Resumen de matemtico IAutores: Juan Pablo Mart U.T.N. F.R.M.Ingeniera ElectrnicaResumen de Anlisis matemtico I U.T.N. F.R.M. Ingeniera Electrnica Resumen de Anlisis matemtico I Autores: Juan Pablo Mart UNIDAD I: Entorno y Entorno ReducidoEntorno:) ; ( a E (entorno de centro a y radio = + = a a a E ) ; ( ) ; (Entorno Reducido:) ; ( ) ; ( * a E a E = (no incluye al punto a) = a a a E ) ; ( ) ; ( *Funciones Par e Impar Funcin Par: f: AB ser par x Caracterstica Grfica: Simetra respecto al eje y. Funcin Impar: f: AB ser impar Caracterstica Grfica: Simetra respecto al origen de UNIDAD II: Definicin rigurosa de lmite> =l x f lm Sia x; 0 ) (Propiedad del Sndwich x f lm l x f lm Sia x a x = ( ) (2 1Algunos lmites especialesl x f lmx= ) (I.gr. P(x) = gr. Q(x)dos polinomios.II.gr. P(x) < gr. Q(x)III.gr. P(x) > gr. Q(x)Infinitsimos ) (x f es un infinitsimo en Funciones infinitsimas equivalentes0 0= tgxlmxsenxlmx xDefinicin de Continuidad) (x fes continua enx1.) (a f 2.x f lma x= ) ( Pgina 1Resumen de Anlisis matemtico IUNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES Entorno y Entorno Reducido (entorno de centro a y radio ) < = a x(no incluye al punto a) < < = + a x a a 0 ) ; ( Domf f(x) = f(-x) Caracterstica Grfica: Simetra respecto al eje y. x Domf f(x) = -f(-x) Caracterstica Grfica: Simetra respecto al origen de coordenadas. UNIDAD II: LMITES Y CONTINUIDAD Definicin rigurosa de lmite < < > a x Domf x x ) 0 : /( 0 ) ( ;x f x f x f a E x l x = ) ( ) ( ) ( : ) ; ( )2 3 1Algunos lmites especiales gr. P(x) = gr. Q(x) = l Cociente entre los coeficientes principales de los dos polinomios. gr. P(x) < gr. Q(x) 0 = lgr. P(x) > gr. Q(x) = les un infinitsimo en = a x 0 ) ( =x f lma x nciones infinitsimas equivalentes 0 0 0 0= = = = tgxxlmsenxxlmsenxtgxlmtgxsenxlmxtgxx x x xDefinicin de Continuidad = aenacumple con las siguientes condiciones:l(nico y finito) Resumen de Anlisis matemtico I < l x f ) (l x f lma x= ) (3 re los coeficientes principales de los 1 =tgx cumple con las siguientes condiciones: Autores: Juan Pablo Mart 3.) (a f l=Clasificacin de DiscontinuidadDiscontinuidad Evitable (aparente):Cuando no existe) (a ffuncin con varias reglas p Discontinuidad No Evitable (no removible):Cuando no existe) (a fvalor se obtiene de dl Continuidad Lateral Si) (x ftiene lmites laterales distintos en 1.= ) (x f lma x2.= +) (x f lma xlgebra de las funciones continuasFunciones Continuas en x = a ) (x fyIR k ) (x fy) (x g) (x fy) (x g) (x fy0 ) ( x g) (x fy) (x g(continua en(a f Pgina 2Resumen de Anlisis matemtico IClasificacin de Discontinuidad Discontinuidad Evitable (aparente): perol x f lma x= ) ( (nico y finito). En ese caso se rearma la funcin con varias reglas para que sea continua. Existe en esta funcin una LAGUNA.Discontinuidad No Evitable (no removible): y no existelnico y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo il , y puede ser finito o infinito. tiene lmites laterales distintos ena x = , pero: = = ) (a f liContinuidad Lateral Izquierda = = ) (a f ldContinuidad Lateral Derechalgebra de las funciones continuas Funcin continua en x = a ) ( . x f k ) ( ) ( x g x f + ) ( ). ( x g x f ) () (x gx f ) a ) ) )( ( x gof Resumen de Anlisis matemtico I (nico y finito). En ese caso se rearma la ara que sea continua. Existe en esta funcin una LAGUNA. nico y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo Continuidad Lateral Izquierda ral Derecha Funcin continua en x = a Autores: Juan Pablo Mart UNIDAD III: Recta secante y Recta tangente geomtricasMtg (pendiente de la tangente) = Incremento e incremento de la funcinIncremento: 0x x x = Incremento de la funci( ) ( ) (0f x f x f y = = Razn de cambio promedio (cociente incremental)xyRazn de cambio instantneaXDefinicin de derivada dxdyx f y = = ) ( ' 'Funcin derivada Es la funcin que nos permite calcular lapunto elegido. Pgina 3Resumen de Anlisis matemtico IUNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALESRecta secante y Recta tangente geomtricas (pendiente de la tangente) = 00) ( ) (x xx f x flmXo X Incremento e incremento de la funcin Incremento de la funcin: ) ( ) (0 0x f x x +Razn de cambio promedio (cociente incremental) xx f x x fx xx f x f +==) ( ) ( ) ( ) (0 000 Razn de cambio instantnea xx f x x flmxylmx Xo X += ) ( ) (0 00 xx f x x flmxylm x Dfdxdyx Xo X +== = ( ) () (00Es la funcin que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del Resumen de Anlisis matemtico I IFERENCIALES x )0 derivada en un punto en base al valor del Autores: Juan Pablo Mart Condicin:Domf Domf 'Interpretacin geomtrica de la derivadaEs la pendiente de la recta tangente en el punto.MtgPunto anguloso y cuspidalSi el cociente incremental no tiene lmite nico y finito, entonces no existe derivada nica. Lo que puede ocurrir es:1.finitos l li d( Anguloso 2.( ) ( + = l l3.l 2 = = Mtg Derivabilidad y ContinuidadDerivabiliContinuidaReglas de derivacin (tabla de derivadas)Funcin ) /( ) ( IR k k x f =x x f = ) (kx x f = ) () /( ) ( IR m x x fm =) , /( ) ( IR m n x x fn m =x x f ln ) ( =xe x f = ) () 1 0 /( ) ( > = a a a x fx ) 1 0 /( log ) ( > = a a x x fa x x f sin ) ( =x x f cos ) ( =x x f tan ) ( =x x f cot ) ( =x x f sec ) ( =x x f csc ) ( =x x f arcsin ) ( = Pgina 4Resumen de Anlisis matemtico IDomfInterpretacin geomtrica de la derivada Es la pendiente de la recta tangente en el punto. xx f x x flm x f Mtgx += = ) ( ) () ( '0 00 Punto anguloso y cuspidal mental no tiene lmite nico y finito, entonces no existe derivada nica. Lo que puede ocurrir es: g t finitosr2 ) tiene dos derivadas laterales ) = tiene derivada infinita g tr2 (coincidentes verticales), una con + = MtgExiste Punto Cuspidal Derivabilidad y Continuidad d Continuida dad Derivabili dad Derivabili d Continuida / (no siempre) No continua No derivable Reglas de derivacin (tabla de derivadas) Funcin Derivada 0 ) ( = x f1 ) ( = x fk x f = ) (1. ) (= mx m x f1) ( = nmxnmx fxx f1) ( = xe x f = ) (a a x fxln . ) ( = a xx fln .1) ( = x x f cos ) ( = x x f sin ) ( = x x f2sec ) ( = x x f2csc ) ( = x x x f tan . sec ) ( = x x x f tan . csc ) ( = 211) (xx f= Resumen de Anlisis matemtico I mental no tiene lmite nico y finito, entonces no existe derivada Existe Punto +y la otra con Autores: Juan Pablo Mart x x f arccos ) ( =x x f arctan ) ( =x arc x f cot ) ( =x arc x f sec ) ( =x arc x f csc ) ( =x x f cosh ) ( =x x f sinh ) ( =x x f tanh ) ( =x x f coth ) ( =hx x f sec ) ( =hx x f csc ) ( =x x f sinh arg ) ( =x x f cosh arg ) ( =x x f tanh arg ) ( =x x f coth arg ) ( =hx x f sec arg ) ( =hx x f csc arg ) ( =lgebra de la derivada Derivada de la Suma: Derivada del Producto:[ fDerivada del Cociente:

Derivada de una funcin compuesta( Pgina 5Resumen de Anlisis matemtico I211) (xx f = 211) (xx f+= 211) (xx f+ = 1 .1) (2= x xx f1 .1) (2 = x xx fx x f sinh ) ( = x x f cosh ) ( = x h x f2sec ) ( = x h x f2csc ) ( = x hx x f tanh . sec ) ( = x hx x f coth . csc ) ( = 211) (xx f+= 11) (2= xx f211) (xx f= 11) (2 = xx f211) (x xx f = 11) (2+= x xx f[ ] ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x g x f + =+ ] ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( x g x f x g x f x g x f + = ) () ( ). ( ) ( ). () () (2x gx g x f x g x fx gx f =((

Derivada de una funcin compuesta [ ]dxdfdfdgx f x f g x gof = = ) ( . ) ( ) ( ) Resumen de Anlisis matemtico I Autores: Juan Pablo Mart gohof (Derivada de una funcin en forma implcitaEjemplos: x yy y++ =cos sin. ln2Mtodo logartmico de derivacinSe aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.[ ][ =

= = ==) (( .( 1( ln) (x f yg y yg yyx g yx f yDerivada de la funcin inversa[ ][ ]y y xy y fy f xx x f y === =. 1. ) ( 1) () (11Diferencial El incremento de la funcin puede expresarse comoinfinitsimo para0 x . Al primer trmino se lo llama diferencial de y, y se escribe:Reglas de diferenciacin Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario de reglas de derivacin nos sirven para la diferenciacin. Pgina 6Resumen de Anlisis matemtico Idxdfdfdhdhdgx gohof = ) ( )(regla de la cadena) cin en forma implcita y x y senx y y derivo x y xx y y yyderivo x+ = =+ = +. . cos .3 . 212 3Mtodo logartmico de derivacin Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.]]((

+ (( + +) () ( ). () ( ln ). ( .) () ( ). () ( ln ). () ( ) (1) ( ) ( ln ).) ( ln ).ln) () (x fx f x gx f x gy reemplazox fx f x gx f xy despejo x fx fx g x f xderivo x faplicox gx gDerivada de la funcin inversa xreemplazo ycomposicio una de derivada aplicoderivo y f x= =1) (1incremento de la funcin puede expresarse como x x f y + = ). (. Al primer trmino se lo llama diferencial de y, y se escribe:x x f dy = ). (o dx y dy . =(expresin analtica) Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario dereglas de derivacin nos sirven para la diferenciacin. Resumen de Anlisis matemtico I y Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales. n composicio x + . , siendo un . Al primer trmino se lo llama diferencial de y, y se escribe: x , las mismas Autores: Juan Pablo Mart Interpretacin geomtrica de la diferenciaAproximacin lineal Con: = x punto a aproximar =0x punto cercano ax 0x x x = lgebra de la Diferencial [ ] ) ( ) ( ) ( x df x g x f d + = +[ ] ) ( . ) ( ). ( x df g x g x f d = ) (. ) ( .) () (2x gf x df gx gx fd=((

Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones) (x f Cncava hacia arriba ) (x f Creciente ) (x f Positiva UNIDAD IV: Definicin de Mximo relativo (Mr)) (x f y =tiene un MrfDefinicin de mnimo relativo (mr)) (x f y =tiene un mrfCondicin necesaria pero no suficientePara que exista extremo relativo en un punto+ Px Pgina 7Resumen de Anlisis matemtico IInterpretacin geomtrica de la diferencial x x f x f x f + ). ( ) ( ) (0 0 x ) (g d +) ( . x dg f +)) ( . x dg Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones Cncava hacia abajo CrecienteDecreciente Decreciente Positiva Negativa UNIDAD IV: APLICACIONES DEL CLCULO DIFERENCIALximo relativo (Mr) ) (0x f , siendo; / ) ; (0*0x x E Domf x Definicin de mnimo relativo (mr) ) (0x f , siendo; / ) ; (0*0x x E Domf x ecesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativosPara que exista extremo relativo en un punto Domf x 0 es necesario que:- + P Q T R dyx . y x x x x + Resumen de Anlisis matemtico I Decreciente Negativa ULO DIFERENCIAL ) ( ) (0x f x f ) ( ) (0x f x f para la existencia de extremos relativos - Autores: Juan Pablo Mart Punto crtico Son los puntos donde la funcin puede presentar un extremo relativo.Puntos dondePuntos dondeCriterios para determinar Extremos relativosAplicando la definicinSiDomf x 0es punto crtico y ), (0x f (0h x f Si [ f (Si [ f (Si no se cumple ninguna de las anteriores, en creciente o decreciente.Mtodo de la derivada primera1.Derivo la funcin.2.Hallo los puntos crticos.3.SiDomf x 0) (0h x f ,fSi [ ( f Si [ ( f Mtodo de la derivada segunda1.Derivo la funcin.2.Hallo los puntos crticos.3.Hallo la derivada segunda de la funcin en el punto.Sif Sif Si fPuntos de Inflexin ( ) ) ( ;0 0x f x Pi es un Punto de Inflexin de sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta.Condicin necesaria pero no suficiente:Si( ) ) ( ;0 0x f x Pi es un Punto de Inflexin de Para hallar los Puntos de Inflexin:1.Hallamos la derivada segunda de la funcin.2.La igualamos a cero para hallar los puntos crticos, posibles 3.Analizamos el signo de inflexin. Existe otro criterio: Pgina 8Resumen de Anlisis matemtico I0 ) (0= x fSon los puntos donde la funcin puede presentar un extremo relativo.Puntos donde 0 ) ( = x fPuntos donde ) (x f / , siendo punto anguloso o cuspidal. iterios para determinar Extremos relativos Aplicando la definicin es punto crtico yhun nmero pequeo arbitrario, calculamos ) hy) (0h x f +y los comparamos: ] [ ] x f h x f x f h x f x > + > ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0] [ ] x f h x f x f h x f x < + < ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0Si no se cumple ninguna de las anteriores, en 0x la funcin es creciente o decreciente. Mtodo de la derivada primera Derivo la funcin. Hallo los puntos crticos. Domf es punto crtico yhun nmero pequeo arbitrario, calculamos) (0h x f + y concluimos: ] [ ] ( 0 ) ( 0 ) (0 0 0x f Mr h x f h x = < + > ] [ ] ( 0 ) ( 0 ) (0 0 0x f mr h x f h x = > + < Mtodo de la derivada segunda funcin. Hallo los puntos crticos. Hallo la derivada segunda de la funcin en el punto. ) ( 0 ) (0 0x f mr x = > ) ( 0 ) (0 0x f Mr x = < 0 ) (0= x , aplico mtodo de la derivada primera o definicin.es un Punto de Inflexin de) (x f , si y slo si en dicho punto cambia el sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta.Condicin necesaria pero no suficiente: es un Punto de Inflexin de) (x fy( ) (0 x f x fPara hallar los Puntos de Inflexin: Hallamos la derivada segunda de la funcin. La igualamos a cero para hallar los puntos crticos, posiblesPnalizamos el signo de) (x f a ambos lados del punto. Si ste cambia, hay Resumen de Anlisis matemtico I Son los puntos donde la funcin puede presentar un extremo relativo. un nmero pequeo arbitrario, calculamos Mr x = )0 mr x = )0 la funcin es un nmero pequeo arbitrario, calculamos)0 )0 , aplico mtodo de la derivada primera o definicin. , si y slo si en dicho punto cambia el sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta. 0 )0= xiP . a ambos lados del punto. Si ste cambia, hay Autores: Juan Pablo Mart Si0 ) (0= x f , hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el nmero de derivada es impar, el punto epunto de inflexin enxExtremos absolutos Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una funcin en un intervalo) ; ( b a , con los valores de la funcinSi el valor de la funcin en algn extremo es mayor que el valor del mayor mximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mximo absoluto. Sino, el mayor mximo relativo es el mximo absoluto (M).Si el valor de la funcimnimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mnimo absoluto. Sino, el menor mnimo relativo es el mnimo absoluto (m).Asntotas Definicin: Diremos que una recta R es asntota de una curva desde un punto P de la curva que se aleja infinitamente sobre la se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende Asntotas HorizontalesLa rectab y =es una Asntota Horizontal de Si) (x fes una funcin racional, el valor de siguiente regla: 1.gr. P(x) = gr. Q(x)2.gr. P(x) < gr. Q(x)3.gr. P(x) > gr. Q(x)Asntotas Verticales La rectaa x =es una Asntota Vertical de Para calcular el valor de anulan al polinomio denominador en las cuales el lmite tiende a valores infinitos. Asntotas Oblicuas La rectamx y + =[ ( ) ( + mx x f lmxPara hallar el valor de Para hallar el valor de Pgina 9Resumen de Anlisis matemtico I, hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el nmero de derivada es impar, el punto es de inflexin. Si el nmero es par, no existe 0. Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una funcin en un , con los valores de la funcin en los extremos del mismo: Si el valor de la funcin en algn extremo es mayor que el valor del mayor mximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mximo absoluto. Sino, el mayor mximo relativo es el mximo absoluto (M). Si el valor de la funcin en algn extremo es menor que el valor del menor mnimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mnimo absoluto. Sino, el menor mnimo relativo es el mnimo absoluto (m). Diremos que una recta R es asntota de una curva) (x f , si la distancia d desde un punto P de la curva que se aleja infinitamente sobre la) (x f , tiende a cero. Un punto se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende Asntotas Horizontales es una Asntota Horizontal dex f lm x fx ( ) (es una funcin racional, el valor debse puede calcular mediante la ) = gr. Q(x) ) ( . .) ( . .x Q ppal coefx P ppal coefb =gr. P(x) < gr. Q(x) b= 0 gr. P(x) > gr. Q(x) b / es una Asntota Vertical de= ) ( ) ( x f lm x fa xel valor deaen funciones racionales, obtenemos las races que anulan al polinomio denominador en las cuales el lmite tiende a valores n +es Asntota Oblicua de[cxy lm x f ) (] 0 ) = + n . Para hallar el valor dem calculamos: xx flm mx) ( =Para hallar el valor dencalculamos: [ ] mx x f lm nx = ) ( Resumen de Anlisis matemtico I , hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el s de inflexin. Si el nmero es par, no existe Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una funcin en un Si el valor de la funcin en algn extremo es mayor que el valor del mayor mximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mximo absoluto. Sino, el n en algn extremo es menor que el valor del menor mnimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mnimo absoluto. Sino, el , si la distancia d , tiende a cero. Un punto se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende a. b x = )se puede calcular mediante la + =en funciones racionales, obtenemos las races que anulan al polinomio denominador en las cuales el lmite tiende a valores ]ry o que Autores: Juan Pablo Mart Teoremas del Valor MedioLas funciones continuas en teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres ms importantes son:Teorema de Rolle Si) (x f es continua en[Teorema de Lagrange Si) (x f es continua en[Teorema de Cauchy Si) (x f y) (x gson continuas en entonces: Regla de LHspital Si 00) () (=x gx flma x y ((x gx flma x Si = ) () (x gx flmxa x y ((gflmxa xRegla de Newton (resolucin aproximada de ecuaciones)Sea0 ) ( = x funa ecuacin cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si un valor aproximado de la raz de esta ecuacin, es decir, si existe una raz en) , ( b a , y ponemos ecuacin puede escribirse as:( fdonde la nueva incgnita exactamente la raz= Naturalmente no podemos resolver la ecuacin por tener pero podemos prescindir de l y tomamos como expresin aproximada de la funcin el polinomio de primer grado.fFuncin Primitiva) (x Fes una primitiva de funciones)) ( f x F = Pgina 10Resumen de Anlisis matemtico ITeoremas del Valor Medio ontinuas en[ ] b a;y derivables en) ; ( b acumplen con un conjunto de teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres ms importantes son:[ ] b a;y derivable en) ; ( b ay adems) ( f b f =0 ) ( / ) ; ( = c f b a c[ ] b a;y derivable en) ; ( b a , entonces: ) () ( ) (/ ) ; ( c fa ba f b fb a c = son continuas en[ ] b a;y derivables en) ; ( b a , y) ( x g) () () ( ) () ( ) (/ ) ; (c gc fa g b ga f b fb a c= ))xx) () () () (x gx flmx gx flma x a x= ) () (xx) () () () (x gx flmx gx flmxa xxa x= de Newton (resolucin aproximada de ecuaciones) una ecuacin cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si un valor aproximado de la raz de esta ecuacin, es decir, si existe una raz x a + = , aplicando el desarrollo de Taylor al intervalo ecuacin puede escribirse as: 0 ) ( . .21) ( . ) ( )2= + + = f x a f x a fdonde la nueva incgnitaxes el incremento que debe asignarse al valor x a + = . Naturalmente no podemos resolver la ecuacin por tener 2xen el segundo trmino, pero podemos prescindir de l y tomamos como expresin aproximada de la funcin el e primer grado. 0 ) ( . ) ( = + a f x a fda: ) () (a fa fx = UNIDAD V: INTEGRALES es una primitiva de) (x f C x (conjunto comn a los dominios de las dos ) (x f Resumen de Anlisis matemtico I cumplen con un conjunto de teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres ms importantes son: ) (a f , entonces: 0 ) en el) ; ( b a , una ecuacin cuyo primer miembro admite una derivada segunda; siaes un valor aproximado de la raz de esta ecuacin, es decir, si existe una raz y slo una , aplicando el desarrollo de Taylor al intervalo) ; ( a , la es el incremento que debe asignarse al valorapara tener en el segundo trmino, pero podemos prescindir de l y tomamos como expresin aproximada de la funcin el (conjunto comn a los dominios de las dos Autores: Juan Pablo Mart Clculo Integral Conocida) (x f , para hallar antepuesto al producto Integral Indefinida Si) (x Fes una primitiva de la) (x fa la expresinFTabla de Integrales InmediatasFuncin dx . 0 dxIR k dx k / .) 1 ( / . n dx xn

dx x. sin dx x. cos dx ex. dx ax. dxx.1 dxa x.1 dxa x.ln .1 dx x. sec2 dx x. csc2dx x x . tan . sec dx x x . tan . cscdxx.112 dxx.112dxx.112 + Pgina 11Resumen de Anlisis matemtico I, para hallar) (x Fusamos el operador integral y ser tal que antepuesto al productodx x f ). (nos d como resultado) (x F= = ) ( ) ( ) ( ). ( x f x F x F dx x fes una primitiva de) (x fen un conjunto C, llamaremos integral indefinida de c x F + ) ( , dondeIR c . + = c x F dx x f ) ( ). (Tabla de Integrales Inmediatas Primitiva IR k k /xkxcnxn+++11 c x + cosc x + sinc ex+caax+ln c x+ lnc a x + lnc xa+ logc x + tanc x + cotc x + secc x + cscc x + arcsinc x + arccosc x + arctan Resumen de Anlisis matemtico I y ser tal que en un conjunto C, llamaremos integral indefinida de Autores: Juan Pablo Mart dxx.112 +dxx x.1 .12 dxx x.1 .12dx x. sinh dx x. cosh dx x h . sec2 dx x h . csc2dx x hx . tanh . secdx x hx . coth . cscdxx.112+ dxx.112 dxx.112 dxx.112 dxx x.112dxx x.112+ Propiedades de las Integrales Indefinidas1.Integral de una suma: 2.Integral de una constante por una funcin: Mtodos Generales de IntegracinDescomposicin Se aplica cuando la Consiste en aplicar integral de una suma.Sustitucin Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable En general son del tipo Ejemplo: Pgina 12Resumen de Anlisis matemtico Ic x arc + cotc x arc + secc x arc + cscc x + coshc x + sinhc x + tanhc x + cothc hx + secc hx + cscc x + sinh argc x + cosh argc x + tanh argc x + coth argc hx + sec argc hx + csc argPropiedades de las Integrales Indefinidas [ ] c x G x F dx x g x f + = ) ( ) ( . ) ( ) (Integral de una constante por una funcin: = k x F k dx x f k / ) ( . ). ( .de Integracin Se aplica cuando la) (x fes una suma de funciones, o se puede convertir en tal. Consiste en aplicar integral de una suma. Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable En general son del tipo[ ] dx x f x f g ). ( . ) ( Resumen de Anlisis matemtico I IRes una suma de funciones, o se puede convertir en tal. Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variablex . Autores: Juan Pablo Mart [du u+3. .21sin( 1Integracin por partesSurge de integrar la diferencial de un producto. ===du v v uv u dv u d. .) . () . (Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar simplificada, de manera de poder resoEjemplo: x xdx x xcos .. sin .Integrales trigonomtricas1.Primer caso: Potencia impar:Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1, para que de ello resulten integrales inmediaser resueltas por los tres mtodos.2.Segundo caso: Potencia par:Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser resuelta inmediatamente o aplicando los mtodos.3.Tercer caso: Producto de potencias de seno y coseDescompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para que de ello resultres mtodos. 4.Cuarto caso: Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares:Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me queden sumas y restas de a integrales desinidentidades trigonomtricas para convertirlos en sumas y resolver por descomposicin.5.Quinto caso: Producto de senos y cosenos:Surge de aplicar las frmulas de transformacin trigonomtricas:cos . sin q p = Pgina 13Resumen de Anlisis matemtico I][ ] x c u cududx xdudx x dux udx x x+ + = + = ++====+ ==+4 41 33) 2 sin( 18181) 1 3 .( 2). 2 cos(2). 2 cos( 2) 2 sin( 1). 2 cos( . ) 2 sin(Integracin por partes Surge de integrar la diferencial de un producto. ++ =+dv u dudv u du vdv u du v.. .. . = du v v u dv u . . .Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar simplificada, de manera de poder resolverla inmediatamente o por otro mtodo.c x x x dx xx v dx x dvdx du x udx+ + = = = == ==sin cos . . ) cos (cos . sin Integrales trigonomtricas Potencia impar: Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1, para que de ello resulten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los tres mtodos. Potencia par: Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser resuelta inmediatamente o aplicando los mtodos. Producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar:Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para que de ello resulten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares:Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me queden sumas y restas de slo senos o slo cosenos. De esta manera logro llegar x2sinox2cos , y en ellas los reemplazo utilizando las identidades trigonomtricas para convertirlos en sumas y resolver por descomposicin. Producto de senos y cosenos: Surge de aplicar las frmulas de transformacin trigonomtricas:2) cos( ) sin( q p q p + += Resumen de Anlisis matemtico I c Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar lverla inmediatamente o por otro mtodo. Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con tas o susceptibles de Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser no con un exponente impar: Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para ten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares: Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me slo senos o slo cosenos. De esta manera logro llegar , y en ellas los reemplazo utilizando las identidades trigonomtricas para convertirlos en sumas y resolver por Surge de aplicar las frmulas de transformacin trigonomtricas: Autores: Juan Pablo Mart (deducida de una suma m.a.m. entre las frmulas del seno de la suma y de la resta) cos . cos q p =(deducida de una suma m.la resta) sin . sin q p =(deducida de una suma m.a.m. entre las frmulas del coseno de la suma y de la resta) Frmulas tiles para la resolucin de Integrales Trigonomtricas + = = + = +) 2 cos( 1 cos . 2cos sin ) 2 cos(sin cos . cos ) cos(2) 1 (2 2x xx x xx x x x xporcos2x =Mtodo de descomposicin en fracciones simplesConsiste en descomponer una funcin racional en la cual ) (x Q , en una suma de fracciones ms simples, para luego resolver la integral por descomposicin. Existen cuatro casos: 1.Primer caso: Races simples( ) ( ) () (1x xBx xAx Qx P+=nx x x ,..., ,2 1 races simples de 2.Segundo caso: Races mltiples:( ) ( ) () (1nx x xAx Qx P+=N D C B A ,..., , , ,coeficientes incgnita, simples de) (x Q . 3.Tercer caso: Races complejas simples:) () (2 1QD CxQB Axx Qx P +++=coeficientes incgnita,Qde) (x Qy nx x x ,..., ,2 1 races simples de Integral Definida Si una funcin) (x fes continua en un intervalo regin R, en dicho intervalo existe un ) (x f . Pgina 14Resumen de Anlisis matemtico I(deducida de una suma m.a.m. entre las frmulas del seno de la suma y de la 2) cos( ) cos( q p q p + += (deducida de una suma m.a.m. entre las frmulas del coseno de la suma y de 2) cos( ) cos( q p q p + (deducida de una suma m.a.m. entre las frmulas del coseno de la suma y de Frmulas tiles para la resolucin de Integrales Trigonomtricas1 cos sin2 2= + x x(1) + + = = cos cos cos 1 ) 2 cos( cossin cos ) 2 cos( sin .2 2 2 22 2x x x xx x x x x2) 2 cos( 1 x +=(2) y 2) 2 cos( 1sin2xx=(3) Mtodo de descomposicin en fracciones simples Consiste en descomponer una funcin racional en la cual) (x Pes de menor grado que , en una suma de fracciones ms simples, para luego resolver la integral por descomposicin. Existen cuatro casos: Races simples: ) (...)2 nx xNx + +conN B A ,..., ,coeficientes incgnita y simples de) (x Q . Races mltiples: ) ( ) (...) ( )2 12111n nx xEx xDx xCxB++ ++ coeficientes incgnita, 1xraz mltiple de) (x QyxRaces complejas simples: ) (...) ( ) (2 1 nx xNx xFx xE D+ +++conA,2 1, Q Qpolinomios irreducibles que contengan races complejas races simples de) (x Qes continua en un intervalo[ ] b a;y determina con el eje regin R, en dicho intervalo existe un nico valor real que es la integral definida de Resumen de Anlisis matemtico I (deducida de una suma m.a.m. entre las frmulas del seno de la suma y de la a.m. entre las frmulas del coseno de la suma y de (deducida de una suma m.a.m. entre las frmulas del coseno de la suma y de Frmulas tiles para la resolucin de Integrales Trigonomtricas + = 1 ) 2 cos(2x xes de menor grado que , en una suma de fracciones ms simples, para luego resolver la integral por coeficientes incgnita y ) (...nx xN+ +con nx x ,...,2 races N F E D C B ,..., , , , , ,polinomios irreducibles que contengan races complejas y determina con el ejexuna nico valor real que es la integral definida de Autores: Juan Pablo Mart x fba) (Propiedades de la Integral DefinidaI.0 . ) ( =dx x faa II.dx x f dx x fabba. ) ( . ) ( =III.Si) (x fes integrable en IV.Si) (x fy) (x gson integrables en dx x g dx x fbaba. ) ( . ) ( V.Si) (x fy) (x gson integrables en VI.Si) (x fes integrable en VII. Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no cambia. VIII.Sik k x f = / ) (IX.Si) (x fes integrable en Teorema del valor medio del clculo integralSi) (x fes continua en Para demostrarlo partimos de que siabsoluto) y unM(mximo absoluto). Luego integramos estas 3 funcm y =yM y = ). Aplicamos propiedades y despejamos.Funcin integral Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces va a ser una funcin del extremo variable y la llamamos De all se puede deducir que Regla de Barrow Si) (x Fes una primitiva de UNIDAD VI: Clculo de reas Si una funcin) (x fes continua en un intervalo grfica con el eje de las abscisas es la integral definida de Pgina 15Resumen de Anlisis matemtico I= dx . ) Integral definida de) (x fen[ ] b a;Propiedades de la Integral Definida dxes integrable en[ ] b a;y0 ) ( x fen[ ] b a; 0 . ) ( dx x fbason integrables en[ ] b a;y[ ] b a x ; es ( ) ( x g x f son integrables en[ ] b a; [ ] f dx x g x fbaba. ) ( ) ( = +es integrable en[ ] b a;y IR k =babadx x f k dx x f k ). ( . ). ( .Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no IRen[ ] b a; ) .( . a b k dx kba = le en[ ] b a;y ) ; ( b a c dx x f dx x fcaba. ) ( . ) ( =Teorema del valor medio del clculo integral [ ] b a; , entonces existe al menos un puntoc ) ).( ( . ) ( a b c f dx x fba = Para demostrarlo partimos de que si ) (x fes continua en[ ] b a; , tiene un (mximo absoluto). Luego integramos estas 3 func). Aplicamos propiedades y despejamos. Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces cin del extremo variable y la llamamos) (x F . De all se puede deducir quec x F dt t fxa+ =) ( . ) ((integral indefinida).es una primitiva de) (x fen[ ] b a; , entonces: babax F a F b F dx x f ) ( ) ( ) ( . ) ( = = UNIDAD VI: APLICACIONES DEL CLCULO INTEGRALes continua en un intervalo[ ] b a; , el reaA, que determina su de las abscisas es la integral definida de) (x fentre Resumen de Anlisis matemtico I 0 ) xdx x g dx x fba. ) ( . ) (+dxSi en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no dx x f dxbc. ) (+) ; ( b a tal que: , tiene unm (mnimo (mximo absoluto). Luego integramos estas 3 funciones ( ) (x f , Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entoncesdt t fxa. ) ( (integral indefinida). NTEGRAL , que determina su entrea x =1 yb x =2. Autores: Juan Pablo Mart (rea de la regin comprendida entre Si) (x fmantiene el signo en recinto. Si) (x fno mantiene su signo en integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las integrales definidas en cada intervalo de negatividad. Esto es:Si) (x f , definida en[a;readx x f Abcca. ) ( + =rea entre dos curvas Si) (x fy) (x gson integrables en calcular el rea entrefA A AR R R 1 =Si las curvas se cortan, y los puntos donde lo hace no son averiguarlos resolviendo el sistema a Pgina 16Resumen de Anlisis matemtico IA dx x fba=. ) (n comprendida entre) (x f , el ejexr y las rectas mantiene el signo en[ ] b a; , la integral definida se interpreta como el rea del no mantiene su signo en[ ] b a; , el rea del recinto se calcula sumando las integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las integrales definidas en cada intervalo de negatividad. Esto es: ] b ;es[ ] 0 ) ( : ; x f c a xy[ ] ( : ; x f b c xdx x fb. ) (son integrables en[ ] b a; , y) ( ) ( x g x f >dentro del intervalo, podemos ), (x f ), (x g a x =yb x =[ ] x g x f dx x g dx x fbababaR) ( ) ( . ) ( . ) (2 = =Si las curvas se cortan, y los puntos donde lo hace no son datos del problema, debemos averiguarlos resolviendo el sistema ==) () (x g yx f y. A ) (x f) (x ga b Resumen de Anlisis matemtico I y las rectasa x =yb x = ) , la integral definida se interpreta como el rea del , el rea del recinto se calcula sumando las integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las 0 ) x , entonces el del intervalo, podemos ]dx .datos del problema, debemos Autores: Juan Pablo Mart Slidos de revolucin Llamamos as a los cuerpos engendrados por la rotacin de un arco una curvaC , cuando sta rota alrededor de un eje de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una circunferencia cuyo radio es la distancia entre el punto y el eje continua, podemos calcular el rea lateral y el volumen del slido de revolucin, utilizando el clculo integral. rea Lateral: Volumen: Rectificaciones de arcos de curvas Se llama as al clculo de la longitud de un arco C . Su frmula es: Integracin Numrica AproximadaCuando la funcin es emprica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar mtodos de integracin numrica aproximada, para hallar el valor de la integral.Mtodo de los trapeciosSe realiza una particin regular del igual amplitudSi se lo descompone en Para cada subintervalo obtengo un trapecio de rea = = At Ai R Mientras mayor sea rea debajo de un arco de parbola Pgina 17Resumen de Anlisis matemtico ILlamamos as a los cuerpos engendrados por la rotacin de un arco ndo sta rota alrededor de un ejee . A la curva que recorre cada uno de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una circunferencia cuyo radio es la distancia entre el punto y el ejee . Si la continua, podemos calcular el rea lateral y el volumen del slido de revolucin, utilizando el clculo integral. + =baLdx x f x f A . ) ( 1 ). ( . 22dx x f Vba. ) (2= ones de arcos de curvas planas Se llama as al clculo de la longitud de un arcoABcorrespondiente a una curva plana dx x f Lba. 1 ) (2+ =Integracin Numrica Aproximada emprica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar mtodos de integracin numrica aproximada, para hallar el valor de la integral. Mtodo de los trapecios Se realiza una particin regular del[ ] b a; , que lo descompone en los h xi= . Si se lo descompone ennsubintervalos na bh= . Para cada subintervalo obtengo un trapecio de rea fAti=((

+hx f x fi i2) ( ) (1 ((

+ + ==1102 ) (2nii n Ry y yhAMientras mayor sean , menor ser el error del clculo. rea debajo de un arco de parbola ) 4 (32 1 0y y yhA + + = Resumen de Anlisis matemtico I AB(generatriz), de . A la curva que recorre cada uno de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una . Si la) (x fes continua, podemos calcular el rea lateral y el volumen del slido de revolucin, correspondiente a una curva plana emprica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar mtodos de integracin numrica aproximada, para , que lo descompone en los[ ]i ix x ;1 , de hx f x fi i2) ( ) (1+. Autores: Juan Pablo Mart Donde 0xes la abscisa del primer extremo medio y 2xes la abscisa del extremo final. Entonces ) (2 2x f y =y 22x xh=Frmula de Simpson Se realiza una particin regular del par) de subintervalos Por tres puntos no alineados se puede hacer pasar unentonces, calculando el rea de cada arco y sumndola:4 (31 0y yhA + + (30yhA

+ sta frmula es ms exacta que la de los trapecios.Integrales Impropias o GeneralizadasCuando el intervalo[ b a;finito y) (x fno es continua y no est se llama Impropia o Generalizada.(I).) (x fes continua en Integral Impropia: ) (x fes continua en Integral Impropia: Para ambos casos: a.Si el lmite existe, entonces la integral es b.Si el lmite no existe, entonces la integral es (II).) (x fes discontinua con salto infinito en a.Cuando el salto est en b.Cuando el salto est en UNIDAD VII: Sucesiones Definicin: Pgina 18Resumen de Anlisis matemtico Ies la abscisa del primer extremo del intervalo, 1xes la abscisa del punto es la abscisa del extremo final. Entonces), (0 0x f y =1y0x. e realiza una particin regular del[ ] b a; , que lo descompone en par) de subintervalos[ ]i ix x ;1 , de igual amplitud bh xi= = Por tres puntos no alineados se puede hacer pasar un arco de parbola, entonces, calculando el rea de cada arco y sumndola: 4 (3... ) 4 (3)1 2 4 3 2 2 n ny yhy y yhy + + + + + + + ) 2 4 (32 4 )212212 1 2P I Ehy y yninii i n+ + =((((+ + + ==+sta frmula es ms exacta que la de los trapecios. Integrales Impropias o Generalizadas ] bes infinito y) (x fes continua, o cuando el intervalo no es continua y no est acotada, o sea, presenta salto infinito, la integral se llama Impropia o Generalizada. es continua en) ; [ aydx x f a bba. ) ( : > (o sea es integrable):dx x f lm dx x fba b a. ) ( . ) ( =es continua en] b ; (ydx x f b aba. ) ( : < (o sea es integrabledx x f lm dx x fba ab. ) ( . ) ( = Si el lmite existe, entonces la integral es Convergente. Si el lmite no existe, entonces la integral es Divergente. es discontinua con salto infinito en[ ] b a; .a e >yb e >Cuando el salto est enb x = , entonceslm dx x fb eba. ) ( =Cuando el salto est ena x = , entonceslm dx x fa eba. ) ( +=UNIDAD VII: SERIES Y SUCESIONES Resumen de Anlisis matemtico I es la abscisa del punto ), (1 1x f =, que lo descompone enn(nmero na b . arco de parbola, )1 ny +)es continua, o cuando el intervalo[ ] b a;es , o sea, presenta salto infinito, la integral (o sea es integrable): (o sea es integrable): dx x f lmea. ) ( dx x f lmbe. ) ( + Autores: Juan Pablo Mart Una sucesin es un conjunto ordenado de elementos, llamados trminos. Trabajaremos con sucesiones numricas.En toda sucesin hay un primer elemento que se lo designa na , y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada trmino de la sucesin. La sucesin suele representarsesuspensivos despus de Una sucesin numrica infinita es una funcin cuyo Dominio es incluida enIR , entonces es una funcin del tipo Sucesin Constante: Si= = k a IN nn:constante Igualdad de sucesiones:Las sucesiones) (nay(bimgenes implica igualdad de suc Sucesiones acotadas: Una sucesin estar acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.Lmite de una sucesin > = l a lmnn: 0Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes1.Si la sucesin tiene lmite 2.Si el lmite es infinito o no existe, es 3.En algunos casos, si el lmite no existe, decimos que es Propiedades del lmite de una sucesin1.El lmite de una sucesin numrica es nico.2.Si) (nay) (nbson sucesiones convergentes, entonces ( )nn nnlm b a lm = 3.( )nn nnlm b a lm = .4. nnnnnb lma lmbalm =|||

\|5.Si) (nay) (ncconvergen al mismo lmite l b lmnn= . 6.Sil a lmnn= ylSi < >a k la k lnn Pgina 19Resumen de Anlisis matemtico IUna sucesin es un conjunto ordenado de elementos, llamados trminos. Trabajaremos con sucesiones numricas. En toda sucesin hay un primer elemento 1a , un segundo, etc. y un trmino general , y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada La sucesin suele representarse,...) ,..., , , , ( ) (4 3 2 1 n na a a a a a = , donde los puntos suspensivos despus de naindican que tiene infinitos trminos. Una sucesin numrica infinita es una funcin cuyo Dominio esIN, entonces es una funcin del tipon IR IN S / :constante) (na es una sucesin constante. Igualdad de sucesiones: )nbsern iguales si n nb a IN n = : . No siempre igualdad de imgenes implica igualdad de sucesiones. Una sucesin estar acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.( < > > l a n n IN n n nn 0 0: / 0 ) (Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes Si la sucesin tiene lmitelfinito, es CONVERGENTE. Si el lmite es infinito o no existe, es DIVERGENTE. En algunos casos, si el lmite no existe, decimos que es OSCILANTEPropiedades del lmite de una sucesin El lmite de una sucesin numrica es nico. son sucesiones convergentes, entonces nnnb lm a lm . nnnb lm a .nnba, si0 nnb lmconvergen al mismo lmitely na IN n :k /0n si k a n nn >0. En sntesis: kk Resumen de Anlisis matemtico I Una sucesin es un conjunto ordenado de elementos, llamados trminos. Trabajaremos , un segundo, etc. y un trmino general , y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada , donde los puntos y la Imagen est na n S IN = ) ( : . . No siempre igualdad de Una sucesin estar acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores. ) OSCILANTE. n nc b Autores: Juan Pablo Mart Sucesiones montonas 1.Una sucesin ser sentido estricto).2.Una sucesin ser sentido estricto). Para determinar el crecimiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar:1. +11 nnaa es Creciente2. +11 nnaa es DecrecienteCriterios de convergencia y divergenciaSeries Numricas Definicin Llamaremos SERIE NUMRICA asociada a la expresin:1= = n na aPropiedades de las series infinitasI.Si las series aIR c , entonces las series convergen a las sumas que se ind1. = a cn.2.(an+3.( b anII.Si suprimimos los primeros (convergente o divergente). Y si hhnA A a =+1. Montona No montonaAcotadaConvergente Pgina 20Resumen de Anlisis matemtico IUna sucesin ser CRECIENTE, cuando 1:+ n na a IN n(< para que sea en sentido estricto). Una sucesin ser DECRECIENTE, cuando 1:+ n na a IN nsentido estricto). Para determinar el crecimiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar:es Creciente es Decreciente de convergencia y divergencia Llamaremos SERIE NUMRICA asociada a la expresin: ... ...3 2 1+ + + + +na a a alas series infinitas nay nbconvergen respectivamente a los nmeros , entonces las series convergen a las sumas que se ind= A c.) B A bn+ =) B A bn =Si suprimimos los primeroshtrminos de una serie, no vara su naturaleza (convergente o divergente). Y siA an= y =hh nA a1, entonces No montona AcotadaNo acotadaNo Convergente Puede converger o no Montona Acotada Implica Resumen de Anlisis matemtico I (< para que sea en 1 (> para que sea en Para determinar el crecimiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar: convergen respectivamente a los nmerosA yB , y , entonces las series convergen a las sumas que se indican: trminos de una serie, no vara su naturaleza , entonces No acotada Autores: Juan Pablo Mart Condicin necesaria pero no suficiente para la convergenciaSi la serie naes convergente, entonces cumple, pero la contra recproca s, y es muy Criterio para la divergencia:Serie Geomtrica La serie dada por.r aSerie Geomtrica de razn Criterio de convergencia para series geomtricasSerie Geomtrica de raznrdiverge si Definicin de P-Series La serie dada por 1pnCuando1 = p , la P-Serie correspondiente se llama Serie Armnica.Convergencia de P-Series 1.Converge si 2.Diverge si Series de trminos positivosUna serie naque tiene la sucesin de sumas parciales es est acotada, ser convergente. Para determinar su convergencia conviene usar el criterio de comparacin directa.Criterio de comparacin directaDadas las series 1.Si nbconverge, entonces nmero 2.Si naCriterio de DLambert para serie de trminosSea nauna Serie de Trminos Positivos y 1. < l 12. > l 13. =1 l , nada se puede afirmar.Criterio de la Raz o de CauchySea nauna Serie de Trminos Positivos y 1. < l 1 Pgina 21Resumen de Anlisis matemtico ICondicin necesaria pero no suficiente para la convergencia es convergente, entonces0 = nna lm . La recproca no siempre se cumple, pero la contra recproca s, y es muy importante: Criterio para la divergencia: si0 nna lm , entonces naes divergente.... . ... . .1 2 1+ + + + + = n nr a r a r a a r , con aSerie Geomtrica de raznr . Criterio de convergencia para series geomtricas diverge si1 ry converge si1 0 < pse llama PSerie correspondiente se llama Serie Armnica. Converge si1 > pDiverge si1 0 nase denomina Serie de Trminos Positivos. En tal caso, la sucesin de sumas parciales es montona creciente, entonces si se comprueba que ergente. Para determinar su convergencia conviene usar el criterio de comparacin directa. Criterio de comparacin directa Dadas las series nay nb , y sean n nb a IN n 0 : , entonces:converge, entonces naconverge. Y si B , entonces naconverge al nmeroA diverge, entonces nbdiverge. Criterio de DLambert para serie de trminos una Serie de Trminos Positivos ylaalmnnn=+ 1, y es:naes convergente. naes divergente. , nada se puede afirmar. Criterio de la Raz o de Cauchy una Serie de Trminos Positivos yl a lmnnn= , y es:naes convergente. Resumen de Anlisis matemtico I . La recproca no siempre se es divergente. 0se denomina con suma raS=1. se llama P-Serie. se denomina Serie de Trminos Positivos. En tal caso, , entonces si se comprueba que ergente. Para determinar su convergencia conviene usar el , entonces: nbconverge al B . , y es: , y es: Autores: Juan Pablo Mart 2. > l 13. =1 l , nada se puede afirmar.Criterio de Rabe Sea nauna Serie de Trminos Positivos y 1. > l 12. < l 13. =1 l , nada se Series alternadas Si0 >naa la serie (Las series +nna . ) 1 (1 siguientes condiciones. 1. naes montona decreciente2.0 = nna lmConvergencia absoluta Si naes una serie de Trminos Cualesquiera, formamos convergente, entonces diremos que demostrar que: Si Si en estas series se ordenan sus trminos de manera diferente, la nueva serie converger al mismo nmero que Convergencia condicional Si naes una serie de Trminos Cualesquiera que converge y entonces decimos que Si en estas series se ordenan sus trminos de manera diferente, la nueva serie no converger al mismo nmero. Pgina 22Resumen de Anlisis matemtico Inaes divergente. , nada se puede afirmar. una Serie de Trminos Positivos y aan lmnnn|||

\|+ 11 .naes convergente. naes divergente. , nada se puede afirmar. +nna . ) 11 la llamamos Serie Alternada. y nna . ) 1 (1 sern convergentes si y slo si cumplen las montona decreciente. es una serie de Trminos Cualesquiera, formamos na . Si convergente, entonces diremos que naes absolutamente convergente naconverge, entonces naconverge. Si en estas series se ordenan sus trminos de manera diferente, la nueva serie mo nmero que na . es una serie de Trminos Cualesquiera que converge y entonces decimos que naes condicionalmente convergentei en estas series se ordenan sus trminos de manera diferente, la nueva serie converger al mismo nmero. Resumen de Anlisis matemtico I l = , y es: si y slo si cumplen las . Si naes absolutamente convergente. Y se puede Si en estas series se ordenan sus trminos de manera diferente, la nueva serie es una serie de Trminos Cualesquiera que converge y nadiverge, condicionalmente convergente. i en estas series se ordenan sus trminos de manera diferente, la nueva serie Autores: Juan Pablo Mart Convergencia Definicin de Serie de PotenciasEs la serie de expresin Tambin est la Serie de potencias controlada en la constante .( ) .(1 00+ = nna a c x aPor cada valor que se le asigne a ser convergente. Por cada valor de nmeroS x f = ) ( , que es su suma, es decir que la serie sera una Funcin de dominio es el conjunto de valores de Toda serie de potencias es convergente en su centro (Convergencia de una serie de potenciasPara toda serie de potencias pueden ocurrir tres cosas:1.Que converja slo en su centro2.Que converja para todo3.Que exista un nmero diverja en) ; ( R ccorrespondiente se llama InterPara calcular R hacemos:=nlm RLa convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular.Propiedades de una funcin definida por una serie de potenciasLas funciones definidas por una serFrmula de Taylor (aproximacin de una funcin con un polinomio)Podemos aproximar una funcin con un polinomio:x f x f x P x f ).( ( ) ( ) ( ) (0 0 + = nna lm Si la serie es de trminos DAlambertCauchy Pgina 23Resumen de Anlisis matemtico Ide Potencias Es la serie de expresin... . ... . . .22 1 00+ + + + + =nnnnx a x a x a a x a . de potencias controlada en la constanteca la expresin ... ) .( ... ) .( ) .(22+ + + + nnc x a c x a c x . Por cada valor que se le asigne axobtendremos una serie numrica, que puede o no ser convergente. Por cada valor dexque hace a la serie convergente se obtiene un , que es su suma, es decir que la serie sera una Funcin de dominio es el conjunto de valores dexpara los cuales la serie se hace convergente.Toda serie de potencias es convergente en su centro ( c ). Convergencia de una serie de potencias Para toda serie de potencias pueden ocurrir tres cosas: Que converja slo en su centro Que converja para todo x Que exista un nmeroR , tal que la serie converja en el intervalo ) ; ( + R c . ARse lo llama radio de convergencia y el dominio correspondiente se llama Intervalo de Convergencia. 1 + nnnaalmLa convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular.edades de una funcin definida por una serie de potenciasLas funciones definidas por una serie de potencias son derivables e integrables en su intervalo de convergencia. (aproximacin de una funcin con un polinomio)Podemos aproximar una funcin con un polinomio: nxnx fx xx fx x .(!) (... ) .(! 2) () ).(0) (2000+ + + Si es 0Diverge Si es0 =Criterios Si la serie es de trminosSi la serie es AlternadaRabeComparacin Directa Convergencia Absoluta Resumen de Anlisis matemtico I a la expresin obtendremos una serie numrica, que puede o no que hace a la serie convergente se obtiene un , que es su suma, es decir que la serie sera una Funcin dexcuyo a serie se hace convergente. , tal que la serie converja en el intervalo) ; ( R c R c + y se lo llama radio de convergencia y el dominio La convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular. edades de una funcin definida por una serie de potencias ie de potencias son derivables e integrables en su (aproximacin de una funcin con un polinomio) nx )0 . Si la serie es Alternada Convergencia Autores: Juan Pablo Mart Pero esta expresin es aproximada. Paracomplementario correspondiente al error cometido en el clculo, de la forma ) ; ( / )! 1 () (01) 1 (x x c xnc fTnnn+=++, entonces, la funcin queda determinada por:0 0).( ( ) ( ) ( + = x x x f x f x fFrmula de Mc Laurin Cuando00= x , reemplazamos en la frmula de Taylor y obtenemos:) 0 ( ) ( + = f f x fSerie de Taylor Serie de Mc Laurin Para que la Serie de Mc Laurin o de Taylor sean igualescumplirse dos condiciones: 1.Que la Serie sea convergente2.Que el0 = nnT lmEsas condiciones se cumplen en muchas funciones, algunas de ellas son:...! 3 ! 213 2+ + + + =x xx ex ! 7 ! 5 ! 3sin7 5 3 + =x x xx x ! 6 ! 4 ! 21 cos6 4 2 + =x x xx 7 ! 5 ! 3sinh5 3+ + + =x x xx x ! 4 ! 21 cosh4 2+ + + =x x xx Pgina 24Resumen de Anlisis matemtico IPero esta expresin es aproximada. Para que sea exacta, se debe agregar al final un trmino complementario correspondiente al error cometido en el clculo, de la forma , entonces, la funcin queda determinada por:nT x P x f + = ) ( ) (00) (2000) .(!) (... ) .(! 2) () + + +nx xnx fx xx fx, reemplazamos en la frmula de Taylor y obtenemos: ) 1 ( ) (2)! 1 () (.!) 0 (... .! 2) 0 (). 0 (+++ + + + nnnnc fxnfxfx fnnx xnx f) .(!) (00) ( nnxnf.!) 0 () ( Para que la Serie de Mc Laurin o de Taylor sean iguales a la funcin que representan tienen que Que la Serie sea convergente Esas condiciones se cumplen en muchas funciones, algunas de ellas son: ...!... + +nxn ...)! 1 2 (. ) 1 ( ...!1 2 7++ + ++nxnn ...)! 2 (. ) 1 ( ...! 8 !2 8 6+ + +nx xnn ...)! 1 2 (...! 71 2 7+++ ++nx xn ...)! 2 (...! 8 ! 62 8 6+ + + +nx x xn Resumen de Anlisis matemtico I que sea exacta, se debe agregar al final un trmino complementario correspondiente al error cometido en el clculo, de la forma , entonces, la funcin queda determinada por: 1) 1 ()! 1 () ()++++nnnxnc f 1)+ nxa la funcin que representan tienen que Autores: Juan Pablo Mart No hay ninguna fuente en el documento actual.UNIDAD I: Relaciones y funcionesEntorno y Entorno Reducido................................Funciones Par e Impar ................................UNIDAD II: Lmites y continuidadDefinicin rigurosa de lmite ................................Propiedad del Sndwich ................................Algunos lmites especiales ................................Infinitsimos ................................Funciones infinitsimas equivalentesDefinicin de Continuidad ................................Clasificacin de Discontinuidad Continuidad Lateral ................................lgebra de las funciones continuasUNIDAD III: Derivadas y diferencialesRecta secante y Recta tangente geomtricasIncremento e incremento de la funcinRazn de cambio promedio (cociente incremental)Razn de cambio instantnea ................................Definicin de derivada ................................Funcin derivada ................................Interpretacin geomtrica de la derivadaPunto anguloso y cuspidal ................................Derivabilidad y Continuidad................................Reglas de derivacin (tabla de derivadas)lgebra de la derivada ................................Derivada de una funcin compuestaDerivada de una funcin en forma implcitaMtodo logartmico de derivacinDerivada de la funcin inversa ................................Diferencial ................................................................Reglas de diferenciacin ................................Interpretacin geomtrica de la diferencialAproximacin lineal ................................lgebra de la Diferencial ................................Deducciones de crecimiento y concavidad de las funcionesUNIDAD IV: Aplicaciones del clculo diferencialDefinicin de Mximo relativo (Mr)Definicin de mnimo relativo (mr)Condicin necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativosPunto crtico ................................Criterios para determinar Extremos relativosAplicando la definicin ................................Mtodo de la derivada primeraMtodo de la derivada segundaPuntos de Inflexin ................................Extremos absolutos ................................Asntotas ................................................................Asntotas Horizontales ................................Asntotas Verticales ................................Asntotas Oblicuas ................................ Pgina 25Resumen de Anlisis matemtico IBIBLIOGRAFA No hay ninguna fuente en el documento actual. NDICE UNIDAD I: Relaciones y funciones ................................................................................................................................................................................................................................................................................................Lmites y continuidad ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Funciones infinitsimas equivalentes ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................lgebra de las funciones continuas ................................................................................................UNIDAD III: Derivadas y diferenciales ................................................................Recta secante y Recta tangente geomtricas ................................................................Incremento e incremento de la funcin ................................................................................................Razn de cambio promedio (cociente incremental) ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................cin geomtrica de la derivada ................................................................................................................................................................................................................................................................................................Reglas de derivacin (tabla de derivadas) ................................................................................................................................................................................................................................Derivada de una funcin compuesta ................................................................................................Derivada de una funcin en forma implcita ................................................................................................Mtodo logartmico de derivacin ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Interpretacin geomtrica de la diferencial ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones ................................................................UNIDAD IV: Aplicaciones del clculo diferencial ................................................................imo relativo (Mr) ................................................................................................Definicin de mnimo relativo (mr) ................................................................................................Condicin necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativos ................................................................................................................................................................Criterios para determinar Extremos relativos ................................................................................................................................................................Mtodo de la derivada primera ................................................................................................Mtodo de la derivada segunda ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Resumen de Anlisis matemtico I ......................................................... 1 ............................................................... 1 ........................................ 1 .......................................................... 1 ............................................................... 1 ..................................................................... 1 .................................................................. 1 ....................................................... 1 ................................................. 1 .................................................................. 1 .......................................................... 2 ............................................ 2 .................................................... 2 .................................................... 3 ..................................................................... 3 ............................................. 3 ........................................................... 3 ............................................................. 3 ........................................ 3 ................................................ 3 .......................................... 4 .................................................................. 4 ................................................................ 4 .......................................... 4 ........................................ 5 .................................................. 5 ...................................... 6 ..................................................... 6 ........................................................... 6 ........................................................... 6 ..................................................................... 6 ....................................... 7 ............................................ 7 ..................................................................... 7 .............................................. 7 .................................... 7 ................................................... 7 ..................................................... 7 ............................................. 7 ........................................................ 8 .................................................................... 8 ................................................................... 8 ..................................................... 8 .................................................... 8 ............................................. 8 ............................................ 9 ............................................................. 9 ................................................................... 9 ........................................ 9 .......................................... 9 Autores: Juan Pablo Mart Teoremas del Valor Medio ................................Teorema de Rolle ................................Teorema de Lagrange ................................Teorema de Cauchy ................................Regla de LHspital................................Regla de Newton (resolucin aproximada de ecuaciones)UNIDAD V: Integrales ................................Funcin Primitiva ................................Clculo Integral ................................Integral Indefinida ................................Tabla de Integrales Inmediatas ................................Propiedades de las Integrales IndefinidasMtodos Generales de IntegracinDescomposicin ................................Sustitucin ................................Integracin por partes ................................Integrales trigonomtricas ................................Frmulas tiles para la resolucin de Integrales TrigonomtricasMtodo de descomposicin en fracciones simplesIntegral Definida ................................Propiedades de la Integral DefinidaTeorema del valor medio del clculo integraFuncin integral ................................Regla de Barrow ................................UNIDAD VI: Aplicaciones del clculo integralClculo de reas ................................rea entre dos curvas ................................Slidos de revolucin ................................Rectificaciones de arcos de curvas planasIntegracin Numrica AproximadaMtodo de los trapecios ................................rea debajo de un arco de parbolaFrmula de Simpson ................................Integrales Impropias o GeneralizadasUNIDAD VII: Series y sucesionesSucesiones ................................Lmite de una sucesin ................................Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantesPropiedades del lmite de una sucesinSucesiones montonas ................................Criterios de convergencia y divergenciaSeries Numricas ................................Definicin ................................Propiedades de las series infinitasCondicin necesaria pero no suficiente para la convergenciaSerie Geomtrica ................................Criterio de convergencia para series geomtricasDefinicin de P-Series ................................Convergencia de P-Series ................................Series de trminos positivos ................................Criterio de comparacin directaCriterio de DLambert para serie de trminosCriterio de la Raz o de Cauchy ................................Criterio de Rabe ................................Series alternadas ................................Convergencia absoluta ................................Convergencia condicional ................................ Pgina 26Resumen de Anlisis matemtico I................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Regla de Newton (resolucin aproximada de ecuaciones) ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Propiedades de las Integrales Indefinidas ................................................................................................Mtodos Generales de Integracin ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Frmulas tiles para la resolucin de Integrales Trigonomtricas ................................Mtodo de descomposicin en fracciones simples ................................................................................................................................................................................................Propiedades de la Integral Definida ................................................................................................Teorema del valor medio del clculo integral ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................UNIDAD VI: Aplicaciones del clculo integral ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Rectificaciones de arcos de curvas planas ................................................................................................Integracin Numrica Aproximada ................................................................................................................................................................................................rea debajo de un arco de parbola ................................................................................................................................................................................................................................Integrales Impropias o Generalizadas................................................................................................siones ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes ................................................................Propiedades del lmite de una sucesin ................................................................................................................................................................................................................................Criterios de convergencia y divergencia ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................las series infinitas ................................................................................................Condicin necesaria pero no suficiente para la convergencia ................................................................................................................................................................................................Criterio de convergencia para series geomtricas ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Criterio de comparacin directa ................................................................................................ara serie de trminos ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Resumen de Anlisis matemtico I ............................................................... 10 .............................................. 10 ....................................... 10 .......................................... 10 ............................................ 10 ............................................... 10 ......................................... 10 .............................................. 10 ................................................. 11 ............................................ 11 ......................................................... 11 ........................................ 12 .................................................. 12 ........................................... 12 ................................................... 12 ................................................................. 13 ................................................................ 13 .............................................................. 14 .......................................................... 14 ............................................... 14 .................................................. 15 .................................................................. 15 ................................................ 15 ................................................ 15 ....................................... 15 ................................................ 15 ....................................... 16 ........................................ 17 ........................................ 17 ................................................... 17 .............................................................. 17 ............................................ 17 ......................................... 18 ............................................... 18 .......................................................... 18 ........................................................ 18 ..................................... 19 ......................................................... 19 ........................................... 19 ..................................... 20 ........................................... 20 .............................................. 20 ..................................................... 20 .................................................... 20 ......................................... 21 .............................................. 21 ............................................................ 21 ....................................... 21 ................................................................. 21 ............................................................. 21 ....................................................... 21 .................................................................. 21 ......................................................... 21 ................................................ 22 ............................................... 22 ..................................... 22 ................................................................. 22 Autores: Juan Pablo Mart Convergencia ................................Definicin de Serie de PotenciasConvergencia de una serie de potenciasPropiedades de una funcin definida por una serie de potenciasFrmula de Taylor (aproximacin de una funcin con un polinomio)Frmula de Mc Laurin ................................Serie de Taylor ................................Serie de Mc Laurin ................................Bibliografa ................................NDICE ................................................................ Pgina 27Resumen de Anlisis matemtico I................................................................................................................................Definicin de Serie de Potencias ................................................................................................Convergencia de una serie de potencias ................................................................................................edades de una funcin definida por una serie de potencias ................................Frmula de Taylor (aproximacin de una funcin con un polinomio) ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................FECHA DE LTIMA EDICIN: 13 de agosto de 2010 Resumen de Anlisis matemtico I .................................................... 23 .................................................. 23 .......................................... 23 ............................................................... 23 .............................................................. 23 ....................................... 24 .................................................. 24 ............................................ 24 ......................................................... 25 ................................ 25 13 de agosto de 2010