Resumen 1 ª Unidad

RESUMEN 1 ª UNIDAD: ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS

ESFUERZOS COMBINADOS:

Superposición de esfuerzos axiales y de deflexión en la sección transversal de un elemento estructural que da como resultado un conjunto de esfuerzos de tracción y compresión.

Esfuerzo axial: la deformación unitaria ϵ como la razón de la deformación totalδ sobre el largo total L de la varilla.

Esfuerzo de flexión:

Esfuerzo cortante por flexion:

b= ancho de la via

yτyx

x

x´

Esfurzo cortante por torsion:

TRANSFORMACION DE ESFUEZO EN PROBLEMAS BIDIMENSIONALES:

En esta sección obtendremos ecuaciones en forma algebraica para los esfuerzos normales y cortantes que actúan en un plano inclinado. Tales expresiones se llaman ecuaciones de transformación de esfuerzos. Estas ecuaciones se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actúan sobre un elemento de orientación conocida y en el plano que se está investigando, definido por una normal a él. Las ecuaciones se desarrollaron considerando un elemento de espesor unitario en un estado de esfuerzos bidimensional xy, que será transformado a los ejes x´y´.

Utilizará la siguiente convención de signos:

σ x , σ y sonde tracción→ son positivos

σ x , σ y sonde compresión → sonnegativos

τ sedefine como positivo si apunta hacia abajoen la caraderecha DE del elemento

El ánguloθ cuando semide desde el eje x ensentido antihorario se considera positivo.

La siguiente figura representa el estado de esfuerzos inicial de esfuerzos y las convenciones de signos adoptadas en este apunte. El plano donde se quiere obtener los esfuerzos normal y cortante es CB, para analizar los esfuerzos en el plano inclinado se aísla la cuña infinitesimal ABC.

x´

y´

x´

y´

A B

C

y

τyx

τxy

x

Cuña ABC aislada de la figura inicial. Se considera que el área generada por el lasdo BC de esta cuña es dA.

En la siguiente figura se muestran los esfuerzos asociados a la separación de la cuña ABC respecto de la figura inicial (recuerde el método de las secciones)

Ahora vamos a obtener las fuerzas en las caras de la cuña asociados a los esfuerzos a la que está sometida.

´

x´

y´

A B

C

Fuerzas que actúan n la cuña ABC

El siguiente paso consiste en aplicar las leyes de la estática en el eje y´ y x´ con el fin de conocer los esfuerzos que actúan en la cara BC de la cuña:

∑ F x´=σx ´ ∙dA−σ x ∙ dA ∙cosθ ∙cosθ+¿ τ xy ∙ dA ∙cosθ ∙ senθ−σ y ∙ dA ∙ senθ ∙ senθ+τ yx ∙ dA ∙ senθ ∙cosθ=0¿

Desarrollando un poco la expresión y despejando x´ queda:

σ x ´=σ x ∙cos2θ−τ xy ∙cosθ ∙ senθ+σ y ∙ sen2θ−τ yx ∙ senθ ∙cosθ

Ahora τ xy=τ yx, luego:

σ x ´=σ x ∙cos2θ−2 ∙ τ xy ∙cosθ ∙ senθ+σ y ∙ sen2θ

Se tiene además que:

cos2θ=1+cos2θ2

sen2θ=1−cos 2θ2

senθ ∙cos θ= sen 2θ2

Reemplazando estas expresiones en la ecuación anterior queda:

σ x ´=σ x ∙1+cos2θ

2+σ y ∙

1−cos 2θ2

−τxy

∙ sen2θ

Reordenando esta expresión queda:

Haciendo equilibrio de fuerzas en el eje y´, se tiene:

∑ F y ´=τ x ´ y ´ ∙ dA−σ x ∙ dA ∙cosθ ∙ sen θ−¿ τ xy ∙ dA ∙cosθ ∙cosθ+σ y ∙ dA ∙ senθ ∙cosθ+τ yx ∙ dA ∙ senθ ∙ senθ=0¿

Reduciendo términos, simplificando y despejando τx´y´ queda:

τ x ´ y´=σ x ∙cosθ ∙ senθ+¿ τ xy ∙cos2θ−σ y ∙ senθ ∙cosθ−τ yx ∙ sen2θ ¿

τ x ´ y´=(σ x−σ y )∙cosθ ∙ senθ+¿ τ xy ∙cos2θ−τ yx ∙ sen2θ ¿

τ x ´ y´=( σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙1+cos2θ

2−τ yx ∙

1−cos2θ2

¿

τ x ´ y´=( σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙( 1−1+cos2θ+cos2θ2 )¿

Las expresiones deducidas son las ecuaciones generales para los esfuerzos normales y cortantes, respectivamente, que actúan sobre cualquier plano localizado por el ángulo y causado por un sistema conocido de esfuerzos. Esas relaciones son las ecuaciones para la transformación del esfuerzo de un sistema de ejes coordenados inicial a uno rotado respecto a este último.

Reemplazando por + 90° en las dos ecuaciones se obtiene el esfuerzo normal en y´ y´ y el esfuerzo tangencial τy´x´. Algebraicamente estos esfuerzos son:

σ y ´=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos ¿¿

σ y ´=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2∙ [cos2θ ∙cos180−sen2θ ∙ sen180 ]−τ

xy

∙ [ sen2θ ∙cos 180+cos2θ ∙ sen180 ]

σ y ´=σx+σ y

2+

σ x−σ y

2∙ [−cos 2θ ]−τ

xy

∙ [−sen2θ ]

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy

∙ sen2θ

τ x ´ y´=( σx−σ y )2

∙ sen2θ+¿ τ xy ∙cos2θ ¿

τ y´ x´=( σx−σ y )2

∙ sen(2θ+180)+¿ τ xy ∙cos (2θ+180)¿

Haciendo σ x ´+σ y ´ queda:

σ x ´+σ y ´=σx+σ y

Esto significa que la suma de los esfuerzos normales sobre dos planos perpendiculares cualquiera permanece constante independiente del ángulo. A esta suma se le llama invariante de esfuerzo.

ESFUERZOS PRINCIPALES:

A menudo el interés, en el análisis de esfuerzos, se centra en los esfuerzos máximos a los que está sometido un elemento. Para encontrar tales esfuerzos la ecuación general para los esfuerzos normales y cortantes se deriva respecto a y luego se iguala a 0. En esta sección haremos una deducción de las expresiones que nos entregan los esfuerzos normales máximos o esfuerzos principales.

Procediendo como habíamos enunciado en el párrafo anterior se obtiene:

dσ x´

dθ=−

σ x−σ y

2∙2 ∙ sen2θ−τ

xy

∙2∙cos2θ=0

Dividiendo la expresión por cos 2 queda:

−¿¿

Despejando tg 2 se tiene:

El subíndice del ángulo se utiliza para designar el ángulo que define el plano del esfuerzo normal máximo o mínimo. La ecuación anterior tiene dos raíces pues la función tangente es periódica de período , ahora como la tangente de la ecuación anterior corresponde a un ángulo doble implica que las dos raíces de 1 están a 90°

σ y ´=σx+σ y

2−

σ x−σ y

2∙cos2θ+τ

xy

∙ sen2θ

τ y´ x´=−( σ x−σ y )

2∙ sen2θ−¿ τ xy ∙cos 2θ ¿

tg 2θ1=−2 ∙ τ xy

¿¿

entre sí. Una de las raíces localiza el plano donde se encuentra el esfuerzo normal máximo; mientras que la otra localiza al plano donde actúa el esfuerzo normal mínimo.

Para encontrar el esfuerzo normal máximo mínimo encontraremos las siguientes funciones trigonométricas sen2θ y cos2θ previamente:

sen2θ=−τ xy

√τ xy2+¿¿¿¿

cos2θ=¿¿¿

Reemplazando estas expresiones en:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy

∙ sen2θ

Queda:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙

(σ x−σ y)2

√τ xy2+¿¿¿¿

¿

Reduciendo términos:

σ x ´=σ x+σ y

2+

((σ x−σ y)2 )

2

√τ xy2+¿¿¿¿

σ x ´=σ x+σ y

2+( (σ x−σ y)

2 )2

+τ xy2

√τ xy2+¿¿¿¿

Mediante el mismo procedimiento se obtiene:

Ahora, si queremos obtener los planos donde el esfuerzo cortante es nulo hacemos:

σ máx=σ1=σ x+σ y

2+√τ xy

2+¿¿¿

σ min=σ3=σ x+σ y

2−√τ xy

2+¿¿¿

τ x ´ y´=0=(σ x−σ y )2

∙ sen 2θ+¿ τ xy ∙cos2θ ¿

Con lo que obtenemos:

tg 2θ1=−2 ∙ τ xy

¿¿

Vale decir, la misma expresión que obtuvimos al tratar de encontrar los esfuerzos normales máximos, esto implica que en los planos donde actúan esfuerzos principales los esfuerzos cortantes son nulos.

ESFUERZO CORTANTEMAXIMO:

Usando el mismo procedimiento que para el esfuerzo normal, se tiene:

dτ x ´ y ´

dθ=

( σx−σ y )2

∙2 ∙cos 2θ−¿ τ xy ∙2 ∙ sen2θ=0¿

Dividiendo por cos 2 se tiene:

(σ x−σ y )−τ xy ∙2∙ tg2θ=0

(σ x−σ y )2∙ τ xy

=tg2θ2

Luego:

sen2θ2=( σ x−σ y

2 )√( σ x−σ y

2 )2

+τxy2

cos2θ2=τ xy

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Reemplazando estas expresiones en la ecuación general:

τ x ´ y´=( σx−σ y )2


Queda:

τ x ´ y´=( σx−σ y )2

∙( σ x−σ y

2 )√( σ x−σ y

2 )2

+τxy2

+τ xy ∙τ xy

√( σ x−σ y

2 )2

+τxy2

τ x ´ y´=( σ x−σ y

2 )2

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

+τ xy

2

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

τ x ´ y´=( σx−σ y

2 )2

+τ xy2

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

τ máx=√( σx−σ y

2 )2

+τ xy2

Ahora bien, al igual que en la sección anterior la tangente entrega dos raíces que están a 90 grados una de otra, luego haciendo el procedimiento análogo al que hicimos hasta acá obtenemos:

τ min=−√( σ x−σ y

2 )2

+τxy2

Esto significa que la magnitud de los esfuerzos de corte máximo y mínimo es igual. El signo no tiene ningún sentido físico, surgen de la convención para localizar los planos donde estos actúan, por tanto el esfuerzo cortante encontrado bajo este procedimiento será llamado esfuerzo cortante máximo independiente del signo.

Otro aspecto a considerar es que:

tg 2θ1 ∙ tg2θ2=−2∙ τ xy

¿¿

Luego las raíces para los ángulos dobles de los esfuerzos normales con respecto de los esfuerzos cortantes están a 90° unas de otras, lo que implica que los planos que localizan los esfuerzos cortantes máximos están a 45° respecto de los planos principales.

x´

y´A B

C

y

τyx

τxy

x

El sentido del esfuerzo cortante puede ser determinado por sustitución directa de la raíz particular de 2 en la ecuación general que define el esfuerzo cortante en cualquier plano. Un esfuerzo cortante positivo indica que actúa según la orientación definida en la siguiente figura:

La determinación del esfuerzo cortante máximo es de la mayor importancia en materiales cuya resistencia al corte es débil.

A diferencia de los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes máximos actúan sobre planos que usualmente no están libres de esfuerzos. Haciendo una sustitución de 2 en la ecuación general de esfuerzos normales se obtiene:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy

∙ sen2θ

σ θ2=

σx+σ y

2+

σ x−σ y

2∙

τ xy

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

−τ

xy

∙( σx−σ y

2 )√( σx−σ y

2 )2

+τ xy2

σ θ2=

σx+σ y

2

Por tanto, un esfuerzo normal actúa simult´paneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que:

σ x+σ y=0→ σx=−σ y

CIRCULO DE MOHR:

En esta sección analizaremos las expresiones obtenidas para el esfuerzo normal y cortante en cualquier plano, vale decir:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy

∙ sen2θ

τ x ´ y´=( σx−σ y )2


Esto permitirá interpretarlas gráficamente. Se persigue con esto dos objetivos: tener una mejor idea del problema general de la transformación de esfuerzos y con la ayuda de la construcción gráfica obtener una solución más rápida de los problemas de transformación de esfuerzos.

De la primera ecuación obtenemos:

σ x ´−σ x+σ y

2=

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy

∙ sen 2θ

Elevando al cuadrado:

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

=( σ x−σ y

2 )2

∙cos22θ−(σ ¿¿ x−σ y )∙ τ xy ∙ sen 2θ ∙cos2θ+τ xy2 ∙ sen22θ ¿ (1)

De la segunda ecuación:

τ x ´ y´=( σx−σ y )2



τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

∙ sen22θ+¿ ( σx−σ y ) ∙ τ xy ∙ sen2θ ∙cos2θ+¿ τ xy2 ∙cos22θ ¿¿ (2)

Sumando (1) y (2) queda:

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

∙cos22θ−(σ ¿¿ x−σ y )∙ τ xy ∙ sen2θ ∙cos2θ+ τ xy2 ∙ sen22θ+( σ x−σ y

2 )2

∙ sen22θ+¿ ( σ x−σ y ) ∙ τ xy ∙ sen 2θ ∙cos2θ+¿ τ xy2 ∙cos22θ ¿¿¿


O 13

(x,τxy)

(y,-τxy)

21

τmáx

τmin

τ

22

Circulo de Mohr: Se puede observar que con los datos de entrada (x,τxy) y (y,-τxy) se

pueden obtener los esfuerzos en cualquier plano inclinado del elemento de manera gráfica

mediante el círculo de Mohr

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

∙ (cos22θ+sen22θ )+τ xy2 ∙ (sen22θ+cos22θ )

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2(3)

En un problema dado x, y y τxy son conocidos. Sea:

a=σ x+σ y

2

b=√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Reemplazando estas expresiones en (3) queda:

(σ x ´−a )2+τ x´ y ´2=b2

Está última expresión corresponde a la ecuación de la circunferencia de centro en (a,0) y radio b. Por consiguiente, si se grafica un círculo que satisfaga esta ecuación, los valores simultáneos de un punto (x,y) sobre este círculo representan a x´ y τx´y´ para una orientación particular de un pano inclinado. La ordenada de un punto sobre el círculo es el esfuerzo cortante τx´y´, mientras que la abscisa es el esfuerzo normal x´.

El círculo así construido se llama circulo de Mohr para esfuerzos. En la figura siguiente se muestra el círculo de Mohr.

Pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzos en un punto con base al círculo de Mohr:

1. El esfuerzo normal máximo posible es 1; el mínimo es 3. Ningún esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales.

2. El esfuerzo cortante máximo es numéricamente igual al radio del círculo. Un

esfuerzo normal igual a σ x+σ y

2 actúa sobre cada uno de los planos de esfuerzo

cortante máximo.3. Si 1=3, el círculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningún esfuerzo

cortante se desarrolla en el plano XY.4. Si σ x+σ y=0, el centro del círculo de Mohr coincide con el origen de las

coordenadas y entonces existe el estado de cortante puro.5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente

perpendiculares cualquiera es invariable.

CONSTRUCCION DE CIRCULO DE MOHR:

En esta sección analizaremos las expresiones obtenidas para el esfuerzo normal y cortante en cualquier plano, vale decir:

σ x ´=σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy

∙ sen2θ

τ x ´ y´=( σx−σ y )2


Esto permitirá interpretarlas gráficamente. Se persigue con esto dos objetivos: tener una mejor idea del problema general de la transformación de esfuerzos y con la ayuda de la construcción gráfica obtener una solución más rápida de los problemas de transformación de esfuerzos.

De la primera ecuación obtenemos:

σ x ´−σ x+σ y

2=

σ x−σ y

2∙cos2θ−τ

xy

∙ sen 2θ


(σx ´−σ x+σ y

2 )2

=( σ x−σ y

2 )2

∙cos22θ−(σ ¿¿ x−σ y )∙ τ xy ∙ sen 2θ ∙cos2θ+τ xy2 ∙ sen22θ ¿ (1)

De la segunda ecuación:

τ x ´ y´=( σx−σ y )2



τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

∙ sen22θ+¿ ( σx−σ y ) ∙ τ xy ∙ sen2θ ∙cos2θ+¿ τ xy2 ∙cos22θ ¿¿ (2)

Sumando (1) y (2) queda:

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

∙cos22θ−(σ ¿¿ x−σ y )∙ τ xy ∙ sen2θ ∙cos2θ+ τ xy2 ∙ sen22θ+( σ x−σ y

2 )2

∙ sen22θ+¿ ( σ x−σ y ) ∙ τ xy ∙ sen 2θ ∙cos2θ+¿ τ xy2 ∙cos22θ ¿¿¿


(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

∙ (cos22θ+sen22θ )+τ xy2 ∙ (sen22θ+cos22θ )

(σx ´−σ x+σ y

2 )2

+τ x ´ y´2=( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2(3)

En un problema dado x, y y τxy son conocidos. Sea:

a=σ x+σ y

2

b=√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Reemplazando estas expresiones en (3) queda:

(σ x ´−a )2+τ x´ y ´2=b2

Está última expresión corresponde a la ecuación de la circunferencia de centro en (a,0) y radio b. Por consiguiente, si se grafica un círculo que satisfaga esta ecuación, los valores simultáneos de un punto (x,y) sobre este círculo representan a x´ y τx´y´ para una orientación particular de un pano inclinado. La ordenada de un punto sobre el

círculo es el esfuerzo cortante τx´y´, mientras que la abscisa es el esfuerzo normal x´. El círculo así construido se llama circulo de Mohr para esfuerzos. En la figura siguiente se muestra el círculo de Mohr.

Pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzos en un punto con base al círculo de Mohr:

1. El esfuerzo normal máximo posible es 1; el mínimo es 3. Ningún esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales.

2. El esfuerzo cortante máximo es numéricamente igual al radio del círculo. Un

esfuerzo normal igual a σ x+σ y

2 actúa sobre cada uno de los planos de esfuerzo

cortante máximo.3. Si 1=3, el círculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningún esfuerzo

cortante se desarrolla en el plano XY.4. Si σ x+σ y=0, el centro del círculo de Mohr coincide con el origen de las

coordenadas y entonces existe el estado de cortante puro.5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente

perpendiculares cualquiera es invariable.

A´´ A´

A´ A

O

O

Transformación de la deformación unitaria: Enfoque geométrico

Para tratar este tema es conveniente previamente establecer la convención de signos para las deformaciones y desangulaciones unitarias:

Las deformaciones unitarias normales x y y correspondientes a elongaciones en x e y, respectivamente, se toman como positivas.

La deformación unitaria cortante se considera positiva si el ángulo de 90° entre los ejes x e y se vuelve más grande. Por conveniencia, al deducir las ecuaciones de transformación de la deformación unitaria, el elemento distorsionado por una deformación unitaria cortante se tomará como el mostrado en el tercer caso de la siguiente figura:

O C

B A

dx

dy

x

y

x´

y´

A´´ A´´ ´

A´

dx´

Ahora, suponga que se conocen las deformaciones unitarias x, y, xy asociadas con los ejes xy y que se requiere la deformación unitaria extensional a lo largo de un nuevo eje x´. El nuevo sistema de ejes x´y´ está relacionado con los ejes xy como se muestra en la figura de la derecha:

En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede imaginarse como una diagonal de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales.

Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por las deformaciones unitarias impuestas sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados:

Desplazamiento en la dirección xAA ´=ε x ∙ dx

Desplazamiento en la dirección yA ´ A ´ ´=ε y ∙ dy

Desplazamiento debido a la deformación unitaria cortante: se supone que ella causa desplazamiento horizontal:

A ´ ´ A ´ ´ ´=γ xy ∙dy

Proyectando estos desplazamientos sobre el eje x´, se encuentra el desplazamiento del punto A a lo largo del eje x´. Ahora, por definición, ε x ´ ∙ dx ´ en el sistema coordenado x´y´es también el alargamiento en OA, luego se tiene la siguiente igualdad:

ε x ´ ∙ dx ´=AA ´ ∙cosθ+ A ´ A ´ ´ ∙ senθ−A ´ ´ A ´ ´ ´ cosθ

ε x ´ ∙ dx ´=ε x ∙ dx ∙cosθ+ε y ∙dy ∙ senθ−γ xy ∙ dy ∙cosθ

ε x ´=εx ∙dx

dx ´∙cosθ+ε y ∙

dydx ´

∙ senθ−γ xy ∙dy

dx ´∙cosθ

Pero:

dxdx ´

=cosθ

dydx ´

=senθ

Luego:

ε x ´=εx ∙cos2θ+ε y ∙ sen2θ−γ xy ∙ senθ ∙cosθ

Esta ecuación es la expresión básica para la transformación de la deformación unitaria en un plano en una dirección arbitraria definida por el eje x´.

ε x ´=ε x+ε y

2+

εx−ε y

2∙cos2θ−

γ xy

2∙ sen2θ

Ahora, estudiemos la transformación de la deformación unitaria cortante. Para este fin considere la figura que se muestra a continuación:

Por definición la deformación unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ángulo AOB. De la figura el cambio en este ángulo es – (α+β ), el signo es negativo pues el ángulo recto se reduce.

Para deformaciones pequeñas el ángulo puede determinarse proyectando los desplazamientos AA´, A´A´´, A´´A´´´ sobre una normal al eje x´ y luego dividiendo por dx´:

α=−AA ´∙ senθ+ A ´ A ´ ´ ∙cosθ−A ´ ´ A ´ ´ ´ ∙ senθdx ´

α=−εx ∙ dx ∙ senθ+ε y ∙ dy ∙cosθ−¿¿¿

α=−εx ∙cos θ ∙ senθ+ε y ∙ sen θ∙cosθ+γ xy ∙ sen2θ

Por un razonamiento análogo,

β=−BB ´ cosθ+B ´ B ´ ´ senθ+B ´ ´ B´ ´ ´ cosθdx ´

β=−ε x ∙ dy ∙cos θ+ε y ∙ dx ∙ senθ+(−γ xy)∙ dx ∙cos θ

dx ´

β=−εx ∙ senθ ∙cosθ+ε y ∙ sen θ∙cosθ−γ xy ∙cos2θ

Por lo tanto:

γ xy=−(2 ∙−εx ∙ senθ ∙cosθ+2 ∙ ε y ∙ senθ ∙cos θ−γ xy ∙cos2θ )

Esta es la segunda expresión fundamental para la transformación de la deformación unitaria.

Las ecuaciones básicas para la transformación de la deformación unitaria en un plano son análogas a las ecuaciones para la transformación del esfuerzo en dos dimensiones. Esto se debe a que los esfuerzos y las deformaciones unitarias son tensores de segundo rango y matema´ticamente obedecen a las mismas leyes de transformación.

γ xy=(ε x−ε y ) ∙ sen2θ+γ xy ∙cos2θ

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