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Matemática, Física, Astronomía, casanchi.com 2017

RESOLVIENDO PROBLEMAS DE MATEMÁTICA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 150 (131217) Sea Γ la topología de R constituida por R, φ y todos los intervalos infinitos Ex = (x,∞) donde x ∈ R .

a) Determinar los conjuntos cerrados de R,Γ( ) . b) Determinar la clausura de los conjuntos 3, 7[ ), 7, 24, 47,85{ }, 3, 6, 9,12,...{ } .

RESOLUCIÓN:

a) Puesto que los abiertos son Ex = (x,∞) , R, φ , los cerrados son sus complementarios respecto de R :

R− R = φ R−φ = R R− x,∞( ) = −∞, x( ]

Y la familia de cerrados del espacio topológico R,Γ( ) será:

F = φ,R, −∞, x( ] /∀x ∈ R{ }

b) La clausura de A es el menor cerrado A que le contiene, luego

3, 7[ )______

= −∞, 7( ]

7,24, 47,85{ }__________________

= −∞,85( ]

3,6, 9,12,...{ }__________________

= −∞,∞( ) = R


PROBLEMA 149 (151117) Sea f una aplicación continua de [0,1] en sí mismo. Demostrar que f tiene al menos un punto fijo. RESOLUCIÓN: Hipótesis:

f : 0,1[ ]→ 0,1[ ]f continua

"#$

%$

x0 ∈ 0,1[ ] es punto fijo sii f (x0 ) = x0 Si f (0) = 0 , 0 será punto fijo Si f (1) =1 , 1 será punto fijo Si f (0) ≠ 0→ f (0)> 0 Si f (1) ≠1→ f (1)<1 Sea la función g : 0,1[ ]→ R , definida por g(x) = f (x)− x, ∀x ∈ 0,1[ ] Se tiene que: g es continua, por ser suma de dos funciones continuas

g( 0,1[ ]) es compacto conexo, por ser 0,1[ ] compacto conexo y g continua.

Además: g(0) = f (0)− 0 = f (0)> 0 g(1) = f (1)−1< 0 Ahora bien, si g(1)< 0 < g(0) , y siendo 0,1[ ] y g( 0,1[ ]) compactos conexos, existirá en

0,1[ ] un punto x0 tal que g(x0 ) = 0 :

∃x0 ∈ 0,1[ ] / g(x0 ) = 0→∃x0 ∈ 0,1[ ] / f (x0 )− x0 = 0→∃x0 ∈ 0,1[ ] / f (x0 ) = x0

∃x0 ∈ 0,1[ ] / f (x0 ) = x0


PROBLEMA 148 (181017) a) Determinar la ecuación de la envolvente a la familia de circunferencias que pasan por el orígen y tienen su centro en la parábola y = x2 b) Determinar la ecuación de la envolvente de un segmento móvil de longitud c constante dada, cuyos extremos se apoyan en los ejes cartesianos. RESOLUCIÓN: a) Ecuación de las circunferencias que pasan por el orígen: x2 + y2 − 2mx − 2ny = 0

Ecuación de los puntos que son sus centros: y = x2 , en forma paramétrica: x = ty = t2

!"#

$#

Centro de las circunferencias: (t, t2 ) . Por tanto, x2 + y2 − 2tx − 2t2y = 0

Derivamos respecto al parámetro t: −2x − 4ty = 0→ t = − 12xy

. Por tanto es

x2 + y2 − 2 −12xy

"

#$

%

&'x − 2 −

12xy

"

#$

%

&'

2

y = 0

Al simplificar:

x2 + y2 + x2

y−12x2

y= 0→ x2 (2y+1)+ 2y3 = 0

Envolvente: x2 (2y+1)+ 2y3 = 0

b) Ecuación canónica de la recta que contiene al segmento:

x a+ y b =1 [1] Relación entre los parámetros:

a2 + b2 = c2 [2] Derivando [1]:

1a2x + 1

b2y dbda

= 0 [3]

Derivando [2]:

a+ b dbda

= 0 [4]

Sustituimos [4] en [3]:

1a2x + 1

b2y −

ab

"

#$

%

&'= 0→

xa2−ab3y = 0→ b = y

x"

#$%

&'

13a

Sustituimos esta expresión en [1] y en [2]:


x a+ y b =1→ x a+ xy"

#$%

&'

13y a =1→ x a+ x

13y

23

"

#$

%

&' a =1→ x + x

13y

23 = a→1+ y

x"

#$%

&'

23= a x

a2 + b2 = c2 → a2 + yx"

#$%

&'

23a2 = c2 → a = c

1+ y x( )23

Finalmente, identificando ambas expresiones:

1+ yx!

"#$

%&

23

'

(

))

*

+

,,x = c

1+ y x( )23

'

()*

+,

12

→ x 1+ y x( )23

'

()*

+,

32= c→ x

23 1+ y x( )

23

'

()*

+,= c

23 → x

23 + y

23= c

23

Envolvente:

x23 + y

23= c

23

(Astroide)


PROBLEMA 147 (200917) Para todos los α,β ∈G = α /α : Z→ Z{ } sea α ×β la aplicación definida por

(α ×β)(x) =α(x).β(x) donde x ∈ Z y . es la multiplicación usual de los enteros. ¿Es (G,×) un grupoide?. ¿Posee elemento neutro?. ¿Qué elementos poseen inverso?. RESOLUCIÓN:

a) Es un grupoide: Por definición, se trata de probar que × es ley interna en G . Es decir, hay que probar que α ×β pertenece a G , o sea, que α ×β es una aplicación de Z en Z . ∀α,β ∈G, ∀x ∈ Z, (α ×β)(x) =α(x).β(x)∧α(x)∈ Z, β(x)∈G→α(x).β(x)∈ Z→ → (α ×β)(x)∈ Z→α ×β ∈G . En definitiva, α,β ∈G,α ×β ∈G→ (G,×) grupoide

b) Elemento neutro: El elemento neutro φ ha de cumplir: φ ×α =α ×φ =α, ∀α ∈G , o sea ∀x ∈ Z, ∀α ∈G :

(φ ×α)(x) = φ(x).α(x) =α(x)(α ×φ)(x) =α(x).φ(x) =α(x)

"#$

%$→φ(x) =1

En definitiva, el elemento neutro del grupoide existe y está el definido por la condición de que:

∀x ∈G, φ(x) =1

c) Elementos inversibles: Un elemento α ∈G poseerá inverso α ' si α ×α ' =α '×α = φ , o sea, si es,∀x ∈ Z ,

α(x).α '(x) =1α '(x).α(x) =1

!"#

$#→∀α(x).α '(x)∈ Z

Soluciones posibles: α(x) =1 y α '(x) = −1 , o bien α(x) = −1 y α '(x) =1 Los unicos elementos inversibles son los φi (x) tales que φi (x) =1∨φi (x) = −1


PROBLEMA 146 (230817) En una interpolación polinominal, encontrar el polinomio de interpolación para la función f (x) sabiendo que

f (0) =1f (1) = 3f (2) = −2

"

#$

%$$

RESOLUCIÓN: Soporte de la interpolación: S = x0, x1, x2[ ] ≡ 0,1, 2[ ] Base: B = 1, x, x2!" #$

Matriz de la interpolación:

G =

1 x0 x02

1 x1 x12

1 x2 x22

!

"

####

$

%

&&&&

≡1 0 01 1 11 2 4

!

"

###

$

%

&&&

Valores de la función en el soporte:

F =13−2

"

#

$$$

%

&

'''

Aplicamos la fórmula de Interpolación de Lagrange pn (x) = B.L.F . Podemos calcular la matriz L bien como inversa de la matriz de la interpolación o bien como la matriz cuyas columnas son los coeficientes de los polinomios de Lagrange. Veámos su cálculo de ambas maneras.

a) Cálculo usando la matriz inversa de la matriz de interpolación:

L =G−1 =1Gadj(trasp(G)) = 1

2

2 0 0−3 4 −11 −2 1

"

#

$$$

%

&

'''=

1 0 0−3 2 2 −1 21 2 −1 1 2

"

#

$$$

%

&

'''

b) Cálculo usando los polinomios de Lagrange:

L0 (x) =x − x1( ) x − x2( )x0 − x1( ) x0 − x2( )

=x −1( ) x − 2( )0−1( ) 0− 2( )

=1− 32x + 12x2

L1(x) =x − x0( ) x − x2( )x1 − x0( ) x1 − x2( )

=x − 0( ) x − 2( )1− 0( ) 1− 2( )

= 2x − x2


L2 (x) =x − x0( ) x − x1( )x2 − x0( ) x2 − x1( )

=x − 0( ) x −1( )2− 0( ) 2−1( )

= −12x + 12x2

L =L00 L10 L20L01 L11 L21L02 L12 L22

!

"

####

$

%

&&&&

=1 0 0

−3 2 2 −1 21 2 −1 1 2

!

"

###

$

%

&&&

Finalmente:

p2 (x) = B.L.F = 1, x, x2!" #$.

1 0 0−3 2 2 −1 21 2 −1 1 2

!

"

&&&

#

$

'''.

13−2

!

"

&&&

#

$

'''=1+11

2x − 72x2


PROBLEMA 145 (260717) Para la variable aleatoria ξ de contradominio ξ ≥ x0[ ] y función de densidad de

probabilidad dada por

p(x) =1x0e−xx0 x ≥ 0

0 x < 0

#

$%%

&%%

Determinar: a) La función de distribución. b) Determinar p x ≥ x0[ ], ∀x .

c) Representación gráfica. RESOLUCIÓN:

a) F(x) = p x ≥ x0[ ] = p(x).dx−∞

x

∫ = p(x).dxx0

x

∫ =1x0e−xx0 .dx

x0

x

∫ =

= −e−xx0

x0

x

= −e−xx0 + e

−x0x0 = e−1 − e

−xx0 =

1e−1

exx0

b) limx→∞

p x ≥ x0[ ] = limx→∞

F(x) = 1e

c) Representación gráfica:


PROBLEMA 144 (280617) Hallar la ecuación de una hipérbola, referida a un sistema ortonormal contenido en los ejes coordenados, en cada uno de los siguientes casos:

a) Su excentricidad es 5/4 y su distancia focal es 5. b) Su excentricidad es 13 3 y el punto P(5,8 3) pertenece a la hipérbola. c) Los puntos P(25 4,3) y Q(5, 0) pertenecen a la hipérbola.

RESOLUCIÓN: a) e = c a = 4 5

c = 5

!"#

$#→ a = 4→ b2 = c2 − a2 = 25−16 = 9→ b = 3

ecuación: x4!

"#$

%&2

−y3!

"#$

%&2

=1

b)

e = c a = 13 3

5a!

"#$

%&2

−83b!

"#

$

%&2

=1

(

)**

+**

→

c2

a2=139→

b2 + a2

a2=139→ 9b2 = 4a2

25a2−649b2

=1

(

)

**

+

**

→25a2−644a2

=1→

→25a2−16a2

=1→ 9a2

=1→ a = 3 , b2 = 49a2 = 4→ b = 2

ecuación: x3!

"#$

%&2

−y2!

"#$

%&2

=1

c)

254a!

"#

$

%&2

−3b!

"#$

%&2

=1

5a!

"#$

%&2

−0b!

"#$

%&2

=1

(

)

**

+

**

→254a!

"#

$

%&2

−3b!

"#$

%&2

=1

a2 = 25

(

)*

+*→2516

−9b2=1→ b = 4

ecuación: x5!

"#$

%&2

−y4!

"#$

%&2

=1


PROBLEMA 143 (310517) Mediante el Algoritmo de Euclides, obténgase el Máximo Común Divisor de los números 25905 y 12405. Obténgase también el Mínimo Común Múltiplo. RESOLUCIÓN:

a) Cálculo del MCD(25905, 12405):

2 11 3 24 cocientes 25905 12405 1095 360 15 1095 1455 15 60 restos

360 0 Por tanto, el 15 es el número divisor al que corresponde el resto cero.

MCD(25905,12405)=15

b) Cálculo del MCM(25905,12405): Por ser, para dos números cualesquiera, MCD(a,b).MCM(a,b)=a.b, se tiene que MCM(25905,12405) =25905.12405 / MCD(25905,12405) =25905.12405/15 = =21423435

MCM(25905,12405)=21423435


PROBLEMA 142 (030517) Sea (G,+) un grupo aditivo abeliano. Se pide:

a) Probar que para dos elementos, x e y, cualesquiera de G, se verifica que el opuesto de x+y es – x - y.

b) Demostrar que si H es subgrupo de G, entonces G/H es grupo abeliano. c) Sea n un número entero. Probar que para dos elementos, x e y, cualesquiera de

G se verifica que n.(x+y)=n.x+n.y. RESOLUCIÓN: a) (x + y)+ (−x − y) = (x + y+ (−x))+ (−y) = (x + (−x)+ y)+ (−y) = (0+ y)+ (−y) = = y+ (−y) = 0

∀x, y ∈G, − (x + y) = −x − y b) ∀x, y ∈G→ x +H, y+H ∈G /H→ → (x +H )+ (y+H ) = (x + y)+H = (y+ x)+H = (y+H )+ (x +H ) O sea: ∀(x +H ), (y+H )∈G /H, (x +H )+ (y+H ) = (y+H )+ (x +H )

c) 1. Si es n = 0 :

n.(x + y) = 0.(x + y) = 0n.x = 0.x = 0, n.y = 0.y = 0

!"#

$#→ n.(x + y) = n.x + n.y = 0, ∀x, y ∈G

2. Si es n > 0 : Procedemos por inducción: - para n =1→1.(x + y) = x + y =1.x +1.y . Se verifica. - para n >1→∃m ∈ N / n =m+1, (m > 0). Supongamos la expresión cierta para m y veamos que entonces ha de ser cierta para m+1. Se tendrá: n(x + y) = (m+1).(x + y) =m.(x + y)+1.(x + y) =m.x +m.y+1.x +1.y = = (m.x +1.x)+ (m.y+1.y) = (m+1).x + (m+1).y = n.x + n.y

Por tanto: ∀x, y ∈G,∀n ∈ Z +, n.(x + y) = n.x + n.y 3. Si es n < 0 : Hacemos n = −m (m > 0) :

n.(x + y) = (−m).(x + y) =m.(−1).(x + y) =m.(−(x + y)) =m.(−x − y) =

=m. (−x)+ (−y)[ ] =m.(−x)+m.(−y) = (−m.x)+ (−m.y) = (−m).x + (−m).y =

=m. (−x)+ (−y)[ ] =m.(−x)+m.(−y) = (−m.x)+ (−m.y) = (−m).x + (−m).y =

Por tanto: ∀x, y ∈G,∀n ∈ Z −, n.(x + y) = n.x + n.y

En definitiva, de 1., 2. Y 3.: ∀x, y ∈G,∀n ∈ Z, n.(x + y) = n.x + n.y


PROBLEMA 141 (050417) Se desea obtener el punto de la gráfica de la función

f (x) = x2

4− 2x

en el que la recta tangente es paralela a la recta de ecuación

3x − 2y+1= 0 RESOLUCIÓN: Pendiente de la recta tangente en x=x0:

m = f '(x0 ) =12x0 − 2

Pendiente de la recta dada:

3x − 2y+1= 0→ y = 32x +1→ pend = 3

2

Si la recta tangente es paralela a la recta dada han de tener ambas la misma pendiente, luego:

12x0 − 2 =

32→ x0 = 7

El punto de la gráfica pedido es 7, f (7)( ) . Y como es f (7) = 72

4− 2.7 = − 7

4, se tiene,

finalmente que el punto es

7,− 74

"

#$

%

&'


PROBLEMA 140 (080317) Estudiar la continuidad de

a) f1(x) = + x2 −3x + 2, ∀x ∈ R

b) f2 (x) = L(cos x), en 0,2[ ]

c) f3(x) = π 2 − x2 .tgx, ∀x ∈ R RESOLUCIÓN:

a) f1(x) = + x2 −3x + 2

x2 −3x + 2 = 0→ x1 =1, x2 = 2 y se tiene que

x ≤1→ x2 −3x + 2 ≥ 01< x < 2→ x2 −3x + 2 < 0x ≥ 2→ x2 −3x + 2 ≥ 0

La función existe en R− (1, 2)

∀x ∈ R− (1, 2), f1(x + 0) = + limh→0 (x + h)2 −3(x + h)+ 2 = + x2 −3x + 2 = f1(x)

∀x ∈ R− (1, 2), f1(x − 0) = + limh→0 (x − h)2 −3(x − h)+ 2 = + x2 −3x + 2 = f1(x)

O sea, f1(x + 0) = f1(x − 0) = f1(x) , por lo que limΔx→0

f1(x +Δx) = f1(x)

La función existe y es continua en R− (1, 2) . b) f2 (x) = L(cos x)

La función no existe si cos x ≤ 0→ π2≤ x ≤ 3π

2, es decir, solo existe en 0, π

2!

"#$

%& .

∀x ∈ 0, π2

#

$%&

'(, f2 (x + 0) = + limh→0 L(cos(x + h)) = L(cos x) = f2 (x)

∀x ∈ 0, π2

#

$%&

'(, f2 (x − 0) = + limh→0 L(cos(x − h)) = L(cos x) = f2 (x)

O sea, f2 (x + 0) = f2 (x − 0) = f2 (x) , por lo que limΔx→0

f2 (x +Δx) = f2 (x)

La función existe y es continua en 0, π2

!

"#$

%& .

c) f3(x) = π 2 − x2 .tgx π 2 − x2 = 0→ x = ±π y se tiene que

f3(x) no existe para x < −π, x > π . Si x = ±π es tg(±π ) = ±∞ y f3(x) no está definida.

Campo de existencia: −π,π( ) Y se cumple que f3(x + 0) = f3(x − 0) = f3(x) , por lo que lim

Δx→0f3(x +Δx) = f3(x)

La función existe y es continua en −π,π( ) .


PROBLEMA 139 (080217) Calcúlese por medio de una integral definida

A = lim an

siendo (an ) la sucesión cuyo término general es

an = 1+ 2n

!

"#

$

%& 1+

4n

!

"#

$

%& 1+

6n

!

"#

$

%&... 1+

2nn

!

"#

$

%&n

RESOLUCIÓN:

A = lim an → LA = L(lim an ) = lim(Lan ) = lim1nk=1

n

∑ L 1+ 2 kn

#

$%

&

'(

haciendo kn= xk será Δxk =

k +1n

−kn=1n

, por lo cual:

A = lim 1nk=1

n

∑ L 1+ 2 kn

"

#$

%

&'= lim

Δxk→0L 1+ 2xk( )Δxk

k=1

n

∑ = L(1+ 2x).dx0

1∫

hacemos un cambio de variables y a continuación integramos por partes:

h =1+ 2x, dx = 12dh→ A = L(1+ 2x).dx

0

1∫ =

12

Lh.dh1

3∫

integrando por partes:

12

Lh.dh1

3∫ =

12h.Lh[ ] 1

3−12h1

3=12(L33 − 2) = 1

2(L33 − Le2 ) = 1

2L 3

3

e2= L 33

e2=3 3e

Resultado:

A = 3 3e


PROBLEMA 138 (110117) La gráfica de y2 + 2xy+ 40 x = 400 divide al plano en varias regiones una de las cuales

está acotada. Calcula el área de esa región. RESOLUCIÓN: Si x ≥ 0 , la función es y2 + 2xy+ 40x = 400 , es decir , y2 − 400 = −2x(y+ 20) que es equivalente a (y+ 20)(y− 20)+ 2x(y+ 20) = 0→ (y+ 20)(y− 20+ 2x) = 0 , que corresponde a las dos rectas

y = −20y = −2x + 20

"#$

%$

Si x < 0 , tendríamos la función y2 + 2xy− 40x = 400 , y por tanto es

y2 − 400 = −2x(y− 20) . O sea, (y+ 20)(y− 20)+ 2x(y− 20) = 0→ (y− 20)(y+ 20+ 2x) = 0 , que corresponde a las rectas

y = 20y = −2x − 20

"#$

%$

La grafica de la función dada es la siguiente, donde se observa que la región acotada es el paralelogramo de base 20 y altura 40. El área es, por tanto, 800.

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