Raizes de Equacões Não-lineares

Aurora Pozo

Introdução

• Seja F(x) uma função real definida num intervalo [a, b].

• Chama-se raiz(es) desta função em [a, b] a todo ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0.

Zeros de Equações Transcendentes e Polinomiais

Fases na determinação de raízes

• Fase I - Isolamento– Nesta fase o objetivo é o de determinar um

intervalo [a; b], o menor possível, que contenha uma única raiz.

Teorema de Bolzano

• Teorema: Se uma função f(x) contínua num intervalo [a, b] assume valores de sinais opostos nos pontos extremos deste intervalo, isto é, f(a). f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0; em outras palavras haverá, no mínimo, um número ξ є (a, b) tal que F(ξ) = 0.

• Se f’ preservar o sinal em (a,b) então a raiz é única.

Procedimento I:

• Esboçar o gráfico de f, determinando os intervalos [xi, xi+1] que contenham uma única raiz.

• Este objetivo pode ser cumprido gerando-se uma tabela de pontos (xi; f(xi)), onde os pontos inicial e final, bem como o valor do passo considerado (xi+1 ¡ xi), dependerão do problema considerado e da experiência do usuário.

Procedimento II:

• Decompor a função f, se possível, na forma f=g+h, onde os gráficos de g e h sejam conhecidos e mais simples.

• Neste caso, os pontos de interseção dos gráficos de g e h representam as raízes de f(x)=0.

Exemplo:

• Isolar as raízes de f(x) = 2x - cos x.• Inicialmente, façamos a decomposição da

função f dada:– f(x) = 0 → 2x - cos(x) = 0– g(x) = 2x , h(x) = cos(x)

Funções Scilabfunction[a] = f(x) a = x*cos(x) - 1 function muda(x0,h) while (f(x0)*f(x0+h) >0), x0=x0+h; end a=x0 b=x0+h; printf('Muda sinal em:\na=%f f(x0)=%f\nb=%f f(x0+h)=%f',a,f(x0),b,f(x0+h)) x=[0:0.1:10];y=x.*cos(x)-1;plot(x,y);xgrid();