ALGEBRA LINEALGRUPO 2

CALCULO DE LOS VECTORES PROPIOS

EJEMPLO:

POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ

Sea A ϵ Mnxn , p(λ) es la ecuación característica de A si y solo si:

P(λ)= det(λI-A) = det(A-λI)

Si A ϵ M2x2 → p(λ) = λ2 – tr (A)λ + det A

Si A ϵ M3x3 → p(λ) = λ3 – tr (A)t λ2 + (P11 + P22 + P33 ) λ - det A

CALCULO DEL POLINOMIO CARACTERISTICO

Se menciona la ley:

Si A ϵ Mnxn → p(λ) = (-λ)n – (-λ)n-1 tr (A)t + (-λ)n-2 tr2 (A) + (-λ)n-3 tr3 (A) + ……. λ0 det A

siendo tri (A) la suma de todos los menores de orden i que contienen en su diagonal principal, i elementos de la diagonal principal de A

GENERALIZANDO

POLINOMIO CARACTERISTICO DE UNA MATRIZ

ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ

DETERMINAR EL POLINOMIO Y LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LA SIGUIENTE MATRIZ:

El polinomio característico viene dado por la expresión 

Entonces, el polinomio característico viene dado por el determinante:

El cual es: 

El polinomio característico es: 

La ecuación característica es:

MULTIPLICIDAD

Si  es el polinomio característico de grado n de la matriz A de orden n. El polinomio tiene n raíces (no necesariamente distintas), entonces  se escribe:

1. Se llama multiplicidad algebraica del valor propio  al número 2. Se llama multiplicidad geométrica del valor propio  a la dimensión del 

s.e.v.  

Sea A una matriz simétrica Si u y v son vectores propios asociados al valor propio λ de A, si u+v es distinto  a 0v entonces u+v es un vector propio asociado con λ

Si u es un vector propio asociado con el valor propio λ de A, ku,  k distinto de 0 ku es un vector propio asociado a λ

A y At tienen los mismos valores propios Los vectores propios asociados a valores propios distintos de A son ortogonales

PROPIEDADES DE LA MATRIZ SIMETRICA RELACIONADO A VALORES Y VECTORES PROPIOS

Matrices semejantes tienen los mismos valores propios

A no es invertible si y solo si 0 es valor propio de A

A es diagonalizable su y solo si A tiene n vectores propios LI

Si A tiene n valores propios distintos A es diagonalizable