θ

0 2 sin θ cos θ cos2 θ − sin2 θ

=

1 0 0

0 cos (2θ) − sin (2θ)

0 sin (2θ) cos (2θ)

Es decir, que la composición de dos simetrías con respecto a rectas

que forman un determinado ángulo θ resulta en un giro de ángulo

2θ con centro en el punto de intersección e0 = r1 ∩ r2 de las dos

rectas.

Ejercicio 141. Sea E2 el plano afín euclídeo y ε = {e0,−→e1 ,−→e2} un sistema

de referencia euclídeo. Sea C el cuadrado con centro e0 y lados paraleos a−→e1 y −→e2 de longitud 2.

Hallar las matrices respecto a ε de dos movimientos directos distintos a la

identidad y dos movimientos inversos que dejen invariante al cuadrado C.

Describir dichos movimientos geométricamente.

1La matriz inversa de Mε (gθ) es la matriz correspondiente a un giro de −θ.62 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

FIGURA 4.4. Movimientos que dejan invariante el cuadrado C

Demostración. Buscamos movimientos que dejen invariante el cuadrado

C de la figura 4.4, es decir, movimientos tales que

g (C) = C

Para ello, distinguiremos entre movimientos directos e indirectos. Los mo-

vimientos f directos tienen asociada como transformación lineal−→f una ro-

tación: conservan la orientación y tienen determinante positivo det−→f = +1.

Los movimientos indirectos g tienen asociada como transformación lineal−→g una simetría (reflexión), ya que invierten la orientación y tienen deter-

minante negativo det−→g = −1. (Ver definición en la nota 97 en la página 26).

Empezamos buscando los movimientos directos (rotaciones) que dejan in-

variantes los puntos pi de los vértices del cuadrado:

p1 =

(1

1

)p2 =

(−1

1

)p3 =

(−1

−1

)p1 =

(1

−1

)(

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)(1

1

)=

(1

1

)= p1 ⇒ 2 cos θ = 2⇒ θ = 0

En este caso, no hay rotación, por lo que el movimiento es la identidad.

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)(1

1

)=

(−1

1

)= p2 ⇒ 2 cos θ = 0⇒ θ =

π

2

En este caso, tenemos la rotación de un cuarto de vuelta,−→fπ

2=

(0 −1

1 0

)63 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)(1

1

)=

(−1

−1

)= p3 ⇒ 2 cos θ = −2⇒ θ = π

En este caso, tenemos la rotación de media vuelta,−→fπ =

(−1 0

0 −1

)(

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

)(1

1

)=

(1

−1

)= p4 ⇒ 2 cos θ = 0⇒ θ = −π

2

En este caso, tenemos la rotación de un quarto de vuelta en sentido anti-

horario (o de tres cuartos de vuelta), que coincide con el caso θ = π2 .

Es decir, hemos encontrado dos rotaciones que dejan el cuadrado C inva-

riante:−→fπ

2=

(0 −1

1 0

)−→fπ =

(−1 0

0 −1

)

A continuación buscamos los movimientos indirectos. Observando la figu-

FIGURA 4.5. Simetrías que dejan invariante el cuadrado C

ra 4.5 observamos que tenemos cuatro simetrías posibles, σi,i = 1, 2, 3, 4.

σ1, σ2 son las simetrías que tienen como base la recta que pasa por e0 con

direcciones −→e1 y −→e2. Las simetrías σ3 y σ4 tienen como base las rectas que64 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

contienen e0 y direcciones −→e1 + −→e2 y −→e1 − −→e2 (las diagonales del cuadrado).

Las matrices de estas simetrías son:

−→σ1 =

(1 0

0 −1

)−→σ2 =

(−1 0

0 1

)

−→σ3 =

(0 −1

−1 −0

)−→σ4 =

(0 1

1 0

)�

Problema 142. Se E3 el espacio afín euclídeo de dimensión 3 y ε = {e0,−→e1 ,−→e2 ,−→e3}

un sistema de referencia euclídeo.

1. Hallar las matrices respecto a ε de los movimientos f de E3 que

dejan fija la recta R := (x1 = x2 = 0) y f (e0 +−→e1) = e0 +−→e2.

2. Caracterizar geométricamente los movimientos obtenidos en el apar-

tado anterior.

Demostración. Como f es un movimiento que deja invariante R, en par-

ticular deja invariante el punto e0, por lo que f tiene un punto fijo y su

matriz será de la forma

Mε (f) =

1 0 0 0

0

0−→f

0

Hemos dicho que e0 es fijo, de manera que f (e0) = e0, o sea que f (e0 +−→e1) =

e0 +−→e2 ⇒ f (−→e1) = −→e2. Por dejar la recta invariante R,−→f (−→e3) = −→e3, de manera

que sólo nos queda por determinar−→f (−→e2).

(−→f)

=

0 a 0

1 b 0

0 c 1

Para determinar a, b, c, utilizamos que como f es movimiento,−→f es trans-

formación euclídea, y por tanto verifica que−→f t−→f =

−→id 0 1 0

a b c

0 0 1

0 a 0

1 b 0

0 c 1

=

1 b 0

b a2 + b2 + c2 0

0 c 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⇒ b = c = 0

a2 = 1

65 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Es decir, que tenemos dos posibles movimientos que verifican las condi-

ciones del enunciado:

fa=1 =

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

fa=−1 =

1 0 0 0

0 0 −1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

Demostración. 2)

Calculamos el determinante de−−→fa=1 y

−−−→fa=−1 para determinar a qué tipo de

movimiento corresponde cada uno:

det−−→fa=1 =

∣∣∣∣∣∣∣0 1 0

1 0 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −1⇒ Movimiento inverso (simetría/reflexión)

det−−−→fa=−1 =

∣∣∣∣∣∣∣0 −1 0

1 0 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1⇒ Movimiento directo (rotación)

En el primer caso, la simetría σ+1 deja invariante −→e3, por lo que tiene

como base el plano Π := (x1 = x2) (ver figura 4.6) . En el segundo caso, el

FIGURA 4.6. Diagrama correspondiente al movimiento fa=1

66 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

movimiento corresponde a una rotación alrededor del eje −→e3 , por lo que cos θ − sin θ 0

sin θ cos θ 0

0 0 1

=

0 −1 0

1 0 0

0 0 1

⇒ θ =π

2

Es decir, fa=−1 corresponde a una rotación de θ = π2 (ver figura 4.7). �

FIGURA 4.7. Diagrama correspondiente al movimiento fa=−1

Ejercicio 143. Sea E3 el espacio afín euclídeo de dimensión 3 y sea ε =

{e0,−−−→e1,2,3} un sistema de referencia euclídeo. Sea f el movimiento afín de

E3 con

Mε (f) =

1 0 0 0

0 0 −1 0

4 −1 0 0

0 0 0 −1

1. Calcular el vector deslizamiento y la forma reducida de Jordan Jf

de f .

2. Hallar un sistema de referencia euclídeo ε′ tal que Mε′ (f) = Jf .

3. Hallar las ecuaciones respecto a ε′ de los subespacio afines inva-

riantes por f .

Demostración. 1)

Comprobamos si f tiene puntos fijos:

f (p) = p67 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR1 0 0 0

0 0 −1 0

4 −1 0 0

0 0 0 −1

1

a

b

c

=

1

a

b

c

1

−b4− a−c

=

1

a

b

c

⇒ a = −b = 4− b = a⇒ 0 6= 4

Es decir, f no tiene puntos fijos. En este caso, el vector deslizamiento−→v 6= 0 verifica

−→v = f (p)− p(4.3)−→v ∈ ker

(−→f −

−→id)

(4.4)

Con estas condiciones podemos encontrar el vector −→v .

De la condición 4.3 tenemos

−→v =

−a− b4− a− b−2c

De la condición 4.4 tenemos

ker(−→f −

−→id)

=x+ y = 0

z = 0

De manera que

4− 2a− 2b = 0⇒ a = 2− b

z = 0⇒ c = 0

Si elegimos b = 0, tenemos

−→v =

2

−2

0

‖−→v ‖ = µ =√

8 = 2√

2

El siguiente paso es determinar Mε

(−→f). Para ello, calculamos el polino-

mio característico χ−→f

(t)

χ−→f

(t) =

∣∣∣∣∣∣∣−t −1 0

−1 −t 0

0 0 −1− t

∣∣∣∣∣∣∣ = (1− t)2(1 + t)

68 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Tenemos t = −1 (doble) y t = 1. Como−→f es una trasformación lineal

euclídea2,−→J−→f

será de la forma

−→J−→f

=

1 0 0

0 −1 0

0 0 −1

Es decir, es un movimiento directo, en concreto una rotación de ángulo

θ = π.

Al final del día,

Jf =

1 0 0 0

2√

2 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

Demostración. 2) Ahora buscamos un sistema ε′ tal que Mε′ (f) = Jf .

Como f no tiene puntos fijos, utilizamos el 102 en la página 28 que dice:

f = τ−→v g = gτ−→v

donde g es un movimiento que sí tiene puntos fijos y con −→v = (−2, 2, 0) el

vector deslizamiento de f .

Mε (f) = τ−→v g1 0 0 0

0 0 −1 0

4 −1 0 0

0 0 0 −1

=

1 0 0 0

−2 1 0 0

2 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

a 0 −1 0

b −1 0 0

c 0 0 −1

⇒−2 + a = 0→ a = 2

2 + b = 4→ b = 2

c = 0

Mε (g) =

1 0 0 0

2 0 −1 0

2 −1 0 0

0 0 0 −1

2Si fuera de la forma

1

−1

1 −1

no sería una rotación.

69 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

El origen de ε′ es un punto fijo de g, g (e′0) = e′01 0 0 0

2 0 −1 0

2 −1 0 0

0 0 0 −1

1

a

b

c

=

1

a

b

c

1

2− b2− a−c

=

1

a

b

c

⇒ a = 2− ba = 2− bc = 0

Por lo que, eligiendo b = 0,

e′0 =

1

2

0

0

El siguiente paso es completar el sistema de referencia con los vectores de

ε′.

Utilizamos que las columnas de la forma de Jordan son una representa-

ción de la actuación de f sobre los vectores de−→e′i

f (e′0) = e0 + µ−→e′1 ⇒

−→e′1 =

1

µ(f − id) (e′0)(4.5)

−→f(−→e′1

)=−→e′1

−→f(−→e′2

)= −

−→e′2 ⇒

−→e′2 ∈ ker

(−→f +

−→id)

−→f(−→e′3

)= −

−→e′3 ⇒

−→e′3 ∈ ker

(−→f +

−→id)

Pero como f = τ−→v g, podemos simplificar 4.5, utilizando que g (e′0) = e′0 y

que τ−→v (e′0) = e′0 +−→v :

−→e′1 =

1

µ(f − id) (e′0) =

1

µ(τ−→v g − id) (e′0) =

=1

µ((τ−→v g) (e′0)− id (e′0)) =

1

µ(τ−→v (g (e′0))− e′0) =

=1

µ(τ−→v (e′0)− e′0) =

1

µ(e′0 +−→v − e′0) =

1

µ−→v

De manera que

−→e′1 =

1

µ−→v =

− 1√

21√2

0

70 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

y los vectores−→e′2,3 ∈ ker

(−→f +

−→id)

(linealmente independientes entre sí).

Además, por ser ε′ un sistema de referencia euclídeo, los vectores forman

una base ortonormal, es decir,−→e′i ⊥

−→e′j = δij y

∥∥∥−→e′i∥∥∥ = 1∀i = 1, 2, 3.

Buscamos los vectores−→e′2 y

−→e′3 , que son linealmente independientes y or-

tonormales.

ker(−→f +

−→id)

=

1 −1 0

−1 1 0

0 0 0

x

y

z

=

0

0

0

⇒ x = y

Elegimos−→e′2 =

0

0

1

(que ya tiene norma 1) y−→e′3 =

1√2

1√2

0

(que hemos

normalizado).

Al final

ε′ =

1

2

0

0

,

− 1√

21√2

0

,

0

0

1

,

1√2

1√2

0

Demostración. 3) Nos piden encontrar las ecuaciones de los subespacios

afines invariantes con ecuaciones respecto a ε′, de manera que trabajare-

mos con Mε′ (f) = Jf .

FIGURA 4.8. f describe un movimiento helicoidal, ya quees la composición de una translación y un giro de θ = π.

71 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

El movimiento f hemos visto que puede descomponerse en una traslación

y un giro, por lo que representa un movimiento helicoidal (ver figura 4.8).

En este tipo de movimiento sólo suele quedar invariante la recta del eje de

giro. En este caso, como la rotación es de θ = π, tenemos también el haz

de planos que contiene la recta del eje de giro.

Jf =

1 0 0 0

2√

2 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

=

1 0 0 0

2√

2 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

= τ−→u g

Empezamos buscando los subespacios invariantes vectoriales.

Las rectas vectoriales invariantes están asociadas a los valores propios

reales del polinomio característico.

ker(−→f −

−→id)

=

0 0 0

0 −2 0

0 0 −2

x

y

z

=

0

0

0

⇒ x = y = 0

Tenemos una recta vectorial−→R := (x2 = 0, x3 = 0)

ker(−→f +

−→id)

=

2 0 0

0 0 0

0 0 0

x

y

z

=

0

0

0

⇒ x = 0

No es una recta.

Como estamos en dimensión 3, el número de hiperplanos (planos) coinci-

de con el número de rectas vectoriales invariantes, es decir, hay un plano

vectorial invariante, que corresponde al valor t = −1(doble). Para averiguar

las ecuaciones del plano vectorial invariante buscábamos los vectores pro-

pios asociados a−→f t. Como

−→f es diagonal,

−→f =

−→f t.

−→Π := (x1 = 0) := (αx2 + βx3 = 0)

El siguiente paso es comprobar si los subespacios vectoriales invariantes

son también subespacios afines invariantes. Para comprobarlo, debemos

comprobar si −→v = f (p) − p ∈−→X , donde

−→X es el subespacio vectorial inva-

riante.72 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Calculamos primero −→v = f (p)− p

−→v =

1 0 0 0

2√

2 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

1

a

b

c

1

a

b

c

=

0

2√

2

−2b

−2c

Empezamos con la recta

−→R := (x2 = 0, x3 = 0). −→v ∈

−→R ⇒ −2b = 0,−2c = 0,

es decir, −→v ∈−→R ⇐⇒ b = 0 = c . Por tanto, tenemos que

R =

1

0

0

0

+

⟨ 1

0

0

es recta afín invariante.

FIGURA 4.9. Haz de planos afines invariantes

El haz de planos Hα,β := (αx2 + βx3 = 0) (ver 4.9) contiene la recta R tam-

bién es invariante, ya que cada punto del plano, tras la rotación de θ = π,

acaba en la otra hoja del plano (cosa que no pasa en general, para rotacio-

nes θ 6= π). �

5. CAPÍTULO 12 - SEMEJANZAS

5.1. Problemas Tema 12.73 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Ejercicio 144. Sea E3 el espacio afín euclídeo de dimensión 3 y sea ε =

{e0,−→ei,; i = 1, 2, 3} un sistema de referencia euclídeo. Sean

P1 =

1

1

0

0

P2 =

1

0

1

0

P3 =

1

0

0

1

P ′1 =

1

0

2

2

P ′2 =

1

2

0

2

P ′3 =

1

2

2

0

1. Sea T el triángulo de vértices P1, P2 y P3. Hallar la matriz respecto a

ε de la homotecia afín h de centro el baricentro b de T y razón λ = 2.

2. Hallar la matriz respecto de ε del giro g de ángulo π y eje de giro la

recta R = e0 +⟨−→e0b⟩.

3. Sea τ la traslación de vector 3−→e0b. Probar que s = g · τ · h es una

semejanza de E3 que transforma el triángulo T en el triángulo T ′ de

vértices P ′1, P′2 y P ′3.

4. Hallar el movimiento asociado a la semejanza s.

Demostración. 1) El baricentro del triángulo es el punto que equidista de

todos sus vértices. En general podemos obtener el baricentro 3 de una

figura con k vértices mediante

b =P1 + P2 + · · ·+ Pk

k

En nuestro caso, k = 3, de manera que

b =

1131313

Ahora que tenemos el centro de la homotecia, sabemos que h deja fijo el

punto b, mientras que su aplicación lineal asociada−→h = 2

−→id, por lo que

Mε (h) es

Mε (h) =

1 0 0 0

α 2 0 0

β 0 2 0

γ 0 0 2

3barycenter o centroid en inglés.

74 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Utilizando que h deja el punto b fijo, obtenemos1 0 0 0

α 2 0 0

β 0 2 0

γ 0 0 2

1131313

=

1131313

1

α+ 23

β + 23

γ + 23

=

1131313

⇒ α = −1

3= β = γ

Por lo que, finalmente,

Mε (h) =

1 0 0 0

− 13 2 0 0

− 13 0 2 0

− 13 0 0 2

Demostración. 2) Tenemos que hallar la matriz del giro g de ángulo θ = π

y con eje de giro la recta−→R = e0 +

⟨−→e0b⟩. La matriz del giro restringida a

−→R

se comporta como la identidad, ya que deja la recta invariante:

(5.1) −→g |−→R

=−→id

Para los vectores perpendiculares a la dirección de la recta−→R , el giro de

θ = π convierte los vectores del plano en su inverso, con lo que −→g |−→Π

se

comporta como −−→id (ver figura 5.1), donde −→w1 y −→w2 son dos vectores lineal-

mente independientes del plano−→Π , perpendicular a

−→R .

(5.2) −→g |−→Π

= −−→id

−→g |θ=π = −−→id

Obtenemos los vectores −→wi con la condición de perpendicularidad a −→v ⇒(−→v |−→wi) = 0⇒ x+ y + z = 0, de manera que tenemos los vectores:

−→w1 =

1

0

−1

−→w2 =

0

1

−1

75 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

FIGURA 5.1. El giro −→g de ángulo θ = π se comporta comoun cambio de signo para los vectores del plano perpendicu-lar a la dirección de

−→R

Ahora vamos a determinar los coeficientes que componen la matriz del

giro −→g , Mε (−→g )

Mε (−→g ) =

a b c

d e f

g h i

Con lo que utilizando las condiciones 5.1 y 5.2 tenemos, para el vector

dirección de la recta−→R : a b c

d e f

g h i

1

1

1

=

1

1

1

a+ b+ c

d+ e+ f

g + h+ i

=

1

1

1

⇒a = 1− b− cd = 1− e− fg = 1− h− i

76 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Y para los vectores perpendiculares a la recta, para los que el giro se

comporta como −−→id: 1− b− c b c

1− e− f e f

1− h− i h i

0

1

−1

=

0

−1

1

b− c

e− fh− i

=

0

−1

1

⇒b = c

e = −1 + f

h = 1 + i

1− 2c c c

2− 2f −1 + f f

−2i 1 + i i

1

0

−1

=

−1

0

1

1− 2c− c

2− 2f − f−2i− i

=

−1

0

1

⇒c = 2

3

f = 23

i = − 13

Con lo que hemos podido determinar todos los coeficientes de la matriz

Mε (−→g )

Mε (−→g ) =

−13

23

23

23 − 1

323

23

23 − 1

3

Finalmente, teniendo en cuenta que g tiene puntos fijos (por ejemplo, e0),

la forma final de Mε (g) es

Mε (g) =

1 0 0 0

0 − 13

23

23

0 23 − 1

323

0 23

23 − 1

3

Demostración. 3) Para averiguar si s = g · τ3−→e0b· h es una semejanza y com-

probar si transforma los vértices del triángulo T en los del T ′ (expresados77 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

por P ′i ), multiplicamos las matrices para cada una de las transformacio-

nes que componen s .

En el caso de la traslación τ3−→e0b

tenemos que

Mε (τ) =

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

De manera que ahora, s es

s = Mε (g)Mε (τ)Mε (h) =

=

1 0 0 0

0 − 13

23

23

0 23 − 1

323

0 23

23 − 1

3

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

1 0 0 0

− 13 2 0 0

− 13 0 2 0

− 13 0 0 2

=

=1

3

3 0 0 0

2 −2 4 4

2 4 −2 4

2 4 4 −2

El siguiente paso es comprobar que s transforma los vértices de T en los

de T ′ , es decir, mantiene la forma de los objetos transformados.

Mε (s)P1 = Mε (s)

1

1

0

0

=

1

3

3 0 0 0

2 −2 4 4

2 4 −2 4

2 4 4 −2

1

1

0

0

=1

3

3

0

6

6

=

1

0

2

2

= P ′1

78 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Mε (s)P2 = Mε (s)

1

0

1

0

=

1

3

3 0 0 0

2 −2 4 4

2 4 −2 4

2 4 4 −2

1

0

1

0

=1

3

3

6

0

6

=

1

2

0

2

= P ′2

Mε (s)P3 = Mε (s)

1

0

0

1

=

1

3

3 0 0 0

2 −2 4 4

2 4 −2 4

2 4 4 −2

1

0

0

1

=1

3

3

6

6

0

=

1

2

2

0

= P ′3

Para cualquier vector −→w = (w1, w2, w3),

−→s (−→w ) =1

3

−2 4 4

4 −2 4

4 4 −2

1

w1

w2

w3

=

=1

3

−2w1 + 4w2 + 4w3

4w1 − 2w2 + 4w3

4w1 + 4w2 − 2w3

=

=4

3

w1 + w2 + w3

w1 + w2 + w3

w1 + w2 + w3

− 2

w1

w2

23

(5.3)

Utilizando la proposición 111 en la página 30, en particular la segun-

da afirmación, vemos que si f es una transformación afín, entonces su

transformación lineal asociada es una semejanza vectorial, es decir

∃ρ ∈ R+ tal que∥∥∥−→f (−→v )

∥∥∥ = ρ ‖−→v ‖ ∀−→v ∈−→E

Así que en nuestro caso, al comprobar que:79 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

‖−→s (−→v )‖ =

√√√√ 3∑i=1

(4

3(w1 + w2 + w3)− 2wi

)2

=

=

√16

3(w1 + w2 + w3) + 4 (w2

1 + w22 + w2

3)− 16

3(w1 + w2 + w3) =

= 2√w2

1 + w22 + w2

3 =

= 2 ‖−→v ‖

Es decir,

‖−→s (−→w )‖ = 2 ‖−→v ‖

se demuestra que s es una semenjanza de razón 2. �

Demostración. 4) Recordamos que según la observación 115 en la pági-

na 31, aunque existen infinitas formas de descomponer una semejanza s

de razón ρ 6= 1 en producto de homotecia de razón positiva y un movimien-

to, si exigimos que la homotecia y el movimiento conmuten, entonces esta

descomposición es única.

Así, en nuestro caso, el movimiento asociado a una semejanza s será el

único movimiento f tal que

s = f · φ = φ · f

donde φ es una homotecia φ = φ (c, λ) donde la razón λ de φ coincide con

la razón de la semejanza y el centro c de φ coincide con el único punto fijo

de la semejanza s. Como la razón de la semejanza s coincide con la razón

de la homotecia φ (λ = 2), tenemos que

Mε (φ) =

1 0 0 0

α 2 0 0

β 0 2 0

γ 0 0 2

Sabemos que la homotecia sólo tiene un punto fijo, lo que nos permite

obtener los coeficientes desconocidos de Mε (φ). Este punto fijo (tanto de la

homotecia como del movimiento asociado, como indica la proposición 117

en la página 32) es el centro de la semejanza s. En nuestro caso el centro80 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

de la semejanza es el punto c =(1,− 2

3 ,−23 ,−

23

)como obtenemos de:

Mε (φ) (c) = c1 0 0 0

α 2 0 0

β 0 2 0

γ 0 0 2

1232323

=

1232323

1

α+ 43

β + 43

γ + 43

=

1232323

De manera que, al final

α = β = γ = −2

3Con esto hemos determinado la homotecia φ

Mε (φ) =

1 0 0 0

− 23 2 0 0

− 23 0 2 0

− 23 0 0 2

Para determinar el movimiento, podríamos darnos cuenta que

Mε (τ)Mε (h) =

1 0 0 0

− 23 2 0 0

− 23 0 2 0

− 23 0 0 2

= Mε (φ)

Y como

s = φ · f = f · φ

s = g · τ · h

Entonces, Mε (φ) = Mε (τ · h)⇒Mε (f) = Mε (g) ⇐⇒ f = g . Es decir, que

Mε (f) = Mε (g) =

1 0 0 0

0 − 13

23

23

0 23 − 1

323

0 23

23 − 1

3

Ejercicio 145. Sea E2 el plano afín euclídeo y ε = {e0,−→e1 ,−→e2} un sistema

de referencia euclídeo. Sea C el cuadrado con centro e0 y lados paralelos

a −→e1 y −→e2 de longitud 2.81 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

Hallar la matriz de una semejanza que transforme el cuadrado C en el

cuadrado C ′ de lados paraleos a −→e1y −→e2 con centro en

1

1

2

y tal que el

área de C ′ sea el doble que el área de C.

Demostración. Una semejanza puede descomponerse en la una traslación

y una homotecia. Como la semejanza que buscamos queremos que dupli-

que el área del cuadrado, empezamos buscando qué relación hay entre la

longitud de los lados de C y C ′.

El área de un cuadrado es A (C) = l2. En nuestro caso, A (C) = 22 = 4.

El área del cuadrado semejante es A (C ′) = 2A (C) = 8 = l′ ⇒ l′ =√

8. El

cociente l′

l = λ = 2√

22 =

√2 es la razón de la homotecia h. El centro de la

homotecia es el origen del sistema de referencia, e0 =

1

0

0

, de manera

que

Mε (h) =

1 0 0

0√

2 0

0 0√

2

Después de realizar el cambio de tamaño, realizamos la traslación. El vec-

tor −→v vendrá dado por la diferencia entre los dos puntos centrales de los

cuadrados,

−→v = e′0 − e0 =

1

1

2

− 1

0

0

=

(1

2

)

Por lo que

Mε (τ−→v ) =

1 0 0

1 1 0

2 0 1

Finalmente, la matriz de la semejanza que buscamos (ver 5.2):

82 Problemas

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ÁLGEBRA II-APUNTES 2C XAVIER AZNAR

FIGURA 5.2. Semejanza

Mε (s) = Mε (h)Mε (τ−→v ) =

=

1 0 0

0√

2 0

0 0√

2

1 0 0

1 1 0

2 0 1

=

=

1 0 0

1√

2 0

2 0√

2

83 Problemas

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ÍNDICE ALFABÉTICO

índice de positividad, 9

índices de inercia, 9

Base ortogonal, 7

Base ortonormal, 9

Bases duales, 2

Centro de Semejanza, 32

Clasificación equiforme de semejanzas

sin puntos fijos, 34

Criterio de Silvester, 14

Desigualdad de Cauchy-Swartz, 15

Diagonalización, 10

Discriminante, 11

Distancia entre dos puntos, 23

Distancia entre subespacios, 23

Distancia euclídea, 23

distancia euclídea, 24

Endomorfismo simétrico, 21

Equivalencia equiforme, 33

Equivalencia lineal de formas

cuadráticas, 10

Equivalencia lineal de formas

cuadráticas en C., 11

Equivalencia lineal de formas

cuadráticas en R., 11

Equivalencia métrica, 18, 33

Espacio afín euclídeo, 23

Espacio dual, 2

Espacio vectorial métrico, 6, 14

Espacio vectorial métrico no degenerado,

15

Expresiones analíticas, 4

Forma bilineal no degenerada, 5

Forma cuadrática, 3

Forma lineal, 1

Geometría afín equiforme, 31

Grupo ortogonal, 13

Grupos vectoriales isométricos, 13

Identidades de Parseval, 17

Isometría, 12, 25

Ley de Inercia, 9

Método de Gauss, 11

Método de Lagrange, 11

Método de ortogonalización de Schmitd,

16

Módulo de deslizamiento, 28

Matrices congruentes, 5

Modelo analítico cartesiano de espacio

afín euclídeo, 24

movimiento, 26

Movimientos, 26

Movimientos directos e inversos, 26

número de negatividad, 9

Norma (euclídea), 14

Ortogonalidad, 2, 7

Polinomio característico, 33

Producto escalar, 6

Producto escalar euclídeo, 14

Propiedad triangular de la distancia

euclídea, 23

Proyección ortogonal, 16

Radical, 6

Rango, 5, 6

razón de la semejanza vectorial, 31

razón de semejanza, 31

Reflexiones, 18

Rotaciones, 18

Semejanzas, 30

signatura, 9

Simetría afín euclídea, 26

Simetría ortogonal, 13

Sistema de referencia euclídeo, 24

Subespacio ortogonal, 7

Teorema de Cartan-Dieudonné, 18, 26

Teorema de clasificación, 28, 34

Teorema de Pitágoras, 23

Teorema de Silvester, 9

Vector deslizamiento, 28

Vectores ortogonales, 7

84