Ecuacion ondas

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Definición: Las perturbaciones que las originan son armónicas simples

animacion

Características: Amplitud de la onda (A): Máximo valor de la perturbación (elongación, presión, intensidad del

campo eléctrico) en un punto Longitud de Onda (λ): Distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de

vibración (en fase). Unidad SI: m. Período T: Tiempo que tarda un punto cualquiera en describir un ciclo completo. Coincide con

el tiempo que tarda la perturbación en recorrer una distancia igual a λ. Unidad SI: s. Frecuencia: Número de oscilaciones completas que da un punto del medio en la unidad de

tiempo. También número de “longitudes de onda” (oscilaciones completas) que pasan por un punto en la unidad de tiempo. Unidad SI: Hz=s-1.

Ondas: Ondas armónicas I

)Asen(y(t) 0ϕ+= ωt

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Definición: Las perturbaciones que las originan son armónicas simples

Animacion

Ondas: Ondas armónicas I. Características

A

A

y(x1,t)

y(x2,t)

y(x3,t)

y(x4,t)

Características:Perturbación (o elongación) (y(x,t)):

Es el valor de la perturbación en cada punto y en cada instante de tiempo. Evidentemente depende de que posición y que momento de tiempo estemos considerando.

Amplitud de la onda (A): Máximo valor de la perturbación (elongación, presión, intensidad del campo eléctrico…) en un punto

3


Animacion


Características:Longitud de Onda (λ):

•Distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo estado de vibración (que están en fase). Distancia entre dos valles o dos crestas consecutivos •Se podría denominar período espacial. •Unidades SI: metros (m).

λ·fv = ó

λ

y(x1,t) y(x2,t)

y(x3,t) y(x4,t)

λ

4


Animacion


Características:Período T:

•Tiempo que tarda un punto cualquiera en describir un ciclo completo.

•Coincide con el tiempo que tarda la perturbación en recorrer una distancia igual a λ.

•Unidad en el SI: el segundo (s).

Frecuencia (f):

•Número de oscilaciones completas que da cualquier punto del medio (aire, etc.) en la unidad de tiempo.•También número de “longitudes de onda” (oscilaciones completas) que pasan por un punto en la unidad de tiempo.

•Unidad SI: Hz=s-1.

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De las definiciones anteriores podemos deducir que para cualquier onda armónica la velocidad de propagación cumple:

Muy bien, vale, maravilloso... Pero… para el examen

¿Como se representan matemáticamente las ondas??

Función de Onda: Es una función matemática que representa el valor de la perturbación para cualquier punto del medio (por el que se propaga la onda) y para cualquier instante de tiempo.

Depende de dos variables: Espacio (x) y tiempo (t)animacion

Ondas: Ondas armónicas II.

T

λv = λ·fv = ó

t)f(x,t) y(x, =

6

¿Como es la función de onda de una onda armónica?? animacion

Ondas: Ondas armónicas III: Función de onda.

Δt

+== 011 t

TA·sen)t0, y(x ϕπ

·2

t)? y(x,¿⇒

=

+= 01tA·sent) y(x, ϕπ

·2

T

+= 0Δt-tA·sen ϕπ

)·(2

T

y(x,t1)

)tA·sen() y(t 011 ϕω += ·

y

x

y(x=0,t1)

1t

v

+∆= 0t-tA·sent) y(x, ϕππ

·2

·2

TT

+= 0x

λ-tA·sent)y(x, ϕππ

·2

·2

T

Δt-tt1 =

t∆= v·x

y

xy(x=0,t)

)tA·sen( y(t) 0ϕω += · y(x,t)

Δttt 1 +=

t∆= v·x

v

+= 0v

x-tA·sen ϕππ

·2

·2

TT

T

λ·v =

Pues esto es la

función de onda!!!

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Ondas: Ondas armónicas III: Función de onda.

angularFrecuenciafT

ππω 22 ==

ó

+= 0x

λ-tA·sent)y(x, ϕππ

·2

·2

T

( )0x-tA·sent)y(x, ϕκω += ··

Si la onda viaja hacia la derecha:

Si la onda viaja hacia la izquierda:

( )0x-tA·sent)y(x, ϕκω += ·· ( )0xtA·sent)y(x, ϕκω ++= ··

animación

ondasNúmero deK λπ2=

n ó Pulsacio

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Ejemplo 1 (5): Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. Si su amplitud es de 1cm, su frecuencia de 50Hz y la longitud de onda es de 10cm. Suponiendo que en el instante t=0 y en el punto x=0 la perturbación es nula (y(0,0)=0) determina:

a) El período, la frecuencia angular y el número de ondas (K).

b) La ecuación de onda

c) La velocidad de propagación de la onda.

d) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=-30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?

Ondas: Ondas armónicas IV. Ejemplos

Datos:• A=1cm=0,01m • f=50Hz, • λ=10cm=0,1m • y(0,0)=0

sf

T 02,01 == sradf

T/3141002

2 ≈=== πππω

18,62201,0

22 −≈=== mk ππλπ

a)

b) ( )0x-tA·sent)y(x, ϕκω += ·· Condiciones iniciales A φ0

y(t=0)=y0

v(t=0)=0y0 π/2

y(t=0)=0v(t=0)=v0

v0/ω 0

( )x0-t·sent)y(x, ·2·100010 ππ,=

c)

λ·f=v sm /5=

( )x-t·sent)y(x, ·8,62·314010,=

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Nota sobre la fase inicial y las condiciones iniciales:Ten en cuenta que la fase inicial φ0 tiene relación con el valor de la perturbación en el

punto x=0 del medio y en el instante inicial (t=0). Recordando del tema anterior la relación entre las condiciones iniciales y φ0 y A, tenemos:


Caso: Condiciones

inicialesA φ0

y(t=0)=y0

v(t=0)=0y0 π/2

y(t=0)=0v(t=0)=v0

v0/ω 0

Cualquier otro caso

y(0,0))0A·sen(0) y(t 0 =+== ϕω·

y

x

0t =

v

=

0

00 v

yarctg ωϕ

)( 0

0

ϕsen

yA =

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Ejemplo 1: Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. Si su amplitud es de 1cm, su frecuencia de 50Hz y la longitud de onda es de 10cm. Suponiendo que en el instante t=0 y en el punto x=0 la perturbación es nula (y(0,0)=0) determina:

a) El período, la frecuencia angular y el número de ondas (K).

b) La ecuación de onda

c) La velocidad de propagación de la onda.

d) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=-30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?


Datos:• A=1cm=0,01m • f=50Hz, • λ=10cm=0,1m • y(0,0)=0

( )x0-t·sent)y(x, ·2·100010 ππ,=

d)

( ) ( )ππππ 6·100010,0·(2·100010,0 +=−=−= t·sen3)0-t·sent)3;y(x ,,

( )πππωω 6·100010·100()cos(,0 +=+==−= t)·cosdt

dyt)3;v(x ,ctetA

( )πππωω 6·100)cos(,0 +=+==−= t·cosdt

dyt)3;v(x ctetA

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Ejemplo 2(7): Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda con la siguiente función de onda (en el SI) y(x,t)=0,005sen(400πt-20πx). Determina:

a) El período, la frecuencia y la longitud de onda.

b) El sentido en que se mueve la onda período, y la velocidad de propagación de la onda.

c) ¿Cuál es la ecuación de la perturbación y la velocidad de una partícula situada en el punto x=-30cm?. ¿Y el valor de éstas en el instante t=1s?

d) ¿Cuál es la velocidad máxima de ese punto?


Datos:• A=0,005m • ω=400π rad/s, • K=20π m-1 • φ0=0 rad

sf

T 005,0200

1

400

221 =====π

πωπ

Hzf 2002

400

2===

ππ

πω m

k1,0

20

22 ===π

ππλ

a)

b) Sentido positivo del eje x

( )·(-0,3)20-·t4000,005·seny(t)t)0,3m,y(x ππ==−=( )ππ·t·sen 6400 +==−= 0,005y(t)t)0,3,y(x

c)

smλ·f /20200·1,0 ===v

( ) ( ) 04066400 ==+== π·senππ·sen 0,0050,0051s)y(t

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Ejemplo 3 (16,p128 guadiel): : Determina la elongación de una partícula situada en una cuerda tensa sobre el semieje positivo OX a una distancia λ/6 respecto del foco emisor, cuando el tiempo transcurrido es exactamente T/4 y A=2cm. Ten en cuenta que y(0,0)=0.


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Ejemplo 4 (17,p128 guadiel): : La velocidad de una onda en una cuerda tensa situada en el eje x es de 8m/s. La ecuación de la onda es y(x,t)=0,3·sen(16πt+kx) (en SI). Determina:

a) La amplitud, la frecuencia y el sentido de propagación de la onda

b) El valor de k

c) La velocidad del punto de la cuerda correspondiente a un punto en x=0,5m cuando t=60s.


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Ejemplo 5 (19,p128 guadiel): Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal en el sentido negativo del eje x siendo 20cm la distancia entre dos puntos consecutivos que estén en fase. El foco emisor vibra con una frecuencia de 25Hz y una amplitud de 3cm. Calcula:

a)La velocidad con que se propaga la onda.b)La ecuación de la ondac)La velocidad y la aceleración máxima de cualquier punto del resorte.


15

Ejemplo 6 (20,p128 guadiel): La función y(x,t)=0,3·sen(4πt-8πx) (SI) nos describe el movimiento ondulatorio de una cuerda.a) ¿Qué puntos de la cuerda estarán en fase con el punto que se encuentra en

x=3m?b) ¿Para que tiempos el estado de vibración de este punto será el mismo que

para t=2s?


a) )(),( kxttx −= ωϕnkxtkxtxx nn πωωϕϕ 2)3()( 00 ±−=−⇒==

⇒+= nkxkxn π20 λπnx

k

nxxn +=+= 00

2

λ

y(x0,t) y(x1,t)

λ

y(x2,t)

...3,2,1,0 ±±±=n

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Ejemplo 6 (20,p128 guadiel): La función y(x,t)=0,3·sen(4πt-8πx) (SI) nos describe el movimiento ondulatorio de una cuerda.a) ¿Qué puntos de la cuerda estarán en fase con el punto que se encuentra en

x=3m?b) ¿Para que tiempos el estado de vibración de este punto será el mismo que

para t=2s?


b) )(),( kxttx −= ωϕnkxtkxtstxt nn πωωϕϕ 2)2,3()( 00000 ±−=−⇒===

nTtn

ttn +=+= 00

2

ωπ

⇒+= nttn πωω 20

...3,2,1,0 ±±±=n

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