Resumen 1 ª Unidad

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RESUMEN 1 UNIDAD: ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS ESFUERZOS COMBINADOS:Superposicin de esfuerzos axiales y de deflexin en la seccin transversal de un elemento estructural que da como resultado un conjunto de esfuerzos de traccin y compresin. Esfuerzo axial: la deformacin unitaria como la razn de la deformacin total sobre el largo total L de la varilla.

Esfuerzo de flexin:

Esfuerzo cortante por flexion:

b= ancho de la via

Esfurzo cortante por torsion:

TRANSFORMACION DE ESFUEZO EN PROBLEMAS BIDIMENSIONALES:

En esta seccin obtendremos ecuaciones en forma algebraica para los esfuerzos normales y cortantes que actan en un plano inclinado. Tales expresiones se llaman ecuaciones de transformacin de esfuerzos. Estas ecuaciones se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actan sobre un elemento de orientacin conocida y en el plano que se est investigando, definido por una normal a l. Las ecuaciones se desarrollaron considerando un elemento de espesor unitario en un estado de esfuerzos bidimensional xy, que ser transformado a los ejes xy. Utilizar la siguiente convencin de signos:

La siguiente figura representa el estado de esfuerzos inicial de esfuerzos y las convenciones de signos adoptadas en este apunte. El plano donde se quiere obtener los esfuerzos normal y cortante es CB, para analizar los esfuerzos en el plano inclinado se asla la cua infinitesimal ABC.

Estado de esfuerzos original. Se ilustra adems el sentido de esfuerzos positivos

DxxyyxEyxBAyxyCyxyyxx

En la siguiente figura se muestran los esfuerzos asociados a la separacin de la cua ABC respecto de la figura inicial (recuerde el mtodo de las secciones)

xyxyABCyyxxyx

Cua ABC aislada de la figura inicial. Se considera que el rea generada por el lasdo BC de esta cua es dA.

Ahora vamos a obtener las fuerzas en las caras de la cua asociados a los esfuerzos a la que est sometida.

xyABC

Fuerzas que actan n la cua ABC

El siguiente paso consiste en aplicar las leyes de la esttica en el eje y y x con el fin de conocer los esfuerzos que actan en la cara BC de la cua:

Desarrollando un poco la expresin y despejando x queda:

Ahora , luego:

Se tiene adems que:

Reemplazando estas expresiones en la ecuacin anterior queda:

Reordenando esta expresin queda:

Haciendo equilibrio de fuerzas en el eje y, se tiene:

Reduciendo trminos, simplificando y despejando xy queda:

Las expresiones deducidas son las ecuaciones generales para los esfuerzos normales y cortantes, respectivamente, que actan sobre cualquier plano localizado por el ngulo y causado por un sistema conocido de esfuerzos. Esas relaciones son las ecuaciones para la transformacin del esfuerzo de un sistema de ejes coordenados inicial a uno rotado respecto a este ltimo.Reemplazando por + 90 en las dos ecuaciones se obtiene el esfuerzo normal en y y y el esfuerzo tangencial yx. Algebraicamente estos esfuerzos son:

Haciendo queda:

Esto significa que la suma de los esfuerzos normales sobre dos planos perpendiculares cualquiera permanece constante independiente del ngulo. A esta suma se le llama invariante de esfuerzo.

ESFUERZOS PRINCIPALES:A menudo el inters, en el anlisis de esfuerzos, se centra en los esfuerzos mximos a los que est sometido un elemento. Para encontrar tales esfuerzos la ecuacin general para los esfuerzos normales y cortantes se deriva respecto a y luego se iguala a 0. En esta seccin haremos una deduccin de las expresiones que nos entregan los esfuerzos normales mximos o esfuerzos principales.Procediendo como habamos enunciado en el prrafo anterior se obtiene:

Dividiendo la expresin por cos 2 queda:

Despejando tg 2 se tiene:

El subndice del ngulo se utiliza para designar el ngulo que define el plano del esfuerzo normal mximo o mnimo. La ecuacin anterior tiene dos races pues la funcin tangente es peridica de perodo , ahora como la tangente de la ecuacin anterior corresponde a un ngulo doble implica que las dos races de 1 estn a 90 entre s. Una de las races localiza el plano donde se encuentra el esfuerzo normal mximo; mientras que la otra localiza al plano donde acta el esfuerzo normal mnimo.Para encontrar el esfuerzo normal mximo mnimo encontraremos las siguientes funciones trigonomtricas previamente:

Reemplazando estas expresiones en:

Queda:

Reduciendo trminos:

Mediante el mismo procedimiento se obtiene:

Ahora, si queremos obtener los planos donde el esfuerzo cortante es nulo hacemos:

Con lo que obtenemos:

Vale decir, la misma expresin que obtuvimos al tratar de encontrar los esfuerzos normales mximos, esto implica que en los planos donde actan esfuerzos principales los esfuerzos cortantes son nulos.

ESFUERZO CORTANTEMAXIMO:

Usando el mismo procedimiento que para el esfuerzo normal, se tiene:

Dividiendo por cos 2 se tiene:

Luego:

Reemplazando estas expresiones en la ecuacin general:

Queda:

Ahora bien, al igual que en la seccin anterior la tangente entrega dos races que estn a 90 grados una de otra, luego haciendo el procedimiento anlogo al que hicimos hasta ac obtenemos:

Esto significa que la magnitud de los esfuerzos de corte mximo y mnimo es igual. El signo no tiene ningn sentido fsico, surgen de la convencin para localizar los planos donde estos actan, por tanto el esfuerzo cortante encontrado bajo este procedimiento ser llamado esfuerzo cortante mximo independiente del signo.Otro aspecto a considerar es que:

Luego las races para los ngulos dobles de los esfuerzos normales con respecto de los esfuerzos cortantes estn a 90 unas de otras, lo que implica que los planos que localizan los esfuerzos cortantes mximos estn a 45 respecto de los planos principales.El sentido del esfuerzo cortante puede ser determinado por sustitucin directa de la raz particular de 2 en la ecuacin general que define el esfuerzo cortante en cualquier plano. Un esfuerzo cortante positivo indica que acta segn la orientacin definida en la siguiente figura:

xyABCyyxxyx

La determinacin del esfuerzo cortante mximo es de la mayor importancia en materiales cuya resistencia al corte es dbil.A diferencia de los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes mximos actan sobre planos que usualmente no estn libres de esfuerzos. Haciendo una sustitucin de 2 en la ecuacin general de esfuerzos normales se obtiene:

Por tanto, un esfuerzo normal acta simultpaneamente con el esfuerzo cortante mximo a menos que:

CIRCULO DE MOHR:

En esta seccin analizaremos las expresiones obtenidas para el esfuerzo normal y cortante en cualquier plano, vale decir:

Esto permitir interpretarlas grficamente. Se persigue con esto dos objetivos: tener una mejor idea del problema general de la transformacin de esfuerzos y con la ayuda de la construccin grfica obtener una solucin ms rpida de los problemas de transformacin de esfuerzos.De la primera ecuacin obtenemos:

Elevando al cuadrado: (1)De la segunda ecuacin:

Elevando al cuadrado: (2)Sumando (1) y (2) queda:

Reduciendo trminos:

En un problema dado x, y y xy son conocidos. Sea:

Reemplazando estas expresiones en (3) queda:

Est ltima expresin corresponde a la ecuacin de la circunferencia de centro en (a,0) y radio b. Por consiguiente, si se grafica un crculo que satisfaga esta ecuacin, los valores simultneos de un punto (x,y) sobre este crculo representan a x y xy para una orientacin particular de un pano inclinado. La ordenada de un punto sobre el crculo es el esfuerzo cortante xy, mientras que la abscisa es el esfuerzo normal x. El crculo as construido se llama circulo de Mohr para esfuerzos. En la figura siguiente se muestra el crculo de Mohr.O13(x,xy)(y,-xy) 21mxmin

22Circulo de Mohr: Se puede observar que con los datos de entrada (x,xy) y (y,-xy) se pueden obtener los esfuerzos en cualquier plano inclinado del elemento de manera grfica mediante el crculo de Mohr

Pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzos en un punto con base al crculo de Mohr:1. El esfuerzo normal mximo posible es 1; el mnimo es 3. Ningn esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales.2. El esfuerzo cortante mximo es numricamente igual al radio del crculo. Un esfuerzo normal igual a acta sobre cada uno de los planos de esfuerzo cortante mximo.3. Si 1=3, el crculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningn esfuerzo cortante se desarrolla en el plano XY.4. Si , el centro del crculo de Mohr coincide con el origen de las coordenadas y entonces existe el estado de cortante puro.5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente perpendiculares cualquiera es invariable.

CONSTRUCCION DE CIRCULO DE MOHR:

En esta seccin analizaremos las expresiones obtenidas para el esfuerzo normal y cortante en cualquier plano, vale decir:

Esto permitir interpretarlas grficamente. Se persigue con esto dos objetivos: tener una mejor idea del problema general de la transformacin de esfuerzos y con la ayuda de la construccin grfica obtener una solucin ms rpida de los problemas de transformacin de esfuerzos.De la primera ecuacin obtenemos:

Elevando al cuadrado: (1)De la segunda ecuacin:

Elevando al cuadrado: (2)Sumando (1) y (2) queda:

Reduciendo trminos:

En un problema dado x, y y xy son conocidos. Sea:

Reemplazando estas expresiones en (3) queda:

Est ltima expresin corresponde a la ecuacin de la circunferencia de centro en (a,0) y radio b. Por consiguiente, si se grafica un crculo que satisfaga esta ecuacin, los valores simultneos de un punto (