1

PROBLEMAS MÉTRICOS

ÁNGULOS

Ejercicio nº 1.-

a) Determina la ecuación del plano π que pasa por el punto P(1, −2, 0) y es perpendicular a la recta r:{x + y = 0, y − 3z + 2 = 0}.

b) Halla el ángulo que forman los planos siguientes:

π1: x + y = 0 π2: y − 3z + 2 = 0

Ejercicio nº 2.-

Halla el ángulo que forma la recta

y el plano π: 2x − y + 4z − 2 = 0.

Ejercicio nº 3.-

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0, 1, −1) y es paralela a los planos π1: x + 2y − z −2 = 0, π2: 2x + y + 2z − 1 = 0.

b) Halla el ángulo que forman π1 y π2.

Ejercicio nº 4.-

a) Halla el ángulo que forman las rectas:

b) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.

Ejercicio nº 5.-

Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, 1, −3) y P2(4, 2, 1) y es perpendicular al plano:

π: 2x − y − z + 3 = 0

DISTANCIAS

Ejercicio nº 6.-

Dados los puntos P(1, 0, 2) y Q(2, −1, 0) y el plano π: x + y + 2z − 1 = 0, calcula: a) La distancia entre P y Q. b) La distancia de P a π.

=−+=+−−

032013

zyxzyx

r :

12

121y

22

1+

=−

=−

=λ−=λ+=

zyxszyx

r ::

2

Ejercicio nº 7.-

Calcula la distancia entre los planos siguientes:

π: y + 3z = 0 π': 2y + 6z − 5 = 0

Ejercicio nº 8.-

Halla la distancia de P(3, 4, −1) al plano π: 2x + y − 3z + 8 = 0.

Ejercicio nº 9.-

Calcula la distancia entre los planos siguientes:

π: x − 3y + z − 10 = 0 π': 2x − 6y + 2z + 3 = 0

Ejercicio nº 10.-

Halla la distancia de P(5, 3, −4) al plano π: x + 3y − z + 5 = 0.

Ejercicio nº 11.-

Calcula la distancia de P(1, 0, 2) a la recta r : (2λ, −λ, 1 + λ).

Ejercicio nº 12.-

Calcula la distancia de P(1, 0, −1) a la recta r : (2λ, 1 − λ, −λ).

Ejercicio nº 13.-

Calcula la distancia del punto P(1, −1, 2) a la recta siguiente:

Ejercicio nº 14.-

Calcula razonadamente la distancia del punto P(3, −1, 5) a la recta siguiente:

Ejercicio nº 15.-

Calcula la distancia de P(2, 1, −1) a la recta r : (4λ, 1 − λ, λ).

Ejercicio nº 16.-

Calcula la distancia entre las rectas r y s:

λ−=λ=λ=

zyx

r2

:

λ+=λ−=λ−=

23

2

zyx

r :

=−=+

−=−=+

10

22

zyzx

szxyx

r ::

3

Ejercicio nº 17.-

Dadas las rectas:

Halla: a) La ecuación del plano que pasa por la segunda y es paralelo a la primera. b) La distancia entre ambas rectas.

Ejercicio nº 18.-

Considera las rectas r y s:

Calcula la distancia entre ellas dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.

Ejercicio nº 19.-

Calcula la distancia entre:

dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.

Ejercicio nº 20.-

Dadas las rectas:

Halla: a) La distancia entre las rectas. b) La recta perpendicular a r y s.

ÁREAS

Ejercicio nº 21.-

Considera el plano 2x − y + z − 4 = 0. a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas. b) Calcula el área del triángulo formado por estos tres puntos.

13

31

21

41

23

32

21−

=+

=−−

=+

=− zyxrzyxr :,:

=−=+

−=λ−=λ+=

02

12

3

zyzx

szyx

r ::

µ=µ+=µ−=

=λ−=λ+=

zyx

szyx

r 24

y5

22

::

11

232y

22

1−

==−

−=λ=λ+=

zyxszyx

r ::

4

Ejercicio nº 22.-

P(2, 1, 0) y Q(0, 3, 4) y es perpendicular a dicho segmento.

b) El plano del apartado anterior corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcula el área del

triángulo ABC.

Ejercicio nº 23.-

Los puntos P(0, 2, 0) y Q(2, 1, −1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero, S,

recta r. a) Determina las coordenadas de S. b) Calcula el área del triángulo PQS.

Ejercicio nº 24.-

Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta

Calcula el área del cuadrado.

Ejercicio nº 25.-

Considera los puntos A(3, 0, 2), B(4, −1, 3) y C(2, 2, 1). a) Prueba que son los vértices de un triángulo. b) Calcula el área de dicho triángulo.

VOLÚMENES

Ejercicio nº 26.-

Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano:

2x − y + z − 4 = 0

Ejercicio nº 27.-

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, −1, −1) y es perpendicular a

b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano anterior.

siendo segmento del medio punto el por pasa que plano del ecuación la Obténa) PQπ

la a larperpendicu es a y a contiene que recta La 3

2 recta la a pertenece SP

zyx

r

=λ−=λ+=

:

241

22sobre otro y

32

1

−=

−+

=−

λ−=λ−=

λ+=zyxs

zyx

r ::

( ).,, 111v

5

Ejercicio nº 28.-

Calcula el volumen de un cubo que tiene uno de sus lados sobre la recta

Ejercicio nº 29.-

Considera los puntos P(2, 1, 1) y Q(4, 5, 3).

este. b) Calcula el volumen del tetraedro limitado por los ejes de coordenadas y el plano π.

Ejercicio nº 30.-

A(0, 1, 2), B(0, 2, 3) y C(0, 2, 5) son tres vértices de un tetraedro. El cuarto vértice, D, está sobre la recta:

Halla las coordenadas de D para que el volumen del ortoedro sea 2 unidades cúbicas.

PROBLEMAS MÉTRICOS

Ejercicio nº 31.-

Halla el punto simétrico de P(0, 2, 1), respecto del plano π: x + y − z = 2.

Ejercicio nº 32.-

Halla el punto simétrico de P(2, 1, 0) respecto del plano π: 2x − y + z = 2.

Ejercicio nº 33.-

Determina el punto simétrico de A(−2, 1, 3) respecto de la recta r :

Ejercicio nº 34.-

Halla el punto simétrico de P(1, 0, 3) respecto del plano π: x − y +2z = 1.

Ejercicio nº 35.-

Determina el punto simétrico de A(2, 1, 4) respecto de la recta:

.::22

24

1 recta la sobre otro y112

2−

=−

=−

−==

− zyxszyxr

a) Obtén la ecuación del plano que pasa por el punto medio de y es perpendicular aPQ

11

112 −

==−− zyxr :

=λ−=

λ+=

22

1

zyx

r :

11

231

−+

==− zyxr :

6

Ejercicio nº 36.-

Determina la ecuación de un plano π paralelo al plano de ecuación 2x − y + z + 4 = 0 y que dista 10 unidades del punto P(2, 0, 1).

Ejercicio nº 37.-

sobre el plano π: x − y + z + 2 = 0.

Ejercicio nº 38.-

Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la

Ejercicio nº 39.-

En la figura adjunta, calcula el ángulo que forma la recta CD con la recta que une D y el punto medio de AB.

Ejercicio nº 40.-

Determina la ecuación de un plano, π, paralelo al plano de ecuación x − y + z + 2 = 0 y que dista 20 unidades del punto P(0, 2, 3).

12

121 recta la de , ortogonal, proyección la de ecuación la Halla +

=−

=− zyxrr :'

.:21

12

2 recta zyxr =−−

=−

7

SOLCUIONES PROBLEMAS MÉTRICOS

ÁNGULOS

Ejercicio nº 1.-

a) Determina la ecuación del plano π que pasa por el punto P(1, −2, 0) y es perpendicular a la recta r:{x + y = 0, y − 3z + 2 = 0}.

b) Halla el ángulo que forman los planos siguientes:

π1: x + y = 0 π2: y − 3z + 2 = 0 Solución:

a) Vector dirección de la recta: (1, 1, 0) × (0, 1, −3) = (−3, 3, 1)

Este vector es perpendicular a π. Por tanto:

πi: −3(x − 1) + 3(y + 2) + z = 0 → −3x + 3y + z + 9 = 0

Ejercicio nº 2.-

Halla el ángulo que forma la recta

y el plano π: 2x − y + 4z − 2 = 0. Solución:

Por otro lado, el vector normal al plano es:

Por tanto:

90° − α = arccos (0,5573) = 56° → α = 34°

( ) ( ) Así:.3,1,0n es a normal vector el y 0,1,1n es a normal vector Elb) 2211 −=π=π

°=α→==+++

++==α 7722,0

201

91·011

010nn

n n

21

21

·cos

·

=−+=+−−

032013

zyxzyx

r :

:v , de dirección vector un osDeterminam

r

k7j8i5321113

kjiv

++=−−−=

( )7,8,5v =

( )4,1,2n −=

( ) 5573,0138·21

30138·21

28810nv

n v90 ==

+−==α−°

·cos

·

8

Ejercicio nº 3.-

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0, 1, −1) y es paralela a los planos π1: x + 2y − z −2 = 0, π2: 2x + y + 2z − 1 = 0.

b) Halla el ángulo que forman π1 y π2. Solución:

a) Al ser paralela a los planos x + 2y − z − 2 = 0, 2x + y + 2z − 1 = 0, es también paralela a la recta:

b) Los vectores normales son:

Ejercicio nº 4.-

a) Halla el ángulo que forman las rectas:

b) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. Solución:

Así:

−2(x − 1) − 1 · y + 3(z − 2) = 0 → −2x − y + 3z − 4 = 0

=−++=−−+

0122022

zyxzyx

:es ,d dirección vector cuyo ambos, por adeterminad

k3j4i5212121

kjid

−−=−=

( )345d −−= ,,

31

41

5:es buscada recta la de ecuación La

−+

=−−

=zyx

( ) ( )2,1,2n y 1,2,1n 21 =−=

( ) ( )°=α→==

++++

−=α 7427,0

542

414141

2,1,21,2,1

·cos

·

12

121y

22

1+

=−

=−

=λ−=λ+=

zyxszyx

r ::

( ) ( ) Así:.1,1,2d es de el y ,0,2,1d es de dirección vector Ela) −=−= sr sr

°=α→==+++

==α 4373,0304

114·414

dd

dd

sr

sr

·cos

·

( ) .dd es normal vector su y 20,1, por pasa buscado plano Elb) sr

×

( )3,1,2ddn −−=×= sr

9

Ejercicio nº 5.-

Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, 1, −3) y P2(4, 2, 1) y es perpendicular al plano:

π: 2x − y − z + 3 = 0 Solución:

el plano que buscamos:

DISTANCIAS

Ejercicio nº 6.-

Dados los puntos P(1, 0, 2) y Q(2, −1, 0) y el plano π: x + y + 2z − 1 = 0, calcula: a) La distancia entre P y Q. b) La distancia de P a π. Solución:

Ejercicio nº 7.-

Calcula la distancia entre los planos siguientes:

π: y + 3z = 0 π': 2y + 6z − 5 = 0 Solución: Los dos planos son paralelos pues los coeficientes de sus incógnitas son proporcionales. Por tanto, la distancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

P(0, 3, −1) es un punto del plano π.

1 2 1 2Los vectores y n (vector normal del plano ) y uno de los puntos o determinanPP P Pπ

02841030143111

222=−−+→=

−+−−

−zyx

zyx

( ) ( ) ( ) ( ) 45,262112,a) 222 ==−+−+−=QPdist

( ) 63,16

4

211

12·201,b)

222==

++

−++=πPdist

10

Por tanto:

Ejercicio nº 8.-

Halla la distancia de P(3, 4, −1) al plano π: 2x + y − 3z + 8 = 0. Solución:

Ejercicio nº 9.-

Calcula la distancia entre los planos siguientes:

π: x − 3y + z − 10 = 0 π': 2x − 6y + 2z + 3 = 0 Solución: Los dos planos son paralelos pues los coeficientes de sus incógnitas son proporcionales. Por tanto, la distancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

P(1, 0, 9) es un punto del plano π. Por tanto:

Ejercicio nº 10.-

Halla la distancia de P(5, 3, −4) al plano π: x + 3y − z + 5 = 0. Solución:

Ejercicio nº 11.-

Calcula la distancia de P(1, 0, 2) a la recta r : (2λ, −λ, 1 + λ). Solución:

1ª forma:

• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :

Su ecuación es:

π: 2(x − 1) − y + (z − 2) = 0 → π: 2x − y + z − 4 = 0

• Intersección de π y r:

( ) ( ) ( )79,0

405

364

51·66',', ==

+

−−+=π=ππ Pdistdist

( ) ( )( )

61,51421

312

81·343·2,

222==

−++

+−−+=πPdist

( ) ( ) 47,344

234364

39·21·2',', ==++

++=π=ππ Pdistdist

( )( )

93,611

23

131

543·35,

222==

−++

+++=πPdist

( ) ( ).201 por Pasa .112 n :recta la de dirección vector el es normal vector Su ,,P,, −=

11

Sustituimos las coordenadas de r en π:

• Distancia pedida:

2ª forma:

( )

( )

( )20,1, Punto

1,1,2d

1,0,0: Recta

P

Rr

−

Ejercicio nº 12.-

Calcula la distancia de P(1, 0, −1) a la recta r : (2λ, 1 − λ, −λ). Solución:

• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :

Su ecuación es:

π: 2 · (x − 1) − y − 1 · (z + 1) = 0 → π: 2x − y − z −3 = 0

• Intersección de π y r : Sustituimos las coordenadas de r en π:

( ) ( )

−

→

=

−=

=

→=λ→=−λ→=−λ++λ+λ23,

21,1'

23

21

1

210360412·2 P

z

y

x

( ) ( ) ( ) 71,022

232

2111',,

222 ==

−+

+−== PPdistrPdist

( )

( )

=++=

=++=×

−=×

×==

6114d

3111d

1,1,1d

d

d

BaseÁrea,

RP

RP

RPrPdist

( ) 71,063, ==rPdist

( ) . por Pasa .112n :recta la de dirección vector el es normal vector Su P,, −−=

12

• Distancia pedida:

Ejercicio nº 13.-

Calcula la distancia del punto P(1, −1, 2) a la recta siguiente:

Solución:

• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :

Su ecuación es:

π: 2 · (x − 1) + (y + 1) − (z − 2) = 0 → π: 2x + y − z + 1 = 0

• Intersección de π y r. Sustituimos las coordenadas de r en π:

• Distancia pedida:

( ) ( ) →

−=

=

=

→=λ→=−λ→=−λ+λ−−λ

32

31

34

320460312·2

z

y

x

−

→32,

31,

34'P

( ) ( ) 58,033

321

31

341',,

222

==

+−+

−+

−== PPdistrPdist

λ−=λ=λ=

zyx

r2

:

( ) ( ).211 por Pasa .11,2n :recta la de dirección vector el es normal vector Su ,,P, −−=

( )

−−

→

=

−=

−=

→−

=λ→=+λ→=+λ+λ+λ61,

61,

62'

61

61

62

61016012·2 P

z

y

x

( ) ( ) 42,26210

612

611

621',,

222

==

−+

+−+

+== PPdistrPdist

13

Ejercicio nº 14.-

Calcula razonadamente la distancia del punto P(3, −1, 5) a la recta siguiente:

Solución:

• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :

Su ecuación es:

−1 · (x − 3) − 1 · (y + 1) + 2 · (z − 5) = 0

Simplificando:

π: −x − y + 2z − 8 = 0 o también π: x + y − 2z + 8 = 0.

• Intersección de π y r :

Sustituimos las coordenadas de r en π.

• Distancia pedida:

Ejercicio nº 15.-

Calcula la distancia de P(2, 1, −1) a la recta r : (4λ, 1 − λ, λ). Solución:

1ª forma:

• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :

Su ecuación es:

π: 4 · (x − 2) − 1 · (y − 1) + (z + 1) = 0 → π: 4x − y + z − 6 = 0

• Intersección de π y r :

λ+=λ−=λ−=

23

2

zyx

r :

( ) ( ).5,1,3 por Pasa .2,1,1n :recta la de dirección vector el es normal, vector Su −−−= P

( ) ( ) →

=

−=

=

→=λ→=+λ−→=+λ+−λ−λ−

313

32

34

32046082322

z

y

x

−

→3

13,32,

34'P

( ) ( ) 83,1330

3135

321

343',,

222

==

−+

+−+

−== PPdistrPdist

. por Pasa .114 n :recta la de dirección vector el es normal vector Su P),, ( −=

14

Sustituimos las coordenadas de r en π:

• Distancia pedida:

2ª forma:

( )

( )

),,P(

Rr

112 Punto

1,1,4d

0,1,0: Recta

−

−

Ejercicio nº 16.-

Calcula la distancia entre las rectas r y s:

Solución:

Hallemos el plano π que contiene a r y es paralelo a s.

El punto (−2, 4, 0) es de r y, por tanto, de π. Ecuación de π:

( ) ( ) →=λ→=−λ→=−λ+λ+λ→=−λ+λ−−λ187071807160614·4

→

=

=

=

→187,

1811,

914'

187

1811

914

P

z

y

x

( ) ( ) 5,118738

1871

18111

9142',,

222

==

−−+

−+

−== PPdistrPdist

( )

( )

=++=

=++=×

−−−=×

×==

181116d

414361d

2,6,1d

d

d

BaseÁrea,

RP

RP

RPrPdist

( ) 5,11841, ==rPdist

=−=+

−=−=+

10

22

zyzx

szxyx

r ::

( ) ( ).1,1,1'd es de el y 1,1,1d es de dirección vector El −=−=

sr

( )( ) ( ) ( ) ( ) . a larperpendicu es 0,2,21,1,11,1,1 tanto, Por

//1,1,1//1,1,1

π−−=−×−

−−

sr

15

−2(x + 2) − 2(y − 4) = 0 → 2x + 2y − 4 = 0

Ejercicio nº 17.-

Dadas las rectas:

Halla: a) La ecuación del plano que pasa por la segunda y es paralelo a la primera. b) La distancia entre ambas rectas. Solución:

a) Hallamos el plano, π, que contiene a r2 y es paralelo a r1.

El punto (1, −1, 3) es de r2 y, por tanto, de π. Ecuación de π:

−10(x − 1) + 5(y + 1) + 5(z − 3) = 0 → π: 2x − y − z = 0

Ejercicio nº 18.-

Considera las rectas r y s:

Calcula la distancia entre ellas dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base. Solución:

( ) ( ) ( )[ ] 71,082

44

42,0,1,0,, ==

+

−=π=π= distsdistrsdist

13

31

21

41

23

32

21−

=+

=−−

=+

=− zyxrzyxr :,:

( )( )

( ) ( ) ( ) . a larperpendicu es 5,5,101,3,242,3,tanto, Por//1,3,2

//4,2,3

2

1π−=×

r

r

( ) ( ) ( )[ ] 45,26

6114

134,1,3,2,,b) 121 ==

++

−+=π−=π= distrdistrrdist

=−=+

−=λ−=λ+=

02

12

3

zyzx

szyx

r ::

( ) ( ) ==='d ,d por definido amoparalelogr del Área

'd ,d , por definido pedoparalelepí del Volumen plano,,

RSRPQSdistrsdist

16

Ejercicio nº 19.-

Calcula la distancia entre:

dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base. Solución:

[ ]'d d

'd ,d ,

×=

RS

( )

( )

−

−

0,2,1d :dirección vector Un

1,0,3 :punto Un

Rr

( )

( )

− 1,1,1'd :dirección vector Un

0,0,2 :punto Un

Ss

[ ] 1111021101

'd ,d , =−

−−

=

RS

( )1,1,2'd d −−−=×

6114'd d =++=×

( ) 41,061, ==srdist

µ=µ+=µ−=

=λ−=λ+=

zyx

szyx

r 24

y5

22

::

( ) ( ) ==='d ,d por definido amoparalelogr del Área

'd ,d , por definido pedoparalelepí del Volumen plano,,

RSRPQSdistsrdist

[ ]'d d

'd ,d ,

×=

RS

[ ] 1111021522

'd ,d , −=−

−−

=

RS

17

Ejercicio nº 20.-

Dadas las rectas:

Halla: a) La distancia entre las rectas. b) La recta perpendicular a r y s. Solución:

a) R y S son los extremos del segmento perpendicular a ambas rectas.

Un punto genérico de r es R(1 + λ, 2λ, −2) y un punto genérico de s es S(2 + 3µ, 2µ, 1 + µ). Un vector genérico que tenga su origen en r y su extremo en S es:

rectas:

Sustituyendo en r y s obtenemos los puntos R y S.

( )1,1,2'd d −−−=×

6114'd d =++=×

( ) 41,061, ==srdist

11

232y

22

1−

==−

−=λ=λ+=

zyxszyx

r ::

( )µ+λ−µλ−µ+= 3,22,31RS

dos las a larperpendicu sea que aquel buscamos , vectores posibles los todos De RS

( )

( )

=µ+λ−

=µ+λ−→

=µ++λ−µ+λ−µ+→=

=λ−µ+λ−µ+→=

01476

0751

034439301,2,3

0443100,2,1

·

·

RS

RS

2123,

34 :es solución La −

=µ−

=λ

( ) ( ) 18,2211002

2140

2110

2120,,

212,

2146,

79

2,38,

31

222

==

+

+

−==

−−−

−

−−

SRdistsrdist

S

R

18

b) La recta perpendicular a r y s, es la recta que pasa por R y S.

ÁREAS

Ejercicio nº 21.-

Considera el plano 2x − y + z − 4 = 0. a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas. b) Calcula el área del triángulo formado por estos tres puntos. Solución:

a) Si y = 0, z = 0 → x = 2 → A(2, 0, 0)

Si x = 0, z = 0 → y = −4 → B(0, −4, 0) Si x = 0, y = 0 → z = 4 → C(0, 0, 4)

Ejercicio nº 22.-

P(2, 1, 0) y Q(0, 3, 4) y es perpendicular a dicho segmento.

b) El plano del apartado anterior corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcula el área del

triángulo ABC. Solución:

M = (1, 2, 2)

−2(x − 1) + 2(y − 2) + 4(z − 2) = 0

−=

2140,

2110,

2120RS

λ+−=

λ+−

=

λ−−

=

21402

2110

38

2120

31

:es buscada recta La

z

y

x

( )0,4,2b) −−=AB

( )40,2−=AC

( ) 2u8,92

3842

8,8,162

Área ==−−

=×

=ACAB

ABC

siendo segmento del medio punto el por pasa que plano del ecuación la Obténa) PQπ

: de medio punto el Calculamosa) PQ

( ) :es plano el tanto, por ,4,2,2 vector el es a normal vector El −=π PQ

19

−2x + 2y + 4z − 10 = 0 2x − 2y − 4z + 10 = 0

b) Calculamos los puntos A, B y C : Si z = 0, y = 0 → x = −5 → A(−5, 0, 0) Si x = 0, z = 0 → y = 5 → B(0, 5, 0)

Ejercicio nº 23.-

Los puntos P(0, 2, 0) y Q(2, 1, −1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero, S,

recta r. a) Determina las coordenadas de S. b) Calcula el área del triángulo PQS. Solución:

(2 + λ, −λ − 2, 3) · (1, −1, 0) = 0 2 + λ + λ + 2 = 0 λ = −2 → S = (0, 2, 3)

→=→==

25,0,0

250 ,0 Si Czyx

2u3,1547503

2

25,225,

225

2 Área ==

−

−

=×

=ACAB

ABC

la a larperpendicu es a y a contiene que recta La 3

2 recta la a pertenece SP

zyx

r

=λ−=λ+=

:

0dda) =→⊥ rr PSPS

·

( )3,0,0b) =PS

( )1,1,2 −−=PQ

( ) 2u35,3245

20,6,3

2 Área ===

×=

PQPSPQS

20

Ejercicio nº 24.-

Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta

Calcula el área del cuadrado. Solución:

El lado del cuadrado es la distancia entre r y s.

Ejercicio nº 25.-

Considera los puntos A(3, 0, 2), B(4, −1, 3) y C(2, 2, 1). a) Prueba que son los vértices de un triángulo. b) Calcula el área de dicho triángulo. Solución:

a) Hay que probar que A, B y C no están alineados.

Sus coordenadas no son proporcionales, luego los puntos no están alineados y son los vértices de un triángulo.

VOLÚMENES

Ejercicio nº 26.-

Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano: 2x − y + z − 4 = 0

241

22sobre otro y

32

1

−=

−+

=−

λ−=λ−=

λ+=zyxs

zyx

r ::

( ) ( ) paralelas. son rectas dos las tanto Por .2,4,2d//1,2,1d s −−=−−=

r

( ) ( ) ( )cuadrado

del lado5

24120

4164

2,4,10

d

d

BaseÁrea,, ===

++

−−−=

×===

s

sRSsRdistsrdist

( ) 22u55 Áreatanto, Por ==

( )( )

−−=−=

1,2,11,1,1

ACAB

( ) 2u71,022

21,0,1

2 Áreab) ==

−=

×=

ACABABC

21

Solución:

Buscamos los puntos de corte con los ejes:

Si y = 0, z = 0 → x = 2 → A(2, 0, 0) Si x = 0, z = 0 → y = −4 → B(0, −4, 0) Si x = 0, y = 0 → z = 4 → C(0, 0, 4)

El cuarto vértice del tetraedro es el punto D(0, 0, 0).

Ejercicio nº 27.-

a) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, −1, −1) y es perpendicular a

b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano anterior. Solución:

a) La ecuación del plano es:

1 · (x − 3) + 1 · (y + 1) + 1 · (z + 1) = 0, es decir: x + y + z − 1 = 0

b) Obtenemos los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas: − Con el eje X → y = z = 0 → x = 1 → Punto A(1, 0, 0). − Con el eje Y → x = z = 0 → y = 1 → Punto B(0, 1, 0). − Con el eje Z → x = y = 0 → z = 1 → Punto C(0, 0, 1).

El cuarto vértice del tetraedro es el origen D(0, 0, 0).

Ejercicio nº 28.-

Calcula el volumen de un cubo que tiene uno de sus lados sobre la recta

( )0,0,2=DA

( )0,4,0 −=DB

( )4,0,0=DC

[ ] 3u3

1632·61

400040002

·61,,

61 de Volumen ==−== DCDBDAABCD

( ).,, 111v

( ) ( ) ( )1,0,00,1,00,0,1 DCDBDA

[ ] 3u611·

61Volumen1

100010001

,, ==→==DCDBDA

.::22

24

1 recta la sobre otro y112

2−

=−

=−

−==

− zyxszyxr

22

Solución:

El lado del cuadrado es la distancia entre r y s.

Ejercicio nº 29.-

Considera los puntos P(2, 1, 1) y Q(4, 5, 3).

este. b) Calcula el volumen del tetraedro limitado por los ejes de coordenadas y el plano π. Solución:

π: 2(x − 3) + 4(y − 3) + 2(z − 2) = 0 → π: 2x + 4y + 2z − 22 = 0 → → π: x + 2y + z − 11 = 0

b) Puntos de corte con los ejes:

Si y = 0, z = 0 → x = 11 → A(11, 0, 0)

Si x = 0, y = 0 → z = 11 → C(0, 0, 11)

D(0, 0, 0)

( ) ( ) paralelas. son rectas dos las tanto Por .2,2,4d//1,1,2d −−= sr

( ) ( ) ( )cubo del arista5

24120

4416

10,2,4

d

d

BaseÁrea,, ===

++

−−−=

×===

s

sRSsRdistsrdist

( ) 33u555 Volumentanto, Por ==

a) Obtén la ecuación del plano que pasa por el punto medio de y es perpendicular aPQ

( )2,3,3 de medio punto el Hallamosa) MPQ →

( ) así: ,2,4,2 es plano al normal vector El =PQ

→=→== 0,

211,0

2110,0Si Byzx

( ) ( )11,0,00,211,00,0,11 DCDBDA

23

Ejercicio nº 30.-

A(0, 1, 2), B(0, 2, 3) y C(0, 2, 5) son tres vértices de un tetraedro. El cuarto vértice, D, está sobre la recta:

Halla las coordenadas de D para que el volumen del ortoedro sea 2 unidades cúbicas. Solución:

D es un punto de r → D(2 − λ, λ, 1 + λ)

Hay dos soluciones: D(6, −4, −3) y D(−6, 8, 9).

PROBLEMAS MÉTRICOS

Ejercicio nº 31.-

Halla el punto simétrico de P(0, 2, 1), respecto del plano π: x + y − z = 2.

Solución: Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano π.

Obtenemos el punto, M, de corte de r y π:

[ ] ====23311·

61

1100

02110

0011

·61,,

61 de Volumen DCDBDAABCD

3u92,11012

1331==

11

112 −

==−− zyxr :

[ ]ADACABVABCD ,,·61

=

( )1,1,0=AB

( )3,1,0=AC

( )1,1,2 −λ−λλ−=AD

=λ→=−λ−=λ→=λ−

=λ−→=−λ−λλ−

8124241224

12242112

310110

·61

( )1,1,1nd −==

r

λ−=λ+=λ=

12:

zyx

r

24

El punto que buscamos, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M.

Ejercicio nº 32.-

Halla el punto simétrico de P(2, 1, 0) respecto del plano π: 2x − y + z = 2. Solución:

Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a π.

Calculamos el punto, M, de corte de r y π:

El punto buscado, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M. Como M es el punto

Ejercicio nº 33.-

Determina el punto simétrico de A(−2, 1, 3) respecto de la recta r :

Solución:

Hallamos el plano π que contiene al punto A y es perpendicular a r :

:tenemos , de medio punto el es Como PP'M

→===→

=

++

31,

38,

32'

31,

38,

32

32,

37,

31

21,

22,

2Pzyxzyx

( )1,1,2nd −==

r

λ+=λ−=λ+=

01

22:

zyx

r

( ) ( )

−

→−

=λ→−=λ→=λ+λ−−λ+61,

67,

35

611621222 M

medio de , se tiene:PP'

−

→−

===→

−

=

++

31,

34,

34'

31,

68,

34

61,

67,

35

2,

21,

22 Pzyxzyx

=λ−=

λ+=

22

1

zyx

r :

( )0,2,1dn −== r

25

x + 2 − 2(y − 1) = 0 → x − 2y + 4 = 0

Buscamos el punto de corte de r y π: M(0, 2, 2)

El punto A' es el simétrico de A respecto de M:

Ejercicio nº 34.-

Halla el punto simétrico de P(1, 0, 3) respecto del plano π: x − y +2z = 1. Solución:

Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano π.

Obtenemos el punto, M, de corte de r y π: 1 + λ + λ + 2(3 + 2λ) = 1 → 6λ = −6 → λ = −1 → M(0, 1, 1)

El punto que buscamos, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M.

Ejercicio nº 35.-

Determina el punto simétrico de A(2, 1, 4) respecto de la recta:

( ) ( )1,3,2'1,3,22,2,02

3,2

1,2

2 Azyxzyx→===→=

++−

( )2,1,1nd −==

r

λ+=λ−=λ+=

23

1:

zyx

r

:tenemos ,PP' de medio punto el es Como M

( ) ( )1,2,1'1,2,11,1,02

3,2

,2

1−−→−==−=→=

++ Pzyxzyx

11

231

−+

==− zyxr :

26

Solución:

Hallamos el plano π que contiene al punto A y es perpendicular a r :

3 · (x − 2) + 2(y − 1) − (z − 4) = 0 → 3x + 2y − z − 4 = 0

Buscamos el punto de corte de r y π: M(1, 0, −1)

El punto A' es el simétrico de A respecto de M:

Ejercicio nº 36.-

Determina la ecuación de un plano π paralelo al plano de ecuación 2x − y + z + 4 = 0 y que dista 10 unidades del punto P(2, 0, 1). Solución: Un plano paralelo a 2x − y + z + 4 = 0 es de la forma:

π: 2x − y + z + k = 0

Tenemos que hallar k para que la distancia a P sea 10 u:

Hay dos planos:

Ejercicio nº 37.-

sobre el plano π: x − y + z + 2 = 0.

( )1,2,3dn −== r

( ) ( )6,1,0'6,1,01,0,12

4,2

1,2

2−−→−=−==→−=

+++ Azyxzyx

( ) 10114

12·2, =

++

++=π

kPdist

−−=→=−−

−=→=+=+

61056105

561061056105

kk

kkk

056102 =−++− zyx

056102 =−−+− zyx

12

121 recta la de , ortogonal, proyección la de ecuación la Halla +

=−

=− zyxrr :'

27

Solución:

La proyección ortogonal de r sobre π es la recta de intersección del plano π con otro plano σ, perpendicular a σ y que contiene a r.

La ecuación de σ es: −1 · (y) − 1 · (z + 2) = 0 → −y − z − 2 = 0 σ: y + z + 2 = 0

La proyección ortogonal de r sobre π es:

Ejercicio nº 38.-

Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la

Solución:

Así:

Ejercicio nº 39.-

En la figura adjunta, calcula el ángulo que forma la recta CD con la recta que une D y el punto medio de AB.

( ) ( ) ( )1,1,1n,1,1,2d,2,0,1 r −=−=−

R

( )1,10,nd −−=×

r

=++=++−

0202

:'zyzyx

r

.:21

12

2 recta zyxr =−−

=−

( ) :que cuenta en teniendo ,,,'d, de director vector el Buscamos cbas =

0220'dd'dd =+−→=→⊥• cba

·

( ) 0220110

2122 ,'d ,dcortan se y =++−→=−

−→=→• cbacba

PRransr

: recta la de vectores los son022022

:sistema del soluciones Las scbacba

=++−=+−

( )λλ−λ−= ,2,2'd

( )1,2,2'd1 Para −−=→=λ

λ+=λ−=λ−=

1222

:zyx

s

28

Solución:

Consideremos que el cubo es de lado 1 y está centrado en el origen.

Así A(1, 0, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 0) y D(0, 1, 1)

α = 70,53°

Ejercicio nº 40.-

Determina la ecuación de un plano, π, paralelo al plano de ecuación x − y + z + 2 = 0 y que dista 20 unidades del punto P(0, 2, 3). Solución:

Un plano paralelo a x − y + z + 2 = 0 es de la forma:

π: x − y + z + k = 0

Tenemos que hallar k para que la distancia a P sea 20 u:

Hay dos planos:

=

21,0,1M

( )1,0,0,21,1,1 −=

−

−= DCDM

31

2321

1·49

21

====αDC·DM

DCDMcos

·

( ) 203

1

111

32, =

+=

++

++−=π

kkPdist

−−=→=−−

−=→=+=+

13203201

132032013201

kk

kkk

01320 =−++− zyx

01320 =−−+− zyx