Resumen de Anlisis matemtico I

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Resumen de matemtico IAutores: Juan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Ingeniera ElectrnicaResumen de Anlisis matemtico I U.T.N. F.R.M. Ingeniera Electrnica Resumen de Anlisis matemtico I Autores: Juan Pablo Mart UNIDAD I: Entorno y Entorno ReducidoEntorno:) ; ( a E (entorno de centro a y radio = + = a a a E ) ; ( ) ; (Entorno Reducido:) ; ( ) ; ( * a E a E = (no incluye al punto a) = a a a E ) ; ( ) ; ( *Funciones Par e Impar Funcin Par: f: AB ser par x Caracterstica Grfica: Simetra respecto al eje y. Funcin Impar: f: AB ser impar Caracterstica Grfica: Simetra respecto al origen de UNIDAD II: Definicin rigurosa de lmite> =l x f lm Sia x; 0 ) (Propiedad del Sndwich x f lm l x f lm Sia x a x = ( ) (2 1Algunos lmites especialesl x f lmx= ) (I.gr. P(x) = gr. Q(x)dos polinomios.II.gr. P(x) < gr. Q(x)III.gr. P(x) > gr. Q(x)Infinitsimos ) (x f es un infinitsimo en Funciones infinitsimas equivalentes0 0= tgxlmxsenxlmx xDefinicin de Continuidad) (x fes continua enx1.) (a f 2.x f lma x= ) ( Pgina 1Resumen de Anlisis matemtico IUNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES Entorno y Entorno Reducido (entorno de centro a y radio ) < = a x(no incluye al punto a) < < = + a x a a 0 ) ; ( Domf f(x) = f(-x) Caracterstica Grfica: Simetra respecto al eje y. x Domf f(x) = -f(-x) Caracterstica Grfica: Simetra respecto al origen de coordenadas. UNIDAD II: LMITES Y CONTINUIDAD Definicin rigurosa de lmite < < > a x Domf x x ) 0 : /( 0 ) ( ;x f x f x f a E x l x = ) ( ) ( ) ( : ) ; ( )2 3 1Algunos lmites especiales gr. P(x) = gr. Q(x) = l Cociente entre los coeficientes principales de los dos polinomios. gr. P(x) < gr. Q(x) 0 = lgr. P(x) > gr. Q(x) = les un infinitsimo en = a x 0 ) ( =x f lma x nciones infinitsimas equivalentes 0 0 0 0= = = = tgxxlmsenxxlmsenxtgxlmtgxsenxlmxtgxx x x xDefinicin de Continuidad = aenacumple con las siguientes condiciones:l(nico y finito) Resumen de Anlisis matemtico I < l x f ) (l x f lma x= ) (3 re los coeficientes principales de los 1 =tgx cumple con las siguientes condiciones: Autores: Juan Pablo Mart 3.) (a f l=Clasificacin de DiscontinuidadDiscontinuidad Evitable (aparente):Cuando no existe) (a ffuncin con varias reglas p Discontinuidad No Evitable (no removible):Cuando no existe) (a fvalor se obtiene de dl Continuidad Lateral Si) (x ftiene lmites laterales distintos en 1.= ) (x f lma x2.= +) (x f lma xlgebra de las funciones continuasFunciones Continuas en x = a ) (x fyIR k ) (x fy) (x g) (x fy) (x g) (x fy0 ) ( x g) (x fy) (x g(continua en(a f Pgina 2Resumen de Anlisis matemtico IClasificacin de Discontinuidad Discontinuidad Evitable (aparente): perol x f lma x= ) ( (nico y finito). En ese caso se rearma la funcin con varias reglas para que sea continua. Existe en esta funcin una LAGUNA.Discontinuidad No Evitable (no removible): y no existelnico y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo il , y puede ser finito o infinito. tiene lmites laterales distintos ena x = , pero: = = ) (a f liContinuidad Lateral Izquierda = = ) (a f ldContinuidad Lateral Derechalgebra de las funciones continuas Funcin continua en x = a ) ( . x f k ) ( ) ( x g x f + ) ( ). ( x g x f ) () (x gx f ) a ) ) )( ( x gof Resumen de Anlisis matemtico I (nico y finito). En ese caso se rearma la ara que sea continua. Existe en esta funcin una LAGUNA. nico y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo Continuidad Lateral Izquierda ral Derecha Funcin continua en x = a Autores: Juan Pablo Mart UNIDAD III: Recta secante y Recta tangente geomtricasMtg (pendiente de la tangente) = Incremento e incremento de la funcinIncremento: 0x x x = Incremento de la funci( ) ( ) (0f x f x f y = = Razn de cambio promedio (cociente incremental)xyRazn de cambio instantneaXDefinicin de derivada dxdyx f y = = ) ( ' 'Funcin derivada Es la funcin que nos permite calcular lapunto elegido. Pgina 3Resumen de Anlisis matemtico IUNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALESRecta secante y Recta tangente geomtricas (pendiente de la tangente) = 00) ( ) (x xx f x flmXo X Incremento e incremento de la funcin Incremento de la funcin: ) ( ) (0 0x f x x +Razn de cambio promedio (cociente incremental) xx f x x fx xx f x f +==) ( ) ( ) ( ) (0 000 Razn de cambio instantnea xx f x x flmxylmx Xo X += ) ( ) (0 00 xx f x x flmxylm x Dfdxdyx Xo X +== = ( ) () (00Es la funcin que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del Resumen de Anlisis matemtico I IFERENCIALES x )0 derivada en un punto en base al valor del Autores: Juan Pablo Mart Condicin:Domf Domf 'Interpretacin geomtrica de la derivadaEs la pendiente de la recta tangente en el punto.MtgPunto anguloso y cuspidalSi el cociente incremental no tiene lmite nico y finito, entonces no existe derivada nica. Lo que puede ocurrir es:1.finitos l li d( Anguloso 2.( ) ( + = l l3.l 2 = = Mtg Derivabilidad y ContinuidadDerivabiliContinuidaReglas de derivacin (tabla de derivadas)Funcin ) /( ) ( IR k k x f =x x f = ) (kx x f = ) () /( ) ( IR m x x fm =) , /( ) ( IR m n x x fn m =x x f ln ) ( =xe x f = ) () 1 0 /( ) ( > = a a a x fx ) 1 0 /( log ) ( > = a a x x fa x x f sin ) ( =x x f cos ) ( =x x f tan ) ( =x x f cot ) ( =x x f sec ) ( =x x f csc ) ( =x x f arcsin ) ( = Pgina 4Resumen de Anlisis matemtico IDomfInterpretacin geomtrica de la derivada Es la pendiente de la recta tangente en el punto. xx f x x flm x f Mtgx += = ) ( ) () ( '0 00 Punto anguloso y cuspidal mental no tiene lmite nico y finito, entonces no existe derivada nica. Lo que puede ocurrir es: g t finitosr2 ) tiene dos derivadas laterales ) = tiene derivada infinita g tr2 (coincidentes verticales), una con + = MtgExiste Punto Cuspidal Derivabilidad y Continuidad d Continuida dad Derivabili dad Derivabili d Continuida / (no siempre) No continua No derivable Reglas de derivacin (tabla de derivadas) Funcin Derivada 0 ) ( = x f1 ) ( = x fk x f = ) (1. ) (= mx m x f1) ( = nmxnmx fxx f1) ( = xe x f = ) (a a x fxln . ) ( = a xx fln .1) ( = x x f cos ) ( = x x f sin ) ( = x x f2sec ) ( = x x f2csc ) ( = x x x f tan . sec ) ( = x x x f tan . csc ) ( = 211) (xx f= Resumen de Anlisis matemtico I mental no tiene lmite nico y finito, entonces no existe derivada Existe Punto +y la otra con Autores: Juan Pablo Mart x x f arccos ) ( =x x f arctan ) ( =x arc x f cot ) ( =x arc x f sec ) ( =x arc x f csc ) ( =x x f cosh ) ( =x x f sinh ) ( =x x f tanh ) ( =x x f coth ) ( =hx x f sec ) ( =hx x f csc ) ( =x x f sinh arg ) ( =x x f cosh arg ) ( =x x f tanh arg ) ( =x x f coth arg ) ( =hx x f sec arg ) ( =hx x f csc arg ) ( =lgebra de la derivada Derivada de la Suma: Derivada del Producto:[ fDerivada del Cociente:

Derivada de una funcin compuesta( Pgina 5Resumen de Anlisis matemtico I211) (xx f = 211) (xx f+= 211) (xx f+ = 1 .1) (2= x xx f1 .1) (2 = x xx fx x f sinh ) ( = x x f cosh ) ( = x h x f2sec ) ( = x h x f2csc ) ( = x hx x f tanh . sec ) ( = x hx x f coth . csc ) ( = 211) (xx f+= 11) (2= xx f211) (xx f= 11) (2 = xx f211) (x xx f = 11) (2+= x xx f[ ] ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f + =+ ] ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( x g x f x g x f x g x f + = ) () ( ). ( ) ( ). () () (2x gx g x f x g x fx gx f =((

Derivada de una funcin compuesta [ ]dxdfdfdgx f x f g x gof = = ) ( . ) ( ) ( ) Resumen de Anlisis matemtico I Autores: Juan Pablo Mart gohof (Derivada de una funcin en forma implcitaEjemplos: x yy y++ =cos sin. ln2Mtodo logartmico de derivacinSe aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.[ ][ =

= = ==) (( .( 1( ln) (x f yg y yg yyx g yx f yDerivada de la funcin inversa[ ][ ]y y xy y fy f xx x f y === =. 1. ) ( 1) () (11Diferencial El incremento de la funcin puede expresarse comoinfinitsimo para0 x . Al primer trmino se lo llama diferencial de y, y se escribe:Reglas de diferenciacin Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario de reglas de derivacin nos sirven para la diferenciacin. Pgina 6Resumen de Anlisis matemtico Idxdfdfdhdhdgx gohof = ) ( )(regla de la cadena) cin en forma implcita y x y senx y y derivo x y xx y y yyderivo x+ = =+ = +. . cos .3 . 212 3Mtodo logartmico de derivacin Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.]]((

+ (( + +) () ( ). () ( ln ). ( .) () ( ). () ( ln ). () ( ) (1) ( ) ( ln ).) ( ln ).ln) () (x fx f x gx f x gy reemplazox fx f x gx f xy despejo x fx fx g x f xderivo x faplicox gx gDerivada de la funcin inversa xreemplazo ycomposicio una de derivada aplicoderivo y f x= =1) (1incremento de la funcin puede expresarse como x x f y + = ). (. Al primer trmino se lo llama diferencial de y, y se escribe:x x f dy = ). (o dx y dy . =(expresin analtica) Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario dereglas de derivacin nos sirven para la diferenciacin. Resumen de Anlisis matemtico I y Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales. n composicio x + . , siendo un . Al primer trmino se lo llama diferencial de y, y se escribe: x , las mismas Autores: Juan Pablo Mart Interpretacin geomtrica de la diferenciaAproximacin lineal Con: = x punto a aproximar =0x punto cercano ax 0x x x = lgebra de la Diferencial [ ] ) ( ) ( ) ( x df x g x f d + = +[ ] ) ( . ) ( ). ( x df g x g x f d = ) (. ) ( .) () (2x gf x df gx gx fd=((

Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones) (x f Cncava hacia arriba ) (x f Creciente ) (x f Positiva UNIDAD IV: Definicin de Mximo relativo (Mr)) (x f y =tiene un MrfDefinicin de mnimo relativo (mr)) (x f y =tiene un mrfCondicin necesaria pero no suficientePara que exista extremo relativo en un punto+ Px Pgina 7Resumen de Anlisis matemtico IInterpretacin geomtrica de la diferencial x x f x f x f + ). ( ) ( ) (0 0 x ) (g d +) ( . x dg f +)) ( . x dg Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones Cncava hacia abajo CrecienteDecreciente Decreciente Positiva Negativa UNIDAD IV: APLICACIONES DEL