Semana 7 [1/39]

Espacios Vectoriales

1 de septiembre de 2007

Espacios Vectoriales

Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [2/39]

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:

〈{v1, ..., vn}〉 = V

o de manera equivalente:

∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =

n∑

i=1

λivi .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [3/39]

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:

〈{v1, ..., vn}〉 = V

o de manera equivalente:

∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =

n∑

i=1

λivi .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [4/39]

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:

〈{v1, ..., vn}〉 = V

o de manera equivalente:

∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =

n∑

i=1

λivi .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [5/39]

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Los vectores {v1, ..., vn} ⊆ V , generan V si y sólo sí:

〈{v1, ..., vn}〉 = V

o de manera equivalente:

∀v ∈ V , ∃{λi}ni=1 ⊆ K, tal que v =

n∑

i=1

λivi .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [6/39]

Bases

BaseV espacio vectorial sobre K, diremos que el conjunto de vectores {vi}

ni=1 es

una base de V si y sólo sí:

(1) {vi}ni=1 es un conjunto l.i.

(2) V = 〈{v1, ..., vn}〉.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [7/39]

Bases

BaseV espacio vectorial sobre K, diremos que el conjunto de vectores {vi}

ni=1 es

una base de V si y sólo sí:

(1) {vi}ni=1 es un conjunto l.i.

(2) V = 〈{v1, ..., vn}〉.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [8/39]

Bases

BaseV espacio vectorial sobre K, diremos que el conjunto de vectores {vi}

ni=1 es

una base de V si y sólo sí:

(1) {vi}ni=1 es un conjunto l.i.

(2) V = 〈{v1, ..., vn}〉.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [9/39]

Ejemplos

En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.

En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.

En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.

S el conjunto de las sucesiones, es decir:

S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.

S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!

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Ejemplos

En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.

En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.

En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.

S el conjunto de las sucesiones, es decir:

S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.

S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!

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Ejemplos

En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.

En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.

En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.

S el conjunto de las sucesiones, es decir:

S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.

S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!

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Ejemplos

En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.

En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.

En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.

S el conjunto de las sucesiones, es decir:

S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.

S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [13/39]

Ejemplos

En Kn, el conjunto {ei}ni=1, donde ei = (0, ..., 1, 0..,0) es base.

En R3, si el conjunto de vectores, B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, esbase.

En el espacio vectorial Pn(R), el conjunto B = {1, x , x2, ..., xn} es base.

S el conjunto de las sucesiones, es decir:

S = {(un)/un ∈ R, ∀n ∈ N}.Con la suma (un) + (vn) = (un + vn) y la multiplicaciónλ(un) = (λun), λ ∈ R.

S no tiene subconjuntos finitos que sean bases!

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [14/39]

Caracterización de base

ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}

ni=1 ⊆ V es una base

si y sólo sí

∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.

ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.

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Caracterización de base

ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}

ni=1 ⊆ V es una base

si y sólo sí

∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.

ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [16/39]

Caracterización de base

ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}

ni=1 ⊆ V es una base

si y sólo sí

∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.

ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [17/39]

Caracterización de base

ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}

ni=1 ⊆ V es una base

si y sólo sí

∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.

ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [18/39]

Caracterización de base

ProposiciónV espacio vectorial, B = {vi}

ni=1 ⊆ V es una base

si y sólo sí

∀v ∈ V , v se escribe de manera única como combinación lineal de losvectores del conjunto B.

ConvenciónPor convención el conjunto vacío φ es la base del espacio vectorial {0}.Esto pues por definición φ es l.i. y además el subespacio más pequeño quelo contiene es {0}.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [19/39]

Propiedades

TeoremaSi X = {v1, . . . , vn} ⊆ V es un conjunto generador, entonces es posibleextraer un subconjunto B = {vi1, . . . , vis} que es base de V .

TeoremaSupongamos que tenemos B = {vi}

ni=1, base de V y un conjunto arbitrario

X = {wi}mi=1 ⊆ V . Si m > n, entonces el conjunto X es l.d.

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Propiedades

TeoremaSi X = {v1, . . . , vn} ⊆ V es un conjunto generador, entonces es posibleextraer un subconjunto B = {vi1, . . . , vis} que es base de V .

TeoremaSupongamos que tenemos B = {vi}

ni=1, base de V y un conjunto arbitrario

X = {wi}mi=1 ⊆ V . Si m > n, entonces el conjunto X es l.d.

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Dimensión

De lo anterior

CorolarioSi {vi}

ni=1, y {ui}

mi=1 son bases de V , entonces n = m.

DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.

Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).

En particular dim{0}=0.

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Dimensión

De lo anterior

CorolarioSi {vi}

ni=1, y {ui}

mi=1 son bases de V , entonces n = m.

DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.

Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).

En particular dim{0}=0.

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Dimensión

De lo anterior

CorolarioSi {vi}

ni=1, y {ui}

mi=1 son bases de V , entonces n = m.

DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.

Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).

En particular dim{0}=0.

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Dimensión

De lo anterior

CorolarioSi {vi}

ni=1, y {ui}

mi=1 son bases de V , entonces n = m.

DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.

Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).

En particular dim{0}=0.

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Dimensión

De lo anterior

CorolarioSi {vi}

ni=1, y {ui}

mi=1 son bases de V , entonces n = m.

DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.

Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).

En particular dim{0}=0.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [26/39]

Dimensión

De lo anterior

CorolarioSi {vi}

ni=1, y {ui}

mi=1 son bases de V , entonces n = m.

DimensiónUn espacio vectorial V sobre K es de dimensión n (finita) si admite una basede cardinalidad n.En caso contrario es de dimensión infinita.

Notaremos dim V al cardinal de una base (dim V = ∞, si V no posee unabase finita).

En particular dim{0}=0.

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Espacios de dimensión finita

Propiedades1 Sea dim V = n. Si {vi}

ni=1 es l.i. entonces {vi}

ni=1 es base.

2 Sea U un s.e.v de V , luego dim U ≤ dim V más aún se tiene que

dim U = dim V ⇒ U = V .

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Espacios de dimensión finita

Propiedades1 Sea dim V = n. Si {vi}

ni=1 es l.i. entonces {vi}

ni=1 es base.

2 Sea U un s.e.v de V , luego dim U ≤ dim V más aún se tiene que

dim U = dim V ⇒ U = V .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [29/39]

Completación a bases

Completación de basesV espacio vectorial sobre K con dim V = n, y un conjunto de vectores l.i.;X = {v1, . . . , vr}, r < n,

entonces existen vectores vr+1, . . . , vn, tales que el conjunto {v1, . . . , vn} esbase de V .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [30/39]

Completación a bases

Completación de basesV espacio vectorial sobre K con dim V = n, y un conjunto de vectores l.i.;X = {v1, . . . , vr}, r < n,

entonces existen vectores vr+1, . . . , vn, tales que el conjunto {v1, . . . , vn} esbase de V .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [31/39]

Suma de espacios vectoriales

Suma de e.v.U + W = {v ∈ V/v = u + w , u ∈ U, w ∈ W}.

U + W es s.e.v. de V

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [32/39]

Suma de espacios vectoriales

Suma de e.v.U + W = {v ∈ V/v = u + w , u ∈ U, w ∈ W}.

U + W es s.e.v. de V

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [33/39]

Suma directa

Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .

Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si

∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como

v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .

En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [34/39]

Suma directa

Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .

Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si

∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como

v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .

En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [35/39]

Suma directa

Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .

Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si

∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como

v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .

En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [36/39]

Suma directa

Suma directaSea un espacio vectorial V y tres subespacios vectoriales U, W , Z de V .

Z es suma directa de U y W (U ⊕ W = Z ) si

∀v ∈ Z , v se escribe de manera única como

v = u + w , u ∈ U, w ∈ W .

En el caso en que V es suma directa de U y W ,diremos que estos últimos son suplementarios.

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [37/39]

Caracterización de suma directa

ProposiciónDado V e.v. y U, W s.e.v. de V , entonces

V = U ⊕ W ⇔ (V = U + W ) ∧ (U ∩ W = {0})

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [38/39]

Caracterización de suma directa

ProposiciónDado V e.v. y U, W s.e.v. de V , entonces

V = U ⊕ W ⇔ (V = U + W ) ∧ (U ∩ W = {0})

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [39/39]

Sumas y dimensión

TeoremaSi V = U ⊕ W y es de dimensión finita, entonces dim V = dim U + dim W .

Teorema (Ejercicio)Supongamos que V = U + W , entonces

dim V = dim U + dim W − dim U ∩ W .

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Generadores de un espacio vectorial Semana 7 [40/39]

Sumas y dimensión

TeoremaSi V = U ⊕ W y es de dimensión finita, entonces dim V = dim U + dim W .

Teorema (Ejercicio)Supongamos que V = U + W , entonces

dim V = dim U + dim W − dim U ∩ W .

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