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Comportamento de Comportamento de Sistemas Não-Sistemas Não-

lineareslineares

20152015

Prof. Marcus V. Americano da Prof. Marcus V. Americano da Costa FºCosta Fº

marcus.americano@ufba.brmarcus.americano@ufba.br

Universidade Federal da Bahia – UFBAEng. de Controle e Automação

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1 único Equilíbrio (estável ou instável)

1. Sistemas Não-Lineares

• Sistemas Lineares

• Sistemas Não Lineares

- Múltiplos Equilíbrios- Oscilações periódicas (ciclos limites)- Atratores estranhos (“caóticos”)

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• Pêndulo simples

212

21

)( xbxsenaxxx

1. Sistemas Não-Lineares

0)( senab

21 ; xx

θ

L

0b

Diagrama de Espaço de Estados

1x

2x

0b2x

1x

equilíbrios

• Controle Pneumático do pêndulo simples invertido

1. Sistemas Não-Lineares

•Controle com Rotação do pêndulo simples invertido

1. Sistemas Não-Lineares

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• Oscilador de Van der Pol

22112

21

1 xxxx

xx

0122

2

xdtdxx

dtxd

1. Sistemas Não-Lineares

xxxx 21 ;

1x

2x)(1 tx)(2 tx

][segt

Equilíbrio (foco instável)

Ciclo limite Estável

7

• Atrator de Rossler

32113

32

21

5.01 xxxxxxxxx

1. Sistemas Não-Lineares

2x

1x

3x

t

2x

3x

1x

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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

Exemplo: Equação logística1) Equilíbrios 00 2 xxx

1010

2

1

e

e

xxx

2) Estabilidade dos equilíbrios (classificação)

xdxxdfxf 21)()('

)1(11)1(1

01)0(0

xxdxdfx

xxxdxdfx

Para

Para

X(t)

1

0t

)(2 xfxxx

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• Linearização: se df(x)/dx ≠0 então as soluções do sistema não linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se como as do sistema Linear

xxdxxdfx

xxdxxdfxfx

xfx

)(

)()(

)(

Desprezar termos de ordem superior

Desenvolvimento serie de Taylor

Aproximação linear

0)(

dxxdf Aproximação linear

válida

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

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• Exemplo

xdxxdf

xxxxfx

2)(

00;)( 2

?0)0(0 xdxdfx Para

1)(

0

0

txxtxSolução

x

0t

Equilíbrio

t0=1/x0

Não podemos estudar o equilíbrio a partir do sistema linearizado

0)0(

dxdfComo

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

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• Exemplo3221212

211 2

xxxxxx

xxx

0

02322121

21

xxxxx

xx 1,0,1,0,0,0, 21 xx

2

212

1221 311

22),(

xxxxx

xxDfMatriz da linearização (Jacobiano)

Equilíbrios

22

2202

)1,0(

22

2002

)1,0(

10

1100

)0,0(

2

1

2

1

2

1

Df

Df

Df Não posso concluir nada

Nó assintoticamente estável

Ponto de sela (instável)

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

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• Caso Geral

• Jacobiano

xxxDfx

xxxDfxfxxxfx n

)(

)()(;)(

n

nnn

n

n

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xDf

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

Sistema linearizado

2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

2. Teorema de Hartman-Grobman

Na vizinhança de um ponto de equilíbrio hiperbólico, um sistema não linear de dimensão ‘n’ apresenta um comportamento qualitativamente equivalente ao do sistema linear correspondente.

A estabilidade de um ponto de equilíbrio hiperbólico é preservada quando se lineariza o sistema em torno desse ponto, de modo que o retrato de fases, na sua vizinhança, é topologicamente orbitalmente equivalente ao retrato de fases do sistema linear associado. Dois retratos de fases são topologicamente orbitalmente equivalentes quando um é uma versão distorcida do outro.

Se o ponto de equilíbrio é não-hiperbólico, então a linearização não permite predizer sua estabilidade.

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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

Tarefa 1: determinar os equilíbrios do seguinte sistema e classificá-lo segundo a sua estabilidade

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2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

Tarefa 2: estudar a estabilidade da equação de Van der Pol

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