OPERADORES FRACCIONARIOS PARA MEDIDAS NO … · Demostraci´on. Adaptemos la prueba que da Stein...

$: OPERADORES FRACCIONARIOS PARA MEDIDAS NO … · Demostraci´on. Adaptemos la prueba que da Stein [?] para Rn. Podemos tomar f ≥ 0. I ... α un nu´cleo fraccionario con regularidad$
OPERADORES FRACCIONARIOS PARA MEDIDASNO DOBLANTES

JOSE GARCIA-CUERVA Y ANGEL EDUARDO GATTO

dedicado a Carlos Segovia Fernandez

1. Introduccion

Supongamos que µ es una medida de Borel en el espacio metrico(X, d), a la que solo le pedimos que sea finita sobre bolas y que notenga atomos. Estamos interesados en las propiedades de acotaciondel operador integral

Jβf(x) =

∫X

f(y)

d(x, y)βdµ(y), β > 0.

Supongamos que sabemos que este operador esta acotado de Lp(µ) enLq(µ) para unos ciertos p, q ∈ [1,∞]. Sea B una bola abierta de radior. Entonces, para cada x ∈ B tenemos la estimacion

JβχB(x) ≥∫

B

dµ(y)

d(x, y)β≥ µ(B)

(2r)β.

Si esta estimacion la combinamos con la acotacion Lp → Lq que esta-mos suponiendo, resulta que

1

(2r)βµ(B)1+ 1

q ≤ ‖JβχB‖q ≤ C ‖χB‖p = Cµ(B)1/p.

Date: San Luis, 20 de septiembre de 2001.Investigacion financiada, en parte, por la DGES de Espana, proyecto PB97-0030

y, para el segundo autor, por sabaticos del Ministerio de Educacion de Espana yde la Universidad De Paul, Chicago, EEUU.

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108 JOSE GARCIA-CUERVA Y ANGEL EDUARDO GATTO

Esto solo puede suceder para 1+1/q−1/p > 0, en cuyo caso obtenemos

µ(B) ≤ Crn, donde n =β

1 + 1q− 1

p

> 0.

Esta es la condicion fundamental que les pediremos a las medidas, loque permitira, en particular, que no sean doblantes. Ası llegamos a lanocion de espacio “no homogeneo”, introducida por Nazarov, Treil yVolberg en [?] y que definimos en la seccion siguiente.

Para que el nucleo de Jβ resulte localmente integrable con respectoa µ, pediremos que β < n y pondremos β = n − α, α > 0. Asıtendremos que 1/q = 1/p− α/n.

2. Espacios “no homogeneos”. Hechos basicos.

Mientras no se diga otra cosa, en todo lo que sigue, (X, d, µ) va aser un espacio “no homogeneo”. Esto significa que d es una distanciaen X y µ una medida de Borel en X, tales que, para cada bola

B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} , x ∈ X, r > 0,

se cumple

(2.1) µ(B(x, r)) ≤ Crn, donde n es un numero real positivo.

A veces nos referiremos a la condicion (??) diciendo que la medida µes n−dimensional.

Aunque en un espacio metrico arbitrario, una bola no determinade forma unıvoca ni su centro ni su radio, cuando hablemos de “labola B”, daremos por sobreentendido, que hemos elegido para ella uncentro y un radio. Ası tiene sentido decir que si B es una bola y kes un numero real positivo, denotaremos por kB la bola con el mismocentro que B y radio k veces el de B.

Lema 2.1. Para cada γ > 0

(2.2)

∫B(x,r)

1

d(x, y)n−γdµ(y) ≤ Crγ

OPERADORES FRACCIONARIOS PARA MEDIDAS NO DOBLANTES 109

Demostracion. Si n ≤ γ, (??) se sigue inmediatamente de (??). Siγ < n, escribimos∫

B(x,r)

1

d(x, y)n−γdµ(y) =

∞∑j=0

∫2−j−1r≤d(x,y)<2−jr

1

d(x, y)n−γdµ(y)

≤∞∑

j=0

1

(2−j−1r)n−γµ(B(x, 2−jr))

≤∞∑

j=0

2(j+1)(n−γ)

rn−γC(2−jr)n = C

∞∑j=0

2−γjrγ = Crγ.

�

Lema 2.2. Para cada γ > 0

(2.3)

∫X\B(x,r)

1

d(x, y)n+γdµ(y) ≤ Cr−γ

Demostracion.∫X\B(x,r)

1

d(x, y)n+γdµ(y) =

∞∑j=0

∫2jr≤d(x,y)<2j+1r

1

d(x, y)n+γdµ(y)

≤∞∑

j=0

µ(B(x, 2j+1r))

(2jr)n+γ≤ C

∞∑j=0

(2j+1r)n

(2jr)n+γ= C

∞∑j=0

2−γjr−γ = Cr−γ.

�

3. Integrales fraccionarias. Teorema deHardy-Littlewood-Sobolev

Definicion 3.1. Sea 0 < α < n. La integral fraccionaria Iα asociadaa la medida µ la definiremos, para funciones apropiadas f sobre Xcomo

(3.1) Iαf(x) =

∫X

f(y)

d(x, y)n−αdµ(y).


Teorema 3.2. Para 1 ≤ p < nα

y 1q

= 1p− α

n, tenemos

(3.2) µ ({x ∈ X : |Iαf(x)| > λ}) ≤

(C ‖f‖Lp(µ)

λ

)q

,

es decir, Iα es acotado de Lp(µ) en el espacio de Lorentz Lq,∞(µ).

Demostracion. Adaptemos la prueba que da Stein [?] para Rn.Podemos tomar f ≥ 0.

Iαf(x) =

∫X

f(y)

d(x, y)n−αdµ(y) = I + II,

donde I es la integral sobre B(x, r) y II es la integral sobreX \B(x, r). Por la desigualdad de Holder, si p > 1,

|II| ≤ ‖f‖Lp(µ)

(∫X\B(x,r)

1

d(x, y)(n−α)p′dµ(y)

)1/p′

.

(n− α)p′ = n + γ, donde γ = n(p′ − 1)− αp′, de modo que

γ

p′= n

(1− 1

p′

)− α =

n

p− α > 0.

Por el Lema ?? |II| ≤ ‖f‖Lp(µ)

(Cr−γ

)1/p′= C ‖f‖Lp(µ) r−(n

p−α),

estimacion que vale incluso para p = 1. Podemos suponer y suponemosque ‖f‖Lp(µ) = 1. Tambien, para λ > 0, elegimos r de forma que sea

Cr−(np−α) = λ/2. Entonces

{x ∈ X : |Iαf(x)| > λ} ⊂ {x ∈ X : |I| > λ/2}∪ {x ∈ X : |II| > λ/2}


Por la relacion entre r y λ, el segundo de estos conjuntos es vacıo.Usamos de nuevo la desigualdad de Holder para obtener

|I| ≤(∫

B(x,r)

|f(y)|p

d(x, y)n−αdµ(y)

)1/p(∫B(x,r)

dµ(y)

d(x, y)n−α

)1/p′

≤ Crα/p′(∫

B(x,r)

|f(y)|p

d(x, y)n−αdµ(y)

)1/p

,

donde hemos usado el Lema ??. Despues, usando la desigualdad deTchebichev, conseguimos

µ ({x ∈ X : |Iαf(x)| > λ}) ≤ µ ({x ∈ X : |I| > λ/2})

≤ Crαp/p′λ−p

∫X

∫B(x,r)

|f(y)|p

d(x, y)n−αdµ(y) dµ(x)

= Crαp/p′λ−p

∫X

∫B(y,r)

dµ(x)

d(x, y)n−α|f(y)|p dµ(y)

≤ Crαp/p′rαλ−p = Crn = Cλ−q, ya que λ = Cr−(n/p−α).

�

Corolario 3.3. Para 1 < p < nα

y 1q

= 1p− α

n, tenemos

(3.3) ‖Iαf‖Lq(µ) ≤ C ‖f‖Lp(µ)

Demostracion. Basta aplicar el teorema de interpolacion de Marcinkiewiczcon ındices algo mayor y algo menor que p. �

Teorema 3.4. Para una medida µ, finita sobre bolas y que no tengaatomos, la condicion (??) es necesaria para que se cumpla el teoremade Hardy-Littlewood-Sobolev.

Demostracion. Supongamos que se cumple (??). Sea B una bolade radio r. Si µ(B) = 0, entonces (??) es cierta trivialmente. Seaµ(B) 6= 0. Para cada x ∈ B, tenemos

IαχB(x) ≥∫

B

1

d(x, y)n−αdµ(y) ≥ 1

(2r)n−αµ(B).


Aplicando (??) obtenemos

1

(2r)n−αµ(B)1+ 1

q ≤(∫

B

|IαχB(x)|q dµ(x)

)1/q

≤ C ‖χB‖Lp(µ) = Cµ(B)1/p,

que equivale a

(3.4) µ(B)1+ 1q− 1

p ≤ C (rn)1−αn .

Como 1 + 1q− 1

p= 1 − α

n, la desigualdad (??) es precisamente, la

condicion (??). Un argumento similar funciona si suponemos (??). �

4. Operadores Integrales Fraccionarios

Definicion 4.1. Sean 0 < α < n y 0 < ε ≤ 1. Una funcionkα : X× X −→ C se dice que es un nucleo fraccionario de orden α

y regularidad ε si satisface las dos condiciones siguientes:

(4.1) |kα(x, y)| ≤ C

d(x, y)n−α, para todos x 6= y;

y

(4.2) |kα(x, y)− kα(x′, y)| ≤ Cd(x, x′)ε

d(x, y)n−α+ε.

para d(x, y) ≥ 2 d(x, x′). El correspondiente operador Kα, al que lla-maremos “operador integral fraccionario”, vendra dado por

(4.3) Kα(f)(x) =

∫X

kα(x, y) f(y) dµ(y).

Por (??), Kα(f) esta bien definido para f ∈ Lp(µ), 1 ≤ p < nα

y(??) o (??) son tambien validas para el, como lo son para Iα(f). Acontinuacion vemos que la integral fraccionaria Iα es un ejemplo deoperador integral fraccionario con un nucleo de regularidad 1.

Lema 4.2. Sean x, y, z ∈ X tales que 2d(x, y) ≤ d(x, z). Entonces

(4.4)

∣∣∣∣ 1

d(x, z)n−α− 1

d(y, z)n−α

∣∣∣∣ ≤ Cd(x, y)

d(x, z)n−α+1.


Demostracion. Por el teorema del valor medio del calculo diferencialreal, tenemos, para s, t > 0∣∣sα−n − tα−n

∣∣ ≤ (n− α) |(1− θ)s + θt|α−n−1 |s− t|para algun θ ∈]0, 1[. Ahora, teniendo en cuenta que 2d(x, y) ≤ d(x, z),obtenemos∣∣∣∣ 1

d(x, z)n−α− 1

d(y, z)n−α

∣∣∣∣ ≤ C |d(x, z)− d(y, z)|d(x, z)n−α+1

≤ Cd(x, y)

d(x, z)n−α+1.

�

Definicion 4.3. Sea kα un nucleo fraccionario de regularidad ε, f ∈Lp(µ), p > n/α, y α− n

p< ε. Definimos

(4.5) Kαf(x) =

∫X{kα(x, y)− kα(x0, y)} f(y) dµ(y),

donde x0 is algun punto fijo de X.

Observamos que la integral en (??) converge tanto localmente comoen ∞ como consecuencia de (??), (??) y de la desigualdad de Holder.Desde luego la funcion definida depende de la eleccion de x0. Pero lasfunciones obtenidas para diferentes elecciones de x0 solo difieren enuna constante.

5. Espacios de Lipschitz

De ahora en adelante supondremos que µ(X) = ∞. Los resultadosque siguen son tambien ciertos cuando µ(X) < ∞, pero en tal caso,hay otros resultados que son mas apropiados.

Definicion 5.1. Dado β ∈]0, 1[, diremos que la funcionf : X → R satisface una condicion de Lipschitz de orden β si

(5.1) |f(x)− f(y)| ≤ Cd(x, y)β para cada x, y ∈ Xy la constante mas pequena en la desigualdad (??) se denotara me-diante ‖f‖Lip(β) Es facil ver que el espacio vectorial de todas las fun-ciones Lipschitz de orden β, modulo constantes, se convierte, con lanorma ‖ ‖Lip(β) , en un espacio de Banach, al que llamaremos Lip(β).


Teorema 5.2. Sea kα un nucleo fraccionario con regularidad ε. Si

p > n/α y α − np

< ε, entonces Kα lleva Lp(µ) acotadamente en

Lip(α− n

p

).

Demostracion. Consideremos x 6= y y sea B la bola abierta decentro x y radio r = d(x, y). Entonces,

∣∣∣Kαf(x)− Kαf(y)∣∣∣ ≤

∫2B

|kα(x, z)| |f(z)| dµ(z)

+

∫2B

|kα(y, z)| |f(z)| dµ(z)

+

∫X\2B

|kα(x, z)− kα(y, z)| |f(z)| dµ(z).

Acotaremos cada uno de estos tres terminos separadamente. Para losdos primeros usamos (??) y la desigualdad de Holder.

∫2B

|kα(x, z)| |f(z)| dµ(z) ≤∫

2B

|f(z)|d(x, z)n−α

dµ(z)

≤ ‖f‖Lp(µ)

(∫2B

dµ(z)

d(x, z)(n−α)p′

)1/p′

Observamos que (n− α)p′ = n− p′(α− n

p

)y, como α − n

p> 0, la

integral converge y, en virtud del Lema ??, tenemos∫2B

|kα(x, z)| |f(z)| dµ(z) ≤ C ‖f‖Lp(µ) (2r)α−(n/p).

El segundo termino se acota de forma similar teniendo en cuenta que2B ⊂ B(y, 3r).


Para estimar el tercer termino usamos (??) y la desigualdad deHolder, obteniendo∫

X\2B

|kα(x, z)− kα(y, z)| |f(z)| dµ(z)

≤∫

X\2B

Cd(x, y)ε

d(x, z)n−α+ε|f(z)| dµ(z)

≤ Cd(x, y)ε ‖f‖Lp(µ)

(∫X\2B

dµ(z)

d(x, z)(n−α+ε)p′

)1/p′

.

Observamos que (n − α + ε)p′ = n + p′(

np

+ ε− α)

y puesto que,

por hipotesis np

+ ε− α > 0, la integral converge y, por el Lema ??∫X\2B

|kα(x, z)− kα(y, z)| |f(z)| dµ(z) ≤ C ‖f‖Lp(µ) d(x, y)α−np .

Sumando las tres estimaciones obtenemos∣∣∣Kαf(x)− Kαf(y)∣∣∣ ≤ C ‖f‖Lp(µ) d(x, y)α−n

p ,

que es lo que querıamos demostrar. �

Teorema 5.3. Sea kα un nucleo fraccionario con regularidad ε, y sean

α, β > 0 tales que α + β < ε. Entonces Kα es un operador acotado de

Lip(β) en Lip(α + β) si y solo si Kα(1) = 0.

Demostracion. Para ver que la condicion es necesaria, observamos

que la continuidad del operador Kα implica que Kα(1) ha de ser una

constante. Por otro lado, Kα(1)(x0) = 0. Por consiguiente, la con-stante tiene que ser 0.

Para probar la suficiencia consideramos x 6= y puntos de X, y quer-

emos estimar∣∣∣Kα(f)(x)− Kα(f)(y)

∣∣∣ .Primero nos damos cuenta de que

Kα(1) = 0 ⇔ Kα(1)(x)− Kα(1)(y) = 0

⇔∫

X{kα(x, z)− kα(y, z)} dµ(z) = 0,


donde las integrales convergen por ser 0 < α < ε.

Ası pues podemos escribir Kα(f)(x)− Kα(f)(y)

=

∫X{kα(x, z)− kα(y, z)} (f(z)− f(x)) dµ(z) = I + II,

donde I es la integral sobre 2B, siendo B la bola abierta de centro xy radio r = d(x, y) y II es la integral sobre X \ 2B. Entonces

|I| ≤∫

2B

1

d(x, z)n−α|f(z)− f(x)| dµ(z)

+

∫2B

1

d(y, z)n−α|f(z)− f(x)| dµ(z)

En la ultima suma, ambos terminos se pueden estimar del mismomodo. Por ejemplo, para el primero, usando el Lema ?? obtenemos∫

2B

d(x, z)β dµ(z)

d(x, z)n−α≤ C(2r)α+β ≤ Cd(x, y)α+β

y para el segundo, extendiendo la integral a B(y, 3r), obtenemos lamisma cota. Para estimar II, usamos (??) y Lema ?? y obtenemos

|II| ≤ C

∫X\2B

d(x, y)ε d(x, z)β

d(x, z)n−α+εdµ(z) ≤ Cd(x, y)ε

∫X\2B

dµ(z)

d(x, z)n+ε−α−β

≤ Cd(x, y)εrα+β−ε ≤ Cd(x, y)α+β.

Esto termina la demostracion. �

6. El espacio BMO“regular”de X. Tolsa

Para esta seccion y la siguiente el espacio sera X = Rd con unamedida µ n−dimensional, n ≤ d. Este es el contexto para el cual haintroducido X. Tolsa (en [?]) el espacio BMO “regular”, aunque sudefinicion tiene sentido en nuestro contexto general. Todas las bolasconsideradas en esta seccion y en la proxima se supondran centradasen puntos del soporte de µ.


Definicion 6.1. Diremos que la funcion f ∈ L1loc(µ) es “regular de os-

cilacion media acotada”con respecto a µ si se satisfacen las siguientesdos condiciones, donde ρ > 1 es una constante fija.

a) Existe una constante C, tal que, para cada bola B

(6.1)

∫B

|f(x)−mB(f)| dµ(x) ≤ Cµ(ρB),

donde mB(f) =1

µ(B)

∫B

f(x) dµ(x) ; y tambien

b) existe una constante C, tal que, para cada dos bolas B ⊂ V,siendo B de radio r :

(6.2) |mB(f)−mV (f)| ≤ CKB,V

(µ(ρB)

µ(B)+

µ(ρV )

µ(V )

),

donde

(6.3) KB,V = 1 +

NB,V∑k=1

µ(2kB)

(2kr)n,

siendo NB,V el primer entero k tal que 2kB ⊃ V.

Si denotamos por ‖f‖? la constante C mas pequena para la quese cumplen (??) y (??), el espacio RBMO(µ) obtenido considerandoiguales aquellas funciones regulares de oscilacion media acotada quedifieren en una constante, es un espacio de Banach con la norma ‖ ‖? .Es un hecho fundamental, probado por X. Tolsa, que el espacio nodepende de la constante ρ > 1 utilizada. Asimismo, Tolsa ha de-mostrado, que en la definicion de RBMO(µ) se pueden usar cubos enlugar de bolas sin que varıe el espacio definido.

Lema 6.2. Sea f ∈ Ln/α(µ) una funcion que se anula fuera de ρB,siendo B una bola y ρ ≥ 1. Entonces

(6.4)

∫B

|Iαf(x)| dµ(x) ≤ C ‖f‖Ln/α(µ) µ(ρB)

con C independiente de f, ρ y B.


Demostracion. Elegimos p ∈]1, n/α[ y consideramos el correspondi-ente q tal que 1/q = 1/p−α/n. Entonces, aplicando la desigualdad deJensen (dos veces) y el teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev (coro-lario ??), obtenemos

1

µ(ρB)

∫B

|Iαf(x)| dµ(x) ≤(

1

µ(ρB)

∫ρB

|Iαf(x)|q dµ(x)

)1/q

≤ C

µ(ρB)1/q−1/p

(1

µ(ρB)

∫ρB

|f(x)|p dµ(x)

)1/p

≤ C

µ(ρB)1/q−1/p

(1

µ(ρB)

∫ρB

|f(x)|n/α dµ(x)

)α/n

= C ‖f‖Ln/α(µ)

�

Lema 6.3. Sean B ⊂ V bolas. Existe una constante ρ > 1, indepen-diente de B y V, tal que

4V ⊂ 2NB,V +3B ⊂ ρV,

donde NB,V es el numero entero que aparece en (??).

Demostracion. Sean B = B(xB, r) y V = B(xV , s). Entonces

2NB,V B ⊃ V ⇒ 4V ⊂ 5 · 2NB,V B ⊂ 2NB,V +3B

Tambien, como 2NB,V −1B 6⊃ V, sabemos que existe algun y ∈ V, talque d(y, xB) > 2NB,V −1r. Por consiguiente

r <d(y, xB)

2NB,V −1≤ d(y, xV ) + d(xV , xB)

2NB,V −1≤ 2s

2NB,V −1=

s

2NB,V −2.

Entonces si d(x, xB) < 2NB,V +3r, tenemos

d(x, xV ) ≤ d(x, xB) + d(xB, xV ) < 2NB,V +3r + s < 32s + s = 33s,

que es lo que querıamos con ρ = 33. �A partir de ahora y hasta el final de la seccion usaremos el valor fijo

ρ = 33.


Definicion 6.4. Sea 0 < α < ε ≤ 1 y supongamos que kα(x, y) es unnucleo fraccionario con regularidad ε. Para f ∈ Ln/α(µ), definimos

(6.5) Kα(f)(x) =

∫X

{kα(x, y)− χX\B(x0,1)kα(x0, y)

}f(y) dµ(y)

para algun x0 ∈ X fijo. Veremos mas abajo en el Teorema ?? queKαf(x) esta bien definido para casi todo punto x con respecto a µ.

Aunque la definicion depende de la eleccion de x0; diferentes elec-ciones de x0 dan lugar a funciones que difieren solamente en una con-stante.

Teorema 6.5. Sea 0 < α < ε ≤ 1 y supongamos que kα es como enla ultima definicion y f ∈ Ln/α(µ). Entonces Kα(f) esta bien definidopor (??) en casi todo punto con respecto a µ, Kα(f) ∈ RBMO(µ) y∥∥Kα(f)

∥∥?≤ C ‖f‖Ln/α(µ)

con C independiente de f.

Demostracion. Primero demostraremos la condicion (??) y, al mismotiempo, la existencia en casi todo punto de la integral en (??). Essuficiente demostrar que, para cada bola B = B(x1, r), existe unaconstante cB tal que

(6.6)

∫B

∣∣Kα(f)(x)− cB

∣∣ dµ ≤ C||f ||Ln/α(µ)µ(2B).

Tomemos cB dada por∫X

{χX\B(x1,2r)(y)kα(x1, y)− χX\B(x0,1)(y)kα(x0, y)

}f(y) dµ(y).

Claramente∣∣Kα(f)(x)− cB

∣∣ esta dominado por:∫X

∣∣kα(x, y)− χX\B(x1,2r)kα(x1, y)∣∣ |f(y)| dµ(y) = I(x) + II(x)

donde I(x) es la integral sobre 2B y II(x) es la integral sobre elcomplemento de 2B. Estimamos a continuacion las integrales sobre B


de I(x) y II(x).∫B

I(x) dµ(x) ≤∫

B

∫X|kα(x, y)|χ2B(y)|f(y)| dµ(y) dµ(x)

≤∫

B

|Iα(χ2B|f |)| dµ(x) ≤ C||f ||Ln/α(µ)µ(2B),

donde la ultima desigualdad es consecuencia del Lema ??. Para esti-mar la integral de II(x) sobre B observamos primero que, puesto quex ∈ B e y ∈ X \ 2B, usando (??) obtenemos

II(x) ≤∫

X\2B

d(x, x1)ε

d(x1, y)n−α+ε|f(y)| dµ(y)

y, por la desigualdad de Holder y el Lema ?? vemos que II(x) ≤C||f ||Ln/α(µ). Por tanto, la integral de II(x) sobre B tambien estaacotada por C||f ||Ln/α(µ)µ(2B). Ahora vamos a establecer (??). SeanB ⊂ V bolas, B con radio r y V con radio s. Veremos que

1

µ(B)

1

µ(V )

∫B

∫V

∣∣Kαf(x)−Kαf(y)∣∣ dµ(x) dµ(y)

≤ CKB,V ‖f‖Ln/α(µ)

(µ(ρB)

µ(B)+

µ(ρV )

µ(V )

).(6.7)

Observamos que el primer miembro de (??) domina a∣∣mB(Kαf)−mV (Kαf)∣∣ ,

de modo que se obtiene (??) para Kα(f).

Sea 2NB,V +3B = V para la que sabemos por el Lema ??, que 4V ⊂V ⊂ ρV.

Para casi todos x e y, podemos escribir

Kα(f)(x)−Kα(f)(y) =

∫X

(kα(x, z)− kα(y, z)) f(z) dµ(z)


Entonces ∣∣Kα(f)(x)−Kα(f)(y)∣∣

≤ Iα(|f |χ4B)(x) + Iα(|f |χV \4B)(x) + Iα(|f |χV )(y)

+

∫X\V

|kα(x, z)− kα(y, z)| |f(z)| dµ(z).

Denotemos por I, II, III y IV los cuatro terminos del segundo miem-bro de la ultima desigualdad. Estimamos separadamente la mediadoble de cada uno de estos cuatro terminos. El primero y el tercerose tratan mediante el Lema ??.

1

µ(B)

1

µ(V )

∫B

∫V

I dµ(y) dµ(x)

=1

µ(B)

∫B

Iα(|f |χ4B)(x) dµ(x) ≤ C ‖f‖n/α

µ(4B)

µ(B)

y, del mismo modo

1

µ(B)

1

µ(V )

∫B

∫V

III dµ(y) dµ(x)

=1

µ(V )

∫V

Iα(|f |χV )(y) dµ(y) ≤ C ‖f‖n/α

µ(ρV )

µ(V ).

Para tratar II utilizamos la desigualdad de Holder, obteniendo

II =

∫V \4B

1

d(x, z)n−α|f(z)| dµ(z)

≤(∫

V \4B

dµ(z)

d(x, z)n

)(n−α)/n

‖f‖n/α ≤ CKB,V ‖f‖n/α ,

pues ∫V \4B

dµ(z)

d(x, z)n≤

NB,V +1∑k=1

∫2k+2B\2k+1B

dµ(z)

d(x, z)n≤ CKB,V .


Finalmente, utilizando (??)

IV ≤ Cd(x, y)ε

∫X\4V

1

d(x, z)n−α+ε|f(z)| dµ(z)

≤ Cd(x, y)ε ‖f‖Ln/α(µ)

(∫X\4V

dµ(z)

d(x, z)(n−α+ε)n/(n−α)

)(n−α)/n

.

Puesto que (n−α+ε) nn−α

= n+ εnn−α

, aplicando el Lema ??, obtenemos

IV ≤ Csε ‖f‖Ln/α(µ)

(s−εn/(n−α)

)(n−α)/n= C ‖f‖Ln/α(µ)

lo que completa la demostracion. �

7. Espacios de Lipschitz “grandes ”asociados a µ

Los espacios de Lipschitz que hemos considerado hasta ahora, solodependen de la metrica, y no de la medida. Es un hecho notable quebasten dichos espacios para contener las imagenes por los operadoresfraccionarios de las funciones de Lp(µ) para p > n/α (Teorema ??).

En particular el Teorema ?? implica que si α < ε, entonces Kα esacotado de L∞(µ) en Lip(α). Tiene sentido preguntarse por la imagendel espacio mayor RBMO. Esta pregunta nos lleva a introducir losespacios de Lipschitz “grandes”.

El contexto es aquı, de nuevo, Rd con una medida µ n−dimensional.

Definicion 7.1. Para α ∈]0, 1[, llamaremos Lα(µ) al espacio de lasclases de equivalencia modulo constantes de funciones localmente in-tegrables con respecto a µ, que satisfacen la condicion siguiente:

Para cada par de bolas B ⊂ V, si llamamos s al radio de V, se tiene,con una constante fija ρ > 1

1

µ(B)

1

µ(V )

∫B

∫V

|f(x)− f(y)| dµ(x) dµ(y)(7.1)

≤ CKB,V sα

(µ(ρB)

µ(B)+

µ(ρV )

µ(V )

)Lα(µ) es un espacio de Banach con la norma dada por la menor

constante C que hace cierta la desigualdad de mas arriba.


Notese que la condicion de la ultima definicion equivale a pedirjuntas las dos propiedades siguientes:

(7.2)

∫B

|f −mB(f)| dµ ≤ Cµ(ρB)rα

para toda bola B de radio r y

(7.3) |mB(f)−mV (f)| ≤ CKB,V sα

(µ(ρB)

µ(B)+

µ(ρV )

µ(V )

)para todo par de bolas B ⊂ V, llamando s al radio de V. En estas doscondiciones ρ es una constante fija tal que ρ > 1.

Se demuestra, tal como hace Tolsa para RBMO, que el espacioobtenido no depende de ρ.

Teorema 7.2. Sea kα un nucleo fraccionario con regularidad ε, y sea

0 < α < ε. Entonces Kα es un operador acotado de RBMO(µ) en

Lα(µ) si y solo si Kα(1) = 0.

Demostracion. La necesidad y el hecho de que

Kα(1) = 0 ⇔∫

X{kα(x, z)− kα(y, z)} dµ(z) = 0,

son exactamente como en la demostracion del teorema ??. De hecho,en cierto sentido el teorema que vamos a demostrar ahora es la versionβ = 0 del teorema ??.

Para probar la suficiencia, suponemos Kα(1) = 0 y tomamos f ∈RBMO. Sabemos que para f existe una coleccion de numeros {fU}U ,donde U son las bolas centradas en puntos del soporte de la medida,tales que

supU

1

µ(ρU)

∫U

|f(x)− fU | dµ(x) ≤ C ‖f‖?

y, ademas

|fU − fW | ≤ CKU,W ‖f‖?

para cada par de bolas U ⊂ W. Esta es la caracterizacion de RBMOcon la que Tolsa obtiene la desigualdad de John-Nirenberg.


Sean dos bolas B ⊂ V de radios respectivos r y s. Escribimos, parax ∈ B e y ∈ V

(7.4) Kαf(x)− Kαf(y)

=

∫Rd

(kα(x, z)− kα(y, z)) (f(z)− f4B) dµ(z).

Nuestro proposito es demostrar (??). A partir de (??) obtenemos∣∣∣Kαf(x)− Kαf(y)∣∣∣ ≤ Iα (|f − f4B|χ4B) (x)

+ Iα

(|f − f4B|χV \4B

)(x) + Iα

(|f − f4B|χV

)(y)

+

∫Rd\V

|kα(x, z)− kα(y, z)| |f(z)− f4B| dµ(z).

Ahora estudiamos la aportacion de cada uno de los cuatro terminosdel segundo miembro a la media doble.

Para el primer termino tenemos, eligiendo un p ∈]1, n/α[ y el corre-spondiente q tal que 1/q = 1/p− α/n, de forma que podamos aplicarel teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev∫

B

Iα (|f − f4B|χ4B) (x) dµ(x)

≤(∫

B

Iα (|f − f4B|χ4B) (x)q dµ(x)

)1/q

µ(B)1/q′

≤ C

(∫4B

|f − f4B|p dµ

)1/p

µ(B)1/q′

≤ C ‖f‖? µ(ρB)1+α/n ≤ C ‖f‖? µ(ρB)rα

donde hemos usado la desigualdad de John-Niremberg probada porTolsa para RBMO y el hecho de que 1/p + 1/q′ = 1/q + α/n + 1/q′ =1 + α/n. Hemos obtenido

1

µ(B)

∫B

Iα (|f − f4B|χ4B) (x) dµ(x) ≤ C ‖f‖? rα µ(ρB)

µ(B)


que sirve para nuestros propositos.El tratamiento del tercer termino es muy parecido. Lo vemos a

continuacion.∫V

Iα

(|f − f4B|χV

)(y) dµ(y)

≤(∫

V

Iα

(|f − f4B|χV

)(y)q dµ(y)

)1/q

µ(V )1/q′

≤ C

(∫V

|f − f4B|p dµ

)1/p

µ(V )1/q′

≤ C

{(∫V

|f − fV |p dµ

)1/p

+ |fV − f4B|µ(V )1/p

}µ(V )1/q′

≤ CKB,V ‖f‖? µ(ρV )1/p+1/q′ ≤ CKB,V ‖f‖? µ(ρV )sα.

Esto nos da

1

µ(V )

∫V

Iα

(|f − f4B|χV

)(y) dµ(y) ≤ CKB,V ‖f‖?

µ(ρV )

µ(V )sα,

tambien en lınea con lo que buscamos.El segundo termino es un tanto especial. Veamos como podemos

acotarlo.

Iα

(|f − f4B|χV \4B

)(x) =

∫V \4B

|f(z)− f4B|d(x, z)n−α

dµ(z)

≤(∫

V \4B

dµ(z)

d(x, z)n

)n−αn(∫

V \4B

|f(z)− f4B|n/α dµ(z)

)α/n

≤ CKn−α

nB,V

{(∫V

|f − fV |n/α dµ

)α/n

+ |fV − f4B|µ(V )α/n

}≤ CK

2−αn

B,V µ(ρV )α/n ‖f‖? ≤ CK2−α

nB,V sα ‖f‖? .

Esta estimacion no es exactamente la que queremos, debido a la pres-encia del exponente 2 − α

n> 1. Posponemos, por el momento la dis-

cusion de como solucionar este inconveniente y pasamos a estudiar el


cuarto termino.∫Rd\V

|kα(x, z)− kα(y, z)| |f(z)− f4B| dµ(z)

≤∫

Rd\V

d(x, y)ε

d(x, z)n−α+ε|f(z)− f4B| dµ(z)

≤∫

Rd\V

d(x, y)ε

d(x, z)n−α+ε

∣∣f(z)− fV

∣∣ dµ(z) +∣∣fV − f4B

∣∣ d(x, y)εCsα−ε,

donde hemos usado el lema 2 para obtener el segundo sumando. Dichosumando esta dominado por CKB,V ||f ||?sα, que es lo que queremos.Solo tenemos que ocuparnos del primer sumando. Lo acotamos por

Cd(x, y)ε

×∞∑

k=0

{∫2k+1V \2kV

∣∣f(z)− f2k+1V

∣∣d(x, z)n−α+ε

dµ(z) +

∣∣f2k+1V − fV

∣∣(2ks)n−α+ε

µ(2k+1V )

},

que a su vez esta dominado por

Cd(x, y)ε ‖f‖?

{∞∑

k=0

µ(ρ2k+1V )

(2ks)n−α+ε+

∞∑k=0

kµ(2k+1V )

(2ks)n−α+ε

}

≤ Cd(x, y)ε ‖f‖?

{∞∑

k=0

(2ks)α−ε +∞∑

k=0

k(2ks)α−ε

}≤ C ‖f‖? sα.

En resumen, hemos sido capaces de demostrar que

1

µ(B)

1

µ(V )

∫B

∫V

∣∣∣Kαf(x)− Kαf(y)∣∣∣ dµ(x) dµ(y)

≤ CK2−α/nB,V ‖f‖? sα

(µ(ρB)

µ(B)+

µ(ρV )

µ(V )

)La pregunta es ahora como obtener la estimacion que buscamos, en laque KB,V aparece con exponente 1.

Lo primero es observar que en la definicion de Lα(µ) basta contomar bolas “doblantes”. Una bola B se dice que es (γ, η)−doblante,para γ > 1 y η > γn si µ(γB) ≤ ηµ(B). Es facil ver, a partir de la


condicion (??), que para cualquier punto x y cualquier R > 0, existealguna bola (γ, η)−doblante centrada en x con radio ≥ R. Asimismo,dado γ > 1, para η grande, dependiendo de γ y d, digamos η ≥ ηd ypara µ−casi todo x ∈ Rd, existe una sucesion de bolas centradas en xcon radios que tienden a 0. Para fijar ideas llamaremos “doblante”sinmas a toda bola (2, η)−doblante, con η = ηd.

La suficiencia de la condicion sobre bolas doblantes es un hecho fun-damental que fue observado por Tolsa para RBMO. La demostracionaquı es muy parecida. La segunda observacion es el siguiente lema,adaptado del correspondiente de Tolsa.

Lema 7.3. Existe una constante P tal que si para un x ∈ Rd y cadabola doblante U que contiene a x se tiene un numero FU de modoque |FU − FW | ≤ Cxs

α para cada par de bolas doblantes U ⊂ Wcon x ∈ U, tales que KU,W ≤ P, siendo s el radio de W, entonces|FU − FW | ≤ CKU,W Cxs

α para cada par de bolas doblantes U ⊂ Wcon x ∈ U, siendo s el radio de W.

Con estas dos observaciones, vemos que nuestra estimacion es sufi-ciente para probar el teorema. �

Con las mismas tecnicas se puede demostrar el siguiente resultado

Teorema 7.4. Sea kα un nucleo fraccionario con regularidad ε, y sean

α, β > 0 tales que α + β < ε. Entonces Kα es un operador acotado de

Lβ(µ) en Lα+β(µ) si y solo si Kα(1) = 0.

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E-mail address: [email protected]

Angel Eduardo Gatto: Department of Mathematics, DePaul Uni-versity, Chicago, Illinois, 60614, U. S. A.

E-mail address: [email protected]

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