Solucionario semana 2

1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

PROBLEMA DE CLASE

1) Se tiene un sector circular en el cual r, L, θ representan el radio, arco y número de radianes del

ángulo central, respectivamente. Se construye otro sector circular agregando “x” a cada una de

estas cantidades, obteniéndose r + x, L + x y θ + x respectivamente. El valor de “x” en función

de r y θ es:

a) 1 – θ – r b) 1 + θ – r c) 2 + θ – r d) 4+ θ – r e) 8 – θ – r

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 III SOLUCIÓN

Recordar:

La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 Resolviendo

Según los datos : 𝐿 = 𝜃 𝑟 ….(1) y 𝐿 + 𝑥 = (𝜃 + 𝑥)(𝑟 + 𝑥) ……(2)

Reemplazando 1 en 2 : 𝜃 𝑟 + 𝑥 = 𝜃 𝑟 + (𝜃 + 𝑟)x + 𝑥2 ⇒ x = 1 − θ − r RESPUESTA A

2) El área de la región sombreada es 𝜋

6𝑟𝑎𝑑. Hallar el arco del sector BAE si ABCD es un rectángulo

A) 𝜋

5 B)

4𝜋

5 C)

5π

6 D)

7𝜋

15 E)

8𝜋

7

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 II

SOLUCIÓN

Recordar:

El área del sector circular es: 𝑆 =𝜃.𝑅2

2

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LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 2

La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅

Resolviendo

Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ACD : 𝑏2 − 𝑎2 = 22 = 4 El área del trapecio circular es, la diferencia del sector mayor y el sector menor :

𝑆 =𝜃(𝑏2−𝑎2)

2 ; 𝑆 =

𝜋

6𝑟𝑎𝑑 ⇒ 𝜃 =

𝜋

12

Calculando x : 𝑥 = 5𝜋

12. 2 ⇒ 𝑥 =

5𝜋

6 RESPUESTA C

3) En la figura, si PQ y QT son arcos de circunferencias cuyos centros son O y O’,

respectivamente, entonces la longitud de la curva PQT, es:

A) 8𝜋 𝑐𝑚 B) 4𝜋 𝑐𝑚 C) 7𝜋 𝑐𝑚 D) 6π cm E) 3𝜋 𝑐𝑚

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 I SOLUCIÓN

Recordar: La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅

Resolviendo

[ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]

3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ

Según los datos :𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2

Reemplazando: 𝑥 = 12 ∗ 60º ∗𝜋

180º+ 10 ∗ 40𝑔 ∗

𝜋

200𝑔 ⇒ 𝑥 = 6𝜋 𝑐𝑚 RESPUESTA D

4) En la figura , si los perímetros de los sectores circulares son equivalentes, entonces el valor de

“𝜃” es:

A)

(π−2)

2 B)

(𝜋−2)

3 C)

(𝜋−2)

5 D) (𝜋 − 2) E) 𝜋

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 III SOLUCIÓN

Recordar:


El perímetro es : 𝑃 = 2𝑅 + 𝐿

Resolviendo

Según los datos :𝑃1 = 2𝑅 + 𝐿1 y 𝑃2 = 2(2𝑅) + 𝐿2

Reemplazando: 2(2𝑅) + 2𝑅 ∗ 𝜃 = 2𝑅 + (𝜋 − 𝜃) ∗ 2𝑅

2𝑅 + 4𝑅𝜃 = 2𝜋𝑅 ⇒ 𝜃 =𝜋−2

3 RESPUESTA B

5) En un círculo se inscribe un triángulo isósceles, el ángulo formado por los lados congruentes

mide 14º y la base intercepta un arco de longitud 66m. Calcular la longitud del radio de dicho

círculo. ( Considerar 7

22 )

a) 140m b) 270m c) 40m d) 135m e) 120m

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 II SOLUCIÓN




Resolviendo

Según los datos : 28º ∗𝜋

180º∗

22

7∗

1

𝜋∗ 𝑅 = 66 𝑚 ⇒ 𝑅 = 135 𝑚 RESPUESTA D

6) La figura adjunta es un semicírculo.

Hallar l 1 + l2 – l 3

A) m2

4

3 B) m2

2

1 C) m2

2

3 D) m2

3

2 E) m2

12

7

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 II SOLUCIÓN


Resolviendo

Según los datos : 𝜃 + 2𝜃 + 3𝜃 = 𝜋 ⇒ 𝜃 =𝜋

6

Reemplazando : 𝐿1 + 𝐿2 − 𝐿3 = 2𝜃𝜋 + 3𝜃𝜋 − 𝜃𝜋 ⇒ 𝐿1 + 𝐿2 − 𝐿3 = 2

3𝜋2 RESPUESTA D

7) Si los sectores circulares AOB y COD , tiene igual área, además OA = 2; entonces el área de la

región sombreada es:



a) x – y b) 2( x - y ) c) 2( y - x ) d) 4 ( x – y ) e) 4( y - x)

1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 I SOLUCIÓN

Recordar:

El área del sector circular es: 𝑆 = 𝜃.𝑅2

2

Resolviendo

Según los datos, los sectores circulares AOB y COD , tiene igual área : 𝑆 =𝑥∗22

2

Reemplazando en el sector circular OBE: 𝑆 + 𝐴𝑠 = 𝑦∗22

2 ⇒ 𝐴𝑠 = 2(𝑦 − 𝑥) RESPUESTA D

8) Calcule: 2 3

1

S SM

S

Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas

S2

S1

S3

2

A) 12

7

B) 13

2 C) 112

D) 5 + 2 E) 5 2

SOLUCIÓN

Resolviendo

Según los datos 𝑀 =𝑆2+𝑆3

𝑆1=

3𝑘+10𝑘

2𝑘⇒ 𝑀 =

13

2 RESPUESTA B

9) Del gráfico, determinar NMP

BA

L

L

, Si AOB es sector circular.



A) ½ B) ¾ C) 2/3 D) ¼ E) 1 SOLUCIÓN


Resolviendo

Según los datos : 𝐿𝐴𝐵 = 3 ∗ 60º ∗𝜋

180º ⇒ 𝐿𝐴𝐵 = 𝜋

𝐿𝑀𝑁𝑃 = 1 ∗ 240º ∗𝜋

180º ⇒ 𝐿𝑀𝑁𝑃 =

4𝜋

3

Reemplazando : NMP

BA

L

L

=3

4 RESPUESTA B

10) Se tienen dos circunferencias concéntricas, en las que se inscribe un ángulo central

determinando longitudes de arco sobre dichas circunferencias de 80cm y 45cm respectivamente.

Calcule; siendo r y R los radios de las circunferencias (𝑟 < 𝑅)

A) 7 B)8 C) 9 D) 10 E) 11 SOLUCIÓN

rF 16 2

R




Resolviendo

Según los datos : 𝜃 =80

𝑅=

45

𝑟⇒

𝑟

𝑅=

9

16

Reemplazando : 𝐹 = 16 (9

16) − 2 = 7 RESPUESTA A

11) Se tiene un sector circular cuya longitud de arco es numéricamente igual a la mitad del

área de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del

sector, si la medida del ángulo central expresado en radianes, toma su mayor valor entero posible?

A) 12 B) 24 C) 48 D) 72 E) 144 SOLUCIÓN


Resolviendo

Según los datos : 𝐿 =𝑅2

2 ; 𝜃. 𝑅 =

𝑅2

2 ⇒ 𝑅 = 2𝜃 y 𝐿 =

𝑅2

2

Reemplazando : 𝐿 = 2𝜃2 , 𝐿 = 2 ∗ 62 ⇒ 𝐿 = 72 RESPUESTA D

12) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, que están en progresión aritmética, además

, y

Calcular:

A) ½ B) 2/3 C)2 D) 3 E) 3–1

SOLUCIÓN

Recordar:


EFL a

CDL b

ABL c

2 2

2

b a

c

E

C

A

FD

B

A1

A3



Resolviendo

Según los datos : 𝑎 = 𝜃. 𝑘 ; 𝑏 = 𝜃. 2𝑘 ; 𝑏 = 𝜃. 3𝑘

Reemplazando : 𝑏2−𝑎2

𝑐2 = 4(𝜃𝑘)2−(𝜃𝑘)2

9(𝜃𝑘)2 ⇒ 𝑏2−𝑎2

𝑐2 = 3−1 RESPUESTA E

13) Se tiene un triángulo equilátero de lado 9m. ubicado sobre una pista horizontal, si el

triángulo empieza a girar sin resbalar (ver gráfica) , hasta que el punto A vuelva a tocar el piso

otra vez; calcular el espacio recorrido por dicho punto.

a) 5 m b) 9 m c) 10 m d) 12 m e) 15 m

SOLUCIÓN


Resolviendo Según los datos : 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿 2

Reemplazando : 𝐿 =2𝜋

3∗ 9 +

2𝜋

3∗ 9 ⇒ 𝐿 = 12𝜋 RESPUESTA D

14) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué

ángulo habrá girado la rueda menor si la relación de sus radios es de 1 a 4.

a) 720º B) 1080º C)1440º D)450º E) 90º SOLUCIÓN

Recordar: La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿𝐴 = 𝐿𝐵

Resolviendo Según los datos : 𝐿 = 360º ∗ 4 = 1 ∗ 𝑋

Reemplazando : 𝑋 = 1440º RESPUESTA C



15) A partir del gráfico, calcular la longitud recorrida por la esferita, hasta impactar en CD. Si

AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.

a) 5 m b) 5/2 m c) 2 m d) 3/2 m e) 8 m SOLUCIÓN

Recordar:

La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿𝐴 = 𝐿𝐵 Resolviendo

Según los datos : 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3

Reemplazando : 𝐿 =𝜋

3∗ 10 +

𝜋

6∗ 6 +

𝜋

3∗ 2 ⇒ 𝐿 = 5𝜋 𝑚 RESPUESTA A

16) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB,

entonces el perímetro de la región sombreada es:

a) b)

3

11 c) 3

5 d) 3

7 e)

SOLUCIÓN



Como las figuras son simétricas, el perímetro queda: 𝐿1 + 2𝐿2 = 3 (

𝜋

3) + 2 (1 ∗

2𝜋

3)

𝑃 =7𝜋

3 RESPUESTA D

17) Hallar el área de la región sombreada si AOB y COD son sectores circulares, donde y

.

A) B) C) D) E)

SOLUCIÓN

Recordar:

𝑆 =𝜃𝑅2

2

Por Pitágoras: 𝑎2 − 𝑏2 = 3

Calculo del área sombreada: 𝑆 =𝜃𝑎2

2−

𝜃𝑏2

2

𝑆 =𝜋(𝑎2 − 𝑏2)

9

∴ 𝑆 =𝜋

3 RESPUESTA A

18) Calcule la altura en términos de R, a la que se encontrará el punto A de la rueda, cuando éste gire un

ángulo de 1305º, desplazándose sobre una pista horizontal.

2

9

BC 3m

O

A

C

B D



A) B) C) D) E)

SOLUCIÓN

Primero dividimos 1305° entre 360° , lo cual indica que da dos vueltas y queda como residuo 225° , por lo

tanto la altura seria : 𝐻 = 𝑅 +𝑅√2

2⇒ 𝐻 =

𝑅

2(2 + √2)

RESPUESTA D

PROBLEMA DE REPASO

1) Determine el número de vueltas que da la rueda de ir de A hacia B. Si AC = CE = 9r/2 , R = 9r

A) 6 B) 5 C) 3 D) 8 E) 9

SOLUCIÓN

Resolvemos 𝑁𝑉 =𝐿𝑐

2𝜋𝑟=

𝑎+𝑏+𝑐+𝑑

2𝜋𝑟⇒ 𝑁𝑉 =

9𝜋𝑟

2+

𝜋𝑟

3+

9𝜋𝑟

2+

8𝜋𝑟

3

2𝜋𝑟

R

A

2 1 R1 2 2

R2

1 2 2R

2

2 2R

2

2 2 1R

2



∴ 𝑁𝑉 = 6

RESPUESTA A

2) En el esquema mostrado se tiene que al hacer girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes

que suman 28 . Determinar cuántas vueltas dará la rueda mayor.

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3 SOLUCIÓN

Recordar: La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿𝐴 = 𝐿𝐵 ∧ 𝜃𝐵 = 𝜃𝐶

𝑁𝑉 =𝐿

2𝜋𝑅

Resolviendo

Según los datos : 𝐿𝐴 + 𝐿𝐶 = 28𝜋

Reemplazando : 5𝜃 + 2𝜃 = 28𝜋 ⇒ 𝜃 = 4𝜋

Además 𝑁𝑉 =5(4𝜋)

2𝜋∗5⇒ 𝑁𝑉 =2 RESPUESTA C

3) El ángulo central que subtiende un arco de radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo hasta

que mida Sº, ¿Cuánto debe aumentar el radio para que la longitud de dicho arco no varíe? (S y C

son lo convencional)

A) 5 B) 15 C) 19 D) 23 E) 31 SOLUCIÓN

Recordar: La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , Sº=9k , Cº=(100/9)k

Resolviendo Según los datos : 81𝐶° = 𝐿 = (81 + 𝑥)𝑆º

Reemplazando : 𝑋 = 19 RESPUESTA C

4) De la figura mostrada, determinar el número de vueltas que da una rueda de radio r para

recorrer el circuito MNP.

A)r

rR

6

3 B)r

rR

6

3 C) r

rR

2

3 D) r

rR

2

3

E)

r

rR

6

3

SOLUCIÓN

𝑁𝑉 =𝐿1 + 𝐿2

2𝜋𝑟



𝑁𝑉 =(𝑅 + 𝑟)

𝜋3

+ (𝑅 − 𝑟)2𝜋3

2𝜋𝑟⇒ 𝑁𝑉 =

3𝑅 − 𝑟

6𝑟

RESPUESTA E

5) Determinar el valor de “L”

A) 3 B)6 C) 12 D) 15 E) 10

SOLUCIÓN

Recordar:

La longitud del ángulo, es : 𝜃 =𝐿1−𝐿2

𝑛

Resolviendo

Según los datos :𝐿−4

3=

14−𝐿

2

Reemplazando : 𝑋 = 10 RESPUESTA E

6) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la curva que une

los puntos D,E,F, y B, sabiendo que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.

A) 12cm B) 16 cm C)18cm D)24 cm E) 30 cm

SOLUCIÓN Como el perímetro es 18 el lado del triángulo es 6cm.

𝐿 = (6 + 12 + 18 ) (2𝜋

3) = 24𝜋 RESPUESTA D

7) Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de

vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

SOLUCIÓN

Recordar: La longitud del sector circular es: 𝐿 = 𝜃. 𝑅 , además 𝐿𝐴 = 𝐿𝐵

Calculo del número de vueltas : 𝑁𝑉 =𝐿

2𝜋𝑅

Resolviendo

Según los datos : 𝐿𝐴 = 𝐿𝐵 Reemplazando : 4𝜃 = 3 ∗ 8𝜋 → 𝜃 = 6𝜋



Además 𝑁𝑉 =4(6𝜋)

2𝜋∗4⇒ 𝑁𝑉 =3 RESPUESTA B

8) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 = 3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al

mismo nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h),

después de este giro (en u), es:

A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1

SOLUCIÓN

RESOLVIENDO:

X = 1 rad. *2

X = 2

LAB = 4

4 = 8*

y= 1/2 * 3

∴ 𝒙 + 𝒚 = 𝟑, 𝟓RESPUESTA D

9) De la figura, calcular 2

1

S

S ; siendo S1: Área del sector AOB y S2: Área del sector COD.



a)

ba

a

b) ba

a

c) ba

a2

d) ba

a2

e) ba

a2

SOLUCIÓN

Calculo de las áreas:𝑆1 =𝜃𝑎2

2

𝑆2 =𝜃(𝑎−2𝑏)2

2

Calculamos: ∴ √𝑆1

𝑆2=

𝑎

𝑎−2𝑏 RESPUESTA C

10) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su

recorrido de A hasta B (R=7r).

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

SOLUCIÓN

𝑁𝑉 =𝐿𝑐

2𝜋𝑟=

3𝜋

4(8𝑟)

2𝜋𝑟= 3

RESPUESTA B

11) Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7

veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u).

135º

R

R

A

B r

r



A) 88 B) 92 C) 172 D) 168 E) 184

SOLUCIÓN


Resolviendo

Según los datos : 𝐿 = (2𝜋 ∗ 7 +4𝜋

3) ∗ 12

Reemplazando : 𝐿 = 184𝜋 RESPUESTA E

B

A

120º

Solucionario semana 2

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