Detecção não coerente de DPSK e MFSK Probabilidades de...

Modulações digitais

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Detecção não coerente de DPSK e MFSK

Probabilidades de erro.

Detecção não coerente de DPSK e MFSK 2

Detecção não-coerente de FSK binário

O sinal recebido é r (t) =2 Eb

Tcos(ω it + θ ) + n(t ), em que θ é uma

amostra de uma variável aleatória com fdp uniforme em [0, 2π]. A detecção não-coerente deste sinal pode fazer-se com um dos dois receptores alternativos equivalentes seguintes:

• Receptor em quadratura

0

T∫

0

T∫

( )2

( )2

si(t)^

z1I(T)

[z1I(T)]2 + [z1Q(T)]2

r(t) +

-

0

T∫

0

T∫

( )2

( )2

Opcional

Opcional

2T

cos ω1t

2T

cos ω2t

2T

sen ω2t

2T

sen ω1t z1Q(T)

z2I(T)

z2Q(T)

[z2I(T)]2 + [z2Q(T)]2

• Receptor com filtro adaptado não-coerente

Filtroadaptado

a ψ1(t)r(t)

y1(t) Detector deenvolvente

1/Tz1(t)

si(t)^

+

-Filtroadaptado

a ψ2(t)Detector deenvolvente

1/T

z2(t)

z1(T)

z2(T)y2(t)

Alternativa (pior) aos filtros adaptados: filtros passa-banda centrados em ωi.


Detecção não-coerente de FSK binário

Receptor em quadratura

Suponhamos que à entrada do receptor temos (sem ruído)

r (t) =

2 EbT

cos(ω1t + θ ) 0 ≤ t ≤ T

A fase θ é desconhecida. Quais são os valores de z1I (T) , z1Q(T) , etc., no

receptor em quadratura?

z1I (T) =2T

r (t)cosω1tdt0

T

∫ =2 Eb

T2T

cos(ω1t + θ )cosω1tdt0

T

∫ = Eb cosθ

De igual modo:

z1Q (T) =2T

r( t)senω1tdt0

T

∫ =2T

Eb cos(ω1t + θ )senω1tdt0

T

∫ = Ebsenθ

z2 I (T ) =2T

r( t)cosω2tdt0

T

∫ =2T

Eb cos(ω1t + θ )cosω2tdt0

T

∫ = 0

z2Q (T ) =2T

r(t )senω2tdt0

T

∫ =2T

Eb cos(ω1t + θ )senω2 tdt0

T

∫ = 0

(Não esquecer que os valores das frequências f1 e f2 fazem com que os sinais

FSK sejam ortogonais)

z1I2 (T ) + z1Q

2 (T) = Eb (cos2 θ + sen2θ ) = Eb

z2 I2 (T) + z2Q

2 (T) = 0

O contrário se passaria se tivesse sido recebido 2 Eb

Tcos(ω2 t + θ ).


Detecção não-coerente de FSK

Receptor com filtros adaptados

O receptor não-coerente com filtros adaptados é equivalente ao receptor em quadratura.

Considerando apenas metade do receptor (um dos ramos):

Filtroadaptado

a ψi(t)

r(t) y(t) Detector deenvolvente

1/T z(T)z(t)

• Resposta impulsional do filtro adaptado a 2T

cosωit , para 0 ≤ t ≤ T :

h(t) =2T

cosωi (T − t ) 0 ≤ t ≤ T

• Saída do filtro adaptado:

y(t) = r(τ)h(t − τ)dτ−∞

∞

∫ = 2T

r(τ )cos ω i(T − t + τ )[ ]dτ0

T

∫ =

=2T

cos ω i(T − t)[ ] r (τ )cos(ω iτ )dτ0

T

∫ −2T

sen ωi (T − t)[ ] r(τ )sen(ωiτ )dτ0

T

∫

• A envolvente deste sinal é proporcional à raiz quadrada da soma dos quadrados dos integrais. No instante T:

z(T ) = r(τ ) 2T

cos(ωiτ )dτ0

T

∫⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

2

+ r(τ ) 2T

sen(ω iτ )dτ0

T

∫⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

2⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

1 2

Isto é precisamente o que temos na saída de cada metade do receptor em quadratura.


Detecção não-coerente de FSK

Receptores não coerentes de FSK:

• em quadratura

É a melhor opção.

• com filtros adaptados

• com filtros passa-banda

É a pior opção.

Outras considerações

• O detector de envolvente é um rectificador seguido de filtro passa-baixo.

• Escolhe-se a envolvente de maior amplitude.

• Em nenhum caso se usa referência de fase.

Se se usasse referência de fase a detecção seria… coerente!

• No receptor com filtros passa-banda os filtros estão centrados nas frequências fi e têm uma largura de banda 1/T.

• Os receptores em quadratura são facilmente implementados digitalmente. São os preferidos.

• Os detectores de envolvente são menos usados porque os filtros (analógicos ou digitais) são mais complexos.


PSK diferencial (DPSK)

• Em modulação de fase não podemos dispensar o conhecimento da… fase; logo, a única maneira de desmodular PSK é através de detecção coerente.

• PSK diferencial, ou DPSK, é uma modulação PSK “falsa”. Pode ser desmodulada de forma coerente e não-coerente.

• DPSK é uma forma de sinalização ortogonal no intervalo de dois bits.

• A geração de DPSK compreende duas operações:

1. Codificação diferencial 2. Modulação PSK convencional

Codificador diferencial

Tb

bk ck ⊕

1k k kc b c −= ⊕

ou Tb

bk ck ⊕

1k k kc b c −= ⊕

Modulador DPSK (com 1k k kc b c −= ⊕ )

Tb

Codificador diferencial

Conversor binário-polar

bk ck

{0,1} → {-A,+A}

2 cos 2b cT f tπ Modulador BPSK

si(t)

DPSK

⊕

Exemplo de codificação diferencial (com 1k k kc b c −= ⊕ )

Índice da amostra, k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mensagem binária, bk: 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1

Mensagem codificada diferencialmente, ck:

1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Variação de fase: π 0 π π 0 0 π 0 0 0 π


PSK diferencial (DPSK)

• A codificação diferencial segundo a regra 1k k kc b c −= ⊕ significa que:

• um bit bk = 0 não altera a fase da forma de onda do intervalo de tempo anterior.

• um bit bk = 1 avança a fase anterior de 180°.

• Também poderá ser usada a regra de codificação 1k k kc b c −= ⊕ .

Se no intervalo 0 bt T≤ ≤ for transmitida a forma de onda 2 cosb

cb

E tT

ω ,

no intervalo 2b bT t T≤ ≤ a forma de onda é a mesma (se o bit correspondente for “0”) ou avançada de 180° (se o bit correspondente for “1”):

• Se bit do intervalo 2b bT t T≤ ≤ for “0”:

1

2 cos 0( )

2 cos 2

bc b

b

bc b b

b

E t t TT

s tE t T t T

T

ω

ω

⎧≤ ≤⎪

⎪= ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎩

(mantém a fase anterior)

• Se bit do intervalo 2b bT t T≤ ≤ for “1”:

2

2 cos 0( )

2 cos( ) 2

bc b

b

bc b b

b

E t t TT

s tE t T t T

T

ω

ω π

⎧≤ ≤⎪

⎪= ⎨⎪ + ≤ ≤⎪⎩

(altera a fase anterior)

A segunda metade de um símbolo é a primeira metade do símbolo seguinte.

• No intervalo [0,2 ]bT os símbolos s1(t) e s2( t) são ortogonais:

2

1 20

( ) ( ) 0bT

s t s t dt =∫


Desmodulação não-coerente de PSK diferencial

• Em DPSK a informação é transportada pela diferença de fase entre duas formas de onda sucessivas, logo, não é necessário determinar o valor real da fase do sinal recebido.

Suponhamos que a forma de onda transmitida é

[ ] 02( ) cos 2 ( )

1,2b

i c ib

t TEs t f t tiT

π θ≤ ≤

= +=

Depois de atravessar um canal sem distorção de amplitude o sinal recebido pode ser caracterizado por

[ ]2( ) cos 2 ( ) ( )c ib

Er t k f t t n tT

π θ α= + + +

em que k traduz o ganho do canal, α é um esfasamento aleatório com distribuição uniforme em [0; 2π] e n(t) é o ruído AWGN.

• Se α variar pouco em dois períodos consecutivos, a diferença de fase entre duas formas de onda sucessivas, θ j (T1) e θk (T2 ), com 2 1 bT T T− = , é

independente do esfasamento α:

θ k (T2 ) + α[ ]− θ j (T1) + α[ ]= θk (T2 ) − θ j (T1 ) = φi (T2 )

⇓

A fase da portadora no intervalo precedente pode ser usada como referência de fase para a desmodulação:

θk (T2 ) = θ j (T1 ) + φi (T2 ) .

Com modulação binária φi (T2 ) só pode assumir os valores 0° ou 180°.


Desmodulação não-coerente de DPSK

θ

(ou este)

Instante t = 2Tb

y2(2Tb)

y1(2Tb) bE yQ

yI θ yI

y1(Tb) bE

(ou este)

Instante t = Tb

yQ

y2(Tb)

I

Q

yy

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦y

No instante t = Tb (figura da esquerda) é recebido ou o ponto y1(Tb), com uma fase desconhecida θ, ou o ponto y2(Tb), com uma fase desconhecida π+θ. Como os sinais transmitidos em DPSK são antipodais, no instante seguinte, t = 2Tb (figura da direita), será recebido ou o ponto y1(2Tb) ou o ponto y2(2Tb). Portanto no intervalo [0, 2Tb] podem ocorrer duas situações:

• ou os pontos sucessivos estão no mesmo quadrante

⇒ a fase do sinal não se alterou ⇒ foi enviado o bit “0”.

⇒ os produtos internos ( ) (2 )b bT T•1 1y y ou 2 2( ) (2 )b bT T•y y são positivos.

• ou os pontos sucessivos estão em quadrantes opostos

⇒ a fase do sinal sofreu alteração ⇒ foi enviado o bit “1”.

⇒ os produtos internos 2( ) (2 )b bT T•1y y ou 2 1( ) (2 )b bT T•y y são negativos.

1 2 2

2 2 1

( ) (2 ) ( ) (2 ) bit 0 enviado( ) (2 )

( ) (2 ) ( ) (2 ) bit 1 enviadob b b b b

b bb b b b b

T T T T ET T

T T T T E• = • =⎧

• = ⎨ • = • = −⎩1

1

y y y yy y

y y y y


Desmodulação de DPSK

Como efectuar o produto interno dos vectores de sinal recebidos nos instantes Tb e 2Tb? Por exemplo com o circuito seguinte, onde yI e yQ são as

coordenadas do ponto y, [ ]TI Qy y=y :

Desmodulação diferencialmente coerente

Sinal DPSK

Decisor

+

+

γ = 0

yI(2Tb)

yQ(Tb)

yQ(2Tb)

yI(Tb)

y(Tb)• y(2Tb)

sen 2 cf tπ

cos 2 cf tπ

ˆ ( )is t

0bT

∫Tb

0bT

∫Tb

• Neste receptor os sinais de referência estão sincronizados em frequência (mas não em fase) com os sinais recebidos: o método de detecção é não-coerente.

• É mais fácil implementar um receptor de DPSK do que de PSK porque aquele não requer sincronização de fase.

• Para se obter a mesma probabilidade de erro (≤10-4) DPSK requer ≈1dB mais de relação Eb N0 do que PSK.

• DPSK também pode ser desmodulado como na figura seguinte:

Desmodulação sub-óptima de PSK diferencial

0

T∫

T

Sinal DPSK si(t)^

Neste receptor o sinal de referência é uma versão atrasada do sinal recebido. A probabilidade de erro é maior que com o receptor diferencialmente coerente.


Modulação ortogonal não-coerente

Probabilidades de erro

• Fórmula geral da probabilidade de símbolo errado:

Pe =(−1)k+1

k +1

M −1

k

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ exp −

kEs(k +1)N0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

k=1

M −1

∑

• Se M = 2 (modulação binária):

PB =12

e−

E2 N0 (E — energia dos símbolos)

• Casos particulares com M = 2:

• FSK binário ortogonal com detecção não-coerente:

Energia do símbolo: E = Eb (Eb — energia/bit)

PB =12

e−

Eb2 N0

• DPSK binário com detecção não-coerente:

Duração do símbolo DPSK: 2T

Energia do símbolo: E = 2 Eb

PB =12

e−

EbN0

• DPSK apresenta um ganho de 3 dB sobre BFSK não-coerente, para a mesma probabilidade de erro.


Modulações digitais binárias: PSK, DPSK e FSK

Probabilidades de bit errado em modulações digitais binárias

-5 0 5 1010 -7

10 -6

10 -5

10 -4

10 -3

10 -2

10 -1

1

15Eb/No (dB)

Pro

babi

lidad

e de

bit

erra

do, P

B

detecção coerentede PSK

detecção coerente de FSK

detecção coerentede DPSK

detecção não-coerentede DPSK

detecção não-coerente de FSK

Limite de Shannon(-1,6dB)

Para probabilidades de erro muito pequenas (<10-7) podemos observar o seguinte:

• a relação EbN0

necessária para atingir um determinado valor de PB em PSK

e em DPSK é praticamente a mesma.

• a relação EbN0

necessária para atingir um determinado valor de PB em FSK

é praticamente a mesma qualquer que seja o tipo de detecção usado.


Modulação digital MFSK

Probabilidade de símbolo errado com detecção não-coerente

-5 0 5 15-1,6Eb/No (dB)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

Pro

babi

lidad

e de

sím

bolo

erra

do, P

e

10

M=2

4

8

16

32

Probabilidade de bit errado com detecção não-coerente

-5 0 5 15-1,6Eb/No (dB)

1010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

Pro

babi

lidad

e de

bit

erra

do, P

B M=2

4

8

16

32

Acima de M=128 há pouca diferença entre as probabilidades de erro obtidas com detecção coerente e detecção não-coerente.


Probabilidades de bit e símbolo errado

Modulação Tipo de detecção

M = 2 M > 2

Pb Pe

PSK Coerente Q2EbN0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≈ 2Q

2EsN0

senπM

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

*

DPSK Coerente 2Q2EbN0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 1 − Q

2EbN0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

—

DPSK Não- -coerente

12

exp −EbN0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≈ 2Q 2

EsN0

senπ

2M

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

*

FSK Coerente QEbN0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ≤ (M −1)Q

EsN0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

FSK Não- -coerente

12

exp −Eb

2N0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ (−1)k+1

k +1

M −1

k

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ exp −

kEs(k +1)N0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

k =1

M −1

∑**

OOK Coerente QEbN0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ —

OOK Não--coerente 0 0

1 exp2 2

b bE EQN N

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

—

QAM Coerente — ≈ 4 1 −1M

⎛ ⎝

⎞ ⎠ Q

2E0N0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

* Para Es N0 elevado.

** Limite superior: Pe ≤M −1

2exp −

Es2N0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

• Todos os sinais são equiprováveis e Es = Eb log2 M = kEb . Em OOK: bE E= ⟨ ⟩ .

• Relação entre probabilidade de bit errado e probabilidade de símbolo errado:

o Sinais ortogonais: 12 2 1

1 22 1

kb

k ke

P MP M

−

→∞= = ⎯⎯⎯→

−−

o Sinais de fase múltipla e código de Gray: 1 ( 1)be

e

P PP k

≈ <<


Probabilidades de bit errado em modulações digitais

Valores de Eb/N0 necessários para se atingir Pb = 10-4 e 10-5

Modulação Tipo de detecção

Eficiência espectral

Eb/N0 (dB)

(bits/s/Hz) Pb = 10-4 Pb = 10-5

BPSK Coerente 1 8,4 9,6

QPSK Coerente 2 8,4 9,6

MSK Coerente 2 8,4 9,6

DPSK Não-coerente 1 9,3 10,3

DQPSK Não-coerente 2 10,7 11,9

BFSK Coerente 1 11,4 12,6

OOK Coerente 1 11,4 12,6

8-PSK Coerente 3 11,7 13,0

16-QAM Coerente 4 12,2 13,4

BFSK Não-coerente 1 12,3 13,4

OOK Não-coerente 1 12,3 13,4

8-DPSK Não-coerente 3 14,6 15,8

16-PSK Coerente 4 16,1 17,4

64-QAM Coerente 6 16,5 17,8

256-QAM Coerente 8 21,2 22,5


Apêndice 1: espaçamento entre frequências de sinais ortogonais FSK

P.: Se ( )1 12( ) cos 2b

b

Es t f tT

π φ= + e 2 22( ) cos2b

b

Es t f tT

π= forem usados em

FSK qual deverá ser o espaçamento mínimo entre f1 e f2 de modo que as formas de onda sejam ortogonais?

R.: Se as formas de onda forem ortogonais deverá ser

1 20( ) ( ) 0

Ts t s t dt =∫ ⇒ 1 20

cos(2 )cos2 0T

f t f tdtπ φ π+ =∫

Desenvolvendo:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 0cos cos 2 cos 2 sen sen 2 cos 2 0

T Tf t f t dt f t f t dtφ π π φ π π− =∫ ∫

Mas

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2cos 2 cos 2 1 2cos2 1 2cos2f t f t f f t f f tπ π π π= + + −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2sen 2 cos 2 1 2sen 2 1 2sen 2f t f t f f t f f tπ π π π= + + −

Substituindo valores e calculando os integrais obtemos:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

sen 2 sen 2cos

2 2

cos2 1 cos2 1sen 0

2 2

f f T f f Tf f f f

f f T f f Tf f f f

π πφ

π π

π πφ

π π

⎡ ⎤+ −+ +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − − −+ + =⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

Ora

( )( )

( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

sen 2 cos20

2 2f f T f f T

f f f fπ π

π π+ +

≈ ≈+ +

se 1 2 1f f+


Apêndice 1: espaçamento entre frequências de sinais ortogonais FSK (cont.)

Assim,

( ) ( )1 2 1 2cos sen 2 sen cos2 1 0f f T f f Tφ π φ π− + − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ (*)

Se a detecção for coerente então 0φ = , caso contrário é 0φ ≠ .

Detecção não coerente de FSK ( 0φ ≠ ):

Terá de ser ( )1 2sen 2 0f f Tπ − = ∧ ( )1 2cos2 1f f Tπ − =

⇓ ⇓

( )1 22 f f T kπ π− = ( )1 22 2f f T kπ π− =

A segunda condição é mais restritiva que a primeira. Conclui-se que

Espaçamento para ortogonalidade: 1 2kf fT

− = k = 1,2,…

Espaçamento mínimo: 1 21f fT

− =

Detecção coerente de FSK ( 0φ = ):

A equação (*) passa a ( )1 2sen 2 0f f Tπ − = , donde ( )1 22 f f T kπ π− = .

Espaçamento para ortogonalidade: 1 2 2kf fT

− = k = 1,2,…

Espaçamento mínimo: 1 21

2f f

T− =

Logo, a detecção coerente permite que o sinal FSK ocupe uma menor largura de banda.


Apêndice 2: Probabilidade de bit errado em BFSK com detecção não coerente

Pressupostos:

• Sinais ( ) 2 cos2i b is t E T f tπ= , 0 t T≤ ≤ , 1,2i = (equiprováveis)

• Detector constituído por M = 2 filtros passa-banda com B = 1/T e M = 2 detectores de envolvente

• s1(t) e s2(t) estão suficientemente separados em frequência (isto é, a sobreposição de espectros é desprezável)

Sinal recebido

Filtro passa-banda

1

Detector de envolvente

1 +

-

1/T

Filtro passa-banda

2

Detector de envolvente

2

z1(T)

z2(T)

1/T

z(T)

Sinal estimado

B = 1/T

B = 1/T

r(t) = s(t) + n(t)

( ) ( )0

1 20

1 12 2bP p z s dz p z s dz

∞

−∞

= +∫ ∫

Como em casos anteriores e dada a simetria das funções densidade de probabilidade (fdp) podemos escrever

( ) ( )2 1 2 20bP p z s dz P z z s∞

= = >∫ (com 1 1( )z z T= e 2 2( )z z T= )

Suponhamos que a frequência f2 foi enviada (isto é, 2( ) ( ) ( )r t s t n t= + )

⇒ à saída do filtro 1 temos uma v.a. gaussiana 2(0, )σN (ruído apenas, sem sinal) cuja envolvente, z1(T), tem uma fdp de Rayleigh (ver Apêndice 3).

⇒ à saída do filtro 2 temos ruído 2(0, )σN mais a sinusóide s2(t) logo, a sua envolvente, z2(T), tem uma fdp de Rice (ver Apêndice 3).


Apêndice 2: Probabilidade de bit errado em FSK com detecção não-coerente (cont.)

fdp da envolvente 1 (Rayleigh):

21 1

12 21 2

1

exp 0( ) 2

0 0

z z zp z s

zσ σ

⎧ ⎛ ⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠

⎪ <⎩

2σ – variância do ruído na saída

fdp da envolvente 2 (Rice):

2 22 2 2

0 22 2 22 2

2

exp 0( ) 2

0 0

z z A z AI zp z s

zσ σ σ

⎧ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪ <⎩

com 2 bEAT

=

2 cos0 0

1( )2

xI x e dπ θ θ

π= ∫ – função de Bessel modificada da 1ª espécie, de ordem 0

Sendo transmitido s2(t) o receptor comete um erro sempre que a amostra da envolvente z1(T), obtida no canal superior e devida apenas a ruído, exceder a amostra da envolvente z2(T), obtida no canal inferior e devida a sinal + ruído. Logo,

A probabilidade desta situação ocorrer pode ser calculada integrando

1 2( )p z s relativamente a z1, desde z2 a infinito, e tomando a sua

média para todos os valores possíveis de z2:

( ) ( ) ( )2

2

1 2 2 2 2 1 2 1 20

2 2 22 2 2 1 1

0 1 22 2 2 2 20exp exp

2 2

b z

z

P P z z s p z s p z s dz dz

z z A z A z zI dz dzσ σ σ σ σ

∞ ∞

∞ ∞

⎡ ⎤= > = =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫


Apêndice 2: Probabilidade de bit errado em FSK com detecção não-coerente (cont.)

A expressão anterior vale

2 2

20

1 1exp exp2 2 44b

A APN Bσ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (pois 2 0 2

2N Bσ = × )

• Pb é tanto menor quanto menor for B (largura de banda do filtro)

• Como um sinal passa-banda ocupa o dobro da largura de banda do sinal em banda-base que lhe deu origem, a menor largura de banda possível do

filtro (sem ISI) é 1 122T T

× = .

⇓

2

0 04 21 1e e2 2

bEA TN N

bP− −

= =

• FSK com detecção não coerente requer ≈1 dB mais em Eb/N0 do que FSK com detecção coerente, para a mesma 410bP −≤ .

• O receptor não coerente é mais simples pois os sinais de referência coerentes não precisam de ser gerados ⇒ é o tipo de receptor quase sempre usado!


Apêndice 3: As funções densidade de probabilidade (fdp) de Rayleigh e de Rice

• fdp de Rayleigh – é a fdp da envolvente de ruído gaussiano 2(0, )σN :

2

2 2exp 0( ) 2

0 outros valoresR

r r rf r σ σ

⎧ ⎛ ⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠

⎪⎩

Fdp normalizada:

Fazendo rvσ

= ⇒ ( )2exp 2 0( ) ( )

0 outros valoresV R

v v vf v f rσ

⎧ − ≥⎪= = ⎨⎪⎩

f R(r

)

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

r

• fdp riciana (de Rice) – é a fdp da envolvente de ruído gaussiano 2(0, )σN + sinusóide de amplitude A:

2 2

02 2 2( ) exp2R

r r A Arf r Iσ σ σ

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(I0(x) – função de Bessel modificada da 1ª espécie e ordem zero)

Fdp normalizada:

Fazendo rvσ

= e Aaσ

= ⇒ ( )2 2( ) 2

0( ) ( ) v aV Rf v f r v e I avσ − += =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

0.2

0.4

0.6 a = 0

1 2 3 4

v

f V(v

)

Se a = 0 ⇒ Rayleigh

Se a for elevado ⇒ ≈ gaussiana nas vizinhanças de v = a

Detecção não coerente de DPSK e MFSK Probabilidades de...

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