Ángulos 2 - colegiomariscalcaceressurco.com

Geometría - 3ro Sec.

Capítulo

2

Definición

Es aquella figura que resulta de unir dos rayos cuyo origen común se denomina vértice.

O A

B

α

Lados : OB y OAVértice : O

NOTACIÓN

AOB : ángulo AOBm AOB : medida del ángulo AOB.

BISECTRIZ

Es aquel rayo que biseca a un ángulo.

αα

O

B

M

A

Bisectriz

m AOB = α

“Todo ángulo en la geometría plana es positivo y menor o igual a una vuelta”. → 0º ≤ α ≤ 360º

Recuerda

Clasificación

A) DE ACUERDO A SU MEDIDA

Agudo

αO

B

A

0º < α < 90º

Obtuso

B

O A

β

90º < β < 180º

Recto

δ = 90º

B

AO

δ

Ángulos


TEOREMA 1

A O D

B C

βα φ

⇒ m AOD = 180º = α + β + φ

αβ

θ

φγ

⇒ α + β + θ + φ + γ = 180º

B) DE ACUERDO A SUS LADOS

Complementarios

α + θ = 90º Cα = 90º - α

O

C

B

Aαθ

Suplementarios (Par Lineal)

C O A

B

β α

Sα = 180º - α α + β = 180º

Opuestos por el vértice

β α

Se cumple:

Ángulos consecutivos

O

A B

C

D

αβ

φ

α = β

Demostraciones

1) Demuestra que:

βθ α

α + β + θ = 180º

Resolución:

⇒ OM AD ⇒ m AOM = m MOD = 90º ⇒ m AOD = 180º luego: θ + β + α = 180º

A D

B CM

αβθO

2) Demuestra que:

αβ

θφ

α + β + θ + φ = 360º

Resolución:

cα

βθ

φ

a

d

b

P Q

CB

A D⇒ m POQ = 180º ⇒ a + β + b = 180º (+)

c + φ + d = 180º⇒ a + b + c + d + β + φ = 360º luego: α + β + θ + φ = 360º

TEOREMA 2


Si OP es bisectriz del AOB⇒ m BOP = m AOP = 35º

Ahora del gráfico: x = 35º + 40

∴ x = 75º

1. Calcule el complemento de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemento de 160º.

Resolución:

Sea la medida del ángulo “α”.α = S160 ⇒ α = 180º - 160º α = 20º Nos piden:Cα = C20º = 90º - 20º

∴ Cα = 70º

Resolución:

2. Calcule x si: OP es bisectriz del AOB.

x40º

35ºA

P

BC

O

x40º

35º35º

A

P

BC

O

3. Si m AOC = 100º y m BOD = 90º, calcule m XOY.

θ

D

Y

C

BX

A

θ

αα

Resolución:

4. Calcule si a - b = 26º.

3x a

b2x

Resolución:

3x a

b2x

θ

D

Y

C

BX

A

θ

αα 90º

φ100º

Del gráfico: 3x + α = 180º 2x + β = 180º x + α . β = 0 ⇒ x = α - β

∴ x = 26ºDATO

(-)

De la figura: m AOD = 100º + 2θ = 90º + 2α

α - θ = 5ºm AOC = m AOX + m XOC⇒ 100º = α + φ - θ ⇒ 100º = α + φ - θ = φ + 5º

∴ φ = 95º

5. Calcule la medida de un ángulo sabiendo que los 3/4 del suplemento de su completo es igual a un ángulo recto.

Resolución:

Si la medida del ángulo del enunciado: 3/4 SCα = 90º

⇒ SCα = 120º

⇒ S(90º - α) = 120º

⇒ 180º -(90º - α) = 120º

∴ α = 30º


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

5) En el gráfico, OC es bisectriz del AOD, m AOB=20º y m BOD = 60º. Calcula m BOC.

5) En el gráfico OC es la bisectriz del BOD, m AOB=20º y m AOD=80º. Calcula m AOC.

1) Calcula α si:SSS...Sα = 123º

x2θ30º-θ

4) Calcula x.

28º5x+2º

746 224 veces

327 467 veces

6) Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD y se trazan las biectrices OX y OY de AOB y COD, respectivamente. Halla m XOY si m AOC=81º y m BOD = 99º.

2) Calcula α si:SCα = 120º

3) Calcula x si OP es bisectriz del AOB.

40º

xCB

P

A O35º

1) Calcula α si CCCC...Cα = 44º.

2) Calcula el suplemento del complemento de 70º.

3) Calcula x si OP es bisectriz del ∢ AOB.

CB

P

A O

27º

43º

x

A

B

C

D

O

AB

C

D

4) Calcula x.

6) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m AOD = 160º y m BOC = 100º. Halla la medida del ángulo formado por las bisec-trices de AOC y BOD.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________


PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

En la figura calcula “x” si mº+nº = 160º

a) 95º b) 105º c) 90º d) 100º e) 120º

De la figura mostrada, calcula x/y.

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 1, 5

y

x xα

La suma del suplemento y complemento de dos ángulos que se diferencian en 40º es 140º. El menor ángulo es:

a) 5º b) 15º c) 25º d) 35º e) 45º

xββ

ααm

n

La suma del suplemento del complemento de un ángulo y el complemento del triple del mismo es igual a 130º. Calcula la medida de dicho ángulo.

a) 25º b) 30º c) 60º d) 65º e) 55º

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE donde OB y OD son bisectrices de los ángulos AOC y BOE. Si m AOC+2m COE = 148º, calcula m BOD.

a) 17º b) 37º c) 42º d) 27º e) 47º

Se tiene lo ángulos consecutivos AOB, BOC y COD donde m AOD=160º y m BOC=40º. Calcula la medida del ángulo formado por la bi-sectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 100º b) 90º c) 110º d) 80º e) 120º

Si la medida de un ángulo agudo es α y además:

Calcula: SSSSSSSSα

a) 30º b) 100º c) 120º d) 70º e) 10º

S 3α2( ) - C α

2( ) α8=

Dados dos ángulos agudos cuyas medidas son α y β, tal que:

C(α) + C(β) = 140º y S(4α) - C(2α) = C(2β) Calcula S(5α).

a) 80º b) 70º c) 60º d) 50º e) 40º

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Calcula el menor de dos ángulos complementarios sabiendo que el mayor es el doble del menor.

a) 30º b) 15º c) 45º d) 35º e) 60º

Calcula el mayor de dos ángulos suplementarios sabiendo que el mayor es el triple del menor.

a) 15º b) 130º c) 160º d) 145º e) 135º

Calcula el complemento de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemento de 160º.

a) 20º b) 40º c) 60º d) 65º e) 70º

Calcula la medida de un ángulo, sabiendo que éste es igual a un octavo de su suplemento.

a) 20º b) 22º c) 25º d) 30º e) 106º

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios.

a) 60º b) 45º c) 90º d) 50º e) 120º

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de tal manera que m AOC+m BOD =148º y OA OD. Halla m BOC.

a) 74º b) 68º c) 54º d) 58º e) 46º

A XB

C

Y

D

O θθ

αα

Si m AOC = 100º y m BOD = 90º, calcula m XOY.

a) 80º b) 85º c) 90º d) 95º e) 105º

Calcula la medida de un ángulo, sabiendo que los 3/4 del suplemento de su complemento es igual al ángulo recto.

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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