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Semana 11 [1/41]

Valores y Vectores Propios

10 de octubre de 2007


Valores y vectores propios Semana 11 [2/41]

Motivación

L : Kn → Kn lineal y sea A la matriz representante de L con respecto a labase canónica B.

B′ = {v1, . . . , vn}: Base de vectores propios de L.

∀ i ∃λi ∈ K Avi = λivi .

¿MB′B′(L)?Av1 = λ1v1 = λ1v1 + 0v2 + ... + 0vn

Av2 = λ1v2 = 0v1 + λ2v2 + ... + 0vn...

Avn = λnvn = 0v1 + 0v2 + ... + λnvn

MB′B′(L) =

λ1 0 00 λ2

...... 0 . . . 00 0 λn

= D que es diagonal.



Motivación




¿MB′B′(L)?Av1 = λ1v1 = λ1v1 + 0v2 + ... + 0vn

Av2 = λ1v2 = 0v1 + λ2v2 + ... + 0vn...

Avn = λnvn = 0v1 + 0v2 + ... + λnvn

MB′B′(L) =

λ1 0 00 λ2

...... 0 . . . 00 0 λn




Motivación

Algunas ventajas de conocer D:

r (A) = r (D) = número de valores propios no nulos.

|A| = |PDP−1| = |P||D||P−1| = |D| =n∏

i=1λi .

|A| 6= 0 entonces ∀iλi 6= 0 y A−1 = PD−1P−1 donde

D−1 =

λ−11 0

. . .0 λ−1

n

.

Am = (PDP−1)m = (PDP−1)(PDP−1) · · · (PDP−1)

= PDmP−1 = P

λm1 0

. . .0 λm

n

P−1



Motivación



|A| = |PDP−1| = |P||D||P−1| = |D| =n∏

i=1λi .


D−1 =

λ−11 0

. . .0 λ−1

n

.


= PDmP−1 = P

λm1 0

. . .0 λm

n

P−1



Matrices diagonalizables

Matriz diagonalizableA ∈ Mnn(K) es diagonalizable si Kn admite una base de vectores propiosde A.

TeoremaA es diagonalizable si y sólo si A es similar a una matriz diagonal.



Espacios propios e independencia lineal

TeoremaSea A ∈ Mnn(K) si {λi}i=1,...,k son valores propios de A distintos

Si {vi}i=1...,k son vectores propios de A (asociados a los λi),entonces {vi}i=1,...,k es un conjunto l.i.



Suma directa múltiple

Suma de múltiples subespacios

k+

i=1Ui = U1 + U2 + · · · + Uk ,

{

v =k

∑

i=1

ui | ∀i ∈ {1, . . . , k}, ui ∈ Ui

}

.

Suma directa múltipleV e.v. y U1, . . . , Uk s.e.v. de V .

Z = +ki=1 Ui es suma directa de U1, . . . , Uk , notado

Z =⊕k

i=1 Ui = U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Uk ,

si para todo v ∈ Z , v se escribe de manera única como

v =k

∑

i=1

ui , con ui ∈ Ui , ∀i ∈ {1, . . . , k}.





k+

i=1Ui = U1 + U2 + · · · + Uk ,

{

v =k

∑

i=1

ui | ∀i ∈ {1, . . . , k}, ui ∈ Ui

}

.



Z =⊕k

i=1 Ui = U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Uk ,


v =k

∑

i=1

ui , con ui ∈ Ui , ∀i ∈ {1, . . . , k}.




ProposiciónV espacio vectorial y Z , U1, . . . , Uk subespacios vectoriales de V , entonces:

1 Z =k

⊕

i=1

Ui ⇔

Z =k+

i=1Ui ∧ ∀j ∈ {1, . . . , k}, Uj ∩

k+

i=1i 6=j

Ui

= {0}

.

2 Si Z =k+

i=1Ui y Z es de dimensión finita, entonces son equivalentes:

(a) Z =k

⊕

i=1

Ui .

(b) (∀i ∈ {1, . . . , k})(∀ui ∈ Ui \ {0}) {u1, . . . , uk} es l.i.(c) La yuxtaposición de bases de los subespacios Ui es una base (y no

sólo un generador) de Z .

(d) dim(Z ) =k

∑

i=1

dim(Ui).





1 Z =k

⊕

i=1

Ui ⇔

Z =k+

i=1Ui ∧ ∀j ∈ {1, . . . , k}, Uj ∩

k+

i=1i 6=j

Ui

= {0}

.

2 Si Z =k+


(a) Z =k

⊕

i=1

Ui .



(d) dim(Z ) =k

∑

i=1

dim(Ui).



Matrices diagonalizables y espacios propios

Gracias a lo anterior, tenemos

TeoremaSea A ∈ Mnn(K), λ1, . . . , λk los v.p.’s (distintos) de A y Wλi = Ker (A − λi I),i ∈ {1, . . . , k}.

Si W = Wλ1 + Wλ2 + · · · + Wλk , se tiene que

W = Wλ1 ⊕ Wλ2 ⊕ · · · ⊕ Wλk .

En particular, A es diagonalizable si y sólo siKn = Wλ1 ⊕ Wλ2 ⊕ · · · ⊕ Wλk .







W = Wλ1 ⊕ Wλ2 ⊕ · · · ⊕ Wλk .





CorolarioA ∈ Mnn(K) y p(λ) = |A − λI|, tiene n raíces distintas en K : λ1, . . . , λn,entonces

1 Wλi = Ker (A − λi I) es de dimensión 1.

2 Sea vi ∈ Wλi con vi 6= 0 entonces {v1, . . . , vn} es una base de vectorespropios.



Multiplicidades y diagonalización

Multiplicidad geométricaA ∈ Mnn(K) y λ un valor propio de A. Definimos la multiplicidad geométricade λ, como:

γA(λ) = dim(Wλ) = dim(Ker (A − λI)).

TeoremaA ∈ Mnn(K) es diagonalizable ssi la suma de las multiplicidades geométricasde sus valores propios es n.




Multiplicidad geométricaA ∈ Mnn(K) y λ un valor propio de A. Definimos la multiplicidad geométricade λ, como:

γA(λ) = dim(Wλ) = dim(Ker (A − λI)).

TeoremaA ∈ Mnn(K) es diagonalizable ssi la suma de las multiplicidades geométricasde sus valores propios es n.




Multiplicidad algebraicaA ∈ Mnn(K) y λ un valor propio de A. Definimos la multiplicidad algebraicade λ, αA(λ), como la máxima potencia de (x − λ) que divide al polinomiocaracterístico de A, pA(x) = |A − xI|.

ProposiciónSean A ∈ Mnn(K) y λ0 un valor propio de A, entonces:

1 ≤ γA(λ0) ≤ αA(λ0) ≤ n.






1 ≤ γA(λ0) ≤ αA(λ0) ≤ n.




CorolarioA ∈ Mnn(K) y pA(λ) su polinomio característico.

A es diagonalizablesi y sólo si

pA(λ) = cA · (λ − λ1)αA(λ1)(λ − λ2)

αA(λ2) . . . (λ − λk)αA(λk ),

y para todo valor propio λ de A,

γA(λ) = αA(λ).

CorolarioA ∈ Mnn(C) es diagonalizable si y sólo si para todo valor propio λ de A, setiene que

γA(λ) = αA(λ).






pA(λ) = cA · (λ − λ1)αA(λ1)(λ − λ2)

αA(λ2) . . . (λ − λk)αA(λk ),


γA(λ) = αA(λ).


γA(λ) = αA(λ).


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