ondas electromagneticas resumen

PROPAGACION Y RADIACIONELECTROMAGNETICA II

Miguel Delgado Leon

28 de Julio del 2005

Capıtulo 1

Propagacion de OndasElectromagneticas

1.1 Ecuaciones de Maxwell

Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones diferenciales de los camposelectromagneticos cuasi estaticos CECE:

∇ ·D(r, t) = ρ(r, t) Ley de Gauss (1.1)

∇ ·B(r, t) = 0 Ley de Gauss Magnetico (1.2)

∇× E(r, t) = − ∂

∂tB(r, t) Ley de Faraday (1.3)

∇×H(r, t) = J(r, t) Ley de Ampere (1.4)

con las ecuaciones constitutivas:

D(r, t) = εE(r, t) B(r, t) = µH(r, t) (1.5)

donde ε, µ y g son, la permitividad, la permeabilidad y la conductividaddel medio, respectivamente. Maxwell se dio cuenta que la ultima leyfallaba (ecuacion 1.4). Como sabemos: La divergencia de un rotacionalsiempre es cero. Entonces aplicando la divergencia a la ley de Ampere,tenemos:

∇ · ∇ ×H(r, t) = ∇ · J(r, t) =⇒ 0 = ∇ · J(r, t)

Esto no es verdad, contradice la ley de la conservacion de la carga quese expresa como:

∇ · J(r, t) +∂

∂tρ(r, t) = 0 =⇒ ∇ · J(r, t) = − ∂

∂tρ(r, t) (1.6)

1

2CAPITULO 1. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Maxwell supuso que a la ley de Ampere le faltaba un termino quele llamo: Densidad de corriente de desplazamiento Jd(r, t). Ası, lacorrecion queda:

∇×H(r, t) = J(r, t) + Jd(r, t) (1.7)

Esta ecuacion no debe contradecir la ley de conservacion de la carga.Aplicando la divergencia a (1.7):

∇ · ∇ ×H(r, t) = ∇ · J(r, t) +∇ · Jd(r, t)

0 = ∇ · J(r, t) +∇ · Jd(r, t)

Para que esta ecuacion sea equivalente a (1.6), debe cumplirse que

∇ · Jd(r, t) =∂

∂tρ(r, t)

reemplazando (1.1), es decir la ley de Gauss en esta ecuacion:

∇ · Jd(r, t) =∂

∂t∇ ·D(r, t) = ∇ ·

( ∂

∂tD(r, t)

)

Entonces, la densidad de corriente de desplazamiento sera:

Jd(r, t) =∂

∂tD(r, t)

Las leyes enunciadas al inicio de la exposicion con la correccion, seconocen como las ecuaciones de Maxwell en la forma diferencial:

∇ ·D(r, t) = ρ(r, t) Ley de Gauss (1.8)

∇ ·B(r, t) = 0 Gauss Magnetico (1.9)

∇× E(r, t) = − ∂

∂tB(r, t) Ley de Faraday (1.10)

∇×H(r, t) = J(r, t) +∂

∂tD(r, t) Ampere-Maxwell (1.11)

Se puede demostrar que las condiciones de frontera entre dos mediosno se modifican debido a este cambio. Aqui un repaso:

D2 n(r, t)−D1 n(r, t) = σ(r, t)

B2 n(r, t) = B1 n(r, t)

E2 t(r, t) = E1 t(r, t)

1.2. ECUACIONES DE MAXWELL FASORIAL 3

H2 t(r, t)−H1 t(r, t) = Kn(r, t)

o la expresion equivalente

n2 × [H2(r, t)−H1(r, t)] = K(r, t)

Ejemplo 1 Demostrar que la ley de Gauss magnetico y la ley de Fara-day son dependientes

Solucion Aplicando divergencia a (1.10), tenemos:

∇ · ∇ × E(r, t) = ∇ ·(− ∂

∂tB(r, t)

)= − ∂

∂t∇ ·B(r, t)

El lado izquierdo siempre es cero, entonces

0 = − ∂

∂t∇ ·B(r, t)

El lado derecho tambien, siempre debe ser cero

∇ ·B(r, t) = 0

La contribucion de las ecuaciones de Maxwell sirve para fundamentarla teorıa del flujo de potencia electromagnetico y la teorıa de las ondaselectromagneticas

1.2 Ecuaciones de Maxwell Fasorial

Cuando los campos electromagneticos varian en forma armonica (senoidal)con frecuencia angular ω = 2πf , (f es la frecuencia en Hz) se puedetrabajar con fasores:

E(r, t)D(r, t)H(r, t)B(r, t)

= Re

E(r)D(r)H(r)B(r)

ej ω t

(1.12)

donde E(r), D(r), H(r) y B(r) son fasores

Ejemplo 2 Expresar el siguiente campo vectorial (onda), en formafasorial

H(r, t) = x 2 sen(ω t− β0 z) + y 3 cos(ω t− β0 z) A/m


Solucion Utilizando la notacion de Euler

ej θ = cosθ + j senθ =⇒ Re {ej θ} = cosθ

El campo H(r, t) puede expresarse como

H(r, t) = x 2 cos(ω t− β0 z − π/2) + y 3 cos(ω t− β0 z)

luego

H(r, t) = x 2 Re {ej(ω t−β0 z−π/2)}+ y 3 Re {ej(ω t−β0 z)}simplificando

H(r, t) = Re {[x 2 e−j β0 z−j π/2 + y 3 e−j β0 z]ej(ω t}Finalmente

H(r, t) = Re {[(−x 2 j + y 3)e−j β0 z]ej ω t}El termino entre corchetes es el fasor

H(r) = (−x 2 j + y 3)e−j β0 z

Ejemplo 3 Expresar la ley de Faraday en forma fasorial

Solucion Tenemos la ley de Faraday:

∇× E(r, t) = − ∂

∂tB(r, t)

Utilizando (1.12)

∇× Re {E(r) ej ω t} = − ∂

∂tRe {B(r) ej ω t}

Transformando

Re {∇ × E(r) ej ω t} = −Re {B(r) j ω ej ω t}El lado izquierdo debe ser igual al lado derecho para cualquier tiempo

∇× E(r) = −j ω B(r)

Es la ley de Faraday fasorial. Se puede observar que para pasar detiempo real a fasor, basta utilizar la siguiente regla:

∂

∂t→ ω t

1.3. TEORIA DEL FLUJO DE POTENCIA ELECTROMAGNETICO5

Aplicando esta regla a (1.8) hasta (1.11). Las ecuaciones de Maxwellfasorial son

∇ · D(r) = ρ(r) Ley de Gauss (1.13)

∇ · B(r) = 0 Gauss magnetico (1.14)

∇× E(r) = −j ω B(r) Ley de Faraday (1.15)

∇× H(r) = J(r) + j ω D(r) Ampere Maxwell (1.16)

1.3 Teorıa del flujo de potencia electro-

magnetico

Utilizando la identidad vectorial conocida (aplicado a los campos elec-tromagneticos)

∇ ·(E×H

)= H · ∇ × E− E · ∇ ×H

Teniendo en cuenta (1.10) y (1.11) es decir:

∇× E(r, t) = − ∂

∂tB(r, t) y ∇×H(r, t) = J(r, t) +

∂

∂tD(r, t)

Entonces:

∇ ·(E×H

)= −H · ∂

∂tB− E · J− E · ∂

∂tD (1.17)

Es facil demostrar que:

∂

∂t

{1

2B ·H

}= H · ∂

∂tB y

∂

∂t

{1

2D · E

}= E · ∂

∂tD

que reemplazando en (1.17), llegamos a:

−∇ ·(E×H

)=

∂

∂t

{1

2B ·H

}+

∂

∂t

{1

2D · E

}+ E · J

Integrando sobre un volumen cerrado y aplicando el teorema de la di-vergencia al primer lado, llegamos al teorema de Poyting

−∮

SE×H·n dS =

∫

V

∂

∂t

{1

2B ·H +

1

2D · E

}d V +

∫

VE·Jd V (1.18)

El lado izquierdo de (1.18) es el flujo de potencia que ingresa a un volu-men a traves de su superficie. La primera integral del lado derecho es lavariacion temporal de la energıa electromagnetica dentro del volumeny la ultima integral son las perdidas en forma de calor (irreversibles).Se define la densidad de flujo de potencia ℘ como:

℘ = E(r, t)×H(r, t) (1.19)


1.3.1 Densidad de flujo de potencia promedio tem-poral

Consideremos dos cantidades:

A = A0 ej φA y B = B0 ej φB

En tiempo real sera (aplicando (1.12)):

A(t) = A0cos(ω t + φA) y B(t) = B0cos(ω t + φB)

El producto sera:

A(t) B(t) = A0 B0 cos(ω t + φA) cos(ω t + φA)

A(t) B(t) = A0 B0[cos(φA − φB) + cos(2ω t + φA − φB)]

Tomando el valor promedio en el tiempo:

〈A(t) B(t)〉 = A0 B0 cos(φA − φB)

el simbolo 〈〉 indica promedio en el tiempo. El lado derecho de laecuacion anterior, es equivalente a 1/2 Re{AB∗}:

1

2Re{AB∗} =

1

2Re{A0 ej φA B0 e−j φB} = A0 B0 cos(φA − φB)

Se concluye que en general el valor promedio en el tiempo es:

〈A(t) B(t)〉 =1

2Re{A B∗}

Este resultado puede extenderse a un producto cruz, ası, la densidadde flujo de potencia (vector de Poyting) promedio temporal sera:

〈℘〉 =1

2Re{E(r)×H∗(r)} (1.20)

1.4 Ondas electromagneticas

En esta seccion, estudiaremos la solucion de las ecuaciones de Maxwellen medios sin fuentes (ρ = 0 y J = 0). A esta solucion se conocecomo propagacion electromagnetica. Cuando se consideran las fuentesse conoce como radiacion electromagnetica que se estudiara en el ultimocapıtulo. El estudio se divide en dos partes:- Dielectrico ideal caracterizado por ε 6= 0, µ 6= 0 y g = 0- Medio disipativo caracterizado por ε 6= 0, µ 6= 0 y g 6= 0

Se considerara el medio lineal isotropo u homogeneo, es decir, ε, µy g son constantes.

1.4. ONDAS ELECTROMAGNETICAS 7

1.4.1 Ecuacion de onda fasorial en dielectricos ide-ales

Considerando la region libre de fuentes y las ecuaciones constitutivasD(r) = εE(r) y B(r) = µH(r) las ecuaciones (1.13) hasta (1.16) setransforman en:

∇ · D(r) = 0 ⇒ ∇ · E(r) = 0 (1.21)

∇ · B(r) = 0 ⇒ ∇ · H(r) = 0 (1.22)

∇× E(r) = −j ω B(r) ⇒ ∇× E(r) = −j ω µH(r) (1.23)

∇× H(r) = j ω D(r) ⇒ ∇× H(r) = j ω εE(r) (1.24)

Aplicando rotacional a (1.23):

∇×∇× E(r) = −j ω µ∇×H(r)

Al primer lado aplicamos una identidad vectorial conocida y al segundolado reemplazamos (1.24), tenemos:

∇(∇ · E(r)

)−∇2E(r) = −j ω µ

(j ω εE(r)

)

El primer termino es cero, segun (1.21). Finalmente:

∇2E(r) + ω2 µ εE(r) = 0 (1.25)

Es la ecuacion diferencial vectorial (fasorial) homogenea para el campoelectrico E(r). Lo mismo se cumple para el campo H(r)

∇2H(r) + ω2 µ εH(r) = 0 (1.26)

1.4.2 Solucion de la ecuacion diferencial para lasOEM planas en dielectricos ideales

La ondas planas no existen, las OEM producidos por las antenas sonesfericas. La OEM plana es la solucion mas simple de las ecuacionesde Maxwell y la caracterıstica principal de la onda plana es que encualquier plano normal a la direccion de propagacion de la onda loscampos electromagneticos son constantes. Suponemos la solucion de laforma:

E(r) = E0 e−j K·r (1.27)


donde E0 es constante (condicion para OEM plana), K es el vectornumero de onda y r es el vector posicion:

K = xKx + y Ky + zKz y r = xx + y y + z z (1.28)

Reemplazando (1.28) en (1.27) y luego en (1.25) llegamos a:(−K2

x −K2y −K2

z

)E(r) + ω2 µ εE(r) = 0

entonces llegamos a la relacion de dispersion:

K2x + K2

y + K2z = ω2 µ ε

oK = ω

√µ ε dielectrico ideal (1.29)

Lo mismos se cumple para el campo H(r)

H(r) = H0 e−j K·r (1.30)

donde H0 es constante (condicion para onda plana).Una vez conocida la expresion de K, podemos obtener los campos elec-tromagneticos en tiempo real, aplicando (1.12)

E(r, t) = E0 cos(ω t−K · r) H(r, t) = H0 cos(ω t−K · r)Para las OEM planas en dielectricos ideales, el vector numero de ondaK tambien es conocido como la constante de fase β. Es decir:

K = β = ω√

µ ε

Ejemplo 4 Demostrar que para las OEM planas en un dielectricosideales o medios disipativos se cumple:

K× E(r) = ω µH(r)

Solucion Utilizando la ley de Faraday fasorial (ec. 1.23)

∇× E(r) = −j ω µH(r) (1.31)

Para las OEM planas

E(r) = E0 e−j K·r y H(r) = H0 e−j K·r

Desarrollando el primer lado de (1.31), tenemos:

(x

∂

∂x+ y

∂

∂y+ z

∂

∂z

)× E0 e−j Kx x−j Ky y−j Kz z = −j ω µH(r)


(−x×E0 (j Kx)− y×E0 (j Ky)− z×E0 (j Kz)

)e−j K·r = −j ω µH(r)

(−j Kx x− j Ky y − j Kz z

)× E(r) = −j ω µH(r)

Finalmente

−j K× E(r) = −j ω µH(r) ⇒ K× E(r) = ω µH(r)

Como se observa, este resultado es valido para cualquier medio. Aquisurge una regla practica, basta reemplazar

∇ → −j K (1.32)

1.4.3 Ecuaciones de Maxwell para las OEM planas

Reemplazando (1.32) en (1.21) hasta (1.24) tenemos:

K · E(r) = 0 Ley de Gauss (1.33)

K ·H(r) = 0 Gauss magnetico (1.34)

K× E(r) = ω µH(r) Ley de Faraday (1.35)

K×H(r) = −ω εE(r) Ampere Maxwell (1.36)

De las ecuaciones anteriores se observa que los vectores E(r), H(r) yK son perpendiculares entre sı. A estas ondas se conocen como ondasTEM transversal electrico magnetico

Ejemplo 5 Demostrar que para las OEM planas en dielectricos idealesla relacion de las amplitudes del campo electrico y magnetico es:

E0

H0

=

√µ

ε

Solucion Considerando la direccion del campo electrico en la direccionx, la direccion del campo magnetico en la direccion y y la propagacionen la direccion del eje z: K = Kz z. Reemplazando (1.27) y (1.30) en(1.35), tenemos:

Kz z× xE0e−j K·r = ω µ y H0e

−j K·r

Teniendo en cuenta que z× x = y y simplificando:

Kz E0 = ω µ H0


En este caso K = Kz = ω√

µ ε, entonces:

ω√

µ ε E0 = ω µ H0 ⇒ E0

H0

=

√µ

ε

Se define la impedancia intrinseca η del medio, como la relacion de laamplitud del campo electrico y del campo magnetico:

η =E0

H0

=

√µ

ε(1.37)

Ejemplo 6 Una OEM plana que se propaga en el aire con:

E(r, t) = x 10 cos(ω t− 5 z) V/m

incide en forma normal desde el aire (z < 0) en la frontera plana enz = 0 de una region de plastico (z > 0)con los parametros µ = µ0,ε = 4 ε0 y g = 0a) obtenga el campo electrico total (en tiempo real) en el aireb) calcule la densidad de flujo potencia promedio temporal el la regiondel plastico.Solucion a) Es evidente de (1.12), (1.27) y (1.29) que:

Kz = β0 = ω√

µ0 ε0 = 5 ⇒ ω =5√

µ0 ε0

= 15× 108

Trabajando con fasores, medio 1:

Ei(r) = xE0 e−j β0 z onda incidente con E0 = 10

Er(r) = xEr ej β0 z onda reflejada, a determinar Er

En el medio 2 tenemos:

Et(r) = xEt e−j β z onda transmitida, a determinar Et

Los campos magneticos seran:

Hi(r) = yE0

η0

e−j β0 z onda incidente con E0 = 10

Hr(r) = −yEr

η0

ej β0 z onda reflejada, a determinar Er

Ht(r) = yEt

ηe−j β z onda transmitida, a determinar Et


ademas

β = ω√

µ0 4ε0 = 10 η0 =

√µ0

ε0

≈ 120π η =

√µ0

4ε0

≈ 60π

Aplicando las condiciones de frontera dadas al inicio:

E1 tot. tang. = E2 tot. tang. H1 tot. tang. = H2 tot. tang.

llegamos a:

E0 + Er = Et yE0 − Er

η0

=Et

η

Resolviendo el sistema de ecuaciones y definiendo el coeficiente de re-flexion R y de transmision T :

R =Er

E0

=η − η0

η + η0

y T =Et

E0

=2 η

η + η0

(1.38)

Expresiones validas solo para dos medios, reemplazando valores obten-emos:

R = −1

3T =

2

3Er = −10

3V/m Et =

20

3V/m

El campo electrico total en el medio 1 (aire) es:

E1(r) = x 10 e−j 5 z − x10

3ej 5 z

Para pasar a tiempo real, aplicamos (1.12):

E1(r, t) = x 10 cos(ω t− 5 z)− x10

3cos(ω t + 5 z)

Solucion b) De (1.20) llegamos a

〈℘〉 =1

2Re{Et(r)×H∗

t (r)} =1

2Re{xEt e

−j β z × yEt

ηej β z} = z

1

2

E2t

η

〈℘〉 = z(20/3)2

2× 60π= z 0.1179 watt/m2


1.5 Ondas electromagneticas planas en medios

disipativos

Ahora el medio esta caracterizado por µ, ε y g 6= 0. Por ejemplo elcobre tiene: µ ≈ µ0, ε ≈ ε0 y g ≈ 5.8 × 107 S/m. Para el agua demar µ ≈ µ0, ε ≈ 80ε0 y g ≈ 4 S/m. Ahora cambian las ecuaciones deMaxwell:

∇ · E(r) = 0 Ley de Gauss (1.39)

∇ · H(r) = 0 Gauss magnetico (1.40)

∇× E(r) = −j ω µH(r) Ley de Faraday (1.41)

∇× H(r) = J(r) + j ω εE(r) Ampere Maxwell (1.42)

o∇× H(r) = g E(r) + j ω εE(r) Ampere Maxwell (1.43)

Transformando esta ultima ecuacion

∇× H(r) = j ω(ε− j

g

ω

)E(r) ⇒ ∇×H(r) = j ω εc E(r) (1.44)

dondeεc = ε− j

g

ω

es la permitividad compleja. Ahora las ecuaciones de Maxwell (1.38),(1.39), (1.40) y (1.43) son similares a (1.21) hasta (1.24), cuya solucionya se conoce, considerando la solucion:

E(r) = E0 e−j K n·r = E0 e−γn·r = E0 e−(α+j β)n·r (1.45)

donde, K = K n es el vector numero de onda y n es su direccion. Con-siderando la similitud con la solucion de las OEM planas en dielectricosideales (ec. (1.29)), llegamos:

K = ω√

µ εc = ω

√µ

(ε− j

g

ω

)(1.46)

De la ecuacion (1.44) llegamos a:

j K = γ = α + j β o K = β − j α (1.47)

Reemplazando (1.45) en (1.46) llegamos a

ω

√µ

(ε− j

g

ω

)= β − j α (1.48)

1.5. ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS EN MEDIOS DISIPATIVOS13

De esta ultima ecuacion obtenemos un sistema de dos ecuaciones:

α2 − β2 = −ω2µ ε y 2 α β = µ g ω

Resolviendo el sistema de ecuaciones

α =ω√

µ ε√2

√√√√√

1 +( g

ω ε

)2 − 1 coefic. de atenuacion Np/m (1.49)

β =ω√

µ ε√2

√√√√√

1 +( g

ω ε

)2+ 1 coefic. de fase rad/m (1.50)

Este es un caso general, un caso particular (dielectrico ideal) cuandog = 0, tenemos:

α = 0 y β = ω√

µ ε

La impedancia intrinseca, similar a (1.37), ahora es complejo

ηc=

√µ

εc

=

√µ

ε− j gω

(1.51)

Ejemplo 7 Demostrar que para las OEM planas en medios disipativosla relacion de las amplitudes del campo electrico y magnetico (impedan-cia intrinseca) tambien es:

ηc=

E0

H0

=ω µ

β − j α

Solucion Considerando la direccion del campo electrico en la direccionx, la direccion del campo magnetico en la direccion y y la propagacionen la direccion del eje z: K = Kz z. Reemplazando (1.47) y (1.45) en(1.35), tenemos:

(β − j α) z× xE0e−j K·r = ω µ y H0e

−j K·r

Teniendo en cuenta que z× x = y y simplificando:

(β − j α) E0 = ω µ H0 ⇒ E0

H0

=ω µ

β − j α

Tarea Demostrar que la impedancia intrinseca tambien esta dado por

ηc=

E0

H0

=

√µε[

1 +(

gω ε

)2]1/4

ej 12tan−1( g

ω ε) = η∗ ej θ (1.52)


Considerando la direccion del campo electrico en la direccion x, la di-reccion del campo magnetico en la direccion y y la propagacion en ladireccion del eje z. El campo electrico fasorial segun () sera:

Ex = E0 e−α z e−j β z (1.53)

y el campo magnetico fasorial:

Hy = H0 e−α z e−j β z =E0

η∗ ej θe−α z e−j β z (1.54)

Los campos electromagneticos aplicando (1.12) sera:

Ex = E0 e−α zcos(ω t−β z) Hy =E0

η∗e−α zcos(ω t−β z− θ) (1.55)

1.5.1 Profundidad de Penetracion

En un medio conductor la amplitud de la onda decae, se atenua. Cuandola amplitud de la onda decae en un factor e−1 es hasta donde se con-sidera la propagacion de la onda, esto ocurre cuando

α δ = 1 ⇒ δ =1

αm. (1.56)

donde δ es la profundidad de penetracion

1.5.2 Resistencia superficial

La resistencia superficial de forma similar a la resistencia que cono-cemos es proporcional a la longitud e inversamente proporcional a laconductividad y a laseccion transversal. La resistencia superficial esproporcional a una longitud unitaria e inversamente proporcional a laconductividad y la unidad de area

Rs =1

g δ=

α

g(1.57)

1.6 Clasificacion de un medio

Podemos clasificar en tres categorias:

Buen conductor cuando gω εÀ 1

Dielectrico con pequenas perdidas cuando gω ε¿ 1

Medio disipativo otro caso

1.6. CLASIFICACION DE UN MEDIO 15

1.6.1 Caso de Buen conductor

Ejemplo 8 Demostrar que cuando gω εÀ 1 entonces

α = β =√

π f µ g (1.58)

Solucion De (1.48) tenemos:

ω

√µ

(ε− j

g

ω

)= β − j α

Transformando

ω√

µ ε

√1− j

g

ω ε= β − j α

Puesto que gω εÀ 1 la expresion anterior se puede aproximar a:

ω√

µ ε

√−j

g

ω ε≈ β − j α

Simplificando √ωµ g

√−j ≈ β − j α

Sabemos que√−j = (1− j)/

√2, entonces:

√ωµ g

2(1− j) ≈ β − j α

√2π f µ g

2(1− j) ≈ β − j α

Otras expresiones:

ηc= (1 + j)

√π f µ

g, δ =

1√π f µ g

(1.59)

1.6.2 Perdida de potencia por unidad de area

No es dıficil demostrar que la perdida de potencia por unidad de areaPL cuando g

ω εÀ 1 es igual a

PL =1

2Rs | Htang |2 (1.60)

donde Htang es el campo magnetico tangencial en la frontera del mate-rial


1.6.3 Dielectrico con pequenas perdidas

Es facil demostrar que se cumplen las siguientes relaciones:

α =g

2

√µ

ε, β = ω

√µ ε, η

c=

√µ

ε

(1 + j

g

2 ω ε

)(1.61)

Ejemplo 9 Una OEM plana incide desde el aire en forma normal haciaun material con µr = 1, εr = 55 y g = 10 S/m. La amplitud del campoelectrico incidente es 10 V/m y la frecuencia es 50 MHz. Determine:a) El coeficiente de reflexion y transmisionb) La amplitud de los campos electricos reflejado y transmitidoc) La perdida por unidad de area

Solucion Primero determinamos la clasificacion de un medio (seccion1.7)

g

ω ε=

10

2π × 5× 107 × 55× 8.85× 10−12= 65.39 À 1

El medio se comporta como buen conductor. Segun el ejemplo 8

α = β =√

π f µ g =√

π × 5× 107 × 4π × 10−7 × 10 = 44.43

Calculando las impedancias intrinsecas, medio 1

η1 =

√µ0

ε0

= 120π en el aire

en el medio 2 aplicamos (1.59)

η2

= (1 + j)

√π f µ

g= (1 + j)

√π × 5× 107 × 4π × 10−7

10= 1.98 ej π/4

Aplicando (1.38) del ejemplo 6 tenemos el coeficiente de reflexion

R =η

2− η1

η2+ η1

≈ 0.99 ej 179.57o

y el coeficiente de transmision

T =2 η

2

η2+ η1

≈ 0.00105 ej 44.78o

Segun (1.38) puede calcularse la amplitud del campo electrico de laonda reflejada y transmitida

Er = R E0 = 0.99 ej 179.57o × 10 = 9.92 ej 179.57o

1.7. VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO 17

Et = T E0 = 0.00105 ej 44.78o × 10 = 0.0105 ej 44.78o

Aplicando (1.60) se calcula la perdida por unidad de area, previamentecalculamos Rs de (1.57):

Rs =α

g=

44.43

10= 4.44

El modulo del campo tangencial

| Ht |= | Et || η

2| = 0.0528

Finalmente las perdidas por unidad de area

PL =1

2Rs | Htang |2= 0.5× 4.44× 0.0528 = 0.00618 watt/m2

1.7 Velocidad de fase y Velocidad de grupo

La velocidad de fase Vp de una onda plana de frecuencia unica, esla velocidad de propagacion de un frente de onda de fase constante.Cuando la constante de fase es una funcion lineal de ω que es el casode un medio sin perdidas, la velocidad de fase representa la velocidadde la onda.

Vp =ω

βvelocidad de fase (1.62)

Una senal que transmite informacion normalmente tiene un intervalode frecuencias (bandas laterales). Esta senal constituye un grupo defrecuencias y forma un paquete de ondas. La velocidad de grupo Vg esla velocidad de propagacion de la envolvente del paquete de ondas

Vg =1

d β/d ωvelocidad de grupo (1.63)

1.8 Polarizacion

La polarizacion de una OEM plana describe el comportamiento variablecon el tiempo del vector campo electrico en un plano determinado delespacio.


1.8.1 Polarizacion lineal

Es cuando la direccion del campo electrico de la OEM varia solo enuna direccion; por ejemplo, la siguiente onda, evaluada en el plano XY(z = 0) sera:

E(r, t) = xE0 cos(ω t− β z) = xE0 cos(ω t)

variando el tiempo, se observa que la direccion del campo no cambiade direccion

1.8.2 Polarizacion Circular y Eliptica

La polarizacion circular (eliptica), es cuando la direccion del campoelectrico de la OEM varia formando una circunferencia (elipse)

Ejemplo 9 Indicar la variacion de la direccion del campo electricode la siguiente OEM

E(r, t) = xE0 cos(ω t− β z) + y E0 sen(ω t− β z) (1.64)

Solucion El campo electrico en el plano XY (z = 0) es

E(r, t) = xE0 cos(ω t) + y E0 sen(ω t)

Para ω t = 0 la direccion del campo es E(r, t) = xE0

Para ω t = π/2 la direccion del campo es E(r, t) = y E0

Para ω t = π la direccion del campo es E(r, t) = −xE0

Para ω t = 3π/2 la direccion del campo es E(r, t) = −y E0

De los resultados anteriores, se puede observar que la amplitud delcampo el ectrico no cambia (radio constante) con lo cual formamos unacircunferencia y la direccion cambia en sentido antihorario que cor-responde al giro de la mano derecha, por tanto, podemos decir quese trata de una polarizacion circular a la derecha (PCD). Si en la ex-presion (1.64) el segundo termino fuera negativo la circulacion seria a laizquierda y si las amplitududes de los terminos fuera diferente, en lugarde una circunferencia tendriamos una elipse. podemos generalizar esteresultado mediante una regla practica. Por ejemplo (1, 64) expresadocomo fasor sera:

E(r) = E0

(x− j y

)e−j β z (1.65)

El termino entre parentesis indica la polarizacion

A x + B y Polarizacion lineal (1.66)

A x− j B y A, B > 0 A 6= B PED A = B PCD (1.67)

A x + j B y A, B > 0 A 6= B PEI A = B PCI (1.68)

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